精品解析：宁夏银川英才学校2025-2026学年九年级上学期期末考试数学试题

银川英才学校 2025—2026学年度第一学期初三年级期末考试 数学试卷 （时间为120分钟，满分为120分，答卷不使用任何计算器） 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 如图是“光盘行动”的宣传海报，图中餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关系是（ ） A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 平行 2. 二次函数的图象的对称轴为（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 3. 甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是的弦，的半径为，为上一点，，则的长为（　　） A. 2 B. 3 C. 3 D. 6 5. 如图，四边形是的内接四边形，连接、，若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C都在这些小正方形的顶点上，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 7. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 8. 某校科技实践社团制作实践设备，小明的操作过程如下：①小明取出老师提供的圆形细铁环，先通过在圆一章中学到的知识找到圆心O，再任意找出圆O的一条直径标记为AB（如图1），测量出AB＝4分米；②将圆环进行翻折使点B落在圆心O的位置，翻折部分的圆环和未翻折的圆环产生交点分别标记为C、D（如图2）；③用一细橡胶棒连接C、D两点（如图3）；④计算出橡胶棒CD的长度． 小明计算橡胶棒CD的长度为（　　） A. 2分米 B. 2分米 C. 3分米 D. 3分米 二、填空题（每题3分，共24分） 9. 将抛物线向下平移3个单位长度，所得到的抛物线解析式为____________． 10. 如图，已知是的直径，点、在上，且，．则______． 11. 二次函数与一次函数的图象如图所示，则满足的x的取值范围是____________． 12. 如图，是的内切圆，切点分别为D，E，F，已知，，，则的周长为______． 13. 如图，，是的切线，切点分别是，，如果，那么的度数等于 __________ ． 14. 如图，正五边形的边长为6，以顶点为圆心，的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为__________． 15. 小媛在物理实验课上研究光的折射现象，了解到当光从空气射入介质时，折射率（为入射角，为折射角）．如图，一束光从空气射向横截面为直角三角形的硫系玻璃透镜斜面，经折射后沿垂直边的方向射出，若，，，则该玻璃透镜的折射率为______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，与x轴、y轴都相切，且经过矩形的顶点C，与相交于点D．若的半径为6，点A的坐标是．则点D的纵坐标是______． 三．解答题（共66分） 17. 计算： （1） （2） 18. 解下列方程 （1）（公式法） （2） 19. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，请用无刻度的直尺在给定网格中按要求作图．（不写作法，保留作图痕迹） （1）在图1中，的三个顶点均在格点上，请画出的外心． （2）在图2中，的三个顶点均在格点上，请画出的内心I． 20. 东北地区的冻梨以其独特的地域风貌与味道而出名，在好奇心的驱动下，住在东北地区的林同学前往调查了冻梨的价格，以下是他走访20个摊位后整理的数据，请你根据数据回答下列问题： （1）扇形统计图中，5元/斤的摊位占统计总数的 % （2）这20个样本的平均值为 众数为 ． （3）林同学通过询问还了解到，冻梨的进价为1.5元/斤，且冻梨的售价与销量成某种关系，以4元/斤为基础售价，日销量为20斤，每提高1元/斤，日销量便减少2斤，但是价格不能超过5.5元/斤，则你认为冻梨的售价应定为多少可达到最大日利润？最大日利润为多少？ 21. 中国传统建筑屋顶设计是中国古代建筑之瑰宝．常见的屋顶种类主要有院殿顶、歇山顶、硬山顶、悬山顶、攒尖顶、卷棚顶和平顶等．图①中古建筑的屋顶，被称为“悬山顶”，它的左视图为轴对称图形，如图②所示，已知屋檐米，屋顶到支点的距离米，墙体高米，屋面坡角．求点到地面的距离．（结果精确到0.1米，参考数据：，，） 22. 在校园科技节期间，科普员为同学们进行了水火箭的发射表演，图1是某型号水火箭的实物图，水火箭发射后的运动路线可以看作是一条抛物线．为了解水火箭的相关性能，同学们进一步展开研究．如图2建立直角坐标系，水火箭发射后落在水平地面A处．科普员提供了该型号水火箭与地面成一定角度时，从发射到着陆过程中，水火箭距离地面的竖直高度与离发射点O的水平距离的几组关系数据如下： 水平距离 0 3 4 10 15 20 22 27 竖直高度 0 3.24 4.16 8 9 8 7.04 3.24 （1）根据上表，请确定抛物线的表达式； （2）请计算当水火箭飞行至离发射点O的水平距离为时，水火箭距离地面的竖直高度． 23. 如图，已知直线与x轴，y轴相交于P，Q两点，与的图象相交于，两点，连接，． （1）求的值 （2）不等式的解集是_______ （3）求证： 24. 如图，已知为的直径，点在上，的平分线交于点，过点作的垂线，垂足为，直线与的延长线交于点． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求线段的长． 25. 【发现问题】如图1，在画展厅，为保护展品，会放置围栏分隔观赏者和展品，现在数学小组想知道围栏位置是否合适，做出以下研究． 【资料查阅】1471年德国数学家米勒也提出过类似问题，如图2，观赏最佳的位置就是展品的最高点A与最低点B与观赏者的眼睛C所形成的视角最大． 【米勒定理】如图3，当经过A，B，C三点的与过点C的水平线相切于点C时，视角最大，站在此处观赏最理想．这是为什么呢？ 请思考后完成填空： 设点是上任意一个异于C的点， 是的外角， ______（填“、或”）， 又 ______， ． 眼睛位于点C处时，最大． 【问题解决】如图4，在上述定理基础上，假如竖直墙壁上的展品的最高点A距离地面的高度为3.4米，最低点B距离地面的高度为2.4米，观赏者的眼睛C距离地面的高度为1.6米，那么围栏放在什么位置最合适呢？ 26. 如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，直线与该抛物线交于E，F两点． （1）求点C坐标及抛物线的解析式． （2）P是直线下方抛物线上的一个动点，作于点H，求的最大值． （3）以点C为圆心，1为半径作圆，过点B作的切线切点为点D，求切点D的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 银川英才学校 2025—2026学年度第一学期初三年级期末考试 数学试卷 （时间为120分钟，满分为120分，答卷不使用任何计算器） 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 如图是“光盘行动”的宣传海报，图中餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关系是（ ） A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 平行 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线和圆的位置关系的进行判断即可． 【详解】解：∵餐盘看成圆形的半径大于餐盘的圆心到筷子看成直线的距离为. ∴dr， ∴直线和圆相交． 故选：B 【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系的应用，注意：已知⊙O的半径为r，如果圆心O到直线l的距离是d，当d>r时，直线和圆相离，当d=r时，直线和圆相切，当d<r时，直线和圆相交． 2. 二次函数的图象的对称轴为（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据顶点式直接写出其对称轴即可，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴对称轴为直线， 故选：． 3. 甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图、概率公式，画树状图得出所有等可能的结果数以及卡片正面恰好为甲骨文“丽”和“山”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：将甲骨文“美”“丽”“山”“河”四张卡片分别记为A，B，C，D， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中卡片正面恰好为甲骨文“丽”和“山”的结果有2种， ∴卡片正面恰好为甲骨文“丽”和“山”的概率为． 故选：B． 4. 如图，是的弦，的半径为，为上一点，，则的长为（　　） A. 2 B. 3 C. 3 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理和勾股定理的应用，熟练掌握圆周角定理（同弧所对的圆周角是圆心角的一半）及勾股定理是解题的关键． 连接、，利用圆周角定理得出圆心角，再结合等腰直角三角形的性质计算弦的长． 【详解】解：连接、． ∵同弧所对的圆周角是圆心角的一半，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， 由勾股定理得 ， 故选：C． 5. 如图，四边形是的内接四边形，连接、，若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆周角定理求出，根据圆内接四边形的性质计算，得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 6. 如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C都在这些小正方形的顶点上，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数值，勾股定理及勾股定理逆定理．解题的关键是表示出所需线段长．利用勾股定理求出，易证是直角三角形，且，根据求出值即可． 【详解】解：根据题意，， ∵，即， ∴是直角三角形，且， ∴． 故选：B． 7. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数和二次函数的图象性质，分别分析、的符号，再逐一判断选项是否符合． 【详解】解：∵一次函数的图象中，，；二次函数的图象中，，，即， ∴符号均一致，A项符合题意． ∵一次函数的图象中，，；二次函数的图象中，， ∴的符号矛盾，B项不符合题意． ∵一次函数的图象中，，；二次函数的图象中，对称轴，则． ∴的符号矛盾，C项不符合题意． ∵一次函数的图象中，，；二次函数的图象中，，对称轴，则． ∴b的符号不一致，D项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一次函数和二次函数的图象性质，熟练掌握一次函数和二次函数中系数与图象的关系是解题的关键． 8. 某校科技实践社团制作实践设备，小明的操作过程如下：①小明取出老师提供的圆形细铁环，先通过在圆一章中学到的知识找到圆心O，再任意找出圆O的一条直径标记为AB（如图1），测量出AB＝4分米；②将圆环进行翻折使点B落在圆心O的位置，翻折部分的圆环和未翻折的圆环产生交点分别标记为C、D（如图2）；③用一细橡胶棒连接C、D两点（如图3）；④计算出橡胶棒CD的长度． 小明计算橡胶棒CD的长度为（　　） A. 2分米 B. 2分米 C. 3分米 D. 3分米 【答案】B 【解析】 【分析】连接OC，作OE⊥CD，根据垂径定理和勾股定理求解即可． 【详解】解：连接OC，作OE⊥CD，如图3， ∵AB＝4分米， ∴OC＝2分米， ∵将圆环进行翻折使点B落在圆心O的位置， ∴分米， 在Rt△OCE中，CE＝分米， ∴分米； 故选：B． 【点睛】此题综合运用了勾股定理以及垂径定理．注意构造由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形进行有关的计算． 二、填空题（每题3分，共24分） 9. 将抛物线向下平移3个单位长度，所得到的抛物线解析式为____________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：将抛物线向下平移3个单位长度，所得到的抛物线解析式为 故答案为： 【点睛】本题考查了抛物线的平移，掌握平移规律是解题的关键． 10. 如图，已知是的直径，点、在上，且，．则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据直径所对圆周角是直角，在中应用勾股定理可求的长度，进而求出的值，根据同弧所对圆周角相等，可得出，即可求解，本题考查了，勾股定理，求锐角三角函数值，直径所对圆周角是直角，圆周角定理推论，解题的关键是：综合已知知识点，找到所求角的等角． 【详解】解：是的直径， ， 又，， ， ， ， ， 故答案为：． 11. 二次函数与一次函数的图象如图所示，则满足的x的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数图象可得，的x的取值范围就是二次函数图象在一次函数图象上方部分的x的取值范围即可． 【详解】解：根据函数图象可得，的x的取值范围就是二次函数图象在一次函数图象上方部分的x的取值范围 由图像可知，时二次函数图象在一次函数图象上方． 故答案为 【点睛】本题考查了二次函数与不等式，此类题目，数形结合准确识图是解题的关键． 12. 如图，是的内切圆，切点分别为D，E，F，已知，，，则的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了切线长定理，熟记切线长定理是解题的关键．根据切线长定理得出，，根据，得出的值，即可解答． 【详解】解：是直角的内切圆，且，， ，， ∵， ， 的周长为， 故答案为：26． 13. 如图，，是的切线，切点分别是，，如果，那么的度数等于 __________ ． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了切线的性质以及圆周角定理，正确把握切线的性质是解题关键．直接利用切线的性质得出，进而利用圆周角定理结合四边形内角和定理得出答案． 【详解】连接，， 、是的切线，切点分别是、， ， ， ， ． 故答案为：． 14. 如图，正五边形的边长为6，以顶点为圆心，的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查扇形面积计算及正多边形的性质，熟练掌握正多边形的内角和公式和扇形面积公式是解题的关键． 先根据正多边形的内角公式：每个内角度数，求出正五边形内角，再利用扇形面积公式代入数值计算即可． 【详解】解：∵正五边形的边长为6，以顶点为圆心，的长为半径画圆， ∴， ∴阴影部分面积． 故答案为：． 15. 小媛在物理实验课上研究光的折射现象，了解到当光从空气射入介质时，折射率（为入射角，为折射角）．如图，一束光从空气射向横截面为直角三角形的硫系玻璃透镜斜面，经折射后沿垂直边的方向射出，若，，，则该玻璃透镜的折射率为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． 由题意得，则，所以，然后通过折射率即可求解． 【详解】解：如图，折射光线沿垂直边的方向射出， ∵法线垂直于，, ∴，， ∴， ， 折射率． 故答案为：2． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，与x轴、y轴都相切，且经过矩形的顶点C，与相交于点D．若的半径为6，点A的坐标是．则点D的纵坐标是______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查正方形性质，垂径定理，切线性质．根据题意连接，推出，，继而可得，继而利用垂径定理求得，据此可得本题答案． 【详解】解：∵与x轴、y轴都相切，设切点分别为，连接， ∴轴，轴， 延长接分别交，点M，F， ∵矩形， ∴，， ∴四边形，，均为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∵的半径为6， ∴， ∵点A的坐标是， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴点D的纵坐标是3， 故答案为：3． 三．解答题（共66分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据特殊角的三角函数值进行化简，然后再按照实数混合运算法则进行计算即可； （2）先根据绝对值的意义，负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式的性质进行化简，然后再进行计算即可． 本题主要考查了实数的混合运算，解题的关键是熟练掌握绝对值的意义，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，零指数幂和二次根式的运算法则． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 解下列方程 （1）（公式法） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）先计算出根的判别式的值，然后利用一元二次方程的求根公式得到方程的解； （2）先移项，然后利用因式分解法解方程． 【小问1详解】 解： ， ∴ 【小问2详解】 解： 或 ∴． 19. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，请用无刻度的直尺在给定网格中按要求作图．（不写作法，保留作图痕迹） （1）在图1中，的三个顶点均在格点上，请画出的外心． （2）在图2中，的三个顶点均在格点上，请画出的内心I． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查三角形外心，内心的定义，涉及垂直平分线的性质，角平分线的性质，圆周角定理，熟练掌握相关性质作图即可求解； （1）根据垂直平分线的性质，，的垂直平分线交点即是点，即为的外心； （2）根据角平分线的性质，找到的中点为点，的中点为点，连接，即为的角平分线，交于点I，即为的内心． 【小问1详解】 解：根据题意，点O为所求，作图如下： 【小问2详解】 解：根据题意，点I为所求，作图如下： 20. 东北地区的冻梨以其独特的地域风貌与味道而出名，在好奇心的驱动下，住在东北地区的林同学前往调查了冻梨的价格，以下是他走访20个摊位后整理的数据，请你根据数据回答下列问题： （1）扇形统计图中，5元/斤的摊位占统计总数的 % （2）这20个样本的平均值为 众数为 ． （3）林同学通过询问还了解到，冻梨的进价为1.5元/斤，且冻梨的售价与销量成某种关系，以4元/斤为基础售价，日销量为20斤，每提高1元/斤，日销量便减少2斤，但是价格不能超过5.5元/斤，则你认为冻梨的售价应定为多少可达到最大日利润？最大日利润为多少？ 【答案】（1） （2）；4 （3）冻梨的售价应定为元时，可达到最大日利润，最大日利润为68元 【解析】 【分析】本题考查了数据的统计分析，二次函数的应用， （1）由条形统计图可知5元/斤在的摊位有6个，由此即可计算5元/斤的摊位占统计总数的百分比； （2）由条形统计图中数据计算平均值，其中可知4元/斤的摊位最多，故众数为4； （3）根据等量关系“利润=(=(售价−-进价)×)×销量”列出函数关系式．再根据函数关系式求得利润最大值． 【小问1详解】 解：5元/斤的摊位占统计总数的百分比为， 故答案为； 【小问2详解】 解：20个样本的平均值为，出现次数最多的是4，故众数为4． 故答案为；4． 【小问3详解】 解：解：设冻梨的售价为x元，利润为y，依题意得： ， ∴当时，随增大而增大， 当售价定为时，元， 答：冻梨的售价应定为元时，可达到最大日利润，最大日利润为元． 21. 中国传统建筑屋顶设计是中国古代建筑之瑰宝．常见的屋顶种类主要有院殿顶、歇山顶、硬山顶、悬山顶、攒尖顶、卷棚顶和平顶等．图①中古建筑的屋顶，被称为“悬山顶”，它的左视图为轴对称图形，如图②所示，已知屋檐米，屋顶到支点的距离米，墙体高米，屋面坡角．求点到地面的距离．（结果精确到0.1米，参考数据：，，） 【答案】点到地面的距离约为3.2米 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，灵活运用三角函数解直角三角形成为解答本题的关键． 过点作于点．在中，求出，再求出，即可解答． 【详解】解：过点作于点． 在中，（米），， ∴（米）， ∴（米）． ∴点到地面的距离约为3.2米． 22. 在校园科技节期间，科普员为同学们进行了水火箭的发射表演，图1是某型号水火箭的实物图，水火箭发射后的运动路线可以看作是一条抛物线．为了解水火箭的相关性能，同学们进一步展开研究．如图2建立直角坐标系，水火箭发射后落在水平地面A处．科普员提供了该型号水火箭与地面成一定角度时，从发射到着陆过程中，水火箭距离地面的竖直高度与离发射点O的水平距离的几组关系数据如下： 水平距离 0 3 4 10 15 20 22 27 竖直高度 0 3.24 4.16 8 9 8 7.04 3.24 （1）根据上表，请确定抛物线的表达式； （2）请计算当水火箭飞行至离发射点O的水平距离为时，水火箭距离地面的竖直高度． 【答案】（1）抛物线的表达式 （2）水火箭距离地面的竖直高度米 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质， 根据题意可设抛物线的表达式，结合体图标可知抛物线的顶点坐标为，代入求解即可； 由题意知，代入抛物线的表达式即可求得水火箭距离地面的竖直高度． 【小问1详解】 解：根据题意可知抛物线过原点，设抛物线的表达式， 由表格得抛物线的顶点坐标为，则，解得， 则抛物线的表达式， 【小问2详解】 解：由题意知，则， 那么，水火箭距离地面的竖直高度米． 23. 如图，已知直线与x轴，y轴相交于P，Q两点，与的图象相交于，两点，连接，． （1）求的值 （2）不等式的解集是_______ （3）求证： 【答案】（1） （2）或 （3）见详解 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数图像的交点问题，数形结合是解题的关键； （1）将，代入即可解答； （2）观察图像可知x的取值范围； （3）将，代入，得求P、Q的坐标，求出、比较即可． 【小问1详解】 解：∵经过，两点， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：观察图像可知时或； 【小问3详解】 解：∵经过，两点， ∴，即 得即， ∴， 当时，，则在y轴负半轴，， 当时，，则，在x轴负半轴，， ∴，， ∴， ， ∴． 24. 如图，已知为的直径，点在上，的平分线交于点，过点作的垂线，垂足为，直线与的延长线交于点． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求线段的长． 【答案】（1）相切， 证明：连接，如图所示： ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为切线； （2）． 【解析】 【分析】(1) 是的平分线，所以，证明，推出，即可得出结论； (2)由，推出，即，解得，由，，由此即可计算． 【详解】解：（1）略 （2）连接， 在中，，， ， ∴，，设半径为， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∵是直径， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、切线的判定、解直角三角形、平行线的性质、锐角三角函数等知识，学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识是解题的关键． 25. 【发现问题】如图1，在画展厅，为保护展品，会放置围栏分隔观赏者和展品，现在数学小组想知道围栏位置是否合适，做出以下研究． 【资料查阅】1471年德国数学家米勒也提出过类似问题，如图2，观赏最佳的位置就是展品的最高点A与最低点B与观赏者的眼睛C所形成的视角最大． 【米勒定理】如图3，当经过A，B，C三点的与过点C的水平线相切于点C时，视角最大，站在此处观赏最理想．这是为什么呢？ 请思考后完成填空： 设点是上任意一个异于C的点， 是的外角， ______（填“、或”）， 又 ______， ． 眼睛位于点C处时，最大． 【问题解决】如图4，在上述定理基础上，假如竖直墙壁上的展品的最高点A距离地面的高度为3.4米，最低点B距离地面的高度为2.4米，观赏者的眼睛C距离地面的高度为1.6米，那么围栏放在什么位置最合适呢？ 【答案】米勒定理∶，；问题解决∶ 围栏放在距离墙壁米位置最合适 【解析】 【分析】米勒定理∶由得，由圆的基本性质得，即可求证； 问题解决∶过作交于，由矩形的判定方法得 四边形是矩形，由矩形的性质得，，由线段和差可求，，由垂径定理得，由勾股定理得，即可求解． 【详解】米勒定理 请思考后完成填空： 设点是上任意一个异于C的点， 是的外角， ， （填“、或”）， 又， ， ， 眼睛位于点C处时，最大， 故答案：，； 问题解决∶ 解：如图，过作交于， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中， ， ， 故围栏放在距离墙壁米位置最合适． 【点睛】本题考查了矩形的判定及性质，圆的基本性质，垂径定理，勾股定理，掌握性质，理解米勒定理及题意中线段的实际意义，构建直角三角形用勾股定理求解是解题的关键． 26. 如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，直线与该抛物线交于E，F两点． （1）求点C坐标及抛物线的解析式． （2）P是直线下方抛物线上的一个动点，作于点H，求的最大值． （3）以点C为圆心，1为半径作圆，过点B作的切线切点为点D，求切点D的坐标． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求得二次函数解析式，再令求点C坐标即可； （2）过点P作轴交直线于点M，设点，点，根据勾股定理可得，即，即可求解； （3）①当点D在的右侧时，根据切线的性质可得，从而求得点D坐标；②当点D在的左侧时，根据切线长定理可得，，，从而可得，再根据等腰三角形的判定可得，根据勾股定理可得，求得， ，，过作轴于点M，证得，求得，，即可求解． 【小问1详解】 解：把，代入得， ， 解得， ∴， 令，得， ∴； 【小问2详解】 解：过点P作轴交直线于点M， 设点，点， ∵轴， ∴轴，， ∴，， ∵， ∴， 当时，的最大值为； 【小问3详解】 解：如图，①点D在的右侧，连接、， ∵是的切线， ∴， ∵，， ∴， ②点D在的左侧时，交y轴于点F， ∵、是的切线， 又∵， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 过作轴于点M， ∴轴， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴， 综上所述，点D的坐标为或． 【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质、二次函数的顶点式、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、切线的性质、切线长定理及解一元一次方程，利用待定系数法求二次函数解析式是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $