精品解析：河南省郑州市三校2025-2026学年九年级上学期期末模拟数学试卷

九年级上学期期末模拟 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图为（ ） A. B. C. D. 3. 在正方形中，与交于点G，若平分，连接并取中点F，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 某生物实验室需培育一群有益菌．现有60个活体样本，经过两轮培植后，总和达24000个，其中每个有益菌每一次分裂成若干个相同数目的有益菌后母体就不复存在，设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂成x个相同数目的有益菌．根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，则为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 6. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 7. 如图，在周长为20的菱形中，对角线与相交于点O．已知，则的长为（       ）　 A. 4 B. 3 C. 8 D. 14 8. 据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理，小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体在幕布上形成倒立的实像（点A、B的对应点分别是C、D）．若物体的高为，小孔O到地面距离为，则实像的高度（ ） A. B. C. D. 9. 如图1，△ABC是直角三角形，∠A=90°，AB=8cm，AC=6cm点P从点A出发，沿AB方向以2cm/s的速度向点B运动；同时点Q从点A出发，沿AC方向以1cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达终点，则另一个动点也停止运动，则三角形APQ的最大面积是（ ） A. 8cm2 B. 16cm2 C. 24cm2 D. 32cm2 10. 为了模拟高速公路入口“超限超载”检测站升降检测设备的工作原理，某数学兴趣小组自制了一个超限站工作模型：如图1，是定值电阻，质量不计的托盘和压敏电阻绝缘并紧密接触，已知电源电压恒定且压力表量程为，压力表示数与的函数图象如图2所示，（单位：）与检测物的质量m（单位：kg）的函数关系式为，则下列说法不正确的是（ ） A. 当时，的阻值为 B. 当托盘上货物的质量为时， C. 在一定范围内，随的增大而减小 D. 因为压力表量程为，所以该模型可测量检测物的最大质量是 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写出一个y关于x的二次函数的解析式，且它的图象的顶点在y轴上：_____． 12. 小兰身高，她站立在阳光下的影子长为；她把手臂竖直举起，此时影子长为，那么小兰的手臂超出头顶___cm． 13. 一个不透明的口袋里装有若干除颜色外其他完全相同的小球,其中有6个黄球,将口袋中的球摇匀,从中任意摸出一个球记下颜色后再放回,通过大量重复上述试验后发现,摸到黄球的频率稳定在30%,由此估计口袋中共有小球____________个. 14. 三棱柱的三视图如图所示，在俯视图△EFG中，FG=18cm，EG=14cm，∠EGF=30°，则左视图中AB的长为_______． 15. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，延长BA至E，使AE＝AB，以AE为边向右侧作正方形AEFG，O为正方形AEFG的中心，若过点O的一条直线平分该组合图形的面积，并分别交EF、BC于点M、N，则线段MN的长为_____． 三、解答题（75分） 16. 计算：． 17. 小亮和小丽进行摸球试验．他们在一个不透明的空布袋内，放入两个红球，一个白球和一个黄球，共四个小球．这些小球除颜色外其它都相同．试验规则：先将布袋内的小球摇匀，再从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，称为摸球一次． （1）小亮随机摸球10次，其中6次摸出的是红球，求这10次中摸出红球的频率； （2）若小丽随机摸球两次，请利用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的概率． 18. 如图，在正方形中，G是上一点，对角线交的外接圆于点F，连接，并延长交于点E； （1）请用尺规作图作出的外接圆的圆心O的位置；（不要求写作法，但保留作图痕迹）； （2）若，求证：直线是的切线． 19. 阅读理解题： 阅读材料： 如图1，四边形是矩形，是等腰直角三角形，记为、为，若，则． 证明：设，∵，∴， 易证 ∴， ∴ ∴， 若时，当，则． 同理：若时，当，则． 根据上述材料，完成下列问题： 如图2，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．将直线绕点顺时针旋转后的直线与轴交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，已知． （1）求反比例函数的解析式； （2）直接写出的值； （3）求直线的解析式． 20. 如图，在四边形中，，，连接交于点，，且． （1）求的长； （2）若，求的长． 21. 某商场销售两种商品，每件进价均为20元．调查发现，如果售出种20件，种10件，销售总额为840元；如果售出种10件，种15件，销售总额为660元． （1）求两种商品的销售单价． （2）经市场调研，种商品按原售价销售，可售出40件，原售价每降价1元，销售量可增加10件；种商品的售价不变，种商品售价不低于种商品售价．设种商品降价元，如果两种商品销售量相同，求取何值时，商场销售两种商品可获得总利润最大？最大利润是多少？ 22. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的交点为，B，与y轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）横、纵坐标都是整数的点为整点． ①直接写出线段上整点的个数及坐标； ②将抛物线沿x轴翻折，得到新抛物线，直接写出新抛物线在x轴上方的部分与线段所围成的区域内（包含边界）整点的个数． 23. 在一节数学课上，张老师提出了这样一个问题：“如图1，在等腰直角三角形中，，D是边上一动点（不与B重合），，交于点F．猜想线段，之间的数量关系并说明理由．”小聪和同桌小明讨论后，仍不得其解．张老师给出提示：数学中常通过把一个问题特殊化来找到解题思路．两个人茅塞顿开，于是进行了如下讨论，请仔细阅读，并完成相应的任务． 图1 小聪：已知点D是动点，因此可以将点D移动到一个特殊的位置．当点D与点C重合时，如图2所示．此时可以分别延长，交于点H，如图3所示，可证明，进而得出线段，之间的数量关系． 图2 图3 图4 小明：对于图2，过点F分别作，的平行线，交边于点M，N，如图4所示，可证明，进而得出线段，之间的数量关系． （1）任务一： 如图2，判断线段，之间的数量关系：并在小聪与小明的方法中选择一种，写出详细的证明过程． （2）任务二： 如图1，请直接猜想，之间的数量关系为__________． （3）任务三： 如图1，若，当是直角三角形时，直接写出的长（用含a的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级上学期期末模拟 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】A选项：，是二元二次方程，故A不符合题意． B选项：，是一元二次方程，故B符合题意． C选项：，是一元二一次方程，故C不符合题意． D选项：，是分式方程，故D不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键． 2. 如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据俯视图是从上边看得到的图形，可得答案． 【详解】解：从上边看第一行是两个小正方形，第二行是一个小正方形并且在第二列， 故选：C． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，俯视图是从上边看得到的图形． 3. 在正方形中，与交于点G，若平分，连接并取中点F，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由正方形的性质得，垂直平分，则，所以，求得，由得，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵在正方形中，与交于点G， ∴，垂直平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴平分， ∴， 故选：C． 【点睛】此题重点考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、线段的垂直平分线的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、等腰三角形的“三线合一”等知识，求得是解题的关键． 4. 某生物实验室需培育一群有益菌．现有60个活体样本，经过两轮培植后，总和达24000个，其中每个有益菌每一次分裂成若干个相同数目的有益菌后母体就不复存在，设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂成x个相同数目的有益菌．根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据“现有60个活体样本，经过两轮培植后，总和达24000个”，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：由题意得， 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 5. 《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，则为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】证明，然后利用相似三角形的对应边成比例得，即可求出的长． 【详解】解：由题意可知， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，以及应用，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解答本题的关键． 6. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】C 【解析】 【分析】将抛物线的一般式配方成为顶点式，可确定顶点坐标及对称轴． 【详解】解：∵， ∴抛物线顶点坐标为，对称轴为． 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质．抛物线的顶点坐标为（h，k），对称轴为x＝h． 7. 如图，在周长为20的菱形中，对角线与相交于点O．已知，则的长为（       ）　 A. 4 B. 3 C. 8 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，以及勾股定理，根据菱形性质得到，，再利用勾股定理求出，进而即可求得． 【详解】∵四边形是菱形，且菱形的周长为20， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 8. 据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理，小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体在幕布上形成倒立的实像（点A、B的对应点分别是C、D）．若物体的高为，小孔O到地面距离为，则实像的高度（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，先证明得到，再证明得到，再把①和②相加变形得到，然后把，，代入计算即可，利用平行线构建相似三角形，然后用相似三角形对应边的比相等的性质求相应线段的长或表示线段之间的关系． 【详解】解：依题意， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ， 则①②得， ， ， ∵，， ， 解得， 故选：B． 9. 如图1，△ABC是直角三角形，∠A=90°，AB=8cm，AC=6cm点P从点A出发，沿AB方向以2cm/s的速度向点B运动；同时点Q从点A出发，沿AC方向以1cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达终点，则另一个动点也停止运动，则三角形APQ的最大面积是（ ） A. 8cm2 B. 16cm2 C. 24cm2 D. 32cm2 【答案】B 【解析】 【详解】根据题意设运动时间为x秒，可得：AP=2xcm，AQ=xcm， 则S==， 则根据题意可知：当x=4cm时，面积有最大值，最大面积为16． 故选：B． 10. 为了模拟高速公路入口“超限超载”检测站升降检测设备的工作原理，某数学兴趣小组自制了一个超限站工作模型：如图1，是定值电阻，质量不计的托盘和压敏电阻绝缘并紧密接触，已知电源电压恒定且压力表量程为，压力表示数与的函数图象如图2所示，（单位：）与检测物的质量m（单位：kg）的函数关系式为，则下列说法不正确的是（ ） A. 当时，的阻值为 B. 当托盘上货物的质量为时， C. 在一定范围内，随的增大而减小 D. 因为压力表量程为，所以该模型可测量检测物的最大质量是 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用． 根据所给函数图象即可判断选项A、C，再求出当时，观察图象即可判断选项B，当时，的阻值为，此时有最大值，进行计算即可判断选项D． 【详解】解：根据图2得，当时，的阻值为，故选项A说法正确； 当托盘上货物的质量为时，令，， 观察图象可知当时，在和之间， 故选项B说法错误，符合题意； 在一定范围内，随的增大而减小，故选项C说法正确； 当时，的阻值为，最小，此时有最大值，即， 解得：， 即电压表量程为，为保护电压表，该电子体重秤可称的最大质量是，故选项D正确； 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写出一个y关于x的二次函数的解析式，且它的图象的顶点在y轴上：_____． 【答案】（答案不唯一）． 【解析】 【分析】根据二次函数的图象和性质解题即可. 【详解】由题意可得：（答案不唯一）． 故答案为（答案不唯一，只要中a≠0，b=0即可）． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．明确中a≠0，b=0是解题的关键. 12. 小兰身高，她站立在阳光下的影子长为；她把手臂竖直举起，此时影子长为，那么小兰的手臂超出头顶___cm． 【答案】40 【解析】 【分析】根据在同一时物体的高度和影长成正比，设出手臂竖直举起时总高度x，即可列方程解出x的值，再减去身高即可得出小刚举起的手臂超出头顶的高度． 【详解】解：设手臂竖直举起时总高度x cm，则， 解得x＝200，200−160＝40（cm）， 故小兰的手臂超出头顶40cm， 故答案为：40． 【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时物体的高度和影长成正比是解答此题的关键． 13. 一个不透明的口袋里装有若干除颜色外其他完全相同的小球,其中有6个黄球,将口袋中的球摇匀,从中任意摸出一个球记下颜色后再放回,通过大量重复上述试验后发现,摸到黄球的频率稳定在30%,由此估计口袋中共有小球____________个. 【答案】20 【解析】 【详解】∵摸到黄球的频率稳定在30%， ∴在大量重复上述实验下，可估计摸到黄球的概率为30%=0.3，而袋中黄球只有6个， ∴推算出袋中小球大约有6÷0.3=20（个）， 故答案为20． 14. 三棱柱的三视图如图所示，在俯视图△EFG中，FG=18cm，EG=14cm，∠EGF=30°，则左视图中AB的长为_______． 【答案】7 【解析】 【分析】根据三视图的对应情况可得出，△EFG中FG上的高即为AB的长，进而求出即可． 【详解】解：过点E作EQ⊥FG于点Q， 由题意可得出：EQ=AB， ∵EG=14cm，∠EGF=30°， ∴EQ=AB=×14=7（cm）． 故答案为：7． 【点睛】此题主要考查了由三视图解决实际问题，根据已知得出EQ=AB是解题关键． 15. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，延长BA至E，使AE＝AB，以AE为边向右侧作正方形AEFG，O为正方形AEFG的中心，若过点O的一条直线平分该组合图形的面积，并分别交EF、BC于点M、N，则线段MN的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接AC，BD交于点H，过点O和点H的直线MN平分该组合图形的面积，交AD于S，取AE中点P，取AB中点Q，连接OP，HQ，过点O作OT⊥QH于T，由三角形中位线定理可求QH＝BC＝4，QH∥BC，AQ＝BQ＝2，PO＝AG＝2，PO∥AG，EP＝AP＝2，由平行线分线段成比例可得MO＝OS＝SH＝NH，由勾股定理可求OH的长，即可求解． 【详解】解：如图，连接AC，BD交于点H，过点O和点H的直线MN平分该组合图形的面积，交AD于S，取AE中点P，取AB中点Q，连接OP，HQ，过点O作OT⊥QH于T， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AH＝HC， 又∵Q是AB中点， ∴QH＝BC＝4，QH∥BC，AQ＝BQ＝2， 同理可求：PO＝AG＝2，PO∥AG，EP＝AP＝2， ∴PO∥AD∥BC∥EF∥∥QH，EP＝AP＝AQ＝BQ， ∴MO＝OS＝SH＝NH，∠OPQ＝∠PQH＝90°， ∵OT⊥QH， ∴四边形POTQ是矩形， ∴PO＝QT＝2，OT＝PQ＝4， ∴TH＝2， ∴OH＝， ∴MN＝2OH＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，三角形中位线定理，平行线分线段成比例，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 三、解答题（75分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，熟练掌握相关的运算法则，是解题的关键．根据零指数幂运算法则，特殊角的三角函数值，算术平方根定义，进行求解即可． 【详解】解： ． 17. 小亮和小丽进行摸球试验．他们在一个不透明的空布袋内，放入两个红球，一个白球和一个黄球，共四个小球．这些小球除颜色外其它都相同．试验规则：先将布袋内的小球摇匀，再从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，称为摸球一次． （1）小亮随机摸球10次，其中6次摸出的是红球，求这10次中摸出红球的频率； （2）若小丽随机摸球两次，请利用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的概率． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）由频率定义即可得出答案； （2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的情况，利用概率公式求解即可求得答案. 【详解】解：（1）小亮随机摸球10次，其中6次摸出的是红球，这10次中摸出红球的频率＝＝； （2）画树状图得： ∵共有16种等可能的结果，两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的有2种情况， ∴两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的概率＝＝. 【点睛】此题考查事件概率：列举法求事件的概率，还考查了频率的定义，正确理解概率事件中“放回”或“不放回”事件是解此类问题的关键. 18. 如图，在正方形中，G是上一点，对角线交的外接圆于点F，连接，并延长交于点E； （1）请用尺规作图作出的外接圆的圆心O的位置；（不要求写作法，但保留作图痕迹）； （2）若，求证：直线是的切线． 【答案】（1） 如图：点即为所作： （2） 证明：连接， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵为半径， ∴直线是的切线． 【解析】 【分析】（1）由正方形得到为直角三角形，那么直角三角形的外心为斜边中点，只需作出线段的垂直平分线即可； （2）连接，证明，，则，可得，那么，由圆周角定理得到，故，即，即可求证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了三角形的外接圆，圆周角定理，正方形的性质，圆的切线的判定，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键． 19. 阅读理解题： 阅读材料： 如图1，四边形是矩形，是等腰直角三角形，记为、为，若，则． 证明：设，∵，∴， 易证 ∴， ∴ ∴， 若时，当，则． 同理：若时，当，则． 根据上述材料，完成下列问题： 如图2，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．将直线绕点顺时针旋转后的直线与轴交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，已知． （1）求反比例函数的解析式； （2）直接写出的值； （3）求直线的解析式． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）首先求出点，然后设，在中，利用勾股定理求出，得到，然后代入求解即可； （2）首先根据，得到，，求出，，然后利用正切值的概念求出，然后证明出四边形是矩形，得到，然后由即可求出； （3）首先根据矩形的性质得到，，然后利用求出，进而得到，然后设直线的解析式为，利用待定系数法将和代入求解即可． 【小问1详解】 将代入得，， ∴， ∵直线与反比例函数的图象交于点， ∴设， ∵，， ∴在中，， ∴， ∴解得，， ∵点A的横坐标要大于点B的横坐标， ∴应舍去， ∴， ∴， ∴将代入，解得； ∴反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 ∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵将直线绕点顺时针旋转后的直线与轴交于点， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 ∵四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴，即， ∴解得， ∴， ∴， ∴设直线的解析式为， ∴将和代入得，， ∴解得， ∴直线的解析式为． 【点睛】此题考查了反比例函数，一次函数和几何综合题，矩形的性质，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是正确理解材料的内容． 20. 如图，在四边形中，，，连接交于点，，且． （1）求的长； （2）若，求的长． 【答案】（1）6 （2） 【解析】 【分析】本题考查了正切，勾股定理，平行线的性质等知识．熟练掌握正切，勾股定理，平行线的性质是解题的关键． （1）由，可得，即，设，则，，由勾股定理得，，可求，进而可求； （2）如图，过C作于F，由，可得，则，设，则，由勾股定理得，，可求，则，，由勾股定理得，，计算求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， 设，则，， 由勾股定理得，， 解得，， ∴， ∴的长为6； 【小问2详解】 解：如图，过C作于F， ∵， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理得，， 解得，， ∴，， 由勾股定理得，， ∴的长为． 21. 某商场销售两种商品，每件进价均为20元．调查发现，如果售出种20件，种10件，销售总额为840元；如果售出种10件，种15件，销售总额为660元． （1）求两种商品的销售单价． （2）经市场调研，种商品按原售价销售，可售出40件，原售价每降价1元，销售量可增加10件；种商品的售价不变，种商品售价不低于种商品售价．设种商品降价元，如果两种商品销售量相同，求取何值时，商场销售两种商品可获得总利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）的销售单价为元、的销售单价为元 （2）当时，商场销售两种商品可获得总利润最大，最大利润是元． 【解析】 【分析】（1）设的销售单价为元、的销售单价为元，根据题中售出种20件，种10件，销售总额为840元；售出种10件，种15件，销售总额为660元列方程组求解即可得到答案； （2）设利润为，根据题意，得到，结合二次函数性质及题中限制条件分析求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：设的销售单价为元、的销售单价为元，则 ，解得， 答：的销售单价为元、的销售单价为元； 【小问2详解】 解：种商品售价不低于种商品售价， ，解得，即， 设利润为，则 ， ， 在时能取到最大值，最大值为， 当时，商场销售两种商品可获得总利润最大，最大利润是元． 【点睛】本题考查二元一次方程组及二次函数解实际应用题，读懂题意，根据等量关系列出方程组，根据函数关系找到函数关系式分析是解决问题的关键． 22. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的交点为，B，与y轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）横、纵坐标都是整数的点为整点． ①直接写出线段上整点的个数及坐标； ②将抛物线沿x轴翻折，得到新抛物线，直接写出新抛物线在x轴上方的部分与线段所围成的区域内（包含边界）整点的个数． 【答案】（1）抛物线的解析式为； （2）①线段上有7个整点，线段上整点的坐标为； ②新抛物线在x轴上方的部分与线段所围成的区域内（包含边界）整点的个数为10个 【解析】 【分析】（1）将点，代入抛物线中求解，即可解题； （2）①根据（1）中解析式求出B点坐标，作出抛物线的函数图象，结合图象即可得到线段上都整点个数，以及整点的坐标； ②根据题意得到翻折后的抛物线的解析式，结合二次函数的图象与性质，即可求得新抛物线在x轴上方的部分与线段所围成的区域内（包含边界）整点的个数． 【小问1详解】 解：将点，代入抛物线中， 得 ，解得 ， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：①由（1）可得，抛物线的解析式为， 令 ， 解得， ∴点B的坐标为，作出抛物线如下图，由图可知，线段上有7个整点． 线段上整点的坐标为； ②将抛物线沿x轴翻折，得到新抛物线的解析式为， ∴新抛物线的顶点坐标为， 当时，解得， ∴新抛物线在x轴上方的部分与线段所围成的区域内(包含边界)整点的个数为10个． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与坐标轴交点，二次函数的图象与性质，轴对称性质，解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象与性质． 23. 在一节数学课上，张老师提出了这样一个问题：“如图1，在等腰直角三角形中，，D是边上一动点（不与B重合），，交于点F．猜想线段，之间的数量关系并说明理由．”小聪和同桌小明讨论后，仍不得其解．张老师给出提示：数学中常通过把一个问题特殊化来找到解题思路．两个人茅塞顿开，于是进行了如下讨论，请仔细阅读，并完成相应的任务． 图1 小聪：已知点D是动点，因此可以将点D移动到一个特殊的位置．当点D与点C重合时，如图2所示．此时可以分别延长，交于点H，如图3所示，可证明，进而得出线段，之间的数量关系． 图2 图3 图4 小明：对于图2，过点F分别作，的平行线，交边于点M，N，如图4所示，可证明，进而得出线段，之间的数量关系． （1）任务一： 如图2，判断线段，之间的数量关系：并在小聪与小明的方法中选择一种，写出详细的证明过程． （2）任务二： 如图1，请直接猜想，之间的数量关系为__________． （3）任务三： 如图1，若，当是直角三角形时，直接写出的长（用含a的代数式表示）． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）作交于点M，交于点N，证明， 得到，分别证明，则，则可证明． 小聪的方法： 延长、交于点H，先证明，再证明，得到，则可证明． （2）作交于点M，交于点N，分别证明，，，，故，再证明，得到，则． （3）分两种情况讨论，一是点D与点C重合，则是直角三角形，，，，则问题可求； 二是点D与点C不重合，是直角三角形，证明，，则问题可求； 【小问1详解】 小明的方法：如图4，作交于点M，交于点N， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 小聪的方法： 如图3，延长、交于点H， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 如图1，作交于点M，交于点N， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【小问3详解】 的长为或， 理由：如图4，点D与点C重合，则是直角三角形， ∵，， ∴； 如图5，点D与点C不重合，是直角三角形， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ 综上所述，BD的长为或 【点睛】此题重点考查等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $