精品解析：山东省淄博市淄博实验中学、淄博齐盛高级中学2025-2026学年高二上学期1月月考数学试题

淄博实验中学、淄博齐盛高中2024级（高二）教学诊断训练 数学 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.） 1. 已知是两两不等的实数，点，点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 设x，，向量，向量，，且，，则（ ） A. B. 3 C. 4 D. 3. 双曲线离心率为2,有一个焦点与抛物线的焦点重合,则mn的值为（ ） A. B. C. D. 4. 在正项等比数列中，，且，，10成等差数列，则的值为（ ） A. B. C. 18 D. 24 5. 已知椭圆，为坐标原点，直线与椭圆交于、两点，若为直角三角形，则椭圆的离心率为（） A. B. C. D. 6. 已知数列满足，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知点，，若直线上存在点C，使得，则实数k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为．过向一条渐近线作垂线，垂足为．若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知，圆，直线，，且与相交于点，则（ ） A. B. 直线与圆相切 C. 被圆截得的弦长为 D. 若，则 10. 已知数列，均为等差数列，记数列，的前n项和分别为，，下列说法中正确的有（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则的值为0 D. 已知，公差，则的最大值为32 11. 平面内到两定点的距离之积为定值的点的轨迹叫做卡西尼卵形线，卡西尼卵形线是天文学家卡西尼在研究卫星运行规律时发现的.已知曲线上的点到与的距离之积为2，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线的方程为 B. 曲线关于轴对称 C. 曲线围成的图形面积不超过 D. 面积的最大值为1 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知，，，若、、共面，则_____. 13. 已知抛物线的焦点为，，是上两点，若，则_____. 14. 已知数列的第一项为1，第二项为，第三项为，，依此类推.记数列的前项和为，，若数列单调递减，则实数的取值范围是_____. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）已知数列满足，求数列的前项和. 16. 已知抛物线C：的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P． （1）若，求l的方程； （2）若，求． 17. 已知数列中，，. （1）证明数列为等差数列，并求； （2）求的前项和. 18. 如图，在三棱柱中，为的中点，，且平面. （1）求证：平面； （2）若点在线段上运动（包括端点）， （i）当时，求直线与平面所成角的正弦值； （ii）求平面与平面的夹角的余弦值的取值范围. 19. 已知点A(−2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为−.记M的轨迹为曲线C. （1）求C的方程，并说明C是什么曲线； （2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G. （i）证明：是直角三角形； （ii）求面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 淄博实验中学、淄博齐盛高中2024级（高二）教学诊断训练 数学 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.） 1. 已知是两两不等的实数，点，点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据直线经过求直线斜率，再根据斜率与倾斜角的关系求直线的倾斜角. 【详解】直线PQ的斜率， 设直线的倾斜角为，则，且， 所以. 故选：B 2. 设x，，向量，向量，，且，，则（ ） A. B. 3 C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量垂直和共线的坐标表示即可得到方程，解出即可. 【详解】由题意得，解得， ，解得，则，， ， 则. 故选：D. 3. 双曲线离心率为2,有一个焦点与抛物线的焦点重合,则mn的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得出关于的方程化简求值即可得出结果. 【详解】解:由题知,双曲线离心率为2,即 , 抛物线的焦点为, , . 故选:A 4. 在正项等比数列中，，且，，10成等差数列，则的值为（ ） A. B. C. 18 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】由等比数列下标和性质，结合等差中项列出等式求解即可. 【详解】在正项等比数列中，设公比为， 则，又，，10成等差数列， 则，则， 故， 故选：C 5. 已知椭圆，为坐标原点，直线与椭圆交于、两点，若为直角三角形，则椭圆的离心率为（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出两点的坐标，再代入椭圆方程，再结合椭圆的离心率公式即可得解． 【详解】由椭圆的对称性可得， 因为为直角三角形 则， 则不妨设， 将点的坐标代入得：， 所以， 所以的离心率． 故选：B. 6. 已知数列满足，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据递推式，利用累加法表示出，结合等比数列前项和公式求得结果，进而求出，即可得到答案. 【详解】由题知，，且，， 所以， 累加可得， 所以， 所以，当时同样满足， 所以. 故选：C 7. 已知点，，若直线上存在点C，使得，则实数k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得点C在以为直径的圆上，记为圆D，求出圆D的圆心和半径，分析可得直线l与圆D有公共点，根据直线与圆的位置关系，分析计算，即可得答案. 【详解】因为，所以点C在以为直径的圆上，记为圆D． 因为，，所以圆心，圆D的半径， 因为点C在直线l上，所以直线l与圆D有公共点， 所以圆心D到直线l的距离，即， 化简得，解得，即实数k的取值范围是． 故选：B 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为．过向一条渐近线作垂线，垂足为．若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由点到直线的距离公式求出，设，由得到，.再由三角形的面积公式得到，从而得到，则可得到，解出，代入双曲线的方程即可得到答案. 【详解】如图， 因为，不妨设渐近线方程为，即， 所以， 所以. 设,则，所以，所以. 因为,所以，所以，所以， 所以， 因为， 所以， 所以，解得， 所以双曲线的方程为 故选：D 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知，圆，直线，，且与相交于点，则（ ） A. B. 直线与圆相切 C. 被圆截得的弦长为 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用斜率之积即可判断选项A，根据圆心到直线的距离和半径的大小关系即可判断选项B，利用几何法直接求出弦长，即可判断选项C，联立两直线方程，求出点坐标，根据两点之间距离公式，即可求出的值. 【详解】由题知，令直线的斜率为， 则，，，A正确； 圆圆心为，半径， 则到直线的距离， 所以直线与圆相切，B正确； 又到直线的距离， 所以被圆截得的弦长为，C错； 联立方程，解得， 即， 则，解得，D正确. 故选：ABD 10. 已知数列，均为等差数列，记数列，的前n项和分别为，，下列说法中正确的有（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则的值为0 D. 已知，公差，则的最大值为32 【答案】BC 【解析】 【分析】通过等差数列的等差中项性质分析的项；利用前项和与中间项的关系求；借助前项和的二次函数对称性求；通过通项公式确定前项和的最大值，逐一验证选项. 【详解】数列、为等差数列，则是等差数列. 选项A： ，，因2、5、8成等差数列， 故是与的等差中项，得，A错误. 选项B： 等差数列前项和满足， 故，，则. 代入，得，B正确. 选项C： 设数列的公差为，由， 得，解得， 所以，C正确. 选项D： 由，，得. 令，解得，故的最大值为，D错误. 故选：BC 11. 平面内到两定点的距离之积为定值的点的轨迹叫做卡西尼卵形线，卡西尼卵形线是天文学家卡西尼在研究卫星运行规律时发现的.已知曲线上的点到与的距离之积为2，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线的方程为 B. 曲线关于轴对称 C. 曲线围成的图形面积不超过 D. 面积的最大值为1 【答案】BCD 【解析】 【分析】设，根据，即可求出曲线方程，即可判断A；将点代入曲线的方程即可判断B；求出的范围即可判断CD. 【详解】设，由题意，， 即，化简得， 即曲线的方程为，故A错误； 对于B，将点代入曲线的方程得： ，即， 所以曲线关于轴对称，故B正确； 对于C，由， 得，解得， 又因为，所以， 所以， 又因为，所以， 所以曲线围成的图形面积不超过，故C正确； 对于D，由C选项知，面积的最大值为，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法： （1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程； （2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程； （3）相关点法：用动点的坐标、表示相关点的坐标、，然后代入点的坐标所满足的曲线方程，整理化简可得出动点的轨迹方程； （4）参数法：当动点坐标、之间的直接关系难以找到时，往往先寻找、与某一参数得到方程，即为动点的轨迹方程； （5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知，，，若、、共面，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据空间向量共面的充要条件以及坐标运算即可求解. 【详解】若、、共面，则， 即， 则，解得. 故答案为： 13. 已知抛物线的焦点为，，是上两点，若，则_____. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】由抛物线方程和其上两点坐标，可推出，利用焦半径公式即可求得答案. 【详解】由抛物线，，是上两点， 得，结合，得， 又，则， 故， 故答案为： 14. 已知数列的第一项为1，第二项为，第三项为，，依此类推.记数列的前项和为，，若数列单调递减，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用题意求出，然后再求出，再利用递推关系结合单调性可得到不等式恒成立，最后可求出参数的范围. 【详解】由题意得： ， 又因为， 所以有， 因为数列单调递减，所以有对于恒成立， 即对于恒成立， 再取，则由， 可知数列单调递减，则， 所以要使得不等式对于恒成立， 则满足，即实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）已知数列满足，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据与的关系可得；（2）根据分组法求前项和. 【小问1详解】 当时，得， 当时，，得， 故数列是以为首项，以2为公比的等比数列， 故. 【小问2详解】 由（1）可知 当为奇数时，， 故 ， 故. 16. 已知抛物线C：的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P． （1）若，求l的方程； （2）若，求． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）设直线：，，；根据抛物线焦半径公式可得；联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理可构造关于的方程，解方程求得结果；（2）设直线：；联立直线方程与抛物线方程，得到韦达定理的形式；利用可得，结合韦达定理可求得；根据弦长公式可求得结果. 【详解】（1）设直线方程为：，， 由抛物线焦半径公式可知： 联立得： 则 ，解得： 直线的方程为：，即： （2）设，则可设直线方程为： 联立得： 则 ， ， 则 【点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及到平面向量、弦长公式的应用.关键是能够通过直线与抛物线方程的联立，通过韦达定理构造等量关系. 17. 已知数列中，，. （1）证明数列为等差数列，并求； （2）求的前项和. 【答案】（1） 因为， 所以，故， 即数列是以为公差的等差数列， 又，所以， 故， 所以. （2）. 【解析】 【分析】（1）依题意可得，结合等差数列的定义证明即可，再由等差数列的通项公式计算可得； （2）利用错位相减法计算可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 依题意可得， ， 两式相减可得， 所以. 18. 如图，在三棱柱中，为的中点，，且平面. （1）求证：平面； （2）若点在线段上运动（包括端点）， （i）当时，求直线与平面所成角的正弦值； （ii）求平面与平面的夹角的余弦值的取值范围. 【答案】（1） 因为是的中点，，所以. 在中，因为， 所以，所以. 因为平面，平面，所以， 又，平面，所以平面； （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质定理得出，再结合线面垂直的判定定理即可； （2）（i）以为原点建系，计算和平面的法向量，最后利用线面角和向量夹角之间的关系求得； （ii）求两个平面的法向量，进而求出两个平面夹角余弦值，再结合求出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点，为轴，过作平行于的直线为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则，则， 又，则， 设，所以， （i）当即时，，所以， 因为平面的法向量为， 所以直线与平面所成角的正弦值为 ； （ii）设平面的一个法向量为， 因为， 所以， 令，则，得， 又平面的法向量为， 所以平面与平面的夹角的余弦值为， 因为，所以，则， 故平面与平面的夹角的余弦值取值范围为. 19. 已知点A(−2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为−.记M的轨迹为曲线C. （1）求C的方程，并说明C是什么曲线； （2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G. （i）证明：是直角三角形； （ii）求面积的最大值. 【答案】（1）曲线C是以坐标原点为中心，焦点在轴上，不包括左右两顶点的椭圆，其方程为； （2）（i）[方法一]【分别求得斜率的表达式利用斜率之积为即可证得题中的结论】 依题意设， 直线的斜率为，则， 所以． 又，所以， 进而有，即是直角三角形． [方法二]【利用三点共线和点差法真的斜率之积为即可证得题中的结论】 由题意设，则． 因为Q，E，G三点共线，所以， 又因为点P，G在椭圆上，所以， 两式相减得， 所以，所以． （ii） 【解析】 【分析】（1）分别求出直线AM与BM的斜率，由已知直线AM与BM的斜率之积为−，可以得到等式，化简可以求出曲线C的方程，注意直线AM与BM有斜率的条件； （2）（i）设出直线的方程，与椭圆方程联立，求出P，Q两点的坐标，进而求出点的坐标，求出直线的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数关系求出的坐标，再求出直线的斜率，计算的值，就可以证明出是直角三角形； （ii）由（i）可知三点坐标，是直角三角形，求出的长，利用面积公式求出的面积，利用导数求出面积的最大值. 【详解】（1）直线的斜率为，直线的斜率为， 由题意可知：， 所以曲线C是以坐标原点为中心，焦点在轴上，不包括左右两顶点的椭圆，其方程为； （2）（i）略 （ii）[方法一]【求得面积函数，然后求导确定最值】 设，则直线的方程为，联立解得 所以直线的方程为． 联立直线的方程和椭圆C的方程，可得， 则， 所以． 令，即 ． 注意到，得，所以在区间内单调递增，在区间内单调递减，所以当时，． [方法二]【利用弦长公式结合韦达定理求得面积表达式，然后求导确定最值】 设的中点为N，直线的斜率为k，则其方程为． 由解得．由（Ⅰ）得．直线的方程为，直线的方程为，联立得，． 又，从而，进而．以下同解法一． 【整体点评】(2)(i)方法一：斜率之积为是证明垂直的核心和关键； 方法二：利用三点共线和点差法使得问题的处理更加简单. (ii)导数是求最值的一种重要方法，在求最值的时候几乎所有问题都可以考虑用导数求解； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $