第3章 第13讲 二次函数的图象与性质（精讲册）-【练客中考】2026年甘肃中考数学提优方案

第13讲二次函数的图象与性质 [省卷：5年5考；兰州：4年6考] 知识点梳理 Q2022年版课标重要变化 ①会用描点法（删除）画出二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质. ②知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系.（新增） ③会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值.（新增） ④知道二次函数和一元二次方程之间的关系.（新增）】 ⑤*知道给定不共线三点的坐标可以确定一个三次函数.（删除） 知识点]二次函数的图象与性质 概念 般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫作二次函数 三种表达式 般式y=ax2+bx+c 顶点式y=a(x-h)2+k 交点式y=a(x-x1)(x-x2)》 图象 (示意图)》 a>0 a<0 对称轴 直线① 直线② 直线③ 顶点坐标 ④ ⑤ ⑥ a>0 在对称轴左侧时，y随x的增大而⑦ :在对称轴右侧时，y随x的增大而⑧ 增减性 a<0 在对称轴左侧时，y随x的增大而⑨ ;在对称轴右侧时，y随x的增大而四 当=-时，y取最小 2a 当x=h时，y取最小值 当x=时，y取最小值 2 a>0 值4ac-b ① 最值 4a 4a(1-)2 当x=- a<0 时，y取最大值 2a 当x=h时，y取最大值k 当x=时，y取最大值 2 ② B 知识点2二次函数表达式的确定 1.二次函数表达式的确定 一设：设二次函数表达式为y=ax2+bx+c(a≠0)； 待定系数法 二列：找出函数图象上的三个点，代入y=ax2+bx+c(a≠0)中，得到方程组； 三解：解方程组，得到a,b,c的值； 四还原：将所求待定系数a,b,c的值代人y=ax2+bx+c中即可 已知任意三个点的坐标（除顶点外） y=ax2+bx+c 已知顶点坐标或对称轴 y=a(x-h)2+h 表达式的 已知纵坐标相同的点 常见设法 已知与x轴的两个交点坐标 y=a(x-x1)(x-x2) 已知与x轴的一个交点+对称轴 第三章函数 43 2.二次函数图象的平移 一般式 左右平移nn>0) 变xy=a(c±n)+b(x±n)+c 个单位长度 y=ax2+bx+c y=ax+bx+c- 上下平移nn>0 简记为： (a≠0) 个单位长度 变cy=ax2+bx+c±n x“左加右减”； 顶点式 左右平移nn>0) 变x→y=ax±n-h)}'+h 等号右边整体 个单位长度 y=a(x-h)2+k y=a(x-h)+k- “上加下减” 上下平移nn>0) (a≠0)》 个单位长度 变k→y=a(x-h)+k±n 知识点3二次函数的图象与系数a,b,c的关系 a>0一抛物线开口向上 a 决定抛物线的开口方向 Ia越大，开口越小 a<0→抛物线开口向下」 b=0曰对称轴为y轴 a,b 决定抛物线对称轴的位置 a,b同号(ab>0)台对称轴在y轴④ 左同右异 a,b异号(ab<0)一对称轴在y轴⑤ c=0台抛物线过原点(0,0) 决定抛物线与y轴交点的位置 c>0台抛物线与y轴交于正半轴 c<0→抛物线与y轴交于负半轴 b2-4ac=0→抛物线与x轴有唯一的交点（顶点） b2-4ac 决定抛物线与x轴交点的个数 b2-4ac>0→抛物线与x轴有回 不同的交点 b-4ac<0→抛物线与x轴没有交点 若出现a+b+c,则令x=1,看纵坐标；若出现a-b+c,则令x=-1,看纵坐标 特殊关系 若出现4a+2b+c,则令x=2,看纵坐标；若出现4a-2b+c,则令x=-2,看纵坐标 若出现2a+6,则比较-与1：若出现2a-6,则比较-品与-1 知识点4二次函数与一元二次方程、不等式的关系 二次函数 Ox=x2衣 y=ax2+bx+c (a>0)的图象 图象与x轴(y=0)》 图象与x轴(y=0) 图象与x轴(y=0)无 有两个交点(x1,0), 有且只有一个交点 交点 (x2,0) （(x1,0) 一元二次方程 △>0一方程有两个不相等 △=0台方程有两个相等 4<0台方程没有实数根 ax2+bx+c=0的根 的实数根x=x1或x=x2 的实数根x=x1=x2 不等式 x<x1或x>x2(对应图象 x≠x1的实数 x取任意实数 ax2+bx+c>0的解集 中x轴上方部分) 44 甘肃数学精讲册 重难点突破 重难点1)二次函数的图象与性质 例1一题串知识在探究二次函数y=ax2+ 开口方向 开口 对称轴 直线 bx+c的图象与性质过程中，x与y的几组对应 与x轴 值如下表： 顶点坐标 交点坐标 0 当x= 时， 2 0 -3 -4 -30 与y轴 最值 y有最 交点坐标 (1)请在坐标系中描出对应点，并画出函数的 值为 大致图象； 增减性 (4)若二次函数图象上的点A(-3,n)关于对称 轴对称的点为B,则点B的坐标为 (5)若A(x1,y1),B(x2,y2)是该二次函数图象 上两点，且-2<x1<-1,1<x2<2,则y1,y2 的大小关系为 (6)若方程ax2+bx+c=m有两个不相等的 例1题图 实数根，则m的取值范围为 (2)y关于x的函数表达式为 (7)当m-2≤x≤m时，y有最大值5，则m的 (3)结合图象，将该函数的性质填写在下表： 值为 思路导 由表格中的数据如何直接获得二次函数的相关性质 (1)由(0，-3)，(2，-3)可判断对称轴，理由：找一对y值相等的点坐标可求出对称轴，如(0，-3)， (2,-3),求得对称轴为直线x=1; (2)由(-1,0)，（3,0)可判断与x轴的交点； (3)由(0，-3)可判断与y轴的交点； (4)由(1，-4)可判断顶点坐标与最值，理由：对称轴x=1对应的y值即为最值-4，可得顶点坐标为(1，-4)： 重难点2二次函数表达式的确定（含平移） 例2一题串知识已知二次函数y=ax2+bx+ (-3,0),（2,0),且与二次函数y=2x2的形 c(a≠0)， 状相同，开口方向相同，则二次函数的表达式 (1)若该二次函数图象经过(0,2)，(1,1)，(3， 为y= ;(用交点式表示) 5)三点，则二次函数的表达式为y= (4)已知a=-1,b=4,c=-3,将该二次函数 图象先向上平移3个单位长度，再向右平移1 (用一般式表示) 个单位长度后，得到的抛物线的表达式为 (2)若该二次函数的最小值为3，对称轴为直 Y= 线x=-1,且经过点(2,8)，则二次函数的表 (5)已知b=4,c=-3,若该二次函数先向右 达式为y= ;(用顶，点式表示) 平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 (3)若该二次函数图象与x轴的交点坐标为 后经过点(4,6)，则a= 第三章函数 45 重雅点3】二次函数的图象与系数a,b,c的关系 例3一题串知识如图，是二次函数y=ax2+ (1)a 0,b 0,c 0; bx+c的图象，结合图中的信息，回答下列问 (2)b2-4ac 0; 题.（在横线上填“>”“<”或“=”) (3)2a+b 0; (4)a-b+c 0； (5)2a+c 0; 1023 (6)不等式ax2+c<-bx的解集为 (7)a+b m(am+b)(m≠1).（顶 例3题图 ,点的函数值与其他，点函数值的比较) 甘肃5年中考真题及拓展 命题点1)二次函数的图象与性质 5.[人教九上P40T1变式]一个二次函数，当自 (兰州：4年2考) 变量x=0时，函数值y=-1,且过点(-2 1.[2023兰州7题]已知二次函数y=-3(x- 0)和点(2,0)，则这个二次函数的表达式 2)2-3,下列说法正确的是 A.对称轴为x=-2 为 6.[2025陇南武都区一模]将抛物线y=(x- B.顶点坐标为(2,3) 1)2+3向左平移2个单位长度，所得抛物线 C.函数的最大值是-3 的表达式为 D.函数的最小值是-3 2.[2022兰州11题]已知二次函数y=2x2- 命题点3二次函数的图象与系数a,b,c 4x+5,当函数值y随x值的增大而增大时，x 的关系 的取值范围是 拓展训练 A.x<1 B.x>1 7.[2025广安]如图，二次函数y=ax2+bx+c(a, C.x<2 D.x>2 b,c为常数，a≠0)的图象交x轴于A,B两点， 命题点2二次函数表达式的确定（含平移） 点A的坐标是(-1,0)，点B的坐标是(n,0), 有下列结论：①abc<0;②4a+c>2b;③关于x (省卷：必考；兰州：必考) 的方程ax2+bx+c=0的解是x1=-1,x2=n; 拓展训练 3.[北师九下P45T2变式]已知二次函数的图象 ④-品”其中正确的有 经过A(0,-3),B(2,-3),C(-1,0)三点， 则这个二次函数的表达式为 4.[2025武威凉州区一模]已知抛物线的顶点 坐标为(2,1)，且开口向下，则该抛物线的表 第7题图 达式可以为 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 温馨提示请完戒（课后提升练》P18~19习题 46 甘肃数学精讲册一次函数的表达式为y=2x+4. (2):一次函数y=2x+4的图象交y轴于点B, .B(0,4). 将了=4代人反比例函数的表达式y=中，得x=弓， BC=2, 1.3 9 Sc=2×26=2 3.解：(1)由题意，得a=-1+4=3, 六B(-1,3),代入反比例函数y=中，得k=-3, 反比例函数的表达式为y=一是 (2)一次函数y=x+4的图象向下平移m(m>0) 个单位长度后的图象的表达式为y=x+4-m, 令y=0,得x+4-m=0, 解得x=m-4,∴C(m-4,0). :一次函数y=x+4的图象交x轴于点A, .A(-4,0),∴.AC=m. 1 B(-1,3),Sa4c=2m·3=3, ..m=2. 4.解：(1)：点A在反比例函数y=女(x>0)的图象 上，AB⊥x轴， 5m-1=3,6=6 一反比例函数的表达式为y=6 :一次函数y=子+5的图象过点B(3,0), 3 )×3+b=0,解得b=-之，了 39 “一次函数的表达式为y=2*-2 (2)·过C(5,0)作CD⊥x轴，交过B点的一次函 数y=弓x+b的图象于D点，交反比例函数图象于 E点， -66 当x=5时，y= =5 B5,9),D5,3), 0E=3-g-号 5解：(1)：直线y=2x与反比例函数y=女(x>0) 的图象交于点A(1,a), .2×1=a,k=1×a, ∴.a=2,则k=2, ·反比例函数的表达式为y=2 (2)由(1)可得A(1,2), :过点A作x轴的平行线I,直线y=2x+b与直线l 甘肃数学 交于点B,B2b,2). 2 令y=2x+6=0,则=-2D-分，0). b 当BC=BD,即B为CD的中点时， 此时c2-受4. 又：点C在雨数y2的图象上. 4×(2-)=2,解得6=3， AB∥x轴，BD∥AO,.BD=AO, .结合图象，当BC>BD时，b>3. 精 6.解：(1)：点A在反比例函数图象上， 2-吾解得a=-2 册 将A(-2,2)代入y=kx,解得k=-1. (2)由(1)知，直线的表达式为y=-x. 如解图，过点C作CF⊥y轴于点F, .CF∥0E, ∴.∠FCP=LOEP,∠CFP=∠EOP. 又PE=PC, ∴.△CFP≌△EOP(AAS), .CF=EO,OP FP. 直线y=-x向上平移m个单位长度得到 y=-x+m, 令x=0,得y=m,令y=0,得x=m, .E(m,0),P(0,m), .CF=OE =m,OP=PF =m,..C(-m,2m). :双曲线y=-4过点C, .-m·2m=-4,解得m=√2或m=-√2（舍去）， ∴.m=√2. y 第6题解图 第13讲 二次函数的图象与性质 知识点梳理 ①x=-2a b ②x=h③x=+5 2 b4c-6)⑤(h,k) ④(-2a,4a ⑥名+西，-1 2，-4a(x-)2]⑦减小⑧增大 ⑨增大四减小①k@4ac-B 4a B-子（名-名）2雪左侧西右侧⑥两个 参考答案 5 重难点突破 例1解：(1)描点如解图； 精 例1题解图 讲 (2)y=x2-2x-3或y=(x-1)2-4或 册 y=(x+1)(x-3);(3)向上，x=1,（-1,0)和(3， 0),(1,-4),(0,-3),1,小，-4，当x<1时，y随x 的增大而减小；当x>1时，y随x的增大而增大； (4)(5,12);(5)y1>y2;(6)m>-4;(7)0或4. 例2(1)2-2+2，(2)号(x+1)2+3 (3)2(x+3)(x-2);(4)-+6x-5;(5)- 例3(1)<，>，>；(2)>；(3)=；(4)=；(5)>； (6)x<-1或x>3;(7)> 甘肃5年中考真题及拓展 1.C2.B3.y=x2-2x-3 4y=-30x-2+1(答案不-）5y=+2-1 6.y=(x+1)2+37.C 中考专题四二次函数综合题 例解：(1)：抛物线y=a(x+多)(x-4)经过点 B(0,-4), -4=a×(0+3)0-4a=号， y=号-号-4（或y=(+3(-4) (2)弛物线y=子(：+3(x-4)交x轴于点 A,∴.点A(4,0). .点B(0,-4),.OA=OB=4. ∠A0B=90°，.∠0AB=45°. ~M为OA的中点，0M=M=20A=2 MD⊥OA,∠OAB=45°， ∴.点D的横坐标为2，MC=MA=2, 0=号x2+3)x2-41=1--g, 51 .CD =MD MC= 825 8 (3)①△OBE是等腰三角形.理由如下： 如解图1，过点E作x轴的垂线，垂足为G 当点E的横坐标为2，√2时，0G=2√2，AG=4-22. A0=B0=4,∴.△A0B是等腰直角三角形， 6 甘肃数学 ∴.AB=4V2,∠0AB=45°. ∠AGE=90°，∠GAE=45°， .△AGE是等腰直角三角形，∴.AE=4√2-4. .BE=AB-AE=4V2-(4√2-4)=4 OB=4,.OB=BE,,△OBE是等腰三角形 MG B 图1 图2 例题解图 ②如解图2，画出线段OF,连接BF, ∠EOF=∠AOB=90°，即∠B0F+∠BOE= ∠AOE+∠BOE=90°，.∠B0F=∠AOE. OB=OA,OF=OE,∴.△B0F≌△AOE(SAS), ∴.∠OBF=∠0OAE=45°，BF=AE=√2. 过点F作FQ LOB于点Q, .FQ=BQ=1,0Q=0B-QB=4-1=3, .点F(-1,-3). 当=-1时y=号×(-1+2(-1-4)=-3， 2 ∴.点F(-1,-3)在抛物线上 ③如解图3，连接BF并延长交x轴于点G(若点E 与点B重合，则点F与点G重合)，过点M作 MH⊥BG,垂足为H,连接PM,MF. 由②，同理可得∠0BF=45°， 在△B0G中，∠B0G=90°， .0G=0B=4,∠0GB=45° ∴.△MHC是等腰直角三角形 GM=G0+0M=4+2=6,.MH=3V2. ∠0PA=90,M为0A的中点，PM=20A=2 要PF的值最小，只需PF+PM的值最小. .PF+PM≥MF≥MH, ∴.当PF+PM=MF=MH时，PF+PM取得最小 值，此最小值为MH的值， MH=3√2，PM=2,.PF的最小值为32-2. 2 A龙 B 例题解图3 针对训练 1.解：(1)抛物线y=a(x-h)2+k的顶点为B(2,2√3)， .y=a(x-2)2+25. y=a(x-2)2+25交x轴于点A(4,0), 4a+25=0,解得a=-5 21 抛物线的表达式为y=-(x-2》+26 参考答案