第3章 第11讲 一次函数（精讲册）-【练客中考】2026年甘肃中考数学提优方案

第11讲一次函数 [省卷：5年8考；兰州：4年7考] 知识点梳理 知识点]一次函数的图象与性质 般地，形如y=x+b(k,b是常数，k≠0)的函数，叫作一次函数.特别地，当b=0时，y=x 概念 (k是常数，k≠0)，叫作正比例函数，其中k叫作比例系数 k决定函数 函数图象从左向右呈上升趋势“” 函数图象从左向右呈下降趋势“”， 图象的走向 k>0→ k<0 y随x的增大而① y随x的增大而② 和增减性 b决定函数 b>0曰交点 b<0台交点 b=0曰交点b>0曰交点 b<0曰交点 b=0曰交点 图象与y轴 在正半轴上 在负半轴上 即原点 在正半轴上 在负半轴上 即原点 的交点位置 大致图象 经过的象限 ③ ·、三、四 一三 ④ ⑤ 二、四 与坐标轴的 与x轴的交点坐标为⑥ (即y=0),与y轴的交点坐标为⑦ (即x=0) 交点坐标 【温馨提示】(1)点到直线的距离：点A(x1,y1)到直线y=x+b(变形为x-y+b=0)的距离公式： lkx1-y1+bl d= √2+1 (2)两平行线间的距离：两平行线l1:y1=x+b1与l2:y2=x+b2间的距离d= b1-b2 √2+1 知识点2一次函数表达式的确定 方法 待定系数法 （1)一设：设出一次函数的表达式y=kx+b(k≠0)； (2)二列：找出函数图象上的两个点，代入y=x+b中，得到关于k,b的二元一次方程组； 一般步骤 (3)三解：解这个二元一次方程组，得到k,b的值； (4)四还原：将所求k,b的值代入所设的函数表达式 【温馨提示】(1)在一次函数y=kx+b中，k是斜率，11表示倾斜程度，直线越陡，k|越大，直线越接近 y轴； (2)在同一平面直角坐标系内，直线l1:y1=k1x+b1,直线l2:y2=k2x+b2; a.若l1∥儿2，则k1=k2且b1≠b2;b.若l11l2,则k1·2=-1. (3)若已知一次函数图象上两点(x1,y1),(x2,y2),一次函数图象与x轴的夹角为a,则1k|=tana=| Y2-y X2-1 34 甘肃数学精讲册 知识点3一次函数图象的平移与对称 向左平移m个单位长度 y=k(x+⑧ ）+b y=kx+b图象 向右平移m个单位长度 y=k(x-m)+b 口诀：对x左加右减； 的平移 向上平移m个单位长度 y=kx+b+m 函数整体上加下减 向下平移m个单位长度 y=kx+b-⑨ 关于x轴对称 -y=kx+b 口诀：关于谁对称，谁 关于y轴对称 y=k·(⑩ )+b 不变； y=kx+b图象 关于原点对称 -y=k·（-x)+b 关于原点对称都 的对称 关于y=x对称 x=ky+b 改变； 三换，二四负着换 关于y=-x对称 -x=k·(① )+b 【温馨提示】图象的平移本质上是点的平移，当函数图象变化比较复杂时，可将图象的变化先转化为点的变 化，再利用待定系数法求出变化后的函数图象表达式 知识点4一次函数与方程（组）、不等式的关系 与一元一次 一次函数y=x+b(k≠0)的图象与x轴的交点为(m,0)台关于x的一元一次方程x+b= 方程的关系 0的解为@ 一次函数y1=kx+b,与y2=k2x+b2的图象交于点A(m,n)曰关 y=k x+b 与二元一次 [y=kx+b 方程组的关系 于x,y的二元一次方程组 的解为B Ly=h2x+b2 v=kx+b (1)x+b>0的解集曰一次函数y=x+b的图象位于x轴上方 ↑Yy=kx+b 与一元一次 部分对应的x的取值范围； <0 不等式的关系 (2)x+b<0的解集曰一次函数y=x+b的图象位于x轴 y>0 ④ 部分对应的x的取值范围 知识点5 一次函数的实际应用 第一步：审题，明确变量； 建立函数模型 第二步：根据两变量间的等量关系，确定函数表达式； 解决实际问题 第三步：确定自变量的取值范围，利用函数性质解决问题； 的步骤 第四步：回归实际问题 (1)图象类：函数图象是一条直线（或直线的一部分）； 判断等量关系为 (2)表格类：当自变量的变化值均匀时，函数的变化值也是均匀的，而且当自变量的变化 一次函数的情况 值为1时，函数的变化值就是自变量的系数k； (3)文字类：当自变量每变化1个单位时，因变量就相应变化k个单位 (1)最优方案或方案选择问题：常通过比较函数值的大小关系确定方案； 常见问题类型 (2)利润最大或费用最少问题：通过函数增减性确定最值 注意：根据实际情况确定变量的取值范围 第三章函数 35 重难点突破 重雅点1)一次函数的图象与性质 所得函数的表达式为 再向下平移6 例1一题串知识已知关于x的一次函数y= 个单位长度，所得函数的表达式为 (n-3)x+2-n. (3)要得到函数y=2x+1的图象，只需将该 (1)若y是关于x的正比例函数，则n的值 函数的图象向 平移2个单位长度，或 为 者向左平移 个单位长度； (2)若y随x的增大而增大，则n的取值范围 (4)将该函数的图象向下平移3个单位长度， 是 若所得函数的图象经过点(a,3),则a的值 (3)若该函数的图象不经过第三象限，则n的 为 取值范围是 (5)若函数y=x+b的图象与该函数的图象 (4)当n=5时，若自变量x>3,函数y的值可 关于y轴对称，则函数y=x+b的表达式 以是 ;(写出一个合理的值即可) 为 ,关于y=-x对称，则函数 (5)当n>3时，点(x1,y1),(2,y2)是该一次函 y=x+b的表达式为 数图象上的两点，且x1<x2,则y Y2; (6)过点P(2,1)作与该函数平行的直线y= (6)若该函数图象经过点(4,2)； x+b,则直线y=x+b的表达式为 ①则该函数的表达式为 作与该函数垂直的直线y=x+b,则直线 ②当-1≤x≤4时，则y的取值范围是 y=x+b的表达式为 重难点3一次函数与方程（组）、不等式 ③该图象与x轴的交点A的坐标为 的关系 与y轴的交点B的坐标为 ,△AOB 例3三题串知识如图，已知一次函数y=ax+b 的面积为 和y=x的图象交于点P,则根据图象可得： (7)该函数图象恒过一点，则该点的坐标 为 y=ax+b =hx 重难点2 次函数表达式的确定（含图象 0. 的平移与对称) -3-2-123 例3题图 例2一题串知识已知x与y的几组对应值如 (1)ax+b>1的解集是 下表： (2)方程ax+b=0的解是 2 2 0 2 [y=ax+b (3)关于x,y的二元一次方程组 的解 m (1)y关于x的函数表达式为 ,m的 是 值为 rax+b≥hx (4)不等式组 的解集是 (2)将该函数的图象向左平移3个单位长度， lax+b≤3 36 甘肃数学精讲册 甘肃5年中考真题及拓展 命题点1一次函数的图象与性质 拼合方式，若设每张桌面的宽为x尺，长桌的 (省卷：5年3考；兰州：4年3考) 长为y尺，则y与x的关系可以表示为 1.[2024兰州5题]一次函数y=2x-3的图象 不经过 () 燕 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 固 2.[2023省卷4题]若直线y=x(k是常数，k≠0) 图1 图2 经过第一、第三象限，则k的值可为() 第7题图 A.-2 B.-1 c.- D.2 A.y=3x B.y=4x C.y=3x+1 D.y=4x+1 3.[2023兰州11题]一次函数y=kx-1的函数 8.[2024兰州一诊8题]在一定温度范围内，声 值y随x的增大而减小，当x=2时，y的值可 音在空气中的传播速度v(m/s)可看作是温度 以是 ( t(℃)的一次函数，根据下表数据，则v与t的 A.2 B.1 C.-1 D.-2 函数表达式为 ( ) 4.[2022兰州6题]若一次函数y=2x+1的图 温度 象经过点(-3，y1),（4,y2),则y1与y2的大 -10 0 10 20 30 t(℃) 小关系是 A.y<y2 B.y1>Y2 传播速度 324 330 336 342 348 C.y1≤y2 D.y1≥y2 v(m/s) 5.[2024省卷12题]已知一次函数y=-2x+4, A.v=6t+330 B.v=-6t+330 当自变量x>2时，函数y的值可以是 C.v=0.6t+330 D.v=-0.6t+330 (写出一个合理的值即可). 命题点3)一次函数与方程（组）、不等式的 命题点2】一次函数表达式的确定（含平移） 关系 (省卷：5年5考；兰州：必考) 9.[2025兰州一诊9题]如图，已知直线y= 6.[2021省卷5题]将直线y=5x向下平移2个 单位长度，所得直线的表达式为 +b经过点A(-2,3),则关于x的方程 1 A.y=5x-2 B.y=5x+2 、、 5x+6=3的解是 C.y=5(x+2) D.y=5(x-2) 7.[2024省卷7题]如图1，“燕几”即宴几，是世 界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思 设计.全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张 O 长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都 第9题图 相等.七张桌面分开可组合成不同的图形.如 A.x=2 B.x=-2 图2给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面 C.x=3 D.x=-3 温馨提示清完成《裸后提升练》P15习题 第三章函数 37第11讲一次函数 知识点梳理 ①增大②减小③一、二、三④一、二、四 ⑤二三、四⑥(-冬，0)⑦(0,6)⑧m⑨m 0-x四-y②x=mG化三m④下方 ly=n 重难点突破 例1(1)2；(2)n>3;(3)n≤2；(4)5（答案不唯一）； (5)<;(6)①y=x-2,②-3≤y≤2，③(2,0)，(0， -2),2;(7)(1,-1). 精 例2(1)y=2x-1,3;(2)y=2x+5,y=2x-1;(3)上， 讲 15(4)3(5)y=-2x-1,y=7-7:(6)y= 册 1 2x-3,y=-2x+2. 例3(1)x>-3:(2)x=- 2;(3)=-3 ly=1; (4)-3≤x≤0. 甘肃5年中考真题及拓展 1.B2.D3.D4.A5.-3(答案不唯一) 6.A7.B8.C9.B 第12讲反比例函数的图象与性质 知识点梳理 ①>②<③减小④增大⑤轴对称 ⑥中心对称⑦Ik!( 岁@11211 @2 ,②Ik1B2IkI 重难点突破 例1=兰，-三，减小，(2)-号：(3)在：(4)0< x<2,-4<y<-1;(5)y3<y1<y2;(6)0;(7)2. 甘肃5年中考真题及拓展 1.C2.1(答案不唯一)3.A4.B 中考专题三反比例函数综合题 例解：(1)一次函数y=-x+b与反比例函数y= 左的图象交于4(4,1)，B两点， .1=-4+b,k=4×1, ∴.b=5,k=4, ∴.一次函数的表达式为y=-x+5,反比例函数的 表达式为是 (2)如解图1，设一次函数图象与x轴交于点E. 4 联立方程组{ y= Ly=-x+5 第得14 .B(1,4) 在y=-x+5中，令y=0,则x=5, ∴.E(5,0),.0E=5, ∴Saam=Sam-S6m=20B(a-X）=7× 甘肃数学 5×(4-1)= 15 y 图1 图2 例题解图 (3)不等式+冬-b<0整理，得兰<-x+6, 根据函数图象可知，不等式的解集为1<x<4. (4)如解图2，连接0A,在y=-x+5中，令x=0,则 y=5, .C(0,5),.0C=5, 设D(0,yn),则CD=lyD-51. :Sw=子e, 1.1 即2×。-5x1=4×7×5x4, 1 解得yn=0(舍去)或10， ∴.点D的坐标为(0,10). (5)将一次函数y=-x+5的图象向下平移n个单 位长度得到y=-x+5-n, 令生-+5-m, 整理，得x2-(5-n)x+4=0. :平移后的函数图象与反比例函数的图象只有一 个交点， .△=(5-n)2-16=0,解得n=9(舍去)或n=1. .n的值为1. 针对训练 1解：(1)由题意可得-分×8+6=0，解得6=4， 一次函数的表达式为y=分+4 将点4(m,3)代人上式，得3=方m+4, 解得m=2,.A(2,3),.k=2×3=6, ·反比例函数的表达式为y=6 (2)C(0,4),B(8,0),A(2,3),设点P(0,x), .PC=4-x, 1 Sa4=2×(4-)×2=6, 解得x=-2, .P(0,-2) 2.解：(1)：一次函数y=2x+6与反比例函数y=k 的图象交于点A(-3,-2), .-2=2×(-3)+b,k=-3×(-2)=6, 六6=4，k=6,反比例函数的表达式为y=6 参考答案