15.3 第1课时 分式方程-【指南针·课堂优化】2025-2026学年八年级下册数学（华东师大版·新教材）

15.3 可化为一元 第1课时 知 识 梳 理 1.分式方程的概念 方程中含有分式，并且分母中含有 的方程叫做分式方程， 2.解分式方程的步骤 (1)找最简公分母，如果分母是多项式，要 先 (2)去分母：方程两边都乘 约去分母，将分式方程化为 (3)解这个整式方程，得到整式方程的 (4)检验：代人最简公分母，如果最简公分母 的值为 ,则这个未知数的值是原分式方程 的 ;如果最简公分母的值 则这个未知数的值是 (也 可直接代入原分式方程中，看是否使原分式方 程中 ) 典例 精 析 考点①解分式方程 【例】w+22225与 17 第15章分式 次方程的分式方程 分式方程 (2)马11-+x2 3 规律与方法：解分式方程，关键是找到最简 公分母，化为整式方程.方程两边在乘最简公分 母时，不要漏乘了没有分母的项，也要注意前面 是负号的式子去分母后的符号. 【变式训练1】解分式方程： 1(山商中考)，+1=232： 3 (2(湖北中考)2 2=0. 措南针·八年纸下册·数学(HS) 考 点2增根的概念 【例2】当m取何值时，方程，名十5 m x2二1会产生增根 规律与方法：增根是去分母后的整式方程的 根且使最简公分母的值为0，这类题的解法是：先 去分母，可不化简，这样后面计算更简便，再令最 简公分母为0，求出未知数的值，然后代入去分母 后的方程，求出其中的待定系数， 【变式训练2】若方程(x+1(x-) 6 ”=1有增根，则它的增根是 A.x=0 B.1 C.x=-1 D.x=1或-1 考点③已知分式方程根的符号，求待定系 数取值范围 【例3】若关于x的方程”2+*”-2 的解为正数，则m的取值范围是多少？ 规律与方法：这类题是先去分母，化为整式方 程，求出未知数，此时方程的解含有待定系数，根据 已知，可求出待定系数的一个范围，然后令最简公 分母不为0，又可求出待定系数的一个范围，两者 结合即可求出待定系数的取值范围， 【变式训练3】（眉山中考）关于x的方程 x十m x-2 3=二号的解为非负数，则m的取值范 围是 课 练 【基础过关】 1.(调博中考)已知x=1是方程222-3 1 的解，那么实数m的值为 () A.-2 B.2 C.-4 D.4 2.（齐齐哈尔中考)如果关于x的分式方程 2x二m=1的解是负数，那么实数m的取值范 x+1 围是 () A.m<-1 B.m>-1且m≠0 C.m>-1 D.m<-1且m≠-2 3.对于实数a、b,定义一种新运算“☒”为：a⑧b a一仔，这里等式右边是实数运算.例如1② 1 313=8则方程x⑧(-2》=2 1 41 的解是 () A.x=4 B.x=5 C.x=6 D.x=7 4.已知x=1是分式方程-k的根，则实数 x+1x k= 5.(济南中考)代数式，3与代数式，23的值相 等，则x= 8 第15章分式 6(巴中中考)关于x的分式方程经受+2 【能力提升】 =3有增根，则m= 9.(1)(达州中考)若分式方程2x二-4= 7.(雅安中考)若关于x的分式方程2-1-® x-1 x-2 己的解是正数，则6的取值范围是 年的解为整数，则整数a (2)若分式方程马元=2有增根，则这 8.解方程： 个增根是 10.（重庆中考)若关于x的一元一次不等式组 (1)(青海中考)z二21=2-4x十 4 {x+3∠4 2 至少有2个整数解，且关于y的 2x-a≥2 分式方程2-1 4 y-22-y =2有非负整数解，则 所有满足条件的整数a的值之和是_· 1.已知方程：年千红+2貌-D的 解为负数，试求m的取值范围. (2)(眉山中考)1=。3 x-12x+1 (3)2x+2_x+2=x2-2 x x-2 x2-2x ·19。 撸南针·八年纸下册·数学(HS) 核 心 素 养 12.阅读下列材料：x+1=c十上的解是：x=c, 解是：0=c,m=-1； 2 c+2c+的解是x1=C,各 x x+3=c+3的解是x1=c,2=3 (1)请观察上述方程与解的特征，猜想方程x +”m=c+(m≠0)的解，并验证你的结论； (2)利用这个结论求解关于x的方程： a-1 ·2 第2课时分式方程的应用 知识梳理 列分式方程解应用题的一般步骤 (1)审：审题，分析题中的已知事项，求什 么，明确各数量之间的等量关系； (2)设：设未知数，一般情况是求什么就设 什么； (3)列：列方程，根据题中的等量关系列出 方程； (4)解：解方程； (5)检：一是检验求出的解 ;二是检验求出的解 (6)答：回答题中的问题，注意不要漏 典例精 析 考点1 分式方程的应用（行程问题） 【例1】甲、乙两地相距14千米，在一次郊 游中，一部分人骑自行车先走40分钟后其余的 人乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的 速度是自行车速度的3倍，求这两种车的速度. 规律与方法：行程问题要抓关系：路程=速 度×时间，要找准题目中的主要等量关系.行程 问题还要注意：①速度的单位，②单位的统一 0指南针·八年级下册 4.原式= 5原式=十 x x-1+名=a-1+ 类型2 6.略7.略8.略 由上述结论可得：a=a,=8十 a-l 15.3可化为一元一次方程的分式方程 第2课时分式方程的应用 知识梳理 第1课时分式方程 (⑤)是不是分式方程的解是否符合题意(6)单位 知识梳理 典例精析 1.未知数 【例1】自行车的速度是14km/h,汽车的速度是42km/h. 2.(1)分解因式(2)最简公分母整式方程(3)解 【变式训练1】D (4)0增根不为0原分式方程的根分母为0 【例2】乙单独整理100分钟完工.【变式训练2】100 典例精析 【例3】(1)甲、乙两种玩具的进价分别为15元/件、25元/件. 【例1】(1)原方程化为 (2)商场共有4种进货方案. 3 6 【变式训练3】(1)每台A型机器每天搬运货物90吨，每台B x(x+D+x(x-D-(x+D(x-D' 型机器每天搬运货物100吨(2)购买A型机器12台，B型机 方程两边同乘x(x+1)(x一1)得 器18台时，购买总金额最低是54万元 7(x-1)+3(x+1)=6.x. 课后演练 化简，得4x=4,解得x=1. 1.D2.A3.C4.36-36+9=205.500 1.5.x 经检验，当x=1时，x(x十1)(x一1)=0， 6.(1)实际施工时，每天改造管网的长度是72米 ∴x=1不是原方程的解，原分式方程无解。 (2)以后每天改造管网至少还要增加36米 (2)原方程化为=十2-D 7.352 核心素养 化简，得x十2=3， 8.(1)9万元(2)共有5种进货方案(3)a=0.5 解得x=1,经检验，x=1不是原方程的解，原方程无解. 【变式训练】（①x=号(2）x=号 15.4零指数幂与负整数指数幂 【例2】先去分母，化为整式方程，再令x2一1=0，求出x的 第1课时零指数幂与负整数指数幂 值，代入整式方程，可求出m. 知识梳理 2 5 1. 1.不等于零的数的1 x+1x-1=(x+10(x-D' 典例精析 2(x-1)-5(x+1)=m.① 【例】()原式=-1号 (2)原式=1990 令(x十1)(x-1)=0,得x=士1， 把x=1代入①，得m=一10. 【变式训练】(1)原式=2(2)原式=c 4 把x=一1代入①，得m=一4 【例2】a原式=(2)原式= (3)原式=648x5y8 .m=-10或一4. 【变式训练2】B 【例3】原方程化为整式方程， 【变式训练2】（①）-品（②）子c mn 得2-x一m=2(x一2)，解得x=2-号， 课后演练 1.A2.B3.D4.B5.x≠-4 因为关于x的方程2，十十m=2的解为正数， x-2十2-x 6.(1①)号(2)2 可得2-罗>0，解得m<6, 7.-1或28.a>b>c9.(1)6(2)W3+2 因为x=2时原方程无解， 10.C11.一y(x-y 12.-1或3或113.8 所以可得2-号≠2，解得m≠0， 核心素养 14.81 所以m<6且m≠0. 第2课时 科学记数法 【变式训练3】m≥一5且m≠一3 知识梳理 课后演练 a×10-" 1≤|a|<10 1.B2.D3.B 典例精析 4言576-17k<4且及≠0 【例1】(1)0.0000506=5.06×10-5. (2)-0.001=-1×10-3. 81Dz=4(2)x=4(③x=-号 (3)0.00031=3.1×10-4 9.(1)±1(2)x=110.4 (4)一0.000245=-2.45×10-4 11.m>1且m≠9 【变式训练1】(1)9.94×10-4(2)9.9×10-4 核心素养 (3)1×10-3 【例2】1平方厘米是这种光纤横截面积的8.0×10倍 13.1)=c,=,将石=c,=, 【变式训练2】(1)6.4×10-2m3(2)6.4×10(个) 分别代入原方程，均符合，因此猜想正确. 课后演练 (2)x+,2 =a+。可化为： 1.A2.B3.D4.3.14×1053.14×10-3 5.2.5×10-96.6×10-9 19 ·数学参考答案(HS) 7.(1)0.000042(2)0.00306 【例6】(1)A种家电每件的进价为500元，B种家电每件的进 8.(1)2.3×10-4(2)-7.89×10-6 价为600元； (3)3.2×103(4)2.0100076×10 (2)该商场共有3种购买方案， 9.C10.C 方案1：购进A种家电65件，B种家电35件； 核心素养 方案2：购进A种家电66件，B种家电34件； 11.(1)70(个)(2)1.6×10-3个(3)121（年） 方案3：购进A种家电67件，B种家电33件； (3)这10件家电中包含4件B种家电. 第15章专题复习 章未测试题 【例1】(1)原式=a-1. 由a2=4,得a=士2，依题意a≠-2， 一、选择题 所以把a=2,代人原式=1. 1.D2.B3.C4.D5.A6.B7.D8.D (2)原式=x 二、填空题 -1’ 9710.3L62m>0且m≠113.36.5 由题意x≠0,1，一1， 三、解答题 22 “当x=2时，原式=2二1=4. 14.(1)原式=一 m十3(2)原式=a 2 a-4 【例2】“x2-x+=7心x0, (3)原式=x一x2. +中-分即x+是=号 15.(1)x=2(2)原方程无解16.略 17.(1)A型充电桩的单价为0.9万元，B型充电桩的单价为1.2 :心+出=2+2+1 万元 x (2)方案三所需总费用最少，最少费用=16×0.9十1.2×9= =(x+2)》°-1 25.2(万元) 第16章 函数及其图象 49 小x++16 16.1 变量与函数 【例3】由x2-5x十1=0，知x≠0， 知识梳理 由此得x十1=5. 1.不同数值保持不变 2.两个唯一自变量因变量函数 “x+是=(+是)°-2 3.解析法列表法图象法 典例精析 -[(x+)-2]-2 【例1】D 【例2】(1)S与x之间的关系式为S=x(30一x),常量为30，变量 =(52-2)2-2 为S与x =527. (2)y与n之间的关系式为y=0.4,常量为0.4，变量为y与n 【例4)设十c=十e=a十b=kk≠0)， a b c 【变式训练1)V,R4 RRR V .b+c=ak,c十a=bk,a十b=ck. 【例3】(1)x为一切实数.(2)x≠一3. .b+c+caHa+b=ak+bk+ck, (3)-1≤x≤3. ∴.2(a+b+c)=k(a+b+c), 【变式训练2】(1)A(2)D (a十b+c)(2-k)=0, 课后演练 即k=2或a十b十c=0, 1.C2.C3.C4.(1)x≥-2且x≠1(2)x>1且x≠2 代人到的十c=c十0=a十也=k中， 5.S=8x(x>0)6.y=180-2x a b c 7.(1)y是x的函数(2)“加速期”结束时，小斌的速度为 ∴原式=abc 1 10.4m/s(3)答案不唯一.例如：根据图象信息，小斌在80 abck 米左右时速度下降明显，建议增加耐力训练，提高成绩. 即原式=名或原式一1 8.D9.D 核心素养 1 9’a 10.(1y=1.5x+1≥2)（②号≤<5 (日++2)×2=+号+品， 11 16.2函数的图象 +6+=瑞 c-180 第1课时平面直角坐标系 abc abc÷abc ab bc ac(ab -be ac)abe 知识梳理 3.(1)|y(2)|x|(3)√2+y 2+。+6 4.(x,y±b)(x±a,y) 典例精析 1180 31-31 【例1】(1)2，(2)号，(3)三.【变式训练1】D 180 【例2】P、P2关于x轴对称，