15.3 第2课时 分式方程的应用-【指南针·课堂优化】2025-2026学年八年级下册数学（华东师大版·新教材）

撸南针·八年纸下册·数学(HS) 核 心 素 养 12.阅读下列材料：x+1=c十上的解是：x=c, 解是：0=c,m=-1； 2 c+2c+的解是x1=C,各 x x+3=c+3的解是x1=c,2=3 (1)请观察上述方程与解的特征，猜想方程x +”m=c+(m≠0)的解，并验证你的结论； (2)利用这个结论求解关于x的方程： a-1 ·2 第2课时分式方程的应用 知识梳理 列分式方程解应用题的一般步骤 (1)审：审题，分析题中的已知事项，求什 么，明确各数量之间的等量关系； (2)设：设未知数，一般情况是求什么就设 什么； (3)列：列方程，根据题中的等量关系列出 方程； (4)解：解方程； (5)检：一是检验求出的解 ;二是检验求出的解 (6)答：回答题中的问题，注意不要漏 典例精 析 考点1 分式方程的应用（行程问题） 【例1】甲、乙两地相距14千米，在一次郊 游中，一部分人骑自行车先走40分钟后其余的 人乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的 速度是自行车速度的3倍，求这两种车的速度. 规律与方法：行程问题要抓关系：路程=速 度×时间，要找准题目中的主要等量关系.行程 问题还要注意：①速度的单位，②单位的统一 0 【变式训练1】一艘轮船在静水中的最大 航速为35km/h,它以最大航速沿江顺流航行 120km所用时间与以最大航速逆流航行90km 所用时间相等.设江水的流速为vkm/h,则可列 方程为 ( ) A. 120 90 B. 12090 0+35v-35 35-)35+0 C. 120 90 12090 v-35v+35 D. 35+v35-0 考点2分式方程的应用（工程问题） 【例2】甲、乙两人准备整理一批新到的图 书，甲单独整理需要40分钟完工；若甲、乙共同 整理20分钟后，乙需再单独整理30分钟才能完 工.问乙单独整理这批图书需要多少分钟完工？ 规律与方法：工程问题要抓关系：工作总量 =工作时间X工作效率. 工程问题常见的等量关系有： (1)甲做工作量十乙做工作量=总工作量； (2)合作工作量十独做工作量=总工作量， 【变式训练2】为了建设社会主义新农村， 华新村修筑了一条长3000m公路，实际工作效 率比原计划提高20%，结果提前5天完成任务： 问原计划每天应修路 m 考点3)分式方程与不等式组 【例3】某商场计划购进一批甲、乙两种玩 具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具 ·2 第15章分式 的进价的和为40元，用90元购进甲种玩具的件 数与用150元购进乙种玩具的件数相同. (1)求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多 少元？ (2)商场计划购进甲、乙两种玩具共48件， 其中甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数.商 场决定此次进货的总资金不超过1000元，求商 场共有几种进货方案？ 规律与方法：列方程解应用题的关键是审 题.一是找量：有几个数量，几种情况；二是找 关系：不同数量之间的关系以及同一个量在 不同情况下的关系.列分式方程解应用题也 必须验根。 【变式训练3】（通辽中考）某搬运公司计 划购买A,B两种型号的机器搬运货物，每台A 型机器比每台B型机器每天少搬运10吨货物， 且每台A型机器搬运450吨货物与每台B型机 器搬运500吨货物所需天数相同， (1)每台A型机器，B型机器每天分别搬运 货物多少吨？ 指南针·八年纸下册·数学(HS) (2)每台A型机器售价1.5万元，每台B型 机器售价2万元.该公司计划采购两种型号机器 共30台，且要满足每天搬运货物不低于2880 吨，购买金额不超过55万元，请帮助公司求出最 省钱的采购方案. 课 后 演练 【基础过关】 1.(内江中考)用计算机处理数据，为了防止数 据输入出错，某研究室安排两名程序操作员 各输入一遍，比较两人的输人是否一致，本次 操作需输入2640个数据，已知甲的输入速度 是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完.这 两名操作员每分钟各能输入多少个数据？设 。2 乙每分钟能输入x个数据，根据题意列方程 正确的是 () 2640_2640+2 A. B.2640-2640-2 2x x C.2640-2640+2×60 2x D.2640-2640-2×60 2x 2.(广元中考)近年来，我市大力发展交通，建成 多条快速通道，小张开车从家到单位有两条 路线可选择，路线a为全程10千米的普通道 路，路线b包含快速通道，全程7千米，走路线 b比路线a平均速度提高40%，时间节省10 分钟，求走路线α和路线b的平均速度分别是 多少？设走路线a的平均速度为x千米/小 时，依题意，可列方程为 () A.10 7 10 x(1+40%)x60 B.10 7 =10 :(1+40%)x 7 1010 C.1+40%)xx60 7 10二10 D.(1+40%)xx 3.(株洲中考)《九章算术》之“粟米篇”中记载了 中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三 十…”（粟指带壳的谷子，粝米指糙米），其意 为：“50单位的粟，可换得30单位的粝米…” 问题：有3斗的粟(1斗=10升)，若按照此“粟 米之法”，则可以换得的粝米为 () A.1.8升B.16升C.18升D.50升 4.某生态示范园计划种植一批蜂糖李，原计划 总产量达36万千克，为了满足市场需求，现决 定改良蜂糖李品种，改良后平均每亩产量是 原计划的1.5倍，总产量比原计划增加了9万 千克，种植亩数减少了20亩，则原计划和改良 后平均每亩产量各多少万千克？设原计划平 均亩产量为x万千克，则改良后平均每亩产 量为1.5x万千克，根据题意列方程为 5.(衡阳中考)“绿水青山就是金山银山”.某地 为美化环境，计划种植树木6000棵.由于志愿 者的加入，实际每天植树的棵数比原计划增 加了25%，结果提前3天完成任务.则实际每 天植树 棵 6.(聊城中考)为了解决雨季时城市内涝的难 题，我市决定对部分老街道的地下管网进行 改造.在改造一段长3600米的街道地下管网 时，每天的施工效率比原计划提高了20%，按 这样的进度可以比原计划提前10天完成 任务 (1)求实际施工时，每天改造管网的长度； (2)施工进行20天后，为了减少对交通的影 响，施工单位决定再次加快施工进度，以确保 总工期不超过40天，那么以后每天改造管网 至少还要增加多少米？ 【能力提升】 7.某学校后勤人员到一家文具店给九年级的同 学购买考试用文具包，文具店规定一次购买 400个以上，可享受8折优惠.若给九年级学 生每人购买一个，不能享受8折优惠，需付款 1936元；若多买88个，就可享受8折优惠，同 样只需付款1936元.请问该学校九年级学生 有 人 23 第15章分式 核 心 养 8.某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着 汽车的普及，其价格也在不断下降.今年5月 份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万 元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售 额为100万元，今年销售额只有90万元. (1)今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？ (2)为了增加收入，汽车销售公司决定再经销 同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价 为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公 司预计用不多于105万元且不少于99万元的 资金购进这两款汽车共15辆，有几种进货 方案？ (3)按照(2)中两种汽车进价不变，如果B款 汽车每辆售价为8万元，为打开B款汽车的 销路，公司决定每售出一辆B款汽车，返还顾 客现金a万元，要使(2)中所有的方案获利相 同，a值应是多少？指南针·八年级下册 4.原式= 5原式=十 x x-1+名=a-1+ 类型2 6.略7.略8.略 由上述结论可得：a=a,=8十 a-l 15.3可化为一元一次方程的分式方程 第2课时分式方程的应用 知识梳理 第1课时分式方程 (⑤)是不是分式方程的解是否符合题意(6)单位 知识梳理 典例精析 1.未知数 【例1】自行车的速度是14km/h,汽车的速度是42km/h. 2.(1)分解因式(2)最简公分母整式方程(3)解 【变式训练1】D (4)0增根不为0原分式方程的根分母为0 【例2】乙单独整理100分钟完工.【变式训练2】100 典例精析 【例3】(1)甲、乙两种玩具的进价分别为15元/件、25元/件. 【例1】(1)原方程化为 (2)商场共有4种进货方案. 3 6 【变式训练3】(1)每台A型机器每天搬运货物90吨，每台B x(x+D+x(x-D-(x+D(x-D' 型机器每天搬运货物100吨(2)购买A型机器12台，B型机 方程两边同乘x(x+1)(x一1)得 器18台时，购买总金额最低是54万元 7(x-1)+3(x+1)=6.x. 课后演练 化简，得4x=4,解得x=1. 1.D2.A3.C4.36-36+9=205.500 1.5.x 经检验，当x=1时，x(x十1)(x一1)=0， 6.(1)实际施工时，每天改造管网的长度是72米 ∴x=1不是原方程的解，原分式方程无解。 (2)以后每天改造管网至少还要增加36米 (2)原方程化为=十2-D 7.352 核心素养 化简，得x十2=3， 8.(1)9万元(2)共有5种进货方案(3)a=0.5 解得x=1,经检验，x=1不是原方程的解，原方程无解. 【变式训练】（①x=号(2）x=号 15.4零指数幂与负整数指数幂 【例2】先去分母，化为整式方程，再令x2一1=0，求出x的 第1课时零指数幂与负整数指数幂 值，代入整式方程，可求出m. 知识梳理 2 5 1. 1.不等于零的数的1 x+1x-1=(x+10(x-D' 典例精析 2(x-1)-5(x+1)=m.① 【例】()原式=-1号 (2)原式=1990 令(x十1)(x-1)=0,得x=士1， 把x=1代入①，得m=一10. 【变式训练】(1)原式=2(2)原式=c 4 把x=一1代入①，得m=一4 【例2】a原式=(2)原式= (3)原式=648x5y8 .m=-10或一4. 【变式训练2】B 【例3】原方程化为整式方程， 【变式训练2】（①）-品（②）子c mn 得2-x一m=2(x一2)，解得x=2-号， 课后演练 1.A2.B3.D4.B5.x≠-4 因为关于x的方程2，十十m=2的解为正数， x-2十2-x 6.(1①)号(2)2 可得2-罗>0，解得m<6, 7.-1或28.a>b>c9.(1)6(2)W3+2 因为x=2时原方程无解， 10.C11.一y(x-y 12.-1或3或113.8 所以可得2-号≠2，解得m≠0， 核心素养 14.81 所以m<6且m≠0. 第2课时 科学记数法 【变式训练3】m≥一5且m≠一3 知识梳理 课后演练 a×10-" 1≤|a|<10 1.B2.D3.B 典例精析 4言576-17k<4且及≠0 【例1】(1)0.0000506=5.06×10-5. (2)-0.001=-1×10-3. 81Dz=4(2)x=4(③x=-号 (3)0.00031=3.1×10-4 9.(1)±1(2)x=110.4 (4)一0.000245=-2.45×10-4 11.m>1且m≠9 【变式训练1】(1)9.94×10-4(2)9.9×10-4 核心素养 (3)1×10-3 【例2】1平方厘米是这种光纤横截面积的8.0×10倍 13.1)=c,=,将石=c,=, 【变式训练2】(1)6.4×10-2m3(2)6.4×10(个) 分别代入原方程，均符合，因此猜想正确. 课后演练 (2)x+,2 =a+。可化为： 1.A2.B3.D4.3.14×1053.14×10-3 5.2.5×10-96.6×10-9 19 ·数学参考答案(HS) 7.(1)0.000042(2)0.00306 【例6】(1)A种家电每件的进价为500元，B种家电每件的进 8.(1)2.3×10-4(2)-7.89×10-6 价为600元； (3)3.2×103(4)2.0100076×10 (2)该商场共有3种购买方案， 9.C10.C 方案1：购进A种家电65件，B种家电35件； 核心素养 方案2：购进A种家电66件，B种家电34件； 11.(1)70(个)(2)1.6×10-3个(3)121（年） 方案3：购进A种家电67件，B种家电33件； (3)这10件家电中包含4件B种家电. 第15章专题复习 章未测试题 【例1】(1)原式=a-1. 由a2=4,得a=士2，依题意a≠-2， 一、选择题 所以把a=2,代人原式=1. 1.D2.B3.C4.D5.A6.B7.D8.D (2)原式=x 二、填空题 -1’ 9710.3L62m>0且m≠113.36.5 由题意x≠0,1，一1， 三、解答题 22 “当x=2时，原式=2二1=4. 14.(1)原式=一 m十3(2)原式=a 2 a-4 【例2】“x2-x+=7心x0, (3)原式=x一x2. +中-分即x+是=号 15.(1)x=2(2)原方程无解16.略 17.(1)A型充电桩的单价为0.9万元，B型充电桩的单价为1.2 :心+出=2+2+1 万元 x (2)方案三所需总费用最少，最少费用=16×0.9十1.2×9= =(x+2)》°-1 25.2(万元) 第16章 函数及其图象 49 小x++16 16.1 变量与函数 【例3】由x2-5x十1=0，知x≠0， 知识梳理 由此得x十1=5. 1.不同数值保持不变 2.两个唯一自变量因变量函数 “x+是=(+是)°-2 3.解析法列表法图象法 典例精析 -[(x+)-2]-2 【例1】D 【例2】(1)S与x之间的关系式为S=x(30一x),常量为30，变量 =(52-2)2-2 为S与x =527. (2)y与n之间的关系式为y=0.4,常量为0.4，变量为y与n 【例4)设十c=十e=a十b=kk≠0)， a b c 【变式训练1)V,R4 RRR V .b+c=ak,c十a=bk,a十b=ck. 【例3】(1)x为一切实数.(2)x≠一3. .b+c+caHa+b=ak+bk+ck, (3)-1≤x≤3. ∴.2(a+b+c)=k(a+b+c), 【变式训练2】(1)A(2)D (a十b+c)(2-k)=0, 课后演练 即k=2或a十b十c=0, 1.C2.C3.C4.(1)x≥-2且x≠1(2)x>1且x≠2 代人到的十c=c十0=a十也=k中， 5.S=8x(x>0)6.y=180-2x a b c 7.(1)y是x的函数(2)“加速期”结束时，小斌的速度为 ∴原式=abc 1 10.4m/s(3)答案不唯一.例如：根据图象信息，小斌在80 abck 米左右时速度下降明显，建议增加耐力训练，提高成绩. 即原式=名或原式一1 8.D9.D 核心素养 1 9’a 10.(1y=1.5x+1≥2)（②号≤<5 (日++2)×2=+号+品， 11 16.2函数的图象 +6+=瑞 c-180 第1课时平面直角坐标系 abc abc÷abc ab bc ac(ab -be ac)abe 知识梳理 3.(1)|y(2)|x|(3)√2+y 2+。+6 4.(x,y±b)(x±a,y) 典例精析 1180 31-31 【例1】(1)2，(2)号，(3)三.【变式训练1】D 180 【例2】P、P2关于x轴对称，