专题01 数与式中的求值、动点与规律探索（6大题型4难点16新考法，题型清单）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测

专题01 数与式中的求值、动点与规律探索 （6大题型4难点16新考法，题型清单） 题型一：利用非负性求值（高频考点） 难点01 结合相反数的定义列出等式 难点02 结合二元一次方程组求解 新考法01 结合三角形求解 新考法02 结合三角函数求解 新考法03 与平面直角坐标系结合 题型二：代数式求值（高频考点） 难点01 结合代数式的值确定字母的关系 新考法01 结合方程（组）求代数式的值 新考法02 结合函数求代数式的值 题型三：整除问题 新考法01 整除与概率 题型四：数轴动点问题 难点01 分类讨论三个动点位置关系问题 新考法01 新定义阅读理解 题型五：数或式的规律探索（高频考点） 新考法01 新定义与规律探索综合 新考法02 规律探索与数学文化 新考法03 立方根规律探索 新考法04 跨化学学科综合 题型六：图形规律探索（高频考点） 新考法01 跨化学学科 新考法02 图形操作中规律探索 新考法03 勾股树规律探索 新考法04 函数中的规律探索 新考法05 多面体规律探索 题型一：利用非负性求值 若几个具有非负性的数或式子相加和为0,则每一个加数均为0;常见的非负数有绝对值、偶次方值、二次根式值. 口诀助记： 非负三类记分明,偶次方、绝对值、算术根:和为零则各为零,求出字母代数值. 【中考母题溯源·学方法】 【典例1】（2025·四川凉山·中考真题）若，则的平方根是（    ） A．8 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ，得：， ∴的平方根是； 故选：C． 【变式1-1】难点01 结合相反数的定义列出等式（高频考点） （2025·江苏扬州·二模）若与互为相反数，则 ． 【答案】1 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴， 解得：， ∴； 故答案为：1． 【变式1-2】难点01 结合二元一次方程组求解 （2025·广东梅州·一模）已知，则（　　） A．2025 B．1 C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 解得， ∴， 故选：D． 【变式1-3】新考法01 结合三角形求解 （2025·全国·一模）实数m，n满足，则以m，n为边长的直角三角形的第三边长为 ． 【答案】或 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴当为直角边时，第三边的长为； 当为斜边时，第三边的长为； 故答案为：或． 【变式1-4】新考法02 结合三角函数求解 （2025·上海·一模）在中，、都是锐角，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，且绝对值和平方均非负， ∴且， ∴，， ∵、都是锐角， ∴，， ∴， 故选：C． 【变式1-5】新考法03 与平面直角坐标系结合 （2025·四川广安·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，且a，b满足，则点A在第 象限． 【答案】四 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴点A的坐标为，在第四象限； 故答案为：四． 【中考模拟闯关·练提分】 1.（2025·山东青岛·一模）若实数，满足，则函数的图象不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】解：实数，满足， 即， ，， ，， 函数的解析式为， 此函数图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限． 故选：D． 2．（2025·广东茂名·模拟预测）若中，所对的边是，所对的边是，满足，则是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．不能确定 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴是等边三角形， 故选C 3．（2025·广东·模拟预测）如果，那么的值为 ． 【答案】 【详解】解：， ，， ，， ． 故答案为：． 4．（2025·四川宜宾·二模）若，是实数，且，则的值为 ． 【答案】1 【详解】解：， ，， ，， ． 故答案为：1． 5．（2025·河北唐山·三模）若，则的值为 ． 【答案】0 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴； 故答案为： 6．（2025·四川成都·二模）若，为实数，且，则 ． 【答案】 【详解】解：∵， ，， ，， ． 故答案为：． 7．（2025·四川资阳·模拟预测）若与互为相反数，即 ． 【答案】 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 8．（2025·青海西宁·二模）在中，若两直角边a，b满足，则三角形中最小的角的正切值是 ． 【答案】 【详解】解：∵两直角边a，b满足， ∴，即， ∴， ∵， ∴三角形中最小的角为， ∴， 故答案为：． 题型二：代数式求值 1、直接代入法：把已知字母的值直接代入代数式计算求值. 2、整体代入法：①观察已知代数式和所求代数式的关系. ②利用提公因式法、平方差公式、完全平方公式将已知代数式和所求代数式进行变形，使它们成倍分关系. ③把已知代数式看成一个整式代入所求代数式中计算求值． 【中考母题溯源·学方法】 【典例2】（2025·海南·中考真题）当时，代数式的值为（   ） A．1 B．7 C． D． 【答案】A 【详解】解：当时， ， 所以代数式的值为1， 故选：A． 【变式2-1】难点01 结合代数式的值确定字母的关系（高频考点） 9．（2025·湖南湘西·模拟预测）若实数a，b满足，，则的值为（    ） A． B．或20 C．2或 D． 【答案】C 【详解】解：①当时： ∵a和b满足，且（因为代入得）， ∴原式； ②当时： ∵a和b是方程的两个根， ∴，， 原式， ∵， ∴分子，分母， ∴原式， 综上所述，原式的值为2或． 故选：C． 【变式2-2】新考法01 结合方程（组）求代数式的值 （2025·江苏徐州·中考真题）若二元一次方程组的解为则的值为 ． 【答案】1 【详解】解： 得，， 解得， 将代入得，， 解得， 该方程组的解为， ∴，， ， 故答案为：1． 【变式2-3】新考法02 结合函数求代数式的值 （2025·浙江宁波·三模）已知二次函数与轴的交点的横坐标为、，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：二次函数与轴的交点的横坐标为、， 、为方程的两个根， ，， ． 故答案为：． 【中考模拟闯关·练提分】 1．（2025·甘肃酒泉·三模）已知，，为非负实数，且，则代数式的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴，， 又∵， ∴ 且，即， 令代数式， ∵ 二次项系数，对称轴为直线，   ∴当时，随增大而减小， ∴当时，取最小值，最小值为． 故选：D． 2．（2025·山东聊城·二模）若，，则的值为 ． 【答案】9 【详解】 ； ，， 所以原式 ． 故答案为：9． 3.（2025·四川绵阳·一模）已知，是一元二次方程的两个根，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：，是一元二次方程的两个根， , ， ； 故答案为． 题型三：整除问题 利用平方差公式对整式或高次幂进行因式分解或降幂,直到式子中出现整数因式,则可以判断该整式或高次幂可以被整数因式整除 【中考母题溯源·学方法】 【典例3】（2025·宁夏·中考真题）定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如，三位数，因为，所以它是“极差数”． 【理解定义】 三位数是否为“极差数”？___________． 【建模推理】 （1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为，则与的关系式为___________； （2）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？ 【详解】理解定义：∵十位数字减去个位数字的差为，百位数字为， ∴十位数字减去个位数字的差不等于百位数字， ∴三位数不是“极差数” 故答案为：不是 建模推理： （1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为， 根据题意可得，， 故答案为：； （2）任意一个“极差数”都能被11整除． 证明：设任意一个“极差数”的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c， ∵， ∴， ∴能被11整除， ∴任意一个“极差数”都能被11整除． 【变式3】新考法 整除与概率 53．（2025·河北唐山·二模）我们知道，一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就能被3整除． 例：，9能被3整除，能被3整除． 尝试 试说明537是否能被3整除； 验证 设是一个三位数，若能被3整除，则也能被3整除； 应用 直接写出三位数能被3整除的概率． 【详解】解：尝试，15能被3整除， 能被3整除． 验证 能被3整除．是整数， 可以被3整除． 又可以被3整除（已知）， 这个三位数可以被3整除． 应用，如图所示，的取值共有10种等可能的情况，符合条件的情况有4种， 所以概率为． 【中考模拟闯关·练提分】 1．（2025·河北保定·二模）我们知道能被整除的数的规律，设是一个三位数，若可以被整除，则这个数就能被整除． 例如，三位数，∵，可以被整除，∴就能被整除． 发现 将三位数去掉末尾数字得到两位数，再用减去的倍所得的差为．若能被整除，则三位数就能被整除． 验证 如，对于三位数，∵，可以被整除，∴就能被整除． （1）用上述方法判断能否被整除？__________（填“能”或“不能”）； 探究 （2）请用含，，的代数式表示______________； （3）结合（）论证“发现”中的结论正确． 【详解】解：（）解：对于三位数， ∵，可以被整除， ∴就能被整除， 故答案为：能； （）解：， 故答案为：； （）证明：由题意得：， ∵能被整除， ∴设（为正整数）， ∴， ∴ ， ∵为正整数， ∴为正整数， ∴能被整除， ∴能被整除． 2．（2025·安徽·模拟预测）数学兴趣小组开展深究活动，研究“能被3整除的数”．指导老师首先提出一个猜想：如果该数的各数位上的数的和能被3整除，那么这个数就一定能被3整除．例：∵，21能被3整除，∴615 432能被3整除． 对于此规律：兴趣小组的两位成员分别针对三位数、四位数进行了证明： （i）星星同学对三位数进行了证明： 设某个三位数上的百位、十位和个位上的数分别是a，b，c． ∵， ∴若能被3整除，则该三位数能被3整除． （ii）宁宁同学对四位数进行了证明： 设某个四位数的千位、百位、十位、个位上的数字分别是a，b，c，d． ∵ ， ∴若能被3整除，则该四位数能被3整除． (1)请写出横线上所缺内容． (2)该兴趣小组继续探索一个四位数能被11整除的条件，证明过程如下： …… 请补充省略部分的推理过程，并写出四位数能被11整除的条件． 【详解】（1）解：星星同学对三位数进行了证明： 设某个三位数上的百位、十位和个位上的数分别是a，b，c， ， 若能被3整除，则该三位数能被3整除； 故答案为：，； 宁宁同学对四位数讲行了证明： 设某个四位数的千位、百位、十位、个位上的数字分别是， ∵ ， 故答案为：，， 若能被3整除，则该四位数能被3整除； （2）解：补充推理讨程如下： ， 若能被11整除，则该四位数能被11整除． 3．（2025·江苏扬州·一模）我们知道能被3整除的数的规律，设是一个三位数，若可以被3整除，则这个数就能被3整除． 例如，三位数108，，9可以被3整除，108就能被3整除． 【发现】将三位数去掉末尾数字得到两位数，再用减去的2倍所得的差为．若能被7整除，则三位数就能被7整除． 【验证】如，对于三位数364，，28可以被7整除，364就能被7整除． （1）用上述方法判断455能否被7整除？ 【探究】（2）请用含，，的代数式表示 ； （3）结合（2）论证“发现”中的结论正确． 【迁移】（4）下列结论正确的是 ．（填序号） ①在三位数中，若满足是11的倍数，则是11的倍数； ②在三位数中，若满足是11的倍数，则是11的倍数； ③在三位数中，若满足是11的倍数，则是11的倍数； 【详解】解：（1）∵，能够被整除； ∴455能被7整除； （2）由题意可得：； （3）由（2）可得， ∵能被7整除， ∴（为整数）， ∴， ∴， ∴三位数能被7整除； （4）①， ∵是11的倍数， ∴（为整数）， ∴， ∴， ∴是11的倍数；故①正确； ②， ∵是11的倍数， ∴（为整数）， ∴， ∴，不一定是11的倍数，故②错误； ③， ∵是11的倍数， ∴（为整数）， ∴， ∴，不一定是11的倍数，故③错误； 综上所述，正确的是①． 4．（2025·海南三亚·一模）综合与实践 在小学，我们知道像12，27，36，45，108，……这样的自然数能被3整除．一般地，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除．你能说出其中的道理吗？ 先来看两位数的情形． 若一个两位数的十位、个位上的数字分别为，，则通常记这个两位数为．于是． 显然能被3整除，因此，如果能被3整除，那么就能被3整除，即能被3整除． (1)一个三位数6□4的十位数字未知，请从2、6、7中找出“□”中合适的取值，使得这个三位数能被3整除，“□”可能等于_________； (2)请你用类似的方法模拟划线部分说明三位数能被3整除的道理； (3)证明：三个连续的正整数之和能被3整除． 【详解】（1）解：∵，，， ∴“□”等于2， 故答案为：2； （2）， 显然能被3整除，因此，如果能被3整除， 那么就能被3整除 ，即能被3整除． （3）证明：设三个连续的正整数为，，（为正整数，且） ∵ ， 又∵为正整数，且 ∴能被3整除， 即：三个连续的正整数之和能被3整除． 题型四：数轴动点问题 数轴上的三种动点问题 数轴的动点问题，无论在平时练习，还是月考，期中期末考试中属于压轴题的版块，其过程复杂，情况多变。动点问题虽然较难，但观察总结过这类题目考型后会发现其实总体来说就分为三类: 一、数轴上点移动后的表示 点的移动问题方法：“三找”：(1)找起点；（2）找方向；（3）找长度 二、两个点之间的距离 1、距离公式：AB=｜a-b｜=｜b-a｜（或者：右边的数-左边的数） 2、中点公式：点M表示的数为：（a+b)/2； 3、移动公式：当点A向右移动m个单位，则A表示的数为：a+m； 当A向左移动m个单位，则A表示的数为a-m. 三、数轴上动点移动问题 点的移动问题就是将点的移动后表示与用绝对值表示两点之间的距离结合起来。 方法：(1)找起点；（2）找方向；（3）找长度（4）根据距离公式列方程 【中考母题溯源·学方法】 【典例4】（2024·山东威海·中考真题）定义我们把数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值．数轴上表示数a，b的点A，B之间的距离．特别的，当时，表示数a的点与原点的距离等于．当时，表示数a的点与原点的距离等于． 应用 如图，在数轴上，动点A从表示的点出发，以1个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动．同时，动点B从表示12的点出发，以2个单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动． (1)经过多长时间，点A，B之间的距离等于3个单位长度？ (2)求点A，B到原点距离之和的最小值． 【详解】（1）解：设经过x秒，则A表示的数为，B表示的数为， 根据题意，得， 解得或6， 答，经过4秒或6秒，点A，B之间的距离等于3个单位长度； （2）解：由（1）知：点A，B到原点距离之和为， 当时，， ∵， ∴，即， 当时，， ∵， ∴，即， 当时，， ∵， ∴，即， 综上，， ∴点A，B到原点距离之和的最小值为3． 【变式4-1】难点01分类讨论三个动点位置关系问题 如图，在数轴上的三个点分别表示有理数a、b、c，且a、b、c满足，，，c是最小的正整数． (1)请直接写出_______，_______，_______． (2)若点A沿数轴向左运动，速度为每秒1个单位，点B和点C沿数轴向右运动，速度分别是2个单位/秒、3个单位/秒．设运动时间为t（秒）． ①2秒后，点A、B、C分别表示的有理数． ②请问：的值是否随着时间t的变化而变化？若不变化，求这个不变的值；若变化，求这个值的变化范围． (3)若把（2）中点B和点C的运动速度互换，请问：在运动过程中，t为何值时，点B、点C分别到原点O的距离相等？（直接写出结果） 【详解】（1）解：， ∴， ∵， ∴时，，不符合题意舍去； 时，，符合题意； ∴，； ∵c是最小的正整数， ∴； （2）解：①设运动时间为t（秒）， 点A沿数轴向左以每秒1个单位的速度运动，点B和点C沿数轴向右运动，速度分别是2个单位/秒，3个单位秒．设运动时间为t（秒） 、、点表示的数分别为：，，， ∴2秒后，点A、B、C分别表示的有理数为：，，； ②的值不随t的值改变而改变，这个值为11， ∵、、点表示的数分别为：，，， ∴，， ∴． （3）解：点B和点C的运动速度互换， 、点表示的数分别为：，， 当点在原点左侧，点B、点分别到原点的距离相等时，， 解得：； 当点在原点右侧，点B、点分别到原点的距离相等时，， 解得：； 综上分析可知：当或时，点B、点分别到原点的距离相等． 【变式4-2】新考法01新定义阅读理解 阅读理解：、、为数轴上三点，若点到的距离是点到的距离的3倍，我们称点是【，】的和谐点．若点到的距离是点到的距离的3倍，我们称点是【，】的和谐点． （1）如图1，点表示的数为，点表示的数为3．表示0的点到点的距离是1，到点的距离是3，那么点 　　【，】的和谐点，点 　　【，】的和谐点．（请在横线上填是或不是） （2）如图2，、为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为3．则【，】的和谐点有 　　个，并求出所有【，】的和谐点所表示的数． （3）如图3，、为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁从点出发，以3个单位每秒的速度向右运动，另一只电子蚂蚁从点出发，以1个单位每秒的速度向左运动，当点到达点时，、两点同时停止运动，设运动的时间为秒． ①当时，若点是【，】的和谐点且在、之间，则所表示的数是否为定值，若为定值，请求出该值，若不为定值，请说明理由． ②直接写出当是【，】的和谐点时，的值为 　　． 【分析】（1）由“点到点的距离是1，到点的距离是3”结合和谐点的定义，即可得出结论； （2）设【，】的和谐点所表示的数为，根据和谐点的定义，可列出关于的含绝对值的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）利用时间路程速度，可求出点到达点所需的时间及，两点相遇时的时间，当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为． ①设点表示的数为，根据点是【，】的和谐点且在、之间，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； ②根据点是【，】的和谐点，可列出关于的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）点到点的距离是1，到点的距离是3， 点不是【，】的和谐点，点是【，】的和谐点． 故答案为：不是，是； （2）设【，】的和谐点所表示的数为， 根据题意得：， 即或， 解得：或， 【，】的和谐点有2个，【，】的和谐点所表示的数为2或5． 故答案为：2； （3）（秒，（秒． 当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为． ①设点表示的数为， 根据题意得：， 解得：， 当时，若点是【，】的和谐点且在、之间，则所表示的数为定值，该值为25； ②根据题意得：， 即或， 解得：或， 的值为或． 故答案为：或． 【中考模拟闯关·练提分】 1．（2025·山东淄博·二模）在数轴上，点表示原点，现将点从点开始沿数轴按如下规律移动：第一次点向左移动1个单位长度到达点，第二次将点向右移动2个单位长度到达点，第三次将点向左移动3个单位长度到达点，第四次将点向右移动4个单位长度到达点，…，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，当时，点与原点的距离是 个单位． 【详解】解：因为第一次点向左移动1个单位长度到达点，点表示的数是， 第二次将点向右移动2个单位长度到达点，点表示的数是1， 第三次将点向左移动3个单位长度到达点，点表示的数是， 第四次将点向右移动4个单位长度到达点，点表示的数是2， …， 所以第次移动到点，当n为奇数时，点表示的数是，当n为偶数时，点表示的数是， 所以当时，点表示的数是，与原点的距离是1013； 故答案为：1013. 2．（2025·河北邯郸·一模）如图，以为1个单位长度，用直尺画数轴，数轴上的点，，刚好对着直尺上的刻度2、刻度8和刻度10．设点，，所表示的数的和是，该数轴的原点为． (1)分别计算出原点与点重合时、与的中点重合时的值． (2)原点沿着数轴每向左移动，的值将会如何变化？当的值为时，求原点的位置． 【详解】（1）解：∵当原点与点重合时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为0， ∴， 当原点与的中点重合时，点，表示的数为一对相反数， ∴此时点表示的数为， ∴． （2）解：原点沿着数轴每向左移动，点A、B、C表示的数分别增加1，则的值将会增大3， 当时，， ∵， 原点从与点重合的位置，向左移动，能得到， 此时原点在点处． 3．（2025·河北沧州·二模）如图，点A，B均在数轴上，点B在点A的右侧，点A对应的数字是，点B对应的数字是实数m，且． (1)求实数m的值； (2)一个光点从点A出发，沿数轴向右运动到点C，若，点C对应的实数为n， ①点B在点C________；（填“左侧”或“右侧”） ②求n的取值范围． 【详解】（1）解：，点B在点A的右侧， ， 即m的值为8； （2）解：①当点C位于线段上时，，不符合题意， ∴点C位于线段的延长线上，即点B在点C左侧， 故答案为：左侧； ②由点C对应的实数为n，且点B在点C左侧，则， 得， 解得． 4．（2025·河北·一模）【定义】数轴上表示数a，b的点A，B之间的距离． 【应用】如图，在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，点C表示的数为6，动点P表示的数为x． (1)求点A，B之间的距离； (2)①点P，A之间的距离为______，点P，C之间的距离为______；（用含x的代数式表示） ②求的最小值； (3)已知动点P从点A出发，沿着数轴的正方向运动，到终点C停止运动，直接写出的最大值及最小值． 【详解】（1）解：点，之间的距离； （2）解：①点，之间的距离为，点，之间的距离为； 故答案为：；； ②由①可知表示的意义是点到点，的距离之和， 当在数轴上表示的点在表示和（包括和的点之间时，取得最小值，最小值为14； （3）解：的几何意义是表示有理数的点到，，6所对应的三点距离之和， 当时，的值最小，最小值为14； 当时，的值最大，最大值为22； 的最小值为14，最大值为22． 5．（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知在数轴上点表示的数是，点表示的数是，且、满足，点是异于点的点，且它到原点的距离与点到原点的距离相等，请回答问题： (1)请直接写出、、的值： ， ， ． (2)动点以个单位每秒的速度从点出发向点运动，同时动点以个单位每秒的速度从点出发向点运动，当、其中一个点到达点时，两点同时停止运动，求经过几秒、相距个单位？ (3)若动点从点出发，以个单位每秒的速度向点运动（到达点即停止运动），当点到达的中点时，其速度变为个单位每秒，此时停在点的动点开始出发，以个单位每秒的速度向点运动，动点到达点时，立即以原速返回向点运动，当点停止运动时，点立即停止运动，设动点的运动时间为，求为多少时，． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， 解得：，； ∵点是异于点的点，且它到原点的距离与点到原点的距离相等， ∴； 故答案为：，，； （2）解：设经过秒、相距个单位， 表示的数为：，表示的数为：， 由题意得：， 解得：或， 当时：， 当时：， 即需秒可到点，需秒可到点， ∴不符合题意； ∴，即经过秒，、相距个单位． （3）解：中点表示的数为：， 由题意可知分以下三种情况： ①则点移动到中点所需时间为：秒， ∴当时：表示的数为：，表示的数为：， 此时由题意得：；解得：或； ②当点到达点时，所用时间为：秒， ∴当，即时； 则表示的数为：，表示的数为：， 由题意得：， 解得：舍，； ③当从中点，到达点时，所用时间为：， 即移动的总时间为：秒， ∴当时， 则表示的数为：，表示的数为：， 由题意得：，解得：（舍）或； 综上：当为或或或时，． 6．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点是的中点已知，满足，现有两动点，在数轴上同时开始运动，其中点从点出发向左匀速运动，速度为每秒个单位长度，点从点出发向左匀速运动，速度为每秒个单位长度． (1)填空： ______， ______； (2)求几秒后，，之间相距个单位长度； (3)若点运动到后，立刻以每秒个单位的速度运动到后，再以每秒个单位长度的速度返回到点时停止运动；点运动到后，立刻以每秒个单位长度的速度返回到点时停止运动，在此运动过程中，是否会存在？若存在，请直接写出运动时间的值；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：， ，， ，， ， 点为中点， ， 即， 故答案为：，； （2）解：设运动时间为秒， 则点表示的数为，点表示的数为， ，之间相距个单位长度， 则可分两种情况讨论， 当点在点右侧时， ， 解得； 当点在点左侧时， ， 解得； 综上，或秒之后，，之间相距个单位长度； （3）解：分阶段讨论是否存在： 先讨论点的运动时间， 点从到所需时间：秒，此时，点表示的数为， 点从到所需时间：秒，此时，点表示的数为， 点从到所需时间：秒，此时，点表示的数为， 再讨论点的运动时间， 点从到所需时间：秒，此时，点表示的数为， 点从到所需时间：秒，此时，点表示的数为， 当从到，从到时，即， ， ， 若，则， 即， 解得； 从到，从到时，即， ， ， 若，则， 即， 解得不满足，舍去； 从到，从返回时，， ， ， 若，则， 解得； 从返回，从返回时，， ， ， 若，则， 解得； 从返回，从返回时，， ， ， 若，则， 此时方程无解； 综上，的值为或或． 题型五：数或式的规律探索 1.数字规律的解题步骤 第一步：按顺序给数标序数 第二步：对比序数(1，2，3，…，n)和数值间的关系，并用含序数的式子表示 第三步：根据规律表示出第n个式子，并检验 第四步：代入n的值，求第n个数 2.求第n个单项式的解题关键 找单项式的系数或者指数与序号的对应关系,可将问题转化成找数与序号之间的规律 3.猜想第n个等式的解题关键 找到等式里边每一个变化的数字与序号之间的对应关系,常见的数字规律同问题1;证明第,个等式的正确性,即通过整式或分式运算,将等号一边变形为另一边的结果, 口诀助记：等差看差定不变,等比算商齐增减;周期重复找循环,符号正负(-1)"辨;平方立方幂次显，叠加递推层层算;奇偶分段各有式,验证代入再完善.- 【中考母题溯源·学方法】 【例5】（2025·四川绵阳·中考真题）观察下列单项式：，探究发现其中规律，你认为从左到右第15个单项式是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：观察可得，从左到右第个单项式是， ∴第15个单项式是， 故选：B． 【变式5-1】新考法01 新定义与规律探索综合 （2025·四川成都·中考真题）分子为1的真分数叫做“单位分数”，也叫“埃及分数”．古埃及人在分数计算时总是将一个分数拆分成几个单位分数之和，如：．将拆分成两个单位分数相加的形式为 ；一般地，对于任意奇数k（），将拆分成两个不同单位分数相加的形式为 ． 【答案】 【详解】解：； 由题意， 当时，， 当时，， 当时，， ……， 当时，， 又， ∴对于任意奇数k（），， 故答案为：；． 【变式5-2】新考法02 规律探索与数学文化 （2025·江苏扬州·中考真题）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为 ． 【答案】 【详解】解：由题意，第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为， 由勾股定理，得：， 解得：， ∴； ∴第⑤组勾股数为； 故答案为：． 【变式5-3】新考法03 立方根规律探索 （2025·山东滨州·中考真题）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．华罗庚解释如下： ①由，，，可得，由此确定是两位数； ②59319的个位上的数是9，因为只有的个位上的数是9，所以的个位上的数是9； ③如果划去59319后面的三位数319得到59，而，，又，由此确定的十位上的数是3，从而得到59319的立方根是39． 已知373248是一个整数的立方，请你按照上述方法，确定373248的立方根是 ． 【答案】72 【分析】本题考查的是求解一个数的立方根，根据华罗庚的方法，首先判断立方根的位数：由于，因此立方根是两位数；其次，根据个位数字8，确定立方根的个位数字是2；最后，划去后三位248得到373，通过比较，，确定十位数字是7，从而得到立方根为72． 【详解】解：∵ ，，且 ， ∴ ， ∴ 是两位数． ∵ 373248 的个位数字是 8，且只有 的个位数字是 8， ∴ 的个位数字是 2， 划去 373248 后三位数字 248，得到 373． ∵ ，，且 ， ∴ 的十位数字是 7． 因此，． 故答案为 ：72． 【变式5-4】新考法04 跨化学学科综合 （2025·陕西·模拟预测）“数学是将科学现象升华到科学本质认识的重要工具”．比如化学中，醇类物质的分子中碳原子和氢原子的数目满足一定的数学规律，甲醇中碳原子的数目为，化学式为；乙醇中碳原子的数目为，化学式为；丙醇中碳原子的数目为，化学式为，按照此规律，碳原子的数目为的醇的化学式是 ． 【答案】 【详解】解：甲醇中碳原子的数目为，化学式为，其氢原子的数目为； 乙醇中碳原子的数目为，化学式为，其氢原子的数目为； 丙醇中碳原子的数目为，化学式为，其氢原子的数目为； ， 按照此规律，醇中碳原子的数目为，其氢原子的数目为，化学式为， 碳原子的数目为的醇的化学式为． 故答案为：． 【中考模拟闯关·练提分】 1．（2025·云南·模拟预测）按一定规律排列的多项式： ．则第10个多项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：多项式：，，，，，， ∴的系数是（是正整数），的指数为（是正整数）， ∴当时，的系数是，的指数为， ∴第10个多项式是， 故选：B ． 2．（2025·云南·模拟预测）观察下列一组单项式：，，，，，…。按你发现的规律继续写下去，第n个单项式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据一系列单项式，可以发现系数的符号由奇偶性决定，所以为，其后的数字为，字母为， 第个单项式为． 故选：B． 3．（2025·四川内江·中考真题）对于正整数x，规定函数．在平面直角坐标系中，将点中的，分别按照上述规定，同步进行运算得到新的点的横、纵坐标（其中，均为正整数）．例如，点经过第次运算得到点．经过第次运算得到点，经过第次运算得到点，经过有限次运算后，必进入循环圈，按上述规定，将点经过第次运算后得到点是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：初始点：（第0次运算）． 第1次： 横坐标为偶数，； 纵坐标为奇数，； 得到点． 第2次： 横坐标为奇数，； 纵坐标为偶数，； 得到点． 第3次： 横坐标为偶数，； 纵坐标为偶数，； 得到点，与初始点相同， 即三次一循环， ， ∴第次运算后对应点与第3次运算后的点相同，即． 故选：A． 4．（2025·甘肃定西·模拟预测）观察：，…，则 ．（） 【答案】 【详解】由已知条件： ， ， ， ， …， 可推知第项为 ． 故答案为：． 5．（2025·安徽·模拟预测）观察下列等式： 第个：， 第个：， 第个：， 第个：， ， (1)写出第个式子： ． (2)按照以上规律，第个等式为 ，写出证明过程． 【详解】（1）解：第个：， 第个：， 第个：， 第个：， 第个：， 第个：， 故答案为：； （2）解：由（）的规律可得，第个等式为． 证明：∵， ， ∴， 故答案为：． 题型六：图形规律探索 解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论． 【中考母题溯源·学方法】 【例6】（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，用大小相等的小正方形拼大正方形，拼第个正方形需要个小正方形，拼第个正方形需要个小正方形，按照这样的方法拼成的第个正方形需要（   ）个小正方形． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：拼第一个正方形需要个小正方形； 拼第二个正方形需要个小正方形； 拼第三个正方形需要个小正方形； ．．．．．． 按照这样的方法拼成的第个正方形需要个小正方形； 第六个正方形需要个小正方形， 故选：C． 【变式6-1】新考法01 跨化学学科 （2025·四川乐山·中考真题）醇是一类由碳、氢、氧元素组成的有机化合物，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中代表碳原子，代表氧原子，代表氢原子．第1种如图1有4个氢原子，第2种如图2有6个氢原子，第3种如图3有8个氢原子，第4种如图4有10个氢原子，……按照这一规律，第9种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（   ） A．18 B．20 C．22 D．24 【答案】B 【详解】解：由所给图形可知， 第1种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：； 第2种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：； 第3种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：； 所以第n种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是个． 当时，（个）， 即第9种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是20个． 故选：B． 【变式6-2】新考法02 图形操作中规律探索 （2025·江苏镇江·中考真题）如图，在等腰三角形中，，第1次操作：取的中点，将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和；第2次操作：取的中点，将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和；；按照这样的操作规律，第30次操作后，得到线段和，若用点在点的正南方向表示初始位置，则点在点的（   ） A．正东方向 B．正南方向 C．正西方向 D．正北方向 【答案】D 【详解】解：将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和， 则，且， 为等边三角形， 同理，皆为等边三角形， ∵将绕点逆时针旋转， ∴， 为等边三角形，的中点为， ， ， 同理， 则， ∵， ∴每转到12次后与方向重合， ， ∴第30次操作后，第3个循环中的第6个位置，恰与方向相反， 又∵为等边三角形， ， 此时点在点的正北方． 故选：D． 【变式6-3】新考法03 勾股树规律探索 （2025·甘肃·中考真题）勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，……，则第5个图形中共有 个正方形． 【答案】31 【分析】本题考查图形类规律探究，观察可知，第一个图形有1个正方形，第2个图形有个正方形，第3个图形有个正方形，依次类推求出第5个图形中小正方形的个数即可． 【详解】解：由图可知：第一个图形有1个正方形， 第2个图形有个正方形， 第3个图形有个正方形， ∴第5个图形中共有个正方形， 故答案为：31． 【变式6-4】新考法04 函数中的规律探索 （2025·山东潍坊·中考真题）如图，点是函数图象上任意一点，过向轴作垂线交轴于点，向轴作垂线交轴于点，矩形的周长，当时，有最小值；如图，点是函数图象上任意一点，同样作矩形，它的周长，同理得的最小值为；；点是函数（，为正整数）图象上任意一点，作矩形，它的周长为，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：由题意得，当时，有最小值； ，当时，有最小值； ，当时，有最小值； ； ，当时，有最小值； 故答案为：． 【变式6-5】新考法05 多面体规律探索 （2025·江苏盐城·中考真题）小明在参观科技馆时，发现很多矿物的结晶体有着其独特的几何形态和内在规律． ［发现问题］ 黄铁矿的晶体（如图（1））是一个正方体：它由六个面组成．每个面都是全等的正方形，每个顶点都连接三条棱．小明查阅资料后了解到，这种各面都是全等的正边形，且各顶点连接（）条棱的立体图形称为正多面体，如正方体又称为正六面体． ［提出问题］ 小明思考：这样的正多面体有几个？ ［分析问题］ 一个正面体的每个面都是全等的正边形，有个顶点，条棱，且每个顶点都连接条棱．小明对部分正面体（如图（2））进行了观察，列出以下数据： 正多面体 正四面体 4 3 4 6 3 正方体 6 4 8 12 3 正八面体 8 3 6 12 4 （1）根据表中的数据，请写出、、之间存在的等量关系式_________； （2）小明进一步发现，正面体中棱数与各面的边数之和以及棱数与各面的顶点数之和存在着一定的关系． ①从面出发：以正方体为例，它有6个面，每个面都有4条边，则六个面的边数之和为24，又因为正方体的两个面共用一条边，所以正方体的棱数为12． 正面体的棱数_________．（用含、的代数式表示） ②从顶点出发：正面体的棱数_________．（用含、的代数式表示） ［解决问题］ （3）已知一个正多面体有30条棱，且每个顶点连接3条棱，求这个正多面体的面数． （4）满足正多面体定义的几何体一共有几个？请说明你的理由． 【详解】解：（1）根据观察可得， 故答案为：； （2）①正面体，它有个面，每个面都有条边，则个面的边数之和为， 又因为正面体的两个面共用一条边，所以正面体的棱数为， 故答案为：； ②正面体，它有个顶点，且每个顶点都连接条棱，则个顶点的棱数之和为， 又因为正面体的一条棱连接两个顶点，所以正面体的棱数为， 故答案为：； （3）由题意可得，， ， 根据（1）中公式可得， 可得， 解得， 则这个正多面体的面数为； （4）由题意可得，， 代入可得， ， ， ， 为正整数，且，， 当时，时，，故成立， 当时，时，，故成立， 当时，时，，故成立， 当时，时，，故不成立， 当时，时，，故成立， 当时，时，，故不成立， 当时，时，，故成立， 当时，时，，故不成立， 当时，无论取任何值，，故不成立， 综上，满足正多面体定义的几何体一共有个． 【中考模拟闯关·练提分】 1．（2025·重庆·中考真题）按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有4个圆点，第②个图中有8个圆点，第③个图中有12个圆点，第④个图中有16个圆点……按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是（   ） A．32 B．28 C．24 D．20 【答案】C 【详解】解：第①个图案中有4个黑色圆点， 第②个图案中有8个黑色圆点， 第③个图案中有12个黑色圆点， 第④个图案中有16个黑色圆点， 则第个图案中有个黑色圆点， 所以第⑥个图中圆点的个数是个， 故选：C． 2．（2025·重庆·模拟预测）下列各方格中的四个数之间都有相同规律，根据此规律，第8个图中的（　　）．    A．315 B．645 C．965 D．1275 【答案】B 【详解】每个方格中左上角的数字依次为， 所以第n个方格中左上角的数字可表示为， 每个方格左下角的数字是左上角数字的一半，所以第n个方格中左下角的数字可表示为， 每个方格右上角数字比左上角的数字大5，所以第n个方格中右上角的数字可表示为: ， 当时，，，， 又， 所以． 故选：B． 3．（2025·四川内江·一模）如图，已知在中，，过点C作于，过点作于D2，过点作于，过点作于，…按此方法得到的的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意知，，，，， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 由题意知，，， ∴， ∴，， ∴可推导一般性规律为， ∴， 故选：C． 4．（2025·陕西·中考真题）生活中常按图①的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的矩形按规律设计图案，如图②，第1个图案用了3个矩形，第2个图案用了5个矩形，第3个图案用了7个矩形，……则第10个图案需要用矩形的个数为 ． 【答案】21 【详解】解：∵第1个图案中矩形的个数：； 第2个图案中矩形的个数：； 第3个图案中矩形的个数：； … 第n个图案中矩形的个数：， ∴则第10个图案中矩形的个数为：， 故答案为：21． 5．（2025·青海·中考真题）下图是谢尔宾斯基地毯图案的形成过程．按此规律下去，第⑥个图形中黑色三角形的个数是 ． 【答案】或243（两个答案均可得分） 【详解】解：∵第1个图案中有个， 第2个图案中有个， 第3个图案中有个， 第4个图案中有个， …， 按此规律，第⑥个图案中有个涂有阴影的三角形． 故答案为：或243． 6．（2025·江苏徐州·中考真题）如图所示，用黑白两色棋子摆图形，依此规律，第n个图形中黑色棋子的个数为 ．（用含n的代数式表示） 【答案】 【详解】解：观察发现： 第一个图形有个黑色棋子， 第二个图形有个黑色棋子， 第三个图形有个黑色棋子， …， 第n个图形有个黑色棋子， 故答案为：． 7．（2025·湖南怀化·一模）石油的最低级产物沥青蒸汽里含有多种稠环芳香烃，如图是它的同系列化合物（结构相似，分子组成相差相同的原子团）的结构式： 第1种物质的分子式是，第2种物质的分子式是，第3种物质的分子式是，…由此可知，该系列化合物第8种物质的分子式是 ． 【答案】 【详解】解：观察可知，序数每增长1，C增加6，H增加2，所以可得第n个分子式为 故第8个分子式为 故答案为∶． 8.（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，四边形是正方形，．执行下面操作：第一次操作以点A为圆心，以为半径顺时针作弧交的延长线于点E，得到扇形；第二次操作以点B为圆心，以为半径顺时针作弧交的延长线于点F，得到扇形；第三次操作以点C为圆心，以为半径顺时针作弧交的延长线于点G，得到扇形，依此类推进行操作，其中，、、，…的圆心依次按A，B，C，D循环，所得曲线叫做“正方形的渐开线”，则经过四次操作后所得到的四个扇形的面积和为 ．（结果保留π） 【答案】 【详解】解：根据题意得： 第一个扇形，圆心角为，半径为，面积为； 第二个扇形，圆心角为，半径为，面积为； 第三个扇形，圆心角为，半径为，面积为； 则第四个扇形，圆心角为，半径为，面积为； ∴经过四次操作后所得到的四个扇形的面积和为 ， 故答案为：． 9．（2025·湖南长沙·一模）如图，正方形的边长为1，以为边作第2个正方形，再以为边作第3个正方形，…，按照这样的规律作下去，第个正方形的面积为 ． 【答案】 【详解】解：， ， ， ， 通过上述分析，可以总结出第个正方形的边长为， 第个正方形的边长为， 个正方形的面积为， 故答案为：． 10．（2025·四川内江·模拟预测）如果一个等腰三角形的顶角为，那么其底边与腰之比等于．我们把这样的等腰三角形称作黄金三角形．如图，在中，，，看作第一个黄金三角形；作的平分线，交于点D，看作第二个黄金三角形；作的平分线，交于点E，看作第三个黄金三角形；…以此类推，第n个黄金三角形的腰长是 ． 【答案】 【详解】解：由题意可知，第1个黄金三角形的腰为， ∴第1个黄金三角形的腰长为1； 第2个黄金三角形的腰为，且， ∴，即第2个黄金三角形的腰长为； 第3个黄金三角形的腰为，且， ∴，即第3个黄金三角形的腰长为； …， 依次类推，第n个黄金三角形的腰长为． 故答案为：． 11．（2025·山东东营·中考真题）如图所示，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，按照此规律继续下去，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：如图， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 即等腰直角三角形的直角边为斜边的倍， ∵正方形的边长为2， ， ∴面积标记为的正方形边长为， 则， 面积标记为的正方形边长为， 则， 面积标记为的正方形的边长为， 则， ……， ， 则的值为：， 故答案为：． 12．（2025·安徽淮南·一模）某数学活动小组用大小一样的黑白两种颜色的小正方形纸片，按如图的规律摆放．请根据图中的信息解决下列问题． (1)图5中共有______个黑色小正方形，图n（n为正整数）中共有______个黑色小正方形． (2)若某个图形中共有116个白色小正方形，则该图形中共有多少个黑色小正方形？ 【详解】（1）解：图1中共有个黑色小正方形， 图2中共有个黑色小正方形， 图3中共有个黑色小正方形， 图4中共有个黑色小正方形， 图5中共有个黑色小正方形， 故图n（n为正整数）中共有个黑色小正方形． 故答案为：65；． （2）解：由题意，得图n中共有个小正方形， 则， 解得， ． 答：该图形中共有325个黑色小正方形． 14．（2025·山东青岛·模拟预测）如图①，等腰面积为． (1)如图②，延长到，使，延长到，使，以为边长在的左侧作正方形，其面积记作，以为边长在右上方作正方形，其面积记作，则______． (2)如图③，延长到，使，延长到，使，以为边长在的左侧作正方形，其面积记作，以为边长在右上方作正方形，其面积记作，则______． (3)延长到，使，延长到，使，以为边长在的左侧作正方形，其面积记作，以为边长在右上方作正方形，其面积记作，则______． 【详解】（1）解：∵等腰， ， ∴以为边长的正方形面积为1， ∵， ， ∵正方形皆相似， ∴， ∴以为边长的正方形面积为4， 由勾股定理得； 故答案为：4； （2）同（1）得： ， ∴， ∴以为边长的正方形面积为， ； 故答案为：16； （3）同上所得：， ， ∴， ∴以为边长的正方形面积为， ． 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 数与式中的求值、动点与规律探索 （6大题型4难点16新考法，题型清单） 题型一：利用非负性求值（高频考点） 难点01 结合相反数的定义列出等式 难点02 结合二元一次方程组求解 新考法01 结合三角形求解 新考法02 结合三角函数求解 新考法03 与平面直角坐标系结合 题型二：代数式求值（高频考点） 难点01 结合代数式的值确定字母的关系 新考法01 结合方程（组）求代数式的值 新考法02 结合函数求代数式的值 题型三：整除问题 新考法01 整除与概率 题型四：数轴动点问题 难点01 分类讨论三个动点位置关系问题 新考法01 新定义阅读理解 题型五：数或式的规律探索（高频考点） 新考法01 新定义与规律探索综合 新考法02 规律探索与数学文化 新考法03 立方根规律探索 新考法04 跨化学学科综合 题型六：图形规律探索（高频考点） 新考法01 跨化学学科 新考法02 图形操作中规律探索 新考法03 勾股树规律探索 新考法04 函数中的规律探索 新考法05 多面体规律探索 题型一：利用非负性求值 若几个具有非负性的数或式子相加和为0,则每一个加数均为0;常见的非负数有绝对值、偶次方值、二次根式值. 口诀助记： 非负三类记分明,偶次方、绝对值、算术根:和为零则各为零,求出字母代数值. 【中考母题溯源·学方法】 【典例1】（2025·四川凉山·中考真题）若，则的平方根是（    ） A．8 B． C． D． 【变式1-1】难点01 结合相反数的定义列出等式（高频考点） （2025·江苏扬州·二模）若与互为相反数，则 ． 【变式1-2】难点01 结合二元一次方程组求解 （2025·广东梅州·一模）已知，则（　　） A．2025 B．1 C． D． 【变式1-3】新考法01 结合三角形求解 （2025·全国·一模）实数m，n满足，则以m，n为边长的直角三角形的第三边长为 ． 【变式1-4】新考法02 结合三角函数求解 （2025·上海·一模）在中，、都是锐角，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1-5】新考法03 与平面直角坐标系结合 （2025·四川广安·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，且a，b满足，则点A在第 象限． 【中考模拟闯关·练提分】 1.（2025·山东青岛·一模）若实数，满足，则函数的图象不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2025·广东茂名·模拟预测）若中，所对的边是，所对的边是，满足，则是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．不能确定 3．（2025·广东·模拟预测）如果，那么的值为 ． 4．（2025·四川宜宾·二模）若，是实数，且，则的值为 ． 5．（2025·河北唐山·三模）若，则的值为 ． 6．（2025·四川成都·二模）若，为实数，且，则 ． 7．（2025·四川资阳·模拟预测）若与互为相反数，即 ． 8．（2025·青海西宁·二模）在中，若两直角边a，b满足，则三角形中最小的角的正切值是 ． 题型二：代数式求值 1、直接代入法：把已知字母的值直接代入代数式计算求值. 2、整体代入法：①观察已知代数式和所求代数式的关系. ②利用提公因式法、平方差公式、完全平方公式将已知代数式和所求代数式进行变形，使它们成倍分关系. ③把已知代数式看成一个整式代入所求代数式中计算求值． 【中考母题溯源·学方法】 【典例2】（2025·海南·中考真题）当时，代数式的值为（   ） A．1 B．7 C． D． 【变式2-1】难点01 结合代数式的值确定字母的关系（高频考点） 9．（2025·湖南湘西·模拟预测）若实数a，b满足，，则的值为（    ） A． B．或20 C．2或 D． 【变式2-2】新考法01 结合方程（组）求代数式的值 （2025·江苏徐州·中考真题）若二元一次方程组的解为则的值为 ． 【变式2-3】新考法02 结合函数求代数式的值 （2025·浙江宁波·三模）已知二次函数与轴的交点的横坐标为、，则的值为 ． 【中考模拟闯关·练提分】 1．（2025·甘肃酒泉·三模）已知，，为非负实数，且，则代数式的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山东聊城·二模）若，，则的值为 ． 3.（2025·四川绵阳·一模）已知，是一元二次方程的两个根，则的值为 ． 题型三：整除问题 利用平方差公式对整式或高次幂进行因式分解或降幂,直到式子中出现整数因式,则可以判断该整式或高次幂可以被整数因式整除 【中考母题溯源·学方法】 【典例3】（2025·宁夏·中考真题）定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如，三位数，因为，所以它是“极差数”． 【理解定义】 三位数是否为“极差数”？___________． 【建模推理】 （1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为，则与的关系式为___________； （2）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？ 【变式3】新考法 整除与概率 53．（2025·河北唐山·二模）我们知道，一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就能被3整除． 例：，9能被3整除，能被3整除． 尝试 试说明537是否能被3整除； 验证 设是一个三位数，若能被3整除，则也能被3整除； 应用 直接写出三位数能被3整除的概率． 【中考模拟闯关·练提分】 1．（2025·河北保定·二模）我们知道能被整除的数的规律，设是一个三位数，若可以被整除，则这个数就能被整除． 例如，三位数，∵，可以被整除，∴就能被整除． 发现 将三位数去掉末尾数字得到两位数，再用减去的倍所得的差为．若能被整除，则三位数就能被整除． 验证 如，对于三位数，∵，可以被整除，∴就能被整除． （1）用上述方法判断能否被整除？__________（填“能”或“不能”）； 探究 （2）请用含，，的代数式表示______________； （3）结合（）论证“发现”中的结论正确． 2．（2025·安徽·模拟预测）数学兴趣小组开展深究活动，研究“能被3整除的数”．指导老师首先提出一个猜想：如果该数的各数位上的数的和能被3整除，那么这个数就一定能被3整除．例：∵，21能被3整除，∴615 432能被3整除． 对于此规律：兴趣小组的两位成员分别针对三位数、四位数进行了证明： （i）星星同学对三位数进行了证明： 设某个三位数上的百位、十位和个位上的数分别是a，b，c． ∵， ∴若能被3整除，则该三位数能被3整除． （ii）宁宁同学对四位数进行了证明： 设某个四位数的千位、百位、十位、个位上的数字分别是a，b，c，d． ∵ ， ∴若能被3整除，则该四位数能被3整除． (1)请写出横线上所缺内容． (2)该兴趣小组继续探索一个四位数能被11整除的条件，证明过程如下： …… 请补充省略部分的推理过程，并写出四位数能被11整除的条件． 3．（2025·江苏扬州·一模）我们知道能被3整除的数的规律，设是一个三位数，若可以被3整除，则这个数就能被3整除． 例如，三位数108，，9可以被3整除，108就能被3整除． 【发现】将三位数去掉末尾数字得到两位数，再用减去的2倍所得的差为．若能被7整除，则三位数就能被7整除． 【验证】如，对于三位数364，，28可以被7整除，364就能被7整除． （1）用上述方法判断455能否被7整除？ 【探究】（2）请用含，，的代数式表示 ； （3）结合（2）论证“发现”中的结论正确． 【迁移】（4）下列结论正确的是 ．（填序号） ①在三位数中，若满足是11的倍数，则是11的倍数； ②在三位数中，若满足是11的倍数，则是11的倍数； ③在三位数中，若满足是11的倍数，则是11的倍数； 4．（2025·海南三亚·一模）综合与实践 在小学，我们知道像12，27，36，45，108，……这样的自然数能被3整除．一般地，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除．你能说出其中的道理吗？ 先来看两位数的情形． 若一个两位数的十位、个位上的数字分别为，，则通常记这个两位数为．于是． 显然能被3整除，因此，如果能被3整除，那么就能被3整除，即能被3整除． (1)一个三位数6□4的十位数字未知，请从2、6、7中找出“□”中合适的取值，使得这个三位数能被3整除，“□”可能等于_________； (2)请你用类似的方法模拟划线部分说明三位数能被3整除的道理； (3)证明：三个连续的正整数之和能被3整除． 题型四：数轴动点问题 数轴上的三种动点问题 数轴的动点问题，无论在平时练习，还是月考，期中期末考试中属于压轴题的版块，其过程复杂，情况多变。动点问题虽然较难，但观察总结过这类题目考型后会发现其实总体来说就分为三类: 一、数轴上点移动后的表示 点的移动问题方法：“三找”：(1)找起点；（2）找方向；（3）找长度 二、两个点之间的距离 1、距离公式：AB=｜a-b｜=｜b-a｜（或者：右边的数-左边的数） 2、中点公式：点M表示的数为：（a+b)/2； 3、移动公式：当点A向右移动m个单位，则A表示的数为：a+m； 当A向左移动m个单位，则A表示的数为a-m. 三、数轴上动点移动问题 点的移动问题就是将点的移动后表示与用绝对值表示两点之间的距离结合起来。 方法：(1)找起点；（2）找方向；（3）找长度（4）根据距离公式列方程 【中考母题溯源·学方法】 【典例4】（2024·山东威海·中考真题）定义我们把数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值．数轴上表示数a，b的点A，B之间的距离．特别的，当时，表示数a的点与原点的距离等于．当时，表示数a的点与原点的距离等于． 应用 如图，在数轴上，动点A从表示的点出发，以1个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动．同时，动点B从表示12的点出发，以2个单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动． (1)经过多长时间，点A，B之间的距离等于3个单位长度？ (2)求点A，B到原点距离之和的最小值． 【变式4-1】难点01分类讨论三个动点位置关系问题 如图，在数轴上的三个点分别表示有理数a、b、c，且a、b、c满足，，，c是最小的正整数． (1)请直接写出_______，_______，_______． (2)若点A沿数轴向左运动，速度为每秒1个单位，点B和点C沿数轴向右运动，速度分别是2个单位/秒、3个单位/秒．设运动时间为t（秒）． ①2秒后，点A、B、C分别表示的有理数． ②请问：的值是否随着时间t的变化而变化？若不变化，求这个不变的值；若变化，求这个值的变化范围． (3)若把（2）中点B和点C的运动速度互换，请问：在运动过程中，t为何值时，点B、点C分别到原点O的距离相等？（直接写出结果） 【变式4-2】新考法01新定义阅读理解 阅读理解：、、为数轴上三点，若点到的距离是点到的距离的3倍，我们称点是【，】的和谐点．若点到的距离是点到的距离的3倍，我们称点是【，】的和谐点． （1）如图1，点表示的数为，点表示的数为3．表示0的点到点的距离是1，到点的距离是3，那么点 　　【，】的和谐点，点 　　【，】的和谐点．（请在横线上填是或不是） （2）如图2，、为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为3．则【，】的和谐点有 　　个，并求出所有【，】的和谐点所表示的数． （3）如图3，、为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁从点出发，以3个单位每秒的速度向右运动，另一只电子蚂蚁从点出发，以1个单位每秒的速度向左运动，当点到达点时，、两点同时停止运动，设运动的时间为秒． ①当时，若点是【，】的和谐点且在、之间，则所表示的数是否为定值，若为定值，请求出该值，若不为定值，请说明理由． ②直接写出当是【，】的和谐点时，的值为 　　． 【中考模拟闯关·练提分】 1．（2025·山东淄博·二模）在数轴上，点表示原点，现将点从点开始沿数轴按如下规律移动：第一次点向左移动1个单位长度到达点，第二次将点向右移动2个单位长度到达点，第三次将点向左移动3个单位长度到达点，第四次将点向右移动4个单位长度到达点，…，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，当时，点与原点的距离是 个单位． 2．（2025·河北邯郸·一模）如图，以为1个单位长度，用直尺画数轴，数轴上的点，，刚好对着直尺上的刻度2、刻度8和刻度10．设点，，所表示的数的和是，该数轴的原点为． (1)分别计算出原点与点重合时、与的中点重合时的值． (2)原点沿着数轴每向左移动，的值将会如何变化？当的值为时，求原点的位置． 3．（2025·河北沧州·二模）如图，点A，B均在数轴上，点B在点A的右侧，点A对应的数字是，点B对应的数字是实数m，且． (1)求实数m的值； (2)一个光点从点A出发，沿数轴向右运动到点C，若，点C对应的实数为n， ①点B在点C________；（填“左侧”或“右侧”） ②求n的取值范围． 4．（2025·河北·一模）【定义】数轴上表示数a，b的点A，B之间的距离． 【应用】如图，在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，点C表示的数为6，动点P表示的数为x． (1)求点A，B之间的距离； (2)①点P，A之间的距离为______，点P，C之间的距离为______；（用含x的代数式表示） ②求的最小值； (3)已知动点P从点A出发，沿着数轴的正方向运动，到终点C停止运动，直接写出的最大值及最小值． 5．（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知在数轴上点表示的数是，点表示的数是，且、满足，点是异于点的点，且它到原点的距离与点到原点的距离相等，请回答问题： (1)请直接写出、、的值： ， ， ． (2)动点以个单位每秒的速度从点出发向点运动，同时动点以个单位每秒的速度从点出发向点运动，当、其中一个点到达点时，两点同时停止运动，求经过几秒、相距个单位？ (3)若动点从点出发，以个单位每秒的速度向点运动（到达点即停止运动），当点到达的中点时，其速度变为个单位每秒，此时停在点的动点开始出发，以个单位每秒的速度向点运动，动点到达点时，立即以原速返回向点运动，当点停止运动时，点立即停止运动，设动点的运动时间为，求为多少时，． 6．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点是的中点已知，满足，现有两动点，在数轴上同时开始运动，其中点从点出发向左匀速运动，速度为每秒个单位长度，点从点出发向左匀速运动，速度为每秒个单位长度． (1)填空： ______， ______； (2)求几秒后，，之间相距个单位长度； (3)若点运动到后，立刻以每秒个单位的速度运动到后，再以每秒个单位长度的速度返回到点时停止运动；点运动到后，立刻以每秒个单位长度的速度返回到点时停止运动，在此运动过程中，是否会存在？若存在，请直接写出运动时间的值；若不存在，请说明理由． 题型五：数或式的规律探索 1.数字规律的解题步骤 第一步：按顺序给数标序数 第二步：对比序数(1，2，3，…，n)和数值间的关系，并用含序数的式子表示 第三步：根据规律表示出第n个式子，并检验 第四步：代入n的值，求第n个数 2.求第n个单项式的解题关键 找单项式的系数或者指数与序号的对应关系,可将问题转化成找数与序号之间的规律 3.猜想第n个等式的解题关键 找到等式里边每一个变化的数字与序号之间的对应关系,常见的数字规律同问题1;证明第,个等式的正确性,即通过整式或分式运算,将等号一边变形为另一边的结果, 口诀助记：等差看差定不变,等比算商齐增减;周期重复找循环,符号正负(-1)"辨;平方立方幂次显，叠加递推层层算;奇偶分段各有式,验证代入再完善.- 【中考母题溯源·学方法】 【例5】（2025·四川绵阳·中考真题）观察下列单项式：，探究发现其中规律，你认为从左到右第15个单项式是（  ） A． B． C． D． 【变式5-1】新考法01 新定义与规律探索综合 （2025·四川成都·中考真题）分子为1的真分数叫做“单位分数”，也叫“埃及分数”．古埃及人在分数计算时总是将一个分数拆分成几个单位分数之和，如：．将拆分成两个单位分数相加的形式为 ；一般地，对于任意奇数k（），将拆分成两个不同单位分数相加的形式为 ． 【变式5-2】新考法02 规律探索与数学文化 （2025·江苏扬州·中考真题）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为 ． 【变式5-3】新考法03 立方根规律探索 （2025·山东滨州·中考真题）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．华罗庚解释如下： ①由，，，可得，由此确定是两位数； ②59319的个位上的数是9，因为只有的个位上的数是9，所以的个位上的数是9； ③如果划去59319后面的三位数319得到59，而，，又，由此确定的十位上的数是3，从而得到59319的立方根是39． 已知373248是一个整数的立方，请你按照上述方法，确定373248的立方根是 ． 【变式5-4】新考法04 跨化学学科综合 （2025·陕西·模拟预测）“数学是将科学现象升华到科学本质认识的重要工具”．比如化学中，醇类物质的分子中碳原子和氢原子的数目满足一定的数学规律，甲醇中碳原子的数目为，化学式为；乙醇中碳原子的数目为，化学式为；丙醇中碳原子的数目为，化学式为，按照此规律，碳原子的数目为的醇的化学式是 ． 【中考模拟闯关·练提分】 1．（2025·云南·模拟预测）按一定规律排列的多项式： ．则第10个多项式是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·云南·模拟预测）观察下列一组单项式：，，，，，…。按你发现的规律继续写下去，第n个单项式是（　　） A． B． C． D． 3．（2025·四川内江·中考真题）对于正整数x，规定函数．在平面直角坐标系中，将点中的，分别按照上述规定，同步进行运算得到新的点的横、纵坐标（其中，均为正整数）．例如，点经过第次运算得到点．经过第次运算得到点，经过第次运算得到点，经过有限次运算后，必进入循环圈，按上述规定，将点经过第次运算后得到点是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·甘肃定西·模拟预测）观察：，…，则 ．（） 5．（2025·安徽·模拟预测）观察下列等式： 第个：， 第个：， 第个：， 第个：， ， (1)写出第个式子： ． (2)按照以上规律，第个等式为 ，写出证明过程． 题型六：图形规律探索 解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论． 【中考母题溯源·学方法】 【例6】（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，用大小相等的小正方形拼大正方形，拼第个正方形需要个小正方形，拼第个正方形需要个小正方形，按照这样的方法拼成的第个正方形需要（   ）个小正方形． A． B． C． D． 【变式6-1】新考法01 跨化学学科 （2025·四川乐山·中考真题）醇是一类由碳、氢、氧元素组成的有机化合物，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中代表碳原子，代表氧原子，代表氢原子．第1种如图1有4个氢原子，第2种如图2有6个氢原子，第3种如图3有8个氢原子，第4种如图4有10个氢原子，……按照这一规律，第9种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（   ） A．18 B．20 C．22 D．24 【变式6-2】新考法02 图形操作中规律探索 （2025·江苏镇江·中考真题）如图，在等腰三角形中，，第1次操作：取的中点，将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和；第2次操作：取的中点，将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和；；按照这样的操作规律，第30次操作后，得到线段和，若用点在点的正南方向表示初始位置，则点在点的（   ） A．正东方向 B．正南方向 C．正西方向 D．正北方向 【变式6-3】新考法03 勾股树规律探索 （2025·甘肃·中考真题）勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，……，则第5个图形中共有 个正方形． 【变式6-4】新考法04 函数中的规律探索 （2025·山东潍坊·中考真题）如图，点是函数图象上任意一点，过向轴作垂线交轴于点，向轴作垂线交轴于点，矩形的周长，当时，有最小值；如图，点是函数图象上任意一点，同样作矩形，它的周长，同理得的最小值为；；点是函数（，为正整数）图象上任意一点，作矩形，它的周长为，则的最小值为 ． 【变式6-5】新考法05 多面体规律探索 （2025·江苏盐城·中考真题）小明在参观科技馆时，发现很多矿物的结晶体有着其独特的几何形态和内在规律． ［发现问题］ 黄铁矿的晶体（如图（1））是一个正方体：它由六个面组成．每个面都是全等的正方形，每个顶点都连接三条棱．小明查阅资料后了解到，这种各面都是全等的正边形，且各顶点连接（）条棱的立体图形称为正多面体，如正方体又称为正六面体． ［提出问题］ 小明思考：这样的正多面体有几个？ ［分析问题］ 一个正面体的每个面都是全等的正边形，有个顶点，条棱，且每个顶点都连接条棱．小明对部分正面体（如图（2））进行了观察，列出以下数据： 正多面体 正四面体 4 3 4 6 3 正方体 6 4 8 12 3 正八面体 8 3 6 12 4 （1）根据表中的数据，请写出、、之间存在的等量关系式_________； （2）小明进一步发现，正面体中棱数与各面的边数之和以及棱数与各面的顶点数之和存在着一定的关系． ①从面出发：以正方体为例，它有6个面，每个面都有4条边，则六个面的边数之和为24，又因为正方体的两个面共用一条边，所以正方体的棱数为12． 正面体的棱数_________．（用含、的代数式表示） ②从顶点出发：正面体的棱数_________．（用含、的代数式表示） ［解决问题］ （3）已知一个正多面体有30条棱，且每个顶点连接3条棱，求这个正多面体的面数． （4）满足正多面体定义的几何体一共有几个？请说明你的理由． 【中考模拟闯关·练提分】 1．（2025·重庆·中考真题）按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有4个圆点，第②个图中有8个圆点，第③个图中有12个圆点，第④个图中有16个圆点……按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是（   ） A．32 B．28 C．24 D．20 2．（2025·重庆·模拟预测）下列各方格中的四个数之间都有相同规律，根据此规律，第8个图中的（　　）．    A．315 B．645 C．965 D．1275 3．（2025·四川内江·一模）如图，已知在中，，过点C作于，过点作于D2，过点作于，过点作于，…按此方法得到的的长为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·陕西·中考真题）生活中常按图①的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的矩形按规律设计图案，如图②，第1个图案用了3个矩形，第2个图案用了5个矩形，第3个图案用了7个矩形，……则第10个图案需要用矩形的个数为 ． 5．（2025·青海·中考真题）下图是谢尔宾斯基地毯图案的形成过程．按此规律下去，第⑥个图形中黑色三角形的个数是 ． 6．（2025·江苏徐州·中考真题）如图所示，用黑白两色棋子摆图形，依此规律，第n个图形中黑色棋子的个数为 ．（用含n的代数式表示） 7．（2025·湖南怀化·一模）石油的最低级产物沥青蒸汽里含有多种稠环芳香烃，如图是它的同系列化合物（结构相似，分子组成相差相同的原子团）的结构式： 第1种物质的分子式是，第2种物质的分子式是，第3种物质的分子式是，…由此可知，该系列化合物第8种物质的分子式是 ． 8.（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，四边形是正方形，．执行下面操作：第一次操作以点A为圆心，以为半径顺时针作弧交的延长线于点E，得到扇形；第二次操作以点B为圆心，以为半径顺时针作弧交的延长线于点F，得到扇形；第三次操作以点C为圆心，以为半径顺时针作弧交的延长线于点G，得到扇形，依此类推进行操作，其中，、、，…的圆心依次按A，B，C，D循环，所得曲线叫做“正方形的渐开线”，则经过四次操作后所得到的四个扇形的面积和为 ．（结果保留π） 9．（2025·湖南长沙·一模）如图，正方形的边长为1，以为边作第2个正方形，再以为边作第3个正方形，…，按照这样的规律作下去，第个正方形的面积为 ． 10．（2025·四川内江·模拟预测）如果一个等腰三角形的顶角为，那么其底边与腰之比等于．我们把这样的等腰三角形称作黄金三角形．如图，在中，，，看作第一个黄金三角形；作的平分线，交于点D，看作第二个黄金三角形；作的平分线，交于点E，看作第三个黄金三角形；…以此类推，第n个黄金三角形的腰长是 ． 11．（2025·山东东营·中考真题）如图所示，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，按照此规律继续下去，则的值为 ． 12．（2025·安徽淮南·一模）某数学活动小组用大小一样的黑白两种颜色的小正方形纸片，按如图的规律摆放．请根据图中的信息解决下列问题． (1)图5中共有______个黑色小正方形，图n（n为正整数）中共有______个黑色小正方形． (2)若某个图形中共有116个白色小正方形，则该图形中共有多少个黑色小正方形？ 14．（2025·山东青岛·模拟预测）如图①，等腰面积为． (1)如图②，延长到，使，延长到，使，以为边长在的左侧作正方形，其面积记作，以为边长在右上方作正方形，其面积记作，则______． (2)如图③，延长到，使，延长到，使，以为边长在的左侧作正方形，其面积记作，以为边长在右上方作正方形，其面积记作，则______． (3)延长到，使，延长到，使，以为边长在的左侧作正方形，其面积记作，以为边长在右上方作正方形，其面积记作，则______． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $