第2章 第5讲 一次方程 (组) 及其应用（精讲册）-【练客中考】2026年甘肃中考数学提优方案

第5讲一次方程（组）及其应用 [省卷：5年2考；兰州：4年2考] 知识点梳理 Q2022年版课标重要变化 ①能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题（改动）列出方程；理解方程解的意义.（新增） ②掌握代人（删除）消元法和加减消元法（删除），能解二元一次方程组 知识点等式的性质 等式的两个 等式两边可以交换 如果a=b,那么b=a 基本事实 相等关系可以传递 如果a=b,b=c,那么a=c 等式两边加（或减）同一个 性质1 数（或式子），结果仍相等 如果a=b,那么a±c=① 应用解方程中的移项 等式两边乘同一个数，或除 如果a=b,那么ac=② 应用解方程中的去分母； 性质2 以同一个不为0的数，结果 如果a=b(c≠0)，那么③ 6应用解方程中的系 仍相等 数化为1 知识点2一元一次方程 方程只含有一个未知数（元），未知数的次数都是④ ,等号两边都是整式，这样的 概念 方程叫作一元一次方程 一般步骤 去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1（注：具体顺序依据具体题而定） 知识点3二元一次方程（组） 二元一次 方程含有⑤ 个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫作二 方程的概念 元一次方程 二元一次 方程组中有⑥ 个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方 方程（组）的概念 程，像这样的方程组叫作二元一次方程组 二元一次 般地，二元一次方程组的两个方程的⑦ ,叫作二元一次方程组的解 方程组的解 基本思路 二元一 次方程组消 转化 一元一次方程 运用类型：(1)方程组中一个方程的常数项为0； 二元一次 代入消元法 (2)方程组中某个未知数的系数是1或-1 方程组的 运用类型：(1)方程组中同一未知数的系数的绝对值相等或成 解法 消元方法 整数倍； 加减消元法 (2)方程组中同一未知数的系数不相同也不互为相反数， 找同一未知数系数的最小公倍数 16 甘肃数学精讲册 知识点4一次方程（组）的实际应用 常见类型 等量关系 购买问题 总价=单价×数量；甲数量+乙数量=总数量 (1)利润=售价-进价（成本）； 销售问题 (2)利润率=利润 进价 ×100%; (3)售价=标价×折扣（几折就乘十分之几）； (4)销售额=售价×销量 工程问题 (1)工作总量=工作效率×工作时间； (2)甲、乙合作的工作效率=甲的工作效率+乙的工作效率（通常把工作总量看作单位“1”） 相遇问题 (1)s甲+5z=SAB,t甲=tz;(2)(U甲+vz)·t=S总AB (同时相向 甲的行程 乙的行程 A日 B 出发) 甲出发点 相遇地 乙出发点 同时不同地出发：(1)s甲=Sz+SB, 同地不同时出发：若甲出发th后，乙 行程问题 追及问题 t甲=tz;(2)(v甲-vz）·t=SB 才出发，而后在B处追上甲，则s甲= (同时同向 甲的行程 sz,t甲=t+tz 出发) B 乙的行程 乙出发点→ A B------- 甲出发点乙出发点 甲追上乙 甲出发点一 乙追上甲 顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度 航行问题 静水速度=顺水速度+逆水速度；水流速度=顺水速度，逆水速度 2 2 积分问题 比赛总场数=胜场场数+平场场数+负场场数；比赛总积分=胜场积分+平场积分+负场积分 配套问题 m件A产品与n件B产品配套：A产品的数量×n=B产品的数量×m 甘肃5年中考真题及拓展 命题点1)等式的性质 命题点2解一次方程（组） 拓展训练 拓展训练 1.在物理学中，导体中的电流I跟导体两端的 3.[2025陇南武都区校级二模]解方程组： 电压U、导体的电阻R之间有以下关系：I= 只，变形得R=心，那么其变形的依据是 4x-y=8② ( A.等式的基本性质1B.等式的基本性质2 C.分数的基本性质D.去括号法则 2.[2025平凉崆峒区三模]若m=n,则下列等 式中错误的是 A.-2m=-2n B.2+m=2+n D.2-m=2+n 第二章方程（组）与不等式（组） 17 命题点3一次方程（组）的实际应用 拓展训练 (省卷：5年2考；兰州：4年2考) 7.追及问题[2025天津]《算学启蒙》是我国古 4.相遇问题[2022省卷8题]《九章算术》是中 代的数学著作，其中有一道题：“今有良马日 国古代的一部数学专著，其中记载了一道有 行二百四十里，驽马日行一百五十里.驽马 趣的题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北 先行一十二日，问良马几何日追及之.”意思 海，九日至南海.今凫雁俱起，问何日相逢？” 是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马 大意是：今有野鸭从南海起飞，7天到北海；大 每天走150里.慢马先走12天，快马几天可 雁从北海起飞，9天到南海.现野鸭从南海、大 以追上慢马？设快马x天可以追上慢马，则 雁从北海同时起飞，问经过多少天相遇？设 可以列出的方程为 经过x天相遇，根据题意可列方程为() A.240x=150(x+12) A(号+)x=1 B(号)x=1 B.240x=150(x-12) C.150x=240(x+12) C.(9-7)x=1 D.(9+7)x=1 D.150x=240(x-12) 5.配套问题[2021省卷8题]我国古代数学著 8.积分问题[新人教七上P137T1变式]在某校 作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三 举办的足球比赛中规定：胜一场得3分，平 人共车，二车空；二人共车，九人步.问：人与 一场得1分，负一场得0分.某班足球队参 车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如 加了12场比赛，共得22分，已知这个队只 果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每 输了2场，为求此胜几场和平几场.设这支 2人坐一辆车，那么有9人需要步行，问人与 足球队胜x场，平y场.根据题意，列出如下 车各多少？设共有x人，y辆车，则可列方程 四个方程组，其中正确的是 组为 () [x+y+2=12 A3(0-2)=x A. B.+y=12 3(y+2)=x 3x+y=22 3x+y=22 B. 2y-9=x 2y+9=x [x+y+2=0 c.3(y-2)=x C. D.x+y+2=12 3(y+2)=x D. 3x+y=22 l3x+y=12 2y+9=x 2y-9=x 9.销售问题[2025武威一模]一家商店将某种 6.购买问题[2025兰州9题]《九章算术》是中 商品按成本价提高50%后，标价为450元 国传统数学最重要的数学著作之一.“方程 又以八折出售，则售出这件商品可获利润 章”第11题大意是：两匹马一头牛总价超过1 为 元 万，超过部分等于半匹马的价格；一匹马两头 10.工程问题[新北师七上P155T6变式]随 牛的总价不足1万，不足部分等于半头牛的价 着智能分拣设备在快递业务中的普及， 格，问一匹马、一头牛的价格分别是多少？若 快递分拣效率大幅提高.某物流中转站 设一匹马价格为x,一头牛价格为y,则可列方 为提高工作效率，配置了快递自动化智 程组为 ( 能分拣设备，现对一批中转货物进行分 2x+y-10000= 1 2 r10000-(2x+y）=2x 拣.若每套设备每小时分拣3.5万件，则 1 10000-(x+2y)=2) x+2y-10000=2) 经过1h,剩下4万件未分拣；若每套设 备每小时分拣4万件，则经过1h,剩下1 [x+2y-10000=1 (2x +y= 21 万件未分拣.该物流中转站配置了这样 1000-(2x+y1= x+2y=2 的分拣设备有 套 温馨提示请完成《课后提计练》P7习题 18 甘肃数学精讲册参考答案 1.精 第一章数与式 第1讲实数 知识点梳理 ①无限循环小数②无限不循环小数③0 ④-154.3米⑤xg-x4⑥0⑦相等⑧-a ⑨x<-2四片①±1巴5.2国-6四6 精 ⑤±a0a⑩<⑧a2<a<a<1 讲 册 四-4③号@1②9图时 甘肃5年中考真题及拓展 1.-109072.B3.D4.B5.B6.B7.C 8.C9.B10.B11.C12.A13.214.A 15.D16.<17.D18.8 19解：原式=1+2-2×号 =3-√2. 第2讲二次根式 知识点梳理 ①大于或等于0②a⑧-a④a·6⑤ ⑥最简⑦相同 甘肃5年中考真题及拓展 1.3(答案不唯一)2.B 3.解：原式=3√2-2√2 =√2. 4.解：原式=2√3-√3 =√5. 5.解：原式=35×2x22-62 =122-6√2 =6√2. 6.A7.B8.A9.C10.7 第3讲代数式与整式（含因式分解） 知识点梳理 ①-子②4③不变④改变⑤相减 ⑥am-n⑦相乘⑧am⑨a"b⑩pa+pb+pc ①ap+aq+bp+bg②a2±2ab+b23a2-b2 ④m(a+b+c)⑤(a+b)(a-b)⑥(a±b)2 甘肃5年中考真题及拓展 1.12.D3.D4.A5.3a 6.解：原式=a2-4+3a-a =3a-4. 7.解：原式=[4a2+4ab+b2-(4a2-b2)]÷2b =(4a2+4ab+b2-4a2+b2)÷2b =(4ab+2b2)÷2b =2a+b. 2 甘肃数学 讲册 当a=2,b=-1时， 原式=2×2+(-1)=4+(-1)=3. 8.2m(2-m)9.(x-3)2 10.(x-5y)(x+5y)11.2(x+1)2 12.2(x+2)(x-2)13.a”+（-1)n+1.262-1 14.31 中考专题一规律探索 1.(-2)-1x2n-12.clever3.164.85.11,60,61 6.B7.(675,-1)8.19.3n+210.2111.44 第4讲分式 知识点梳理 ①B②公因式③B≠0④A=0且B≠0 ⑤不等于0的整式⑥a±b⑦ad±bc n bd ⑧%o喘 甘肃5年中考真题及拓展 1.x≠21-121-2x>22.A3.D4.A 5解：原式2z22 =1+x-1.(x+2)(x-22 x-1x+2(x-1)2 =1+x-2 -x-1x-1 =1. 6.解：原式=a+26-a-6.(a-2b)2 a+b-a-26"(a+b)(a-b) -a+2b_a-2b a+b a+b 4b a+b 7.解：原式=a+1+a+7÷a+4 a+1 a a 2(a+4).a a+1a+4 2a_ a+1, 当a=4时，原式-号 第二章方程（组）与不等式（组） 第5讲一次方程（组）及其应用 知识点梳理 ①b±c②bc③a( ④1⑤两⑥两 ⑦公共解 甘肃5年中考真题及拓展 1.B2.D 参考答案 3.解：整理方程组，得{4w-y=8②' 「3x-2y=4① ②×2-①，得5x=12, 解得号 把-号代入@，得智-y=8, 解得。 x= 12 则方程组的解为 y=5 4.A5.C6.A7.A8.A9.6010.6 第6讲分式方程及其应用 知识点梳理 ①未知数②0③最简公分母 甘肃5年中考真题及拓展 1.-1 2.解：原方程去分母，得3x=2x+2, 解得x=2, 检验：当x=2时，x(x+1)≠0， 故原方程的解为x=2. 3.解：原方程去分母，得9=x-3(x+1), 去括号，得9=x-3x-3, 移项，得3x-x=-3-9, 合并同类项，得2x=-12, 系数化为1，得x=-6, 检验：当x=-6时，3(x+1)≠0， 故原方程的解为x=-6. 4.B4-1D5.A6.C7.A8.B 第7讲一元二次方程及其应用 知识点梳理 ①2②±Vm③-m±n④x=-b±YB-4e 2a ⑤b-4c⑥>⑦相等⑧无⑨-b⑩9 a ①a(1+x)2②a(1-x)2B(a-2x)(b-2x) ④(a-x)(b-x）⑤(a-x)(b-x) 甘肃5年中考真题及拓展 1.解：移项，得x2-4x=3, 配方，得x2-4x+4=3+4,即(x-2)2=7, 开方，得x-2=±√7， 1=2+√7，x2=2-万. 2.解：(1)原方程可变形为(3x-7)2-2(3x-7)=0. .(3x-7)[(3x-7)-2]=0, 7 3x-7=0或3x-9=0,名1=3x=3. (2)x2+√5x-11=0, a=1,b=5,c=-11, .b2-4ac=(5)2-4×1×(-11)=49>0, x=-5±49--5±7 2×1 21 即x1= -5+7 2,*2= -5-7 2 甘肃数学 3.D4.D5.B 5-1m≤3且m≠05-2-6√2<m<6√2 6.C7.08.B9.A 第8讲一元一次不等式（组）及不等式的应用 知识点梳理 ①>②>③>④<⑤<⑥x<a ⑦x≤a⑧x≤b⑨无解⑩≥①≤ 甘肃5年中考真题及拓展 1.C2.C r2x+3≥-5① 3.解： -24@ 精 解不等式①，得x≥-4， 讲 解不等式②，得x<5, 册 .不等式组的解集为-4≤x<5. 4.解：解不等式3x-3<x+7,得x<5, 解不等式-4>，得3， .不等式组的解集为3<x<5. 5.解：x≥-1，x<4, 在数轴上表示如解图： 5-43-21012345 第5题解图 -1≤x<4. 6.C 第三章函数 第9讲平面直角坐标系 知识点梳理 ①x<0,y<0②x>0,y<0③0④0⑤相等 ⑥x1⑦相反数⑧-x2⑨纵0y1①横 2x2B(x-c,y）④(x,y-c)⑤(-x,y）) ⑥(-x,-y）⑦√x2+y ®√/(x2-x,)2+(y2-y1)2 四（产+，+么） 2 2 甘肃5年中考真题及拓展 1.D2.（-4,1)3.(1,4)4.(7,0) 第10讲函数及其图象 知识点梳理 ①自变量②函数③全体实数④使分母不为0 的实数⑤被开方数≥0⑥被开方数≥0且分母不 为0 重难点突破 例1A例2D 甘肃5年中考真题及拓展 1.x≥32.C3.A4.C5.B6.B7.C8.C 中考专题二几何动态问题中的函数图象 分析与判断 1.A[拓展设问](2,4) 2.B3.C4.D5.B6.B7.B8.C9.A 10.B 参考答案