17.1 第1课时 平行四边形边、角的性质(一)-【指南针·课堂优化】2025-2026学年八年级下册数学（华东师大版·新教材）

第17章平行四边形 第17章 平行四边形 17.1 平行四边形的性质 第1课时 平行四边形边、角的性质（一） 规律与方法：判定一个四边形是平行四边 形的方法现在只有运用定义，找出这个四边 知 识梳 理 形的两组对边分别平行，就能确定这个四边 形是平行四边形 1.平行四边形的概念： 【变式训练1】（温州中考）如图，在△ABC 两组对边分别 的四边形叫平行四 中，AD⊥BC于点D、E、F分别是AC,AB的中 边形. 点，O是DF的中点，EO的延长线交线段BD于 2.平行四边形的性质： 点G,连结DE,EF,FG.求证：四边形DEFG是 (1)从边上看：平行四边形对边 且 平行四边形； (2)从角上看：平行四边形对角 邻角 典 例 精析 考点①平行四边形的定义 【例1】如图，已知BD是△ABC的角平 分线，点E、F分别在边AB、BC上，ED∥BC, EF∥AC 求证：BE=CF ·89· 措南针·八年纸下册·数学(HS) 考 点2)平行四边形的对边平行且相等 考点3平行四边形的对角相等，邻角互补 【例2】如图，在平行四边形ABCD中，若 【例3】如图，在□ABCD中，∠A+∠C AB=6,AD=10,∠ABC的平分线交AD于点 200°，求平行四边形各个内角的度数. E,交CD的延长线于点F,求DF的长， 规律与方法：在平行四边形中，需要边长 时，通常要用到平行四边形对边相等，用角平 分线和平行能找到等腰三角形 【变式训练2】已知：如图，E、F是平行四 边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF. 求证：(1)△ADF≌△CBE; (2)EB∥DF. 规律与方法：在平行四边形的角的计算中 常用到平行四边形对角相等、邻角互补，有时 还要用到三角形和四边形的内角和计算， 【变式训练3】平行四边形的一个角比它 的邻角的2倍还大15°，则相邻两个内角为 A.30°，75 B.40°，95° C.55°，125° D.50°，115° 90· 第17章平行四边形 6.(包头中考)如图，在□ABCD中，AB=2, 课后演练 ∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点 E,若点E恰好在边AD上，则BE+CE的 【基础过关】 值为 1.(滨州中考)如图，在□ABCD中，BE平分 7.如图，点E是□ABCD的CD边的中点，AE, ∠ABC交DC于点E.若∠A=60°，则∠DEB BC的延长线交于点F,CF=3,CE=2,求 的大小为 ( □ABCD的周长 A.130° B.125° C.120° D.115 B 第1题图 第2题图 2.如图，将☐ABCD沿对角线AC折叠，使点B落 在B处，若∠1=∠2=44°，则∠B为() A.66 B.104° C.1149 D.1249 3.(河池中考)如图，在口ABCD中，CE平分 ∠BCD,交AB于点E,EA=3,EB=5,ED= 4.则CE的长是 ( ) A.52 B.6√2 C.4v5 D.5√5 【能力提升】 8.如图，在□ABCD中，E、F 第3题图 第4题图 是对角线AC上两，点，AE 4.如图，将平行四边形ABCO放置在平面直角 =EF=CD,∠ADF=90°， 坐标系xOy中，O为坐标原点，若点A的坐标 ∠BCD=63°，则∠ADE 是(6,0)，点C的坐标是(1,4)，则点B的坐标 的大小为 是 9.如图，在平行四边形AB 5.如图，在□ABCD中，∠D=100°，∠DAB的 CD中，连接BD,且BD 平分线AE交DC于点E,连接BE,若AE= =CD,过点A作AM⊥ AB,则∠EBC的度数为 BD于点M,过点D作 DN⊥AB于点N,且DN=3√2，在DB的延 长线上取一点P,满足∠ABD=∠MAP十 ∠PAB,则AP= 第5题图 第6题图 ·91· 措南针·八年纸下册·数学(HS) 核 心 素 养 第2课时 平行四边形对角线的性质（二） 10.已知□ABCD的周长为28，过顶点A作AE ⊥DC于点E,AF⊥BC于点F.若AE=3, 知 识 梳 理 AF=4,求CE-CF的值. 1.平行四边形的性质： (1)从对角线上看：对角线 (2)从对称性上看：平行四边形是 对称图形，它的对称中心是 2.两平行线间的距离： (1)定义：两条平行线中，从一条直线上任 意一点到另一条直线的 叫两 条平行线间的距离. (2)性质：平行线间的距离 3.平行四边形的面积等于 典例精析 考点① 平行四边形的对角线互相平分 【例1】如图，在□ABCD中，对角线AC、 BD相交于O,若△AOB的周长15，AB=6,求 它的对角线AC+BD的长， 规律与方法：利用平行四边形对角线互相 平分的性质时，结合方程的思想方法，利用其 他关系式，如三角形的三边关系等，结合图形 作出解答， ·92·指南针·八年级下册 典例精析 【例1】(1)二、四(2)m>1【变式训练1】B 16.5实践与探索 【例2】1>>为【变式训练2】D 第1课时 一次函数与二元一次方程（组） 课后演练 知识梳理 1.C2C3D4D5a>7 (2)-1<a<1 (1)二元一次方程交点横坐标(2)一次函数交点 6号<m215+18®0 典例精析 (y=-2x+4, 91Dy=6 【例1】原方程组就是 (2)m<n10.-311.②③④ 2 y=3x-4, 核心素养 在同一坐标系中画出直线y=一2x 12.(1)点A(3,a),点B(14-2a,2) 在反比例函数上， 十4和y=号工一4的图象，如图，两条直 线的交点坐标是(3，一2)，所以原方程组 y=气x-4 ∴.3Xa=(14-2a)X2, 解得a=4,则m=3×4=12, 4567x 故反比例函数的表达式为y=12 的解是/x=3, ；(2)18 y=一2 【变式训练1】A -244 第3课时反比例函数的图象和性质（二） 知识梳理 【例2】由题意得方程组y=2x十m, y=-x+1, (1k(2)711 解得x1二m 3 典例精析 y=-x十1， 【例1】(1)设P点坐标为(x,),则由已知，得xy=1, “Sw=之=合，即当点P在x轴的正方向上运动时，R 交点坐标为(，”士) 交点在第二象限， △AOP的面积不变，总等于2 1一m∠0， 3 (2)S1>S2. 解得m>1. (3)A、F两点关于原点O成中心对称，FH⊥x轴，∴.OP m+2 3 >0, =OH,OF=OA,∴.四边形APFH的面积为S△r的4倍，即 为2，故四边形APHF的面积为一常数. .m的取值范围是m>1. 【变式训练1】D 【变式训练2】一1 【例2】(1)一次函数的解析式为y=x十2； 【例3】(1)乙出发后5分钟后与甲相遇. (2)SACD=6; (2)乙从景点B步行到景点C的速度至少为66.7m/分， 课后演练 (3)由图可得，当0<x<2或x<-4时，x十b< 1.B2.A3.C4.x=2 5.x=-2 【变式训练2】(1)反比例函数解析式为y=一4 （y=1 6.(-4,1)7.(2,-1)6 -次函数解析式为y=一2x十2； (2)SA0B=3 81Db=3m=-1(2②a=号或a=号9B108,5) 课后演练 核心素养 1.B2.B3.A4.(1,-4)5.86.97.6 11.(1)A(4,3)(2)28 81)一次函数的表达式为)=是x十号， 第2课时 一次函数与一元一次方程、 ·元一次不等式（组） 反比例函数的表达式为y=兰 知识梳理 (2)(5,0)或（一8,0）或(2,0) 1.x轴横2.横 9.610.1<x<4 典例精析 核心素养 【例1】(1)一8≤y≤4；(2)当x<2时，y<0;当x=2时，y= 1.1)点A的坐标为2，-5)A=-10(2)一器 0;当x>2时，y>2;(3)0<x<3. 【变式训练1】(1)x<4(2)x<0(3)由一次函数的图象知， 专题训练三反比例函数与一次函数 两条直线的交点坐标是(2,18)，当函数少的图象在2的下面 类型1 时，所以当x≤2时，y≤y2; 1.B2.D3.B (4)如图所示，当2<x<4时，0<2<y. 类型2 【例2】B【变式训练2】B 4.(1)一次函数的解析为y=一x+6(2)C(0,0)或(0,12) 【例3】(1)甲行走的速度为：150÷5=30（米/分）. 3 5.(1)一次函数的表达式为y=一2x十3 (2)补画s关于t函数图象如图所示（横轴上对应的时间为50）； (3)甲行走30.5分钟或38分钟时，甲、乙两人相距360米， (2)S△0B=9(3)由题意得，x<一2或0<x<4 【变式训练3】(1)A种球拍每副40元，B种球拍每副32元； 6.(1)-4<x<-2 (2)费用最少的方案是购买A种球拍20副，B种球拍10 (2)反比例函数的解析式为：y=一8 副，所需费用1120元. 课后演练 一次函数的表达式为：y=x十6 1.A2.C3.C4.C5.y>-2x>1 (3)(0,3)或(0，一3) 6.20千克7.x>38.0 ·数学参考答案(HS) (4)-41 9.(1) 【例2】3 -4 b=3 【例3】(1)直线的表达式为4=一x十1； (2)如图. (2)S=号， (3)1x十b<的解集，则是双曲线的图象在一次函数的 图象的上方对应的x的取值，故其解集为一2<x<0或x>3. 【例4】(1)熟练工加工1件A型服装需要2小时，加工1件B 型服装需要1小时. (2)该服装公司执行规定后违背了广告承诺，理由略 【例5】(1)y= /1.8x,(0<x<15) 12.4x-9.(x≥15) (3)当)≥号时，x≥0， (2)该用户二、三月份用水量分别是12m和28m3, (4)当x=一1时，y=0;当x<一1时，y<0. 章未测试题 10.(1)批发甲种蔬菜25千克，批发乙种蔬菜15千克 一、选择题 (2)根据题意得m=4.8n十(80一n)×4, 1.A2.B3.C4.B5.D6.C7.A 整理得m=0.8n十320； 二、填空题 (3)至少批发甲种蔬菜60千克 1.B12.(-8,6或(-8，号） 8.(1)四(2)y=-8 9 010m<号 11.212.4 核心素养 三、解答题 13.(1)y=3x(0≤x≤2)，y=- x+(x>2, 3 4 13.(1)直线AB的函数表达式为y=一 4x+3. (2)6h 第3课时函数应用题 (2)当t=0,1一必的最大值为只。 典例精析 14.(1)450天(2)a=60m+603.75倍 【例1】(1)y与x的函数关系：y=1.8x十32. 1 15.(1)y=- 之x十2 B(3,) (2y=马 (2)这一天悉尼的最高气温比南昌的最高气温高25℃ 【变式训练1)(1)u=300 第17章 平行四边形 (2).10-7.5=2.5, .∴.t=2.5时，0=300÷2.5=120>100， 17.1 平行四边形的性质 .上午7：30汽车从丽水出发， 不能在上午10：00之前到达杭州市场. 第1课时 平行四边形边、角的性质（一） (3)75≤<69 知识梳理 1.平行2.(1)平行相等(2)相等互补 【例2】(1)420(2)y2=30x-60 典例精析 (3)客，货两车经过号小时相遇。 【例1】证明：ED∥BC,EF∥AC, .四边形EFCD是平行四边形， 【变式训练2】D .'.DE=CF, 【例3】(1)直拍球拍每副220元，横拍球拍每副260元； ,BD平分∠ABC, (2):购买直拍球拍30副，购买横拍球拍10副时，费用 ∴./EBD=/DBC, 最少. .'DE∥BC, 【变式训练3】(1)每台B型设备的价格为2500元，每台A型 .∠EDB=∠DBC, 号设备的价格为3000元； .∠EBD=∠EDB, (2)w=500a十125000，且最少购买费用为131500元. ..EB=ED. 课后演练 1c2.aw哭 .'.EB=CF. (2)R≥3 【变式训练1】证明：由题可得EF是△ABC的中位线， 3.(1)y=2x-200(2)y=1.5x-175 .EF∥BC,∴∠EFO=∠GDO, (3)1000<x<100 .O是DF的中点，∴.OF=OD, 4.(1)60(2)yz=90x-90(3)220 ∠EFO=∠GDO 5.(1)A型净水器每台的进价为2000元，B型净水器每台的进 在△OEF和△OGD中，OF=OD 价为1800元. (∠EOF=∠GOD (2)W的最大值是(23800一40a)元. .△OEF≌△OGD(ASA),.EF=GD, 6.C7.(4,160) ∴.四边形DEFG是平行四边形； 8.(1)24(2)0t0.5或0.75<t≤1或1.5t2 【例2】，四边形ABCD为平行四边形 ∴.AB=DC=6,AD=BC=10,AB∥DC 第16章专题复习 :AB∥DC, 【例】3（告，-号）(2)2-1(3)x>号 .∠1=∠3， 又，BF平分∠ABC, 指南针·八年级 ∠1=∠2， (2)连接GF、EH ∠2=∠3， ,△AGE≌△CHF, .BC=CF=10, ..GE=FH, .DF=CF-DC=10-6=4. 又.EG∥FH 【变式训练2】证明：(1)，AE=CF .四边形GFHE是平行四边形 ∴.AE+EF=CF+FE, .GH、EF互相平分 即AF=CE. 【变式训练2】略 又四边形ABCD是平行四边形， 课后演练 ∴AD=CB,AD∥BC,.∠DAF=∠BCE. 1.B2.D3.A4.平行四边形5.4 (AF=CE 6.平行四边形7.略8.略9.2或610.5 在△ADF与△CBE中 ∠DAF=∠BCE, 核心素养 AD-CB 11.(1)50°(2)略(3)略 ∴.△ADF≌△CBE(SAS) 第2课时平行四边形的判定（二） (2).'△ADF≌△CBE,∴./DFA=/BEC 知识梳理 .DF∥EB, 1.互相平分2.分别相等 【例3】∠A=∠C=100°，∠B=∠D=80° 典例精析 【变式训练3】C 【例1】四边形EHFG是平行四边形 课后演练 理由如下：，AE⊥BD,CF⊥BD, 1.C2.C3.C4.(7,4)5.30°6.16 ∴.∠AE0=∠CFO=90°， 7.148.21°9.6 ,四边形ABCD是平行四边形， 核心素养 ..AO=CO. 10.14-73或2-√3 又.∠AOE=∠COD 第2课时 平行四边形对角线的性质（二）】 ∴.△AOE≌△COF. 知识梳理 .OE=OF.同理OG=OH! 1.(1)互相平分(2)中心对角线的交点 ∴.四边形EHFG是平行四边形 2.(1)垂线段的长度(2)处处相等3.底×高 【变式训练1】B 典例精析 【例2】AF=40(cm). EF=50cm. 【例1】AC+BD=18【变式训练1】21 【变式训练2】C 【例2】AD与BC之间的距离10cm【变式训练2】A 课后演练 1.B 2.D 3.A 4.C 5.BE=DF 【例3】由等底等高的三角形面积相等，有△AOD、△COD、6.(1)①③(2)ADCF和BCFD7.24cm △COB、△ADE、△BCE.都等于平行四边形面积的4， 8.略9.(1)略(2)200W3(cm) 10.A11.1<AD<7 【变式训练3】C 核心素养 课后演练 1B2.D3.B4.D5.166.27.23 8.4 12.= E(号0) (2)连接CD交OP于点G, 核心素养 在□PCOD中，CG=DG,OG=PG, 9.略 .AO=PE,∴.AG=EG, 17.2 平行四边形的判定 ∴.四边形ADEC是平行四边形 第1课时平行四边形的判定（一） 专题训练四 知识梳理 以平行四边形为背景的计算和证明 1.平行且相等相等互相平分 2.(1)分别平行(2)分别相等(3)平行且相等 1.(1)AE=2√10(2)略 典例精析 2.(1)EF=√19-4(2)略 【例1】证明：AD∥BC, 第3课时 三角形的中位线 ∴.∠ADE=∠CBF, 典例精析 又∠DAE=∠BCF=90°，AE=CF, 【例1】(1)A(2)B ∴.△AED2△FCB,∴.AD=BC, 【变式训练1】(1)D(2)7 .四边形ABCD是平行四边形 【例2】证明：如图，连结BE 【变式训练1】C ·四边形ABCD为平行四边形， 【例2】证明：(1)，四边形ABCD是平行四边形， .AB∥CD,AB=CD, ∴AB∥CD,∴∠BAC=∠DCA. 点O是AC的中点. .AF=CE,..AE=CF. :点E为平行四边形ABCD中DC边 又AG=CH, 延长线上一点，且CE=DC, ∴.△AGE≌△CHF ∴.AB∥CE,AB=CE .∠AEG=∠CFH, ∴.四边形ABEC是平行四边形 ∴.∠GEO=∠HFO, ,点F是BC的中点 ∴.EG∥FH. .OF是△ABC的中位线..AB=2OF. 下册·数学参考答案(HS) 【变式训练2】(1)略(2)∠ADC=133°， CE∥DA,AE∥BC, 课后演练 .四边形ADCE是平行四边形 1C2C3B445V丽6140°748号 又∠ADC=90°， .四边形ADCE是矩形 9.(1)略(2)BG=√510.略 【变式训练1】A 11.(1)略 (2)GE=912.50 【例2】∠COE=75 【变式训练2】C 核心素养 【例3】AP=4.8 【变式训练3】2√5 13.(1)略 课后演练 (2)猜想：FG=(AB十AC-BC. 1C2B3A4A5156.3w万7.9 证明：略 8.(1)证明：：四边形ABCD是矩形， 专题训练五构造三角形的中位线 ∴.OA=OC,OB=OD, 1.(1)略(2)OF=1.5 AC=BD,∠ABC=90°， 2.DM=15 .BE=DF,.'.OE=OF, 3.(1)略(2)略(3)△CGD是直角三角形，证明略 在△AOE和△COF中， 第17章 专题复习 OA=OC,∠AOE=∠COF,OE=OF ∴.△AOE2△COF(SAS),∴.AE=CF: 【例1】AB,BC的长分别是19cm和11cm (2)矩形ABCD的面积=6X6√3=36√5. 【例2】S平行四边形=40cm2. 10.3/17 【例3】证明：(1)四边形ABCD是平行四边形，证明略 9.(3,专) .∠DAB=∠BCD, 核心素养 ∴.∠EAM=∠FCN, 11.略 又.AD∥BC,.∠E=∠F 第2课时 矩形的判定 在△AEM与△CFN中， 知识梳理 ∠EAM=∠FCN, 1.中心对称 轴对称 AE=CF. 2.(1)直角平行四边形 (2)相等平行四边形 ∠E=∠F, (3)三个角是直角 '.△AEM≌△CFN 典例精析 (2).四边形ABCD是平行四边形 【例1】证明：(1)，MN交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB AB=CD,AB∥CD. 的外角平分线于点F, 又由(1)△AEM≌△CFN得AM=CN, .∠2=∠5,4=∠6， ∴.BM=DN, MN∥BC, ∴.四边形BMDN是平行四边形 ∴∠1=∠5， 章末测试题 ∠3=∠6， .∠1=∠2，∠3=∠4， 一、选择题 ..EO=CO,FO=CO,..OE=OF; 1.C2.D3.D4.A5.B6.D7.C8.B (2)OC=6.5; 二、填空题 (3)解：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形 9.AB∥CD(答案不唯一)10.36 AECF是矩形. 1.号126am13.2或号 证明：当O为AC的中点时，AO=CO, ,EO=FO,.四边形AECF是平行四边形， 三、解答题 .∠ECF=90°，.□AECF是矩形 14.略15.AE与CF的关系是平行且相等.理由略 【变式训练1】(2)平行四边形两组对边分别相等的四边是平 16.略17.(1)EF=2√2(2)略 行四边形(3)矩形有一个角是直角的平行四边形是矩形 第18章 矩形、菱形与正方形 【例2】四边形EHFG是矩形.理由如下： 四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD∥BC,AD=BC,AB=CD, 18.1 矩形 又，AD=2AB,AD=2AE 第1课时矩形的性质 AB=AE,∠1=∠2. 知识梳理 又：AD∥BC,∴∠3=∠2， 1.直角 ∴.∠1=∠3，即BE平分∠ABC 2.(1)平行且相等 (2)直角(3)相等且互相平分 同理可得：AF平分∠BAD. (4)轴对称图形 中心对称图形 又：AD∥BC,∴.∠ABC+∠BAD=180°， 3.斜边 .∠1+∠4=90°，∴.∠AGB=90°， 典例精析 .∠EGF=90°. 【例1】四边形ADCE是矩形. 同理∠EHF=∠AFH=90°， 理由：，AB=AC, ∴.四边形EHFG是矩形 D是BC的中点， 【变式训练2】A .AD⊥BC 【例3】(1)四边形ABDE是平行四边形， 181