第2章 第7讲 一元二次方程及其应用（精讲册）-【练客中考】2026年甘肃中考数学提优方案

3.解：整理方程组，得{4w-y=8②' 「3x-2y=4① ②×2-①，得5x=12, 解得号 把-号代入@，得智-y=8, 解得。 x= 12 则方程组的解为 y=5 4.A5.C6.A7.A8.A9.6010.6 第6讲分式方程及其应用 知识点梳理 ①未知数②0③最简公分母 甘肃5年中考真题及拓展 1.-1 2.解：原方程去分母，得3x=2x+2, 解得x=2, 检验：当x=2时，x(x+1)≠0， 故原方程的解为x=2. 3.解：原方程去分母，得9=x-3(x+1), 去括号，得9=x-3x-3, 移项，得3x-x=-3-9, 合并同类项，得2x=-12, 系数化为1，得x=-6, 检验：当x=-6时，3(x+1)≠0， 故原方程的解为x=-6. 4.B4-1D5.A6.C7.A8.B 第7讲一元二次方程及其应用 知识点梳理 ①2②±Vm③-m±n④x=-b±YB-4e 2a ⑤b-4c⑥>⑦相等⑧无⑨-b⑩9 a ①a(1+x)2②a(1-x)2B(a-2x)(b-2x) ④(a-x)(b-x）⑤(a-x)(b-x) 甘肃5年中考真题及拓展 1.解：移项，得x2-4x=3, 配方，得x2-4x+4=3+4,即(x-2)2=7, 开方，得x-2=±√7， 1=2+√7，x2=2-万. 2.解：(1)原方程可变形为(3x-7)2-2(3x-7)=0. .(3x-7)[(3x-7)-2]=0, 7 3x-7=0或3x-9=0,名1=3x=3. (2)x2+√5x-11=0, a=1,b=5,c=-11, .b2-4ac=(5)2-4×1×(-11)=49>0, x=-5±49--5±7 2×1 21 即x1= -5+7 2,*2= -5-7 2 甘肃数学 3.D4.D5.B 5-1m≤3且m≠05-2-6√2<m<6√2 6.C7.08.B9.A 第8讲一元一次不等式（组）及不等式的应用 知识点梳理 ①>②>③>④<⑤<⑥x<a ⑦x≤a⑧x≤b⑨无解⑩≥①≤ 甘肃5年中考真题及拓展 1.C2.C r2x+3≥-5① 3.解： -24@ 精 解不等式①，得x≥-4， 讲 解不等式②，得x<5, 册 .不等式组的解集为-4≤x<5. 4.解：解不等式3x-3<x+7,得x<5, 解不等式-4>，得3， .不等式组的解集为3<x<5. 5.解：x≥-1，x<4, 在数轴上表示如解图： 5-43-21012345 第5题解图 -1≤x<4. 6.C 第三章函数 第9讲平面直角坐标系 知识点梳理 ①x<0,y<0②x>0,y<0③0④0⑤相等 ⑥x1⑦相反数⑧-x2⑨纵0y1①横 2x2B(x-c,y）④(x,y-c)⑤(-x,y）) ⑥(-x,-y）⑦√x2+y ®√/(x2-x,)2+(y2-y1)2 四（产+，+么） 2 2 甘肃5年中考真题及拓展 1.D2.（-4,1)3.(1,4)4.(7,0) 第10讲函数及其图象 知识点梳理 ①自变量②函数③全体实数④使分母不为0 的实数⑤被开方数≥0⑥被开方数≥0且分母不 为0 重难点突破 例1A例2D 甘肃5年中考真题及拓展 1.x≥32.C3.A4.C5.B6.B7.C8.C 中考专题二几何动态问题中的函数图象 分析与判断 1.A[拓展设问](2,4) 2.B3.C4.D5.B6.B7.B8.C9.A 10.B 参考答案第7讲一元二次方程及其应用 [省卷：5年4考；兰州：4年4考] 知识点梳理 Q2022年版课标重要变化 了解一元二次方程的根与系数的关系.（删除“*”，改为必学） 知识点个 一元二次方程 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是① (二次)的方 概念 程，叫作一元二次方程 一般形式 ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0) 开平方法 x2=m(m≥0)→x=② ,(x+m)2=n(n≥0)→x=③ 适用于：二次项系数化为1后，一次项系数为偶数 例：2x2-12x-9=5 的一元二次方程 步骤：(1)移项：将常数项移到方程的右边； 2x2-12r=14 配方法 (2)变形：将二次项系数化为1； x2-6x=7 (3)配方：方程两边同时加上一次项系数一半的 x2-6x+9=7+9,即(x-3)2=16 平方； (4)求解：用直接开平方法求解 x=-1,x=7 解法 适用于所有一元二次方程，当b2-4ac≥0(a≠0)时，实数根可写为④ 在 公式法 使用求根公式时：(1)要先将方程化为一般式，再利用公式求解； (2)a,b,c代入公式时应注意其符号 通过因式分解，转化为一次方程求解： 因式 a2+x+e=0a40)分图赋，(mx+n0m+g）=0转靴为-元-次程 x+n=0或px+q= 分解法 0,求得x的值 注：方程求解过程中，等式两边不能同时约去含有相同未知数的因式，避免丢根 【温馨提示】(1)m,n是方程ax2+bx+c=0的两根，则a(x-m)(x-n)=0; (2)若a2+a-1=0,b2+b-1=0,则a,b可看作方程x2+x-1=0的两根 知识点2根的判别式 般地，式子⑤ 叫作一元二次方程ax2+bx+c=0根 【温馨提示】根据字母系数求根 概念 的判别式，通常用希腊字母“△”表示它，即△=b2-4ac 的情况的值时应注意： (1)4⑥ 0曰方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等 (1)使用之前一定要把方程化 的实数根； 为一般形式，以便正确找出a, 根的情况 (2)△=0曰方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个⑦ 的实 b,c的值； 与判别式 数根； (2)若题目中未指明已知方程 的关系 (3)A<0曰方程ax2+bx+c=0(a≠0)⑧ 实数根； 为一元二次方程，则应分情况 (4)△≥0曰方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根 讨论 第二章方程（组）与不等式（组） 21 知识点3根与系数的关系 定理：若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根，则x1+x2=⑨ x1·x2=0 逆定理：若x1+x2=m,x1·x2=n,则以x1,x2为根的一元二次方程是x2-mx+n=0 【温馨提示】根与系数关系的常见变形： (1)1+1=+名小 根与系数 的关系 (2)+x号=(x1+x2)2-2x1x2; (3)(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2 (4)克+车=+经_（西+）》2-24 X2 %1 x1%2 X1X2 (5)x-1= lal 知识点乙4 一元二次方程的实际应用 常见类型 等量关系 平均增长 设a是基础量，b为增长（下降）后的量 (下降) 若x为平均增长率，2为增长次数，则b=① 率问题 若x为平均下降率，2为下降次数，则b=② (1)常用公式：利润=售价-成本；总利润=每件利润×销售量； 销售问题 (2)单价每涨a元，少卖b件，若涨价y元，则少卖的数量为义·b 设矩形ABCD的长为a,宽为b,空白部分的宽为x,则： 面积问题 B d S阴影=固 S阴影=國 S阴影=固 (1)细胞分裂：现有α个细胞，若每轮分裂中每一个细胞可分裂成x个细胞，则第一轮分裂后的 细胞总数为ax,第二轮分裂后的细胞总数为ax2; (2)病毒传染：有一个人患流感，若每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮后共有 传播问题 (1+x)个人患流感，第二轮后共有(1+x)2个人患流感； (3)植物主干分支：一种植物的主干长出a个支千，每个支干又长出a个小分支，则主千、支干 和小分支的总数为(1+a+a2)个 单循环问题：有几个人，相互之间握一次手，则握手总次数为，1山(n为人数，且n≥2) 循环问题 2 双循环问题：有n个人，每2人之间互赠一个礼物，则礼物总份数为n(n-1)(n为人数，且n≥2) 【温馨提示】实际问题需要验根，检验根是否符合实际意义 22 甘肃数学精讲册 甘肃5年中考真题及拓展 命题点1]解一元二次方程（省卷：2022.4） 命题点3根与系数的关系 1.[2025兰州一诊18题]用配方法解方程： 拓展训练 x2-4x-3=0. 6.[2025乐山]若方程x2-x-2=0的两个根 是1和x2,则xx2+x1x的值为 A.-1 B.1 C.-2 D.2 拓展训练 7.[2025天水麦积区三模]设，B是方程x2 2.按要求解下列方程： 2x-2025=0的两个实数根，则a2+aB-2a (1)(3x-7)2=2(3x-7)(因式分解法)； 的值为 (2)x2+W5x-11=0(公式法). 命题点4】一元二次方程的实际应用 拓展训练 8.平均增长率问题[2025龙东地区]随着“低 碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车 命题点2根的判刷试（省卷：5年3考；兰州：必考） 已经逐渐成为人们喜爱的交通工具.某品牌 3.[2025兰州6题]若关于x的一元二次方程 新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆 x2+2x+a=0有两个不相等的实数根，则a 增加到三月份的12000辆，设该汽车一月至 的值可以是 三月销售量平均每月增长率为x,则可列方 A.3 B.2 C.1 D.0 程为 4.[2024兰州9题]关于x的一元二次方程 A.8000(1+2x)=1200 9x2-6x+c=0有两个相等的实数根，则c= B.8000(1+x)2=12000 ( C.8000+8000(1+x)+8000(1+x)2=12000 A.-9 B.4 C.-1 D.1 D.8000×2(1+x)=12000 5.[2025省卷5题]关于x的一元二次方程 9.面积问题[2025辽宁]中国古代数学家杨辉 3x2-6x+m=0有两个实数根，则m的取值 的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八 范围是 ( 百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔 A.m<3 B.m≤3 几何.”其大意是：一块矩形田地的面积为 C.m>3 D.m≥3 864平方步，只知道它的长与宽共60步，问 5-1变条件一有实数根关于x的一元二次方 它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为x 程mx2-6x+3=0有实数根，则m的取值范 步，根据题意可列方程为 围是 A.x(60-x)=864 5-2变条件一无实数根关于x的一元二次方 B.x(x-60)=864 程3x2-x+6=0无实数根，则m的取值范 C.x(60+x)=864 围是 D.2[x+(x+60)]=864 温馨提示请完成《课后提升徐》9习题 第二章方程（组）与不等式（组） 23