精品解析：辽宁省大连市甘井子区大连佰圣高级中学2025-2026学年高一上学期1月期末考试数学试题

2025～2026学年度第一学期期末考试 高一数学 注意事项：1.请在答题纸上作答，在试卷上作答无效； 2.本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，共150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第7个数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选取的第6个个体的编号为（ ） 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 A. 01 B. 02 C. 04 D. 14 4. 已知，，c=40.1，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知平面向量，，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 6. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，当时，取得最小值，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.） 9. 某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生．随机询问了该班5名男生和5名女生在某次数学测验中的成绩，5名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，5名女生的成绩分别为88，93，93，88，93．下列说法一定正确的是（ ） A. 这种抽样方法是分层抽样 B. 这5名男生成绩20%分位数是87 C. 这5名男生成绩方差大于这5名女生成绩的方差 D. 该班男生成绩的平均数一定小于该班女生成绩的平均数 10. 已知函数的定义域为，且，若，则下列结论中错误的有（ ） A. B. 为偶函数 C. D. 为增函数 11. 若方程与的解分别为，，则（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 与向量方向相同的单位向量为__________. 13. 已知幂函数过点，则函数的定义域为_____________ 14. 已知，若，则的最小值为___________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 为普及消防安全知识，某学校组织相关知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，，甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响. （1）甲在比赛中恰好赢一轮的概率； （2）从甲、乙两人中选1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？ （3）若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率. 16. 已知集合，，. （1）若，求实数a取值范围； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 17. 文明城市是反映城市整体文明水平综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大得利者，更是文明城市的主要创造者，鹤山市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：得到如图所示的频率分布直方图． （1）求样本成绩平均数和第62百分位数； （2）用分层抽样的方法在分数落在内的答卷中随机抽取一个容量为5的样本，现将该样本看成一个总体，再从中任取2份，求至多有1份答卷的分数在内的概率． 18. 如图，在中，是上一点，是上一点，且，过点作直线分别交于点. （1）用向量与表示； （2）若，求和值. 19. 已知为上的奇函数，为上的偶函数，且. （1）分别求函数，的解析式； （2）判断函数的单调性，并用定义证明； （3）设，，对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度第一学期期末考试 高一数学 注意事项：1.请在答题纸上作答，在试卷上作答无效； 2.本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，共150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，，则（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解二次不等式得到集合，然后得到 【详解】，∴， ∴， ∴， 故选：D 2. 命题的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据含有一个量词的命题的否定即可得答案. 【详解】因为命题的否定为：. 故选：B. 3. 总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第7个数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选取的第6个个体的编号为（ ） 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 A. 01 B. 02 C. 04 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】根据随机数表选数的规则即可得到答案. 【详解】根据随机数表选数的规则，这6个数分别是08，02，14，07，01，04， 注意02出现2次，需剔除1个， 故选：C. 4. 已知，，c=40.1，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用指对数函数的性质判断指对数式的大小. 【详解】由， ∴. 故选：A. 5. 已知平面向量，，若，则实数的值为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量共线的条件建立关系式，求的值. 【详解】因为，所以， 解得. 故选：A 6. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的解析式并结合函数的奇偶性及单调性即可求解. 【详解】对A、D：的定义域为，关于原点对称，因为，所以为偶函数，故A、D错误； 对B、C：当时，因为，，所以，故B错误，故C正确. 故选：C. 7. 已知函数，当时，取得最小值，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数和指数函数的性质，及分段函数的最值即可得求解． 【详解】当时，单调递增，则； 当时，开口向上，且对称轴为， 又当时，取得最小值， 所以，解得， 所以m的取值范围为． 故选：B． 8. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先研究函数的奇偶性与单调性，再将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，解不等式即可. 【详解】易知的定义域为，定义域关于原点对称， 且满足，故是偶函数. 当时，，易知在上单调递增， 且在上单调递减，则在上单调递增， 因此当时，在上单调递增， 又因为是偶函数，故在上单调递减，在上单调递增. 因此，由，可得， 两边平方后，整理得， 解得或，即不等式的解集为， 故选：B. 二、多项选择题（本大题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.） 9. 某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生．随机询问了该班5名男生和5名女生在某次数学测验中的成绩，5名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，5名女生的成绩分别为88，93，93，88，93．下列说法一定正确的是（ ） A. 这种抽样方法是分层抽样 B. 这5名男生成绩的20%分位数是87 C. 这5名男生成绩的方差大于这5名女生成绩的方差 D. 该班男生成绩的平均数一定小于该班女生成绩的平均数 【答案】BC 【解析】 【分析】根据已知条件，结合分层抽样的定义，以及平均数、百分位数和方差的公式及样本与总体的关系逐项判断即可． 【详解】解：由于抽样比不同，故不是分层抽样，故A错误， 5名男生成绩的20%分位数是87，故B正确， 5名男生成绩的平均数为， 5名女生成绩的平均数为， 5名男生成绩的方差为， 5名女生成绩的方差为， 由于从这五名学生的成绩得不出该班的男生成绩和女生成绩的平均分，故C正确，D错误. 故选：BC． 10. 已知函数的定义域为，且，若，则下列结论中错误的有（ ） A. B. 为偶函数 C. D. 为增函数 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，令可解得，即可判断；对于B，令，结合，即可判断；对于C，令，结合，即可判断；对于D，注意到，即可判断. 【详解】对于A：令，得， 即，得，故A错误； 对于B：令，得，又由前分析可知，， 故有，得， 又因为函数的定义域为，因此为偶函数，故B正确； 对于C：令，得，又由前分析可知，， 故有，得，故C错误； 对于D：由题可知，由前分析可知， 因为，而，故不可能为增函数，故D错误. 故选：ACD. 11. 若方程与的解分别为，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题得出直线与函数，的交点横坐标分别为、，根据反函数的性质即可判断各选项． 【详解】由方程和可化为和， 即直线与两函数和的交点横坐标分别为、， 由于和互为反函数，则它们的图像关于直线对称， 如图所示，点、关于点对称，，且， 所以，故A正确； 因为，所以，又， 所以，故B正确； 对于C，由，则，即，与矛盾，故C错误； 由和它们的图像关于直线对称，所以，， 所以，故D正确； 故选：ABD． 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 与向量方向相同的单位向量为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由单位向量的定义有求解即可. 【详解】由题意可得与向量方向相同的单位向量为：. 故答案为： 13. 已知幂函数过点，则函数的定义域为_____________ 【答案】 【解析】 【分析】根据条件得到，利用幂函数的性质，再由函数即可求解. 【详解】因为函数为幂函数，故可设， 因为的图象过点，所以，所以， 所以， 要使有意义，可得， 所以，所以函数的定义域为. 故答案为： 14. 已知，若，则的最小值为___________． 【答案】3 【解析】 【分析】对进行换元，得，再根据基本不等式求解的取值. 【详解】∵已知，， ∴，即 ∴，当且仅当，时等号成立，最小值为3， 故答案为：3. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 为普及消防安全知识，某学校组织相关知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，，甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响. （1）甲在比赛中恰好赢一轮的概率； （2）从甲、乙两人中选1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？ （3）若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率. 【答案】（1） （2）派甲参赛获胜的概率更大 （3） 【解析】 【分析】（1）根据独立事件的乘法公式计算即可； （2）利用独立事件的乘法公式分别求出甲乙赢的概率，据此即可得出结论； （3）先求出两人都没有赢得比赛，再根据对立事件的概率公式即可得解. 【小问1详解】 设“甲在第一轮比赛中胜出”，“甲在第二轮比赛中胜出”， “乙在第一轮比赛中胜出”，“乙在第二轮比赛中胜出”， 则，，，相互独立，且，，，， 设“甲在比赛中恰好赢一轮” 则； 【小问2详解】 因为在两轮比赛中均胜出赢得比赛，则“甲赢得比赛”，“乙赢得比赛”， 所以， ， 因为，所以派甲参赛获胜的概率更大； 【小问3详解】 设“甲赢得比赛”，“乙赢得比赛”， 于是“两人中至少有一人赢得比赛”， 由（2）知，， 所以， ， 所以. 16. 已知集合，，. （1）若，求实数a取值范围； （2）若“”是“”充分不必要条件，求实数a的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）将元素1代入集合B中的不等式中，解不等式求解即可． （2）根据充分条件和必要条件的定义转化为集合关系进行求解即可. 【详解】（1）若，则，得； （2）由，得，即， 所以，， 因为“”是“”的充分不必要条件，所以B是A的真子集， 即，解得. 即实数a的取值范围是. 【点睛】关键点睛：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，以及不等式的求解，根据定义将充分不必要条件转化为集合关系是解决本题的关键． 17. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大得利者，更是文明城市的主要创造者，鹤山市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：得到如图所示的频率分布直方图． （1）求样本成绩的平均数和第62百分位数； （2）用分层抽样方法在分数落在内的答卷中随机抽取一个容量为5的样本，现将该样本看成一个总体，再从中任取2份，求至多有1份答卷的分数在内的概率． 【答案】（1）平均数为74，第62百分位数79 （2）. 【解析】 【分析】（1）利用中点值来计算样本平均数，利用百分位数的定义来求第62百分位数； （2）利用分层抽样，再用列举法来求古典概型概率即可. 【小问1详解】 由频率和为1可得：，则； 利用中点值来计算样本成绩的平均数为：； 前三组的频率之和为； 前四组的频率之和为； 所以第62百分位数在第四组，即第62百分位数为； 【小问2详解】 落在内的样本容量为：， 落在内的样本容量为：. 则应从中抽2个，从中抽3个. 设中的样本为：，中的样本为：. 则从中任取2份的情况有： ，，共10种. 分数最多一个在内有：共7种， 则至多有1份答卷的分数在内的概率为：. 18. 如图，在中，是上一点，是上一点，且，过点作直线分别交于点. （1）用向量与表示； （2）若，求和的值. 【答案】（1） （2），. 【解析】 【分析】（1）利用向量的线性运算求解； （2）设，利用向量的线性运算和平面向量基本定理求解. 【小问1详解】 【小问2详解】 因为，所以．设， ， 因为三点共线， 所以，解得，所以. 因为， ， 所以，即. 19. 已知为上的奇函数，为上的偶函数，且. （1）分别求函数，的解析式； （2）判断函数的单调性，并用定义证明； （3）设，，对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2）单调递增，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由奇偶函数的定义化简得，结合已知条件解方程得到结果； （2）通过定义法的步骤证明函数的单调性即可； （3）由单调性求出在上值域，通过与的关系，设后整理得解析式并求出其值域.通过讨论参数的范围分别写出函数在的值域，由题意可知值域之间的关系，建立不等式组后解得实数的取值范围. 【小问1详解】 因为①，则， 又为上的奇函数，为上的偶函数，则有②， 由①-②得到，所以 由①+②得到，所以. 【小问2详解】 取任意，且， 则 ； 易知当时，，，所以，即； 因此在上单调递增. 【小问3详解】 因为对任意的，总存在，使得， 所以在上的值域是在上值域的子集. 设在上的值域为集合A， ∵是增函数，故时，， 令，则，所以， 所以.函数的对称轴为， ①当时，，， 即. 所以，解得. 当时，，，， 因为，所以， 解得. 当时，，， ， 所以，解得. 综上所述：. 【点睛】方法点睛：对任意的，总存在，使得，即是在上的值域是在上值域的子集.在求一个复杂函数的值域是可以将函数进行整理化简，由复合函数的思想，对函数组层求值域，然后得到最后结论.含参的二次不等式值域需要通过对参数进行讨论，然后得出值域. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $