第3章 第14讲 二次函数的实际应用（精讲册）-【练客中考】2026年甘肃中考数学提优方案

第14讲二次函数的实际应用 [省卷：5年3考；兰州：4年4考] 知识点梳理 Q2022年版课标重要变化 能解决相应的（改动）实际问题！ 知识点建立二次函数模型解决实际问题 常见类型 关键步骤 【温馨提示】(1)求函数的最值时，要 (1)建立方便求表达式的平面直角坐标系； 抛物线型 注意实际问题中自变量的取值范围对 (2)找到图象上三个点的坐标； 问题 最值的影响.若对称轴的取值不在自 (3)用待定系数法求二次函数的表达式 变量的取值范围内，则最值一般在自 销售利润 (1)理清各个量之间的关系，找出等量关系求得表达式； 变量取值的端点处取得； 问题 (2)根据要求确定函数的最值或建立方程求解 (2)建立平面直角坐标系的标准是 图形面积 (1)利用几何知识用变量x表示出图形的面积y; 易于求二次函数的表达式 问题 (2)根据要求确定函数的最值或建立方程求解 重难点突破 重雅点抛物线型问题 例1[2024省卷15题]如图1为一汽车停车 高DE=1.8m的矩形，则可判定货车 棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一 完全停到车棚内.（填“能”或“不能”) 部分，如图2是棚顶的竖直高度y(单位：m)与距 离停车棚支柱A0的水平距离x(单位：m)近似 满足函数关系y=-0.02x2+0.3x+1.6的图 象，点B(6,2.68)在图象上.若一辆箱式货车需 图2 例1题图 在停车棚下避雨，货车截面看作长CD=4m, 方法1得 判断货车能否完全停到车棚内的一般方法 方法一：固定货车的宽，看抛物线的车棚是否足够高（相当于已知x的值，根据函数表达式求y的 值，再与限制高的值比较大小)： 方法二：固定货车的高，看抛物线形的车棚是否足够宽（相当于已知y的值，根据函数表达式求x的 值，再与限制宽的值比较大小)： 例2[2025兰州21题]综合与实践 在学校项目化学习中，某研究小组开展主题为“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的研究.请 你阅读以下材料，解决“数学建模”中的问题， 【研究背景】已知一定浓度的生长素既能促进种子发芽，也会因浓度过高抑制种子发芽.探索生长 素使用的适宜浓度等最优化问题，可以借助数学模型进行解决. 【数据收集】研究小组选择某类植物种子和生长素，以生长素浓度x(标准单位)为自变量，种子的 发芽率y(%)为因变量，进行“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的实验，获得相关数据： 50甘肃数学精讲册 生长素浓度 0 0.6 1 1.7 2 2.5 2.7 3 3.3 4.2 x(标准单位) 发芽率y(%) 35.00 49.28 56.00 62.37 63.00 61.25 59.57 56.00 51.17 35.00 29.12 【数据分析】如图，小组成员以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点。 说明：①当生长素浓度x=0时，种子的发芽率为自 y(9%6) 然发芽率； 80- 60 ②当发芽率大于等于零且小于自然发芽率时，该生 ● 自然发 40-- 长素抑制种子发芽； 芽率 20 ③当生长素抑制种子发芽，使得发芽率减小到0时， 0 12345 6x(标准单位) 停止实验. 例2题图 【数学建模】请你结合所学知识解决下列问题： (1)观察上述各点的分布规律，判断y关于x的函数类型，并求出该函数的表达式； (2)请计算抑制种子发芽时的生长素浓度范围 思路缸导 观察、分析表格 (1)对称轴：找对称点（纵坐标相同的点），由(1,56)，(3,56)或(0,35)，（4,35)即可判断出对称轴 为直线x=2; (2)与坐标轴的交点：由(0,35)即可判断出与y轴交点的纵坐标为35； (3)最值：由(2,63)即可判断出顶点坐标与最值，由此判断y关于x的函数类型为二次函数，表达 式可设为顶点式 【自主作答】 甘肃5年中考真题及拓展 命题点)抛物线型问题（省卷：5年3考： y/m 兰州：必考) 1.[2025省卷9题]如图，一个圆形喷水池的中 x/m 央竖直安装了一个柱形喷水装置OM,喷头M 第1题图 第2题图 向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的 2.[2022省卷17题]如图，以一定的速度将小球 抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系， 沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的 水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间 飞行路线是一条抛物线.若不考虑空气阻力， 的关系式是y=-+2:+子(：>0)，则水流 小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单 位：s)之间具有函数关系：h=-5t2+20t,则当 喷出的最大高度是 小球飞行高度达到最高时，飞行时间 A.3mB.2.75mC.2mD.1.75m t= S. 第三章函数 51 3.[2025兰州一诊20题]如图1，位于甘肃某地 4.[2023兰州23题]一名运动员在10m高的跳 的沙漠边缘地区常见抛物线状沙丘（一种风 台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动 积地貌)，其平面轮廓呈抛物线状，它的两翼 轨迹是一条抛物线，运动员离水面OB的高度 附近生长着梭梭树.建立如图2所示的平面直 y(m)与离起跳点A的水平距离x(m)之间的 角坐标系，已知某一抛物线状沙丘OAB(呈对 函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水 称)两翼端点的水平距离OB=180m,沙丘弧 平距离为1m时达到最高点，当运动员离起跳 顶最高点A到OB的距离为300m,边界线CD 点A的水平距离为3m时离水面的距离为 与OB之间为梭梭树生长较茂密地带，且CD∥ 7m. OB,点C到沙丘左翼端点O的水平距离OE= (1)求y关于x的函数表达式； 30m. (2)求运动员从起跳点到入水点的水平距离 (1)求抛物线状沙丘OAB的表达式； OB的长 (2)求梭梭树生长较茂密地带宽度CB的长， A 10m目 台 -乳D 柱 梭梭树伞 伸生长较军 茂密地带 B 第4题图 图1 图2 第3题图 52甘肃数学精讲册 5.[2022兰州24题]掷实心球是兰州市高中阶 命题点2销售利润问题 段学校招生体育考试的选考项目.如图1是一 拓展训练 名女生投掷实心球，实心球行进路线是一条 6.[北师九下P50T2变式]一种进价为每件 抛物线，行进高度y(m)与水平距离x(m)之 40元的T恤，若销售单价为60元，则每周可 间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度 卖出300件，为提高利益，就对该T恤进行 为号m,当水平距离为3m时，实心球行进至 涨价销售，经过调查发现，每涨价1元，每周 最高点3m处 要少卖出10件，请求出销售单价定为多少 元时，每周的销售利润最大？ (1)求y关于x的函数表达式； (2)根据兰州市高中阶段学校招生体育考试 评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点 到落地点的水平距离大于等于6.70m,此项 考试得分为满分10分.该女生在此项考试中 是否得满分，请说明理由， 0 图1 图2 第5题图 命题点3图形面积问题 拓展训练 7.[人教九上P57T7变式]如图，学校要用一段 长为36m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形 花圃ABCD,矩形的边AD为围墙的一部分 已知墙长为26m.要想使花圃的面积最大 求AD边的长及花圃的最大面积 A 第7题图 温馨提示请完成《课后提升练》P20~22习题 第三章函数 53(2)如解图1，过点B作BG⊥OA于点G. CH⊥OA,.CH∥BG.B(2,23), .0G=2,BG=23. :点C为0B的中点，.C(1,3), CH=78c=5,0H=20G=1. 当=1时，BH=-x(1-2)+26-3 2 CE=EH-CH=3)5-5=5 2 (3)①当口OCFD的顶点F落在抛物线上时， 点F,C的纵坐标都等于√3， (x-22+25= 解得x1=2-√2（不合题意，舍去），x2=2+2. .F(2+2,W5), ②.四边形OCFD是平行四边形， .OB∥DF,OC=DF OC=BC,..BC=DF. 如解图2，连接CD,BC∥DF, ∴.四边形BCDF是平行四边形，.BF=CD. 作点B关于OA的对称点M,连接BM,交CF于点 N,交OA于点G,连接DM,CM. .BM=2BG=2×2√3=4W3, .OA垂直平分BM,.BD=DM ∴.BD+BF=DM+CD>CM. 当C,D,M三点共线时，DM+CD=CM, 即BD+BF的最小值等于CM的长. .BM⊥OA,OA∥CF,.BM⊥CF, :C是OB的中点， CN=20G=1,BN=2BG=5, .NM=BM-BN=45-√5=3V5, .CM=√CW2+NM=√12+(33)2=27. 即BD+BF的最小值为2√万. Y 图1 图2 第1题解图 2.解：(1)抛物线y=-x2+bx过点B(4,-4), .-16+46=-4,.b=3, y=-x2+3x. (2)四边形OCPD是平行四边形.理由如下： 如解图1，作PD⊥OA,垂足为H,连接BC. :点P在直线y=-x上， ∴.OH=PH,∠POH=45°. :0C=BC=4,∴.0B=4V2. 甘肃数学 BP=22,∴OP=OB-BP=2√2， 0M=Pm-op-号x2,2=2 2 当xn=2时，DH=yD=-22+3×2=2, ∴.PD=DH+PH=2+2=4. C(0,-4),.0C=4,.PD=0C OC⊥x轴，PD⊥x轴，.PD∥OC, .四边形OCPD是平行四边形. 精 册 图1 图2 第2题解图 (3)由题意，得BP=OQ,如解图2，连接BC, 在OA上方作△OMQ,使得∠MOQ=45°，OM=BC, 连接BM. 0C=BC=4,BC⊥0C,∴.LCBP=45°， .∠CBP=∠MOQ=∠B0Q=45. BP=OQ,∠CBP=∠MOQ,BC=OM, .△CBP≌△MOQ(SAS),∴.CP=MQ, ∴.CP+BQ=MQ+BQ≥MB(当且仅当M,Q,B三点 共线时等号成立)， ∴.CP+BQ的最小值为MB, .∠M0B=∠M0Q+∠B0Q=45°+45°=90°， .MB=√0M2+0B2=√42+(42)2=45， 即CP+BQ的最小值为45. 第14讲二次函数的实际应用 重难点突破 例1能 例2解：(1)观察上述各点的分布规律，y关于x的函 数是二次函数，顶点为(2,63)， 设该二次函数的表达式为y=a(x-2)2+63, 将(0,35)代人得，a=-7 .该函数的表达式为y=-7(x-2)2+63= -7x2+28x+35 (2)当x=0时，y=35,∴.种子自然发芽率为35%， 当y=35时，-7x2+28x+35=35, 解得x1=0,x2=4. 当y=0时，-7x2+28x+35=0, 解得x1=-1(舍去)，x2=5, ∴.抑制种子发芽时的生长素浓度范围为4<x≤5. 甘肃5年中考真题及拓展 1.B2.2 3.解：(1)由题意，抛物线的顶点为(90,300)， ∴.可设抛物线的表达式为y=a(x-90)2+300, 把0(0,0)代入y=a(x-90)2+300中， 1 解得a=-27' 参考答案 > 抛物线状沙丘0AB的表达式为y=方(x 90)2+300. 1 (2)把x=30代入y=-27(x-90)2+300中，得 y=27(30-90)2+300=30, 3’ 梭梭树生长较茂密地带宽度CE的长为90m 4.解：(1)根据题意可得，抛物线过(0,10)和(3,7)， 对称轴为直线x=1, 精 设y关于x的函数表达式为y=ax2+bx+c 讲 (a≠0)， 册 ,c=10 ra=-1 9a+3b+c=7 ,解得{b=2, b =1 Lc=10 .y关于x的函数表达式为y=-x2+2x+10. (2)在y=-x2+2x+10中， 令y=0,得0=-x2+2x+10, 解得x=√11+1或x=-√11+1（舍去）， ∴运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长为 (√/11+1)m. 5.解：(1)设y关于x的函数表达式为y=a(x-3)2+ 3(a≠0)， 把(0，)代人函数表达式，得号=a(0-3)2+3, 解得a=-27 4 4 y关于x的函数表达式为y=-27(x-3)”+3. (2)该女生在此项考试中得满分.理由如下： 4 令y=0,则-27(x-3)2+3=0, 解得x1=7.5,x2=-1.5(舍去)， 7.5>6.70,.该女生在此项考试中得满分 6.解：设销售单价为x(元)，该T恤涨价后每周的销 售利润为y(元)， 由题意，得y=(x-40)[300-10(x-60)], 即y=-10x2+1300x-36000=-10(x-65)2+ 6250(60≤x≤90). -10<0,.当x=65时，y有最大值6250. 答：当该T恤销售单价定为65元时，每周的销售利 润最大 7.解：设AB为x米，矩形的面积为y平方米，则BC= (36-2x)米， y=x(36-2x)=-2x2+36x=-2(x-9)2+162. .36-2x>0且36-2x≤26，.5≤x<18. -2<0, ∴.当x=9时，y有最大值是162， 此时AD=BC=18(米). 答：AD边的长为18米，花圃的最大面积为162平 方米. 8 甘肃数学 第四章三角形 第15讲线段、角、相交线与平行线 知识点梳理 ①两点确定一条直线②两点之间，线段最短 ③74c④Bc⑤90·⑥180°⑦相等⑧平分线 ⑨对顶角相等⑩∠8①互为邻补角的两个角之和 等于180°②∠7B∠8④∠8⑤相等 ⑥垂直平分线⑦相等⑧平行四互补 20垂线段 甘肃5年中考真题及拓展 1.A2.A3.B4.C5.B6.A7.A8.B 第16讲一般三角形及其性质 知识点梳理 ①大于②小于③180·④360°⑤CD⑥ㄥ2 ⑦DE⑧BC⑨PB⑩OB 甘肃5年中考真题及拓展 1.B2.C2-170°2-23 3.B4.B 第17讲特殊三角形及其性质 知识点梳理 ①平分线②中线③1④两条边⑤两个角 ⑥60°⑦3⑧等腰⑨互余⑩斜边的一半 ①斜边的一半②c2B30°④互余⑤45· ⑥相等 甘肃5年中考真题及拓展 1.D2.B3.43 9 4.C5.D6.3 第18讲全等三角形 知识点梳理 ①重合②相等③相等④相等⑤SSS ⑥SAS⑦ASA⑧AAS⑨HL 重难点突破 例1D例2B例310例47例5C 例6解：BH-DH=√2CH.理由如下： 如解图，在线段BG上截取BK=DH,连接CK. :四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形， .∴.∠BCD=∠GCE=90°，BC=DC,GC=CE, .∠BCD-∠GCD=∠GCE-∠GCD 即∠BCG=∠DCE,.△BCG≌△DCE(SAS), ·∠CBG=∠CDE.∴.△BCK≌△DCH(SAS). .∠BCK=∠DCH,CK=CH. .∠BCK+∠KCD=∠DCH+∠KCD. 即∠KCH=90°.∴.△KCH为等腰直角三角形 .KH=√2CH. .BH-DH BH BK=KH, .BH-DH=√2CH. 例6题解图 参考答案