专题05 中考坐标系与函数的4类核心考法（规律， 图象，动点，面积）（4大类14种题型）(专项训练)（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第三章 函数 专题05 中考坐标系与函数的4类核心考法 （规律，图象，动点，面积） 目 录 刷考点 精准巩固，扫清盲区 提能力 聚焦过程，优化策略 测综合 跨界融合，挑战创新 考点一： 平面直角坐标系中的面积问题 解｜题｜技｜巧 求平面直角坐标系中几何图形的面积，常见的图形是三角形和四边形. 1）如图1，当三角形有一条边平行于坐标轴或落在坐标轴上时，直接应用三角形的面积公式进行计算； 2）如图2，当三角形没有一条边平行于坐标轴或落在坐标轴上时，要用割补法，将三角形的面积转化为其他图形面积的和或差； 3）如图3，当求不规则多边形的面积时，一般采用割补法，将不规则的多边形割补为规则图形，进而求出其面积.一般地，过图形的顶点向x轴或y轴作垂线，找出不规则图形与规则图形之间的联系. 易错点：忽略动点的位置多样性，只算单一情况（比如动点在直线上方 / 下方、x 轴正 / 负半轴，会导致面积表达式不同，最终坐标不同） 题型 1 规则图形（三角形、四边形）的面积计算 1．（2025雁塔区模拟）如图，等边的顶点在轴上，顶点、在轴上，直线 经过点、，则等边的面积是(　　) A．4 B．2 C． D． 2．（2025·福建漳州·模拟预测）如图，是反比例函数与的一个交点，则图中阴影部分的面积是 ． 3．（2025·上海虹口·一模）如图，正方形的顶点、在轴上，点、恰好在抛物线上，那么正方形的面积是 ． 4．（2024·甘肃天水·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线（其中相交于，两点，过点B作轴，交y轴于点P． (1)分别求出直线与双曲线的函数解析式； (2)求的面积． 题型 2 不规则图形的面积割补法 1．（2025·山东德州·中考真题）如图，从一张半圆形的铁片上剪下一个小的半圆形铁片，为了计算剩余部分的面积，在图中作出一条小圆的切线，并使它平行于大圆的直径．设这条切线交大圆于点A，B，量得的长是，则剩余部分的面积是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在正六边形中，，连接，，以点D为圆心、的长为半径作圆弧，则图中阴影部分的面积是 ． 3．（2025·四川巴中·中考真题）如图，直线与双曲线交于两点． (1)求m和直线的表达式； (2)根据函数图象直接写出不等式的解集； (3)求的面积． 4．（2025·甘肃陇南·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点，与轴交于点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若将点向右移动个单位长度至点，连接，，求的面积． 题型 3 含动点的面积动态计算 1．（2025·江苏宿迁·中考真题）一块梯形木板，按如图方式设计一个矩形桌面（点在边上）．当 时，矩形桌面面积最大． 2．（2025·陕西西安·模拟预测）在一块三角形钢板中裁出一个面积最大的三角形，裁剪方案如图所示，顶点在边上，顶点，分别在边、上，已知，，，则当三角形的面积最大时，的长为 ． 3．（2025·河北·一模）如图，直线交x轴于点A，直线l交x轴于点，且与直线交于点． (1)求直线l对应的函数解析式； (2)求的面积； (3)若P是直线上的点，当的面积与的面积的比为时，求点P的坐标． 4．（2025扬州市三模）在数学研究课上，研究小组研究了平面直角坐标系中的特殊线段的长度： 【问题情境】在平面直角坐标系中不重合的两点和点， 若，则轴，且线段的长度为； 若，则轴，且线段的长度为； 【实践操作】（1）根据上面的结论，填空． ①已知：点、点，则的长度为 ； ②若点、，且轴，的长度为 ． 【拓展应用】（2）如图，在平面直角坐标系中，平移线段至线段（点、点的对应点分别是点、点），连接、．若，，，， ①直接写出、的值； ②是否存在点，使三角形的面积等于三角形面积的倍．若存在，请求出点坐标；若不存在请说明理由． 题型 4 函数图像与坐标轴围成的面积 1．（2025·江西新余·三模）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点在轴上，顶点的坐标为，的坐标为，分别是边，边上的点，且线段将平行四边形分割成面积相等的两部分．若点的坐标是，则点的坐标为 ． 2．（2025·浙江·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，若，称点与点互为友好点．若直线l上存在友好点，且与x轴，y轴围成的三角形的面积是3，则直线l的表达式为 ． 3．（2025·湖南邵阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，点C在y轴的负半轴上，以为对称轴作的轴对称图形，点A的对称点为点D． (1)若点D恰好落在x轴正半轴上，求点D的坐标； (2)在（1）的条件下求的面积． 题型 5 反比例/二次函数中的面积问题 1．（2024·河北石家庄·一模）如图1和图2所示，点A，B，C在反比例函数的图象上，连接，分别过点A，B，C三点作x轴的垂线，垂足分别为M，N，P． （1）如图1所示，图中两块阴影部分面积的大小关系为： ；（填“<”，“>”或“=”） （2）如图2所示，若，且图中三块阴影部分的面积之和为62，则k的值是 ． 2．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，抛物线为常数）经过点且交轴于两点． (1)求抛物线表示的函数解析式； (2)若点为抛物线的顶点，连接，，．求四边形的面积． 3．（2025·吉林长春·模拟预测）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线（是常数）与轴交于点，且经过点．点是抛物线上两点（点在点左侧，点不与点重合），横坐标分别为，且． (1)求抛物线的解析式； (2)当点落在轴上时，求的值； (3)作直线相交于点． ①当与面积相等时，求的值； ②当的面积大于面积的时，直接写出的取值范围． 4．（2025·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，直线与抛物线交于两点(点在轴左侧，点在轴右侧)，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若与的面积之比是，求的值； (3)若作点关于轴的对称点，直线与直线相交于点，试探究：的面积是否为定值？若为定值，请求出的面积；若不为定值，请说明理由． 考点二： 坐标系中的规律探索问题 解｜题｜技｜巧 该题型主要以选择、填空的形式出现，一般较为靠后，有一定难度，该题型需要分析变化规律得到一般的规律(如点变的循环规律或点运动的循环规律，点的横、纵坐标的变化规律等)。主要考查对点的坐标变化规律，一般我们需要结合所给图形，找到点或图形的变化规律或者周期性，最后利用正确运用数的运算求解。这类问题体现了“特殊与一般”的数学思想方法，解答时往往体现“探索、归纳、猜想”等思维特点，对分析问题、解决问题的能力具有很高的要求。 题型01 沿坐标运动的点的规律 1．（2025·广东广州·一模）如图，动点A在平面直角坐标系中按图中方向运动，第一次从原点O出发，依次运动到点，，，，，……按照这样的运动规律，点的横坐标是（   ） A．2698 B．2699 C．2700 D．2702 2．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，按这样的运动规律，经过第2025次运动后动点的坐标是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·山东泰安·二模）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如，……，根据这个规律探索可得第2024个点的坐标是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，已知，，，，，，，…，依此规律，则点的坐标为 ． 题型02 绕原点呈“回”字形运动的点的规律 1．（2025·湖南湘潭·二模）如图，在一单位为1的方格纸上，，，，都是斜边在轴上，斜边长分别为，，，……的等腰直角三角形，若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·宁夏银川·三模）如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长度，，，，……均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列，如：，，，，，，……，根据这个规律，点的坐标为 3．（2025广安市模拟）如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长，，，，…，均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列，如：，，，，，，….根据这个规律，点 的坐标为 ． 题型03 图形变换的点的规律 1．（2025·山东烟台·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，的顶点的坐标为．以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧；以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧……按照以上规律作图，点的坐标为 ． 2．（2025·山西长治·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，，，，是边长为1个单位长度的小正方形的顶点，开始时，顶点，依次放在点，的位置，然后向右滚动，第1次滚动使点落在点的位置，第2次滚动使点落在点的位置⋯，按此规律滚动下去，则第2025次滚动后，顶点的坐标是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，数学活动小组在用几何画板绘制几何图形时，发现了如“花朵”形的美丽图案，他们将等腰三角形OBC置于平面直角坐标系中，点O的坐标为，点B的坐标为，点C在第一象限，．将沿x轴正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第一次滚动后，点O的对应点为，点C的对应点为，与的交点为，称点为第一个“花朵”的花心，点为第二个“花朵”的花心；……；按此规律，滚动2024次后停止滚动，则最后一个“花朵”的花心的坐标为 ． 4．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图，在平面直角坐标系中，，，将绕点顺时针旋转并且按一定规律放大，每次变化后得到的图形仍是顶角为的等腰三角形．第一次变化后得到等腰三角形，点的对应点为；第二次变化后得到等腰三角形，点的对应点为；第三次变化后得到等腰三角形，点的对应点为 ，依此规律，则第个等腰三角形中，点的坐标是 ． 5．（2025·山东淄博·二模）小明用绘图软件绘制了二次函数的图象后，将其对称轴左侧的部分作关于轴对称的图象，将坐标系中图象实线部分记为，如图所示．按横坐标从开始依次增加的规律，在图象上取20个点，得到，，，，，则这20个点的纵坐标的和等于 ． 6．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）利用几何图形的变化可以制作出形态各异的图案．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以为边作，使，，再以为边作，使，，过点，，作弧，记作第1条弧；以为边，使，，再以为边作，使，，过点，，作弧，记作第2条弧……按此规律，第2025条弧上与原点的距离最小的点的坐标为 ． 题型04 坐标轴与直线相结合类规律 1．（2025·广西南宁·三模）如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点作轴于点，作等腰直角三角形（与原点O重合），再以为腰作等腰直角三角形，以为腰作等腰直角三角形，…，按照这样的规律进行下去，那么的坐标为（    ）． A． B． C． D． 2．（2025·黑龙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交y轴于点．四边形，，，，都是正方形，顶点，，，，都在轴上，顶点，，，，都在直线上，连接，，，，分别交，，，，于点，，，，．设，，，，…的面积分别为，，，，，则 ． 3．（2025·河北唐山·二模）如图，都是等腰直角三角形，点均在轴正半轴上，直角顶点均在直线上．设的面积分别为，则 ． 4．（2024·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知直线的表达式为，点的坐标为，以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；……按照这样的规律进行下去，点的横坐标是 ． 5．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图，把置于平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，与的平分线交于点，过点作的垂线，交轴于点，过点作轴的垂线，交直线于点，与的平分线交于点按此规律，则点的坐标是 ． 6．（24-25九年级上·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，正方形的位置如图所示，点的坐标为，点的坐标为．延长交轴于点，作正方形；延长交轴于点，作正方形，……，按这样的规律进行下去，正方形的面积为 ． 7．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A在直线∶上，过点A作轴，垂足为点B，将沿过点A的直线翻折，使斜边落在上，得到，再将绕点旋转，得到，……，按此规律，依次翻折、旋转．若点B的坐标为，则点的坐标为 ． 8．（2025·山东东营·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线分别交轴于点．以为直角边在其左侧作，且另一直角边满足，过点作分别交直线与于点；以为直角边在其左侧作，且另一直角边满足，过点作分别交直线与于点；以为直角边在其左侧作，且另一直角边满足照此规律进行下去，则的面积为 ． 9．（2025·山东淄博·一模）如图，双曲线与直线相交于点A，B，在直线上取点，，…，依次以，…为对角线分别向外作左、右一组对边垂直于x轴的矩形，…．矩形的四条边与该双曲线的交点由第一象限逆时针依次记为：；矩形的四条边与该双曲线的交点由第一象限逆时针依次记为：；矩形的四条边与该双曲线的交点由第一象限逆时针依次记为：，…．按此规律，则点的坐标为 ． 考点三： 实际情境函数的信息解读 解｜题｜技｜巧 根据图像读取信息时，要把握以下三个方面： 1）横、纵轴的意义，以及横、纵轴分别表示的量； 2）关于图像上的某个点，可以过该点分别向横纵轴作垂线来求得该点的坐标； 3）在实际问题中，要注意图像与横、纵轴的交点代表的具体含义. 题型01 从函数图像中获取信息 1．（2025·青海·中考真题）如图，甲、乙两车从地出发前往地，在整个行程中，汽车离开地的路程与时刻之间的对应关系如图所示，下列结论错误的是（    ） A．乙车先到达地 B．、两地相距 C．甲车的平均速度为 D．在时，乙车追上甲车 2．（2025·浙江·中考真题）为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路向目的地B处运动．设为x（单位：）为y（单位：）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点，且经过和两点．下列选项正确的是（   ） A． B． C．点C的纵坐标为240 D．点在该函数图象上 3．（2025·河南·中考真题）汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化．研究发现，某款轮胎的摩擦系数与车速之间的函数关系如图所示．下列说法中错误的是（   ） A．汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为 B．当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小 C．要使这款轮胎的摩擦系数不低于，车速应不低于 D．若车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小 4．（2025·山东·中考真题）在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度（厘米/天）和光照强度（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围（）内，与近似成一次函数关系；在中高光照强度范围内，与近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（   ）    A．当时，随的增大而减小 B．当时，有最大值 C．当时， D．当时， 5．（2024·河南·中考真题）把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象（如图2）．下列结论中错误的是（    ） A．当时， B．Q随I的增大而增大 C．I每增加1A，Q的增加量相同 D．P越大，插线板电源线产生的热量Q越多 题型02 与函数综合 1．（2025·陕西·中考真题）在探究小球速度随时间变化规律的实验中，小球由静止开始沿斜面向下滚动，到达斜面底端后，在水平面上继续滚动直至停止，如图①所示．小球滚动过程中的速度与时间之间的关系如图②所示． (1)求所在直线的函数表达式； (2)求该小球滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长． 2．（2025·吉林·中考真题）【知识链接】实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关 实验过程：如图①，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相同的两个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计A，B的下方，从离桌面20cm的高度，分别缓慢浸入到甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化．（溢水杯的杯底厚度忽略不计） 实验结论：物体在液体中所受浮力的大小，跟它浸在液体中的体积有关、跟液体的 密度有关．物体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大，浮力就越大． 总结公式：当小铝块位于液面上方时，； 当小铝块浸入液面后，． 【建立模型】在实验探究的过程中，实验小组发现：弹簧测力计A，B各自的示数与小铝块各自下降的高度之间的关系如图②所示． 【解决问题】 (1)当小铝块下降10cm时，直接写出弹簧测力计A和弹簧测力计B的示数． (2)当时，求弹簧测力计A的示数关于x的函数解析式． (3)当弹簧测力计A悬挂的小铝块下降8cm时，甲液体中的小铝块受到的浮力为，若使乙液体中的小铝块所受的浮力也为，则乙液体中小铝块浸入的深度为，直接写出m，n的值． 3．（2025·江苏宿迁·中考真题）甲、乙两人从同一地点出发沿同一路线匀速步行前往处参加活动．甲比乙早出发，两人途中均未休息，先到达处的人在原地休息等待，直到另一人到达处．两人之间的路程与甲行走的时间的函数图像如图所示． (1)乙步行的速度为___________之间的路程为___________； (2)当时，求关于的函数表达式； (3)甲出发多长时间时，两人之间的路程为． 4．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）2025年春晚舞台上的机器人表演，充分演绎了科技与民族文化的完美融合．为满足学生的好奇心和求知欲，某校组织科技活动“机器人走进校园”，AI热情瞬间燃爆．校园里一条笔直的“勤学路”上依次设置了A，B，C三个互动区，机器人甲、乙分别从A，C两区同时出发开始表演，机器人甲沿“勤学路”以20米／分的速度匀速向B区行进，行至B区时停留4.5分钟（与师生热情互动）后，继续沿“勤学路”向C区匀速行进，机器人乙沿“勤学路”以10米／分的速度匀速向B区行进，行至B区时接到指令立即匀速返回，结果两机器人同时到达C区．机器人甲、乙距B区的距离y（米）与机器人乙行进的时间x（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象信息解答下列问题： (1)A，C两区相距__________米，__________； (2)求线段所在直线的函数解析式； (3)机器人乙行进的时间为多少分时，机器人甲、乙相距30米？（直接写出答案即可） 5.（2025·天津·中考真题）已知小华的家、书店、公园依次在同一条直线上，书店离家，公园离家．小华从家出发，先匀速步行了到书店，在书店停留了，之后匀速步行了到公园，在公园停留后，再用匀速跑步返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 小华离开家的时间 1 6 18 50 小华离家的距离 ②填空：小华从公园返回家的速度为____________； ③当时，请直接写出小华离家的距离关于时间的函数解析式； (2)若小华的妈妈与小华同时从家出发，小华的妈妈以的速度散步直接到公园．在从家到公园的过程中，对于同一个的值，小华离家的距离为，小华的妈妈离家的距离为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 6．（2025·黑龙江绥化·中考真题）自主研发和创新让我国的科技快速发展，“中国智造”正引领世界潮流．某科技公司计划投入一笔资金用来购买、两种型号的芯片．已知购买颗型芯片和2颗型芯片共需要元，购买颗型芯片和颗型芯片共得要元． (1)求购买颗型芯片和颗型芯片各需要多少元． (2)若该公司计划购买、两种型号的芯片共频，其中购买型芯片的数量不少于型芯片数量的倍．当购买型芯片多少颗时，所需资金最少，最少资金是多少元． (3)该公司用甲、乙两辆芯片运输车，先后从地出发，沿着同一条公路匀速行驶，前往目的地，两车到达地后均停止行驶．如图，、分别是甲、乙两车离地的距离与甲车行驶的时间之间的函数关系．请根据图象信息解答下列问题： ①甲车的速度是________． ②当甲、乙两车相距时，直接写出的值________． 考点四： 动点的函数图像问题 解｜题｜技｜巧 题型01 根据函数图像求具体值 1．（2025·山东东营·中考真题）如图1，在矩形中，，是边上的一个动点，，交于点，设，，图2是点从点运动到点的过程中，关于的函数图象，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（2025·甘肃·中考真题）如图1，在等腰直角三角形中，，点D为边的中点．动点P从点A出发，沿边方向匀速运动，运动到点B时停止．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到的中点时，的长为（   ） A．2 B．2.5 C． D．4 3．（2025·湖北武汉·中考真题）如图1，在中，是边上的定点．点从点出发，依次沿两边匀速运动，运动到点时停止．设点运动的路程为，的长为，关于的函数图象如图2所示．其中分别是两段曲线的最低点．点的纵坐标是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·四川广元·中考真题）如图①，在中，，点P从点A出发沿A→C→B以1的速度匀速运动至点B，图②是点P运动时，的面积随时间x（s）变化的函数图象，则该三角形的斜边的长为（    ） A．5 B．7 C． D． 5．（2024·甘肃·中考真题）如图1，动点P从菱形的点A出发，沿边匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到中点时，的长为（　　） A．2 B．3 C． D． 题型02 面积与时间的函数关系 1．（2025·山东东营·中考真题）如图，在同一平面内放置的和矩形，与重合，，，，以的速度沿方向匀速运动，当点F与点C重合时停止．在运动过程中，与矩形重叠部分的面积S（）与运动时间t（s）之间的函数关系图象大致是（    ） A．B．C． D． 2．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在菱形中，，，动点从点出发沿边匀速运动，运动到点时停止，过点作的垂线，在点运动过程中，垂线扫过菱形（即阴影部分）的面积为，点运动的路程为．下列图象能反映与之间函数关系的是（   ） A．B．C．D． 3．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，在中，，，．点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设的面积为，运动时间为秒，则下列图象中大致反映与之间函数关系的是（   ） A．B．C． D． 4．（2024·甘肃兰州·中考真题）如图1，在菱形中，，连接，点M从B出发沿方向以的速度运动至D，同时点N从B出发沿方向以的速度运动至C，设运动时间为，的面积为，y与x的函数图象如图2所示，则菱形的边长为（    ）    A． B． C． D． 5．（2024·山东烟台·中考真题）如图，水平放置的矩形中，，，菱形的顶点，在同一水平线上，点与的中点重合，，，现将菱形以的速度沿方向匀速运动，当点运动到上时停止，在这个运动过程中，菱形与矩形重叠部分的面积与运动时间之间的函数关系图象大致是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·吉林·中考真题）如图，在中，，，．动点P从点A出发，沿边以每秒1个单位长度的速度向终点C匀速运动．当点P出发后，以为边作正方形，使点D和点B始终在边同侧．设点P的运动时间为，正方形与重叠部分图形的面积为y（平方单位）． (1)的长为_______． (2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． (3)当正方形的对称中心与点B重合时，直接写出x的值． 题型03 判断函数的大致图像 1．（2025·江苏南通·中考真题）如图，在等边三角形的三边上，分别取点，使．若，的面积为，则关于的函数图象大致为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏常州·中考真题）小华家、小丽家与图书馆位于一条笔直的街道上，小丽家位于小华家和图书馆之间，小华家到小丽家、图书馆的距离分别为300米、1800米．若小华、小丽各自从自己家同时出发，分别以米/分钟、米/分钟的速度匀速前往图书馆，则两人恰好同时到达．现两人各自从自己家同时出发，小丽仍然以米/分钟的速度匀速前往图书馆，小华先以米/分钟的速度追赶小丽，与小丽相遇后，再以米/分钟的速度与小丽一同前往图书馆，则小华到图书馆的距离y（米）与行进时间x（分钟）之间的函数图像可能是（   ） A．B．C．D． 3．（2025·四川绵阳·一模）如图，腰长分别为2和4的两个等腰直角三角形，开始它们在左边重合，大直角三角形固定不动，然后把小直角三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止．设小直角三角形移动的距离为x，两个三角形重叠面积为y，则y关于x的函数图象大致是（   ） A．B．C．D． 4．（23-24九年级上·安徽淮南·月考）如图，点和点同时从正方形的顶点出发，点沿着运动，点沿着运动，速度都为，终点都是点．若，则的面积S（cm2）与运动时间之间的函数关系的大致图象是（    ） A． B． C．D． 1．（2025·陕西汉中·模拟预测）遗忘曲线由德国心理学家艾宾浩斯（）研究发现，描述了人类大脑在完全掌握新事物规律或情况后遗忘的规律．人体大脑对新事物遗忘的循序渐进的直观描述，该曲线对人类记忆认知研究产生了重大影响．对于艾宾浩斯遗忘曲线，有几种说法，请你观察图象判断正确的有（   ）个． ①完全掌握知识后不复习，在天后还能保持的掌握度 ②在图示的过程中，能拥有掌握度及以上的时间有天 ③完全掌握知识后不复习，在2天后会丢失的掌握程度 ④艾宾浩斯遗忘曲线的知识掌握度与天数成反比例关系 A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2025·安徽亳州·一模）如图，在平面直角坐标系中，用12个以点O为公共顶点的相似三角形组成形如海螺的图案，并按此方法无限地作下去，……，若． (1)填空：①点的坐标是_____；②点的坐标是______；③点的坐标是______；④点的坐标是______；（结果可保留乘方形式） (2)观察（1）中的结果，发现规律，求点的坐标． 3．（2025·四川南充·二模）在正六边形中，是对角线上一点，．则的面积与的面积的关系为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·宁夏吴忠·二模）已知矩形的顶点，，，分别在正六边形的边，，，上，在点从移动到的过程中，下列对矩形的判断： ①矩形的面积与周长保持不变；②矩形的面积逐渐减少；③矩形的周长逐渐增大； ④矩形的对角线长存在最小值．其中正确的是（    ） A．①④ B．②③ C．①③ D．②④ 5．（2025·四川绵阳·二模）如图，矩形的顶点C在反比例函数的图象．上，反比例函数的图象与，分别交于点E，F，轴于点H，轴于点G，与相交于点M．有下列说法：①矩形的面积是1；②的面积是 ；③矩形与矩形的面积一定相等；④若的面积为，矩形的面积为，则必有．其中说法正确的是 （填序号）． 6．（2025·福建漳州·模拟预测）用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的菜园． 方案一：如图①，围成一个矩形菜园，其中一边是墙， 其余的三边，， 用篱笆，其中； 方案二：如图②，围成一个扇形菜园，一条半径是墙，其余用篱笆． 有下列结论： ①的长可以是； ②的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为； ③矩形菜园的面积的最大值为； ④方案二围成扇形菜园的最大面积大于方案一围成矩形菜园的最大面积． 其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） 7．（2024·广东广州·二模）如图1，在平面直角坐标系中，点、C分别在y轴和x轴上，轴，，点P从B点出发，以的速度沿边匀速运动，点Q从点出发，沿线段匀速运动．点P与点Q同时出发，其中一点到达终点，另一点也随之停止运动．设点P运动的时间为，的面积为，已知S与t之间的函数关系如图2中的曲线段、线段与曲线段．下列说法正确的是（   ） ①点的运动速度为；②点的坐标为；③线段段的函数解析式为；④曲线段的函数解析式为；⑤若的面积是四边形的面积的，则时间． A．①②③④⑤ B．①③④ C．①③⑤ D．①③④⑤ 8．（2025·四川宜宾·二模）如图1，在平面直角坐标系中，点分别在轴和轴上，轴，，点从点出发，以的速度沿边匀速运动，点从点出发，沿线段匀速运动．点与点同时出发，其中一点到达终点，另一点也随之停止运动．设点运动的时间为的面积为，已知与之间的函数关系如图2中的曲线段、线段与曲线段．下列说法中正确的个数有（    ）个． ①点的运动速度为；②点的坐标为；③线段段的函数解析式为； ④曲线段的函数解析式为；⑤若的面积是四边形的面积的，则时间．⑥当在线段上运动时，存在某一时刻，使得周长最小． A．3 B．4 C．5 D．6 9．（2025·黑龙江·模拟预测）如图，的直径为，，点为的中点，点沿路线运动，连接，．用表示点的运动路程，表示的面积下列图像适合表示与的对应关系的是（   ） A．B．C． D． 10．（2025·辽宁铁岭·三模）心理学研究发现，一般情况下，在一节的物理课中，学生的注意力随上课时间的变化而变化，开始上课时，学生的注意力逐步增强，后保持平稳一段时间，平稳时间持续，随后学生的注意力开始分散．通过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间的变化规律如图所示，为反比例函数图象的一部分． (1)当时，请求出y关于x的函数解析式． (2)物理老师计划在课堂上讲解两道总计需要的串、并联电路综合题，请问：他能否经过适当的安排，使学生在听这道题目的讲解时注意力指标数不低于30？并说明理由． 1．（2025·陕西西安·模拟预测）【问题提出】在一个直角三角形中，以斜边上任意一点向两直角边做垂直，所截取的矩形的最大面积是多少？ 【规律探究】如图①，是一个直角三角形，，在上任取点，作，，得到矩形，我们可以设，证明得到后，经过推导，用含有的代数式表示出该矩形的面积，从而求得答案． 探究：如图①，，，请根据材料， 填空：①______；②______；③矩形的最大面积的值为______． 【问题应用】如图②，已知有一块“缺角矩形”，，，，，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积． 【拓展延伸】如图③，现有一块四边形的木板余料，经测量，， ，且，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点、在边上且面积最大的矩形，则该矩形的面积为______．（直接写出答案） 2．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，在矩形中，，．点P从点A出发，沿边向点B以1个单位长度/秒的速度运动，同时点Q从点B出发，沿边向点C以2个单位长度/秒的速度运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t秒． (1)当时，求的面积； (2)当t为何值时，的面积最大？最大面积是多少？ (3)是否存在某一时刻t，使的面积等于矩形面积的？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 3．（2025·天津河西·一模）在平面直角坐标系中，为原点，三角形纸片，顶点，．在边上取一点，在边上取一点，连接，将沿翻折到同一平面内，得，点的对应点为点． (1)填空：的度数为 ，的度数为 ； (2)若，设，翻折后与三角形重叠部分的面积为． ①如图①，当时，点的坐标为 ，重合部分的面积为 ； ②如图②，当折叠后重合部分为四边形时，与交点为．试用含有的式子表示的长，并直接写出的取值范围； ③填空：当 时，重合部分面积最大． (3)当，的面积等于面积时，求点的坐标（直接写出结果即可）． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数 专题05 中考坐标系与函数的4类核心考法 （规律，图象，动点，面积） 目 录 刷考点 精准巩固，扫清盲区 提能力 聚焦过程，优化策略 测综合 跨界融合，挑战创新 考点一： 平面直角坐标系中的面积问题 解｜题｜技｜巧 求平面直角坐标系中几何图形的面积，常见的图形是三角形和四边形. 1）如图1，当三角形有一条边平行于坐标轴或落在坐标轴上时，直接应用三角形的面积公式进行计算； 2）如图2，当三角形没有一条边平行于坐标轴或落在坐标轴上时，要用割补法，将三角形的面积转化为其他图形面积的和或差； 3）如图3，当求不规则多边形的面积时，一般采用割补法，将不规则的多边形割补为规则图形，进而求出其面积.一般地，过图形的顶点向x轴或y轴作垂线，找出不规则图形与规则图形之间的联系. 易错点：忽略动点的位置多样性，只算单一情况（比如动点在直线上方 / 下方、x 轴正 / 负半轴，会导致面积表达式不同，最终坐标不同） 题型 1 规则图形（三角形、四边形）的面积计算 1．（2025雁塔区模拟）如图，等边的顶点在轴上，顶点、在轴上，直线 经过点、，则等边的面积是(　　) A．4 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】分别令，得出的坐标，进而根据等边三角形的性质得出，进而根据三角形面积公式即可求解． 【详解】解：当时， ， 解得：， 点的坐标为，， ； 当时， ， 点的坐标为 ， ． 为等边三角形，， ， ， 等边的面积是． 故选：D． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，一次函数与坐标轴交点问题、坐标与图形，求得的坐标是解题的关键． 2．（2025·福建漳州·模拟预测）如图，是反比例函数与的一个交点，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与圆的综合，扇形面积的计算，理解图示，掌握反比例函数图形的性质是关键． 根据题意得到，如图所示，连接，取圆与反比例函数交点，则，根据反比例函数的对称性得到，第一象限的阴影部分与第三象限的阴影部分的和为圆的面积，由此即可求解． 【详解】解：∵点是反比例函数与的一个交点，且点在第一象限， ∴， 解得，， ∴，即， 如图所示，连接，取圆与反比例函数交点， ∴， 根据反比例函数图象关于原点对称得到，点关于点的对称点为点，点关于点的对称点为点， ∴连接，则， ∴， ∴第一象限的阴影部分与第三象限的阴影部分的和为圆的面积， ∴阴影部分的面积为， 故答案为： ． 3．（2025·上海虹口·一模）如图，正方形的顶点、在轴上，点、恰好在抛物线上，那么正方形的面积是 ． 【答案】 【分析】此题考查二次函数的图象和性质、正方形的性质．根据题意设点的坐标是，点、恰好在抛物线上，得到，解得，（不合题意，舍去），得到点的坐标是，得到正方形的边长为，即可求出正方形的面积． 【详解】解：∵四边形是正方形，顶点、在轴上，点、恰好在抛物线上， ∴， ∴可设点的坐标是， ∵点、恰好在抛物线上， ∴， 解得，（不合题意，舍去）， ∴点的坐标是， ∴正方形的边长为， ∴正方形的面积是， 故答案为： 4．（2024·甘肃天水·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线（其中相交于，两点，过点B作轴，交y轴于点P． (1)分别求出直线与双曲线的函数解析式； (2)求的面积． 【答案】(1)双曲线的函数解析式为，直线的函数解析式为 (2) 【分析】（1）把代入求得，再把代入求得，进而利用待定系数法求直线的解析式即可； （2）根据题意求得，即，，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵双曲线的图象经过点， 把代入得，， ∴双曲线的函数解析式为， ∵双曲线的图象经过点， 把代入得，， 解得， ∴， ∵直线经过点，， 把、代入得，， 解得， ∴直线的函数解析式为； （2）解：过点A作的延长线交于点D， ∵轴，，， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查坐标与图形、一次函数与反比例函数的交点问题、用待定系数法求一次解析式和反比例函数解析式，熟练掌握相关知识是解题的关键． 题型 2 不规则图形的面积割补法 1．（2025·山东德州·中考真题）如图，从一张半圆形的铁片上剪下一个小的半圆形铁片，为了计算剩余部分的面积，在图中作出一条小圆的切线，并使它平行于大圆的直径．设这条切线交大圆于点A，B，量得的长是，则剩余部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是切线的性质、圆的面积计算，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 根据切线的性质得到，根据垂径定理求出，再根据勾股定理、圆的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，平移小圆，使小圆的圆心与点重合，小圆与相切于，连接， ∵小圆与相切于， ， ， 在中，， 则剩余部分的面积为：， 故选：D． 2．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在正六边形中，，连接，，以点D为圆心、的长为半径作圆弧，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的性质，扇形面积的计算，连接，根据多边形的内角求出扇形的圆心角，然后根据30°角的直角三角形的性质和勾股定理求出长，再根据解答即可． 【详解】解：连接， ∵是正六边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（2025·四川巴中·中考真题）如图，直线与双曲线交于两点． (1)求m和直线的表达式； (2)根据函数图象直接写出不等式的解集； (3)求的面积． 【答案】(1)； (2) (3)16 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的图象与性质，一次函数解析式的求解，一次函数与反比例的交点与不等式的解集的关系，熟练掌握一次函数与反比例函数的性质是解决本题的关键． （1）已知双曲线过点，将点的坐标代入双曲线方程，即可求出的值，先将点的坐标代入双曲线方程求出的值，再将点和的坐标代入直线方程，联立方程组求解和的值，进而得到直线的表达式． （2）根据函数图象，找出直线在双曲线上方时的取值范围，即为不等式的解集． （3）可先求出直线与x轴的交点，然后根据三角形面积公式，将的面积转化为与的面积之和进行计算． 【详解】（1）解：点在双曲线上， ， 又在双曲线上， ，解得． 由题意得：，解得， ． （2）解：由（1）可知，， 所以不等式可化为， 根据函数图象，直线在双曲线上方时，的取值范围是， 所以不等式的解集为． （3）解：如图，设直线与轴交于点， 当时．， ， ， ． 4．（2025·甘肃陇南·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点，与轴交于点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若将点向右移动个单位长度至点，连接，，求的面积． 【答案】(1)一次函数表达式，反比例函数的表达式； (2)． 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的性质，点的平移，三角形面积，掌握知识点的应用是解题的关键 （）待定系数法求解析式即可； （）由得，当时，，则，根据将点向右移动个单位长度至点，得，然后用面积公式即可求解． 【详解】（1）解：把代入反比例函数中得：， ∴， 反比例函数解析式为， 把代入中得：， ∴， 把代入一次函数中得： ， 解得：， ∴一次函数解析式为； （2）解：由得，当时，， ∴， ∴， 又∵将点向右移动个单位长度至点， ∴， ∴， ∴． 题型 3 含动点的面积动态计算 1．（2025·江苏宿迁·中考真题）一块梯形木板，按如图方式设计一个矩形桌面（点在边上）．当 时，矩形桌面面积最大． 【答案】5 【分析】本题考查二次函数的应用，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质．作于点H，先根据已知数据证明和是等腰直角三角形，再设，则，列出矩形桌面面积关于x的二次函数，化为顶点式，即可得出答案． 【详解】解：如图，作于点H， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， 是等腰直角三角形， ， 矩形中， 是等腰直角三角形， 设，则， 矩形桌面的面积， 当时，S取最大值， 即当时，矩形桌面面积最大． 故答案为：5． 2．（2025·陕西西安·模拟预测）在一块三角形钢板中裁出一个面积最大的三角形，裁剪方案如图所示，顶点在边上，顶点，分别在边、上，已知，，，则当三角形的面积最大时，的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查三角形的面积、平行线的性质，掌握相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理、三角形面积公式、二次函数的图象性质是解题的关键． 过点作交于点，交于点，根据相似三角形的判定与性质得，根据等腰三角形的性质及勾股定理求出的长，设，则，根据三角形面积公式将的面积用含的代数式表示出来，根据二次函数的图象性质，确定当的面积最大时对应的值，进而求解． 【详解】解：如图，过点作交于点，交于点， ∵， ∴∽，∽， ，， ， ，， ， 在中，， 设，则， ， ， ， 当时，最大， 故答案为： 3．（2025·河北·一模）如图，直线交x轴于点A，直线l交x轴于点，且与直线交于点． (1)求直线l对应的函数解析式； (2)求的面积； (3)若P是直线上的点，当的面积与的面积的比为时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数的综合，求一次函数解析式，直线围成的三角形面积，解题的关键是熟练掌握待定系数法． （1）先求出点C的坐标，再用待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出点，得出，再根据三角形面积公式进行求解即可； （3）先根据，，求出，从而得出或，代入中，求出点P的坐标． 【详解】（1）解：将点代入中，得， ∴点， 设直线l对应的函数解析式为， 将点，代入，得， 解得， ∴直线l对应的函数解析式为； （2）解：在中，令， 解得， ∴点， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴或， 将或代入中， 解得或， ∴点P的坐标为或． 4．（2025扬州市三模）在数学研究课上，研究小组研究了平面直角坐标系中的特殊线段的长度： 【问题情境】 在平面直角坐标系中不重合的两点和点， 若，则轴，且线段的长度为； 若，则轴，且线段的长度为； 【实践操作】 （1）根据上面的结论，填空． ①已知：点、点，则的长度为 ； ②若点、，且轴，的长度为 ． 【拓展应用】 （2）如图，在平面直角坐标系中，平移线段至线段（点、点的对应点分别是点、点），连接、．若，，，， ①直接写出、的值； ②是否存在点，使三角形的面积等于三角形面积的倍．若存在，请求出点坐标；若不存在请说明理由． 【答案】（1）①；②；（2）①，；②存在，点的坐标为或 【分析】（1）①由题意知轴，可得的长度； ②由轴可得，继而得到，可得的长度； （2）①根据平移的性质及点的坐标可知线段向右平移个单位再向下平移个单位得到线段，即可得、的值； ②分别表示出三角形的面积为，三角形的面积为，可得，求解即可． 【详解】解：（1）①∵点、点， ∴轴， ∴， 即的长度为， 故答案为：； ②∵点、，且轴， ∴， ∴， ∴， 即的长度为， 故答案为：； （2）①∵平移线段至线段（点、点的对应点分别是点、点），，，，， 又∵点的横坐标加得到点的横坐标，点的纵坐标减得到点的纵坐标， ∴线段向右平移个单位再向下平移个单位得到线段（点、点的对应点分别是点、点）， ∴，； ②∵，，，点， ∴轴， ∴三角形的面积为：， 三角形的面积为：， ∵三角形的面积等于三角形面积的倍， ∴， 解得：或， ∴点的坐标为或时，三角形的面积等于三角形面积的倍． 【点睛】本题考查坐标与图形，两点间距离，点坐标平移的规律，三角形的面积等知识点，正确理解两点间的距离的意义是解题的关键． 题型 4 函数图像与坐标轴围成的面积 1．（2025·江西新余·三模）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点在轴上，顶点的坐标为，的坐标为，分别是边，边上的点，且线段将平行四边形分割成面积相等的两部分．若点的坐标是，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形，平行四边形的性质．连接和，交于点G．利用中点坐标公式求出G的坐标，根据平行四边形的性质结合题意得到线段必过G点，代入G点坐标运算求解即可．理解该直线必过点G是解题的关键． 【详解】解：如图，连接和，交于点G． ∵四边形是平行四边形， ∴G为中点， ∵点的坐标为，的坐标为， ∴，即． ∵线段平分平行四边形的面积， ∴必过G点， ∵点的坐标是， ∴点的坐标为即， 故答案为：． 2．（2025·浙江·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，若，称点与点互为友好点．若直线l上存在友好点，且与x轴，y轴围成的三角形的面积是3，则直线l的表达式为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握该知识点是解题的关键．先根据“友好点”的定义找出友好点坐标之间的关系，设出直线上一点及其友好点，得出直线的斜率，再结合直线与坐标轴围成三角形面积求出直线表达式． 【详解】设点在直线上，其友好点也在直线l上， 设直线l的解析式为，将点和代入解析式得： ，解得， ∴直线l的表达式为， 当时，，即直线l与y轴交点为， 当时， ，解得，即直线l与x轴交点为， ∴， ∴， ∴直线的表达式或． 故答案为：或． 3．（2025·湖南邵阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，点C在y轴的负半轴上，以为对称轴作的轴对称图形，点A的对称点为点D． (1)若点D恰好落在x轴正半轴上，求点D的坐标； (2)在（1）的条件下求的面积． 【答案】(1) (2)15 【分析】（1）先利用坐标求出、长度，根据勾股定理算出，再依据轴对称性质得，进而求出，确定坐标； （2）设坐标，由轴对称知，用勾股定理列方程求坐标，再根据轴对称图形面积相等，结合三角形面积公式算面积 ． 本题主要考查了平面直角坐标系、勾股定理、轴对称的性质及三角形面积公式，熟练掌握轴对称性质和勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， ， 根据轴对称可知， 点D在x轴的正半轴上， ． 点D的坐标为． （2）解：设点C的坐标为， 由题意可知 ，即． 在中，由勾股定理， 得，解得． ∴点C的坐标为． ， 所以的面积为15． 题型 5 反比例/二次函数中的面积问题 1．（2024·河北石家庄·一模）如图1和图2所示，点A，B，C在反比例函数的图象上，连接，分别过点A，B，C三点作x轴的垂线，垂足分别为M，N，P． （1）如图1所示，图中两块阴影部分面积的大小关系为： ；（填“<”，“>”或“=”） （2）如图2所示，若，且图中三块阴影部分的面积之和为62，则k的值是 ． 【答案】 = 72 【分析】本题主要考查反比例函数中k的几何意义： （1）根据“过双曲线上任意一点与原点所连接的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形的面积S是个定值，即”求解即可； （2）如图，设与，交于G，H，交于点K，则，设，则，，，由可得，，进而得出，，，可求得，再运用三角形和梯形面积即可求得答案 【详解】解：（1）如图， 根据题意得，， ∴， 即， 故答案为：=； （2）如图，设与，交于G，H，交于点K， 则， 设， 则，，， ∴， ∵， ∴，， ∴，，， ∴，，， ∴，， ∴图中阴影部分面积 ， ∵图中三块阴影部分的面积之和为62， ∴ 解得， 故答案为：72 2．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，抛物线为常数）经过点且交轴于两点． (1)求抛物线表示的函数解析式； (2)若点为抛物线的顶点，连接，，．求四边形的面积． 【答案】(1) (2)10 【分析】本题考查函数图象与坐标轴的交点，待定系数法求解析式，三角形的面积 （1）分别把，代入函数中，可求得点，，将点D坐标代入函数，求出k的值，即可解答； （2）由抛物线的函数解析式可得顶点P的坐标为，因此轴，，过点D作于点E，则，根据三角形的面积公式可求出；把代入函数中，求得，因此，再根据即可解答． 【详解】（1）解：把代入函数中，得， 解得， ∴， 把代入函数中，得， ∴， ∵抛物线为常数）经过点， ∴，解得， ∴抛物线表示的函数解析式为； （2）解：∵抛物线的函数解析式为， ∴顶点P的坐标为， ∵， ∴轴，， 过点D作于点E，则， ∴； 把代入函数中，得， 解得，， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴． 3．（2025·吉林长春·模拟预测）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线（是常数）与轴交于点，且经过点．点是抛物线上两点（点在点左侧，点不与点重合），横坐标分别为，且． (1)求抛物线的解析式； (2)当点落在轴上时，求的值； (3)作直线相交于点． ①当与面积相等时，求的值； ②当的面积大于面积的时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①；②或 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）由二次函数解析式可得，，即得，解得或，进而由点在点左侧，得到，即得到，又可得，利用待定系数法得到直线的解析式为，再利用待定系数法求得直线的解析式为，联立函数解析式求出方程组的解得到，最后代入计算即可求解； （）①由题意画出函数图象，由与面积相等，可得，即得，利用待定系数法求得直线的解析式为，即得到，得到，，又可得直线的解析式为，把代入得，进而解得或，由点在第一象限即得到；②由①知当时，与面积相等，得到，由平行线等分线段定理可得，即得到，进而可得，当点重合时，，由解得，又由点不与点重合，可得，最后结合图象解答即可求解． 【详解】（1）解：把点代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵点是抛物线上两点，横坐标分别为， ∴，， ∵点落在轴上， ∴， 解得或， ∵点在点左侧，， ∴， ∴， ∵抛物线与轴交于点， ∴ 设直线的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为，把代入得， ， ∴， ∴直线的解析式为， 由，解得或， ∴， ∴； （3）解：①如图， ∵与面积相等， ∴， ∴是的中点， ∴， 设直线的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 把代入得，， 整理得，， ∴， 整理得，， 解得或， ∵点在第一象限， ∴， ∴； ②由①知，当时，与面积相等， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 当点重合时，， ∵， ∴， ∵点不与点重合， ∴， ∴当的面积大于面积的时，的取值范围为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与二次函数的交点问题，二次函数图象的平移，二次函数的几何应用，平行线等分线段定理等，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． 4．（2025·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，直线与抛物线交于两点(点在轴左侧，点在轴右侧)，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若与的面积之比是，求的值； (3)若作点关于轴的对称点，直线与直线相交于点，试探究：的面积是否为定值？若为定值，请求出的面积；若不为定值，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)的面积为定值，的面积为4 【分析】本题考查了抛物线方程的求解，直线与抛物线交点的计算，直线与直线交点的计算，联立方程求交点坐标是解题的关键． （1）根据抛物线经过点，代入求解即可； （2）根据与的面积之比是，通过线段比例关系和韦达定理求解的值； （3）通过点关于轴的对称点和直线的方程，联立求解交点的坐标，可验证纵坐标为定值，即的面积为定值，再求出面积即可． 【详解】（1）解：已知抛物线经过点， 将点代入抛物线方程可得：，解得， ∴抛物线的函数表达式为． （2）解：若与的面积之比是， 则， ∵点在同一直线上， 则，即①， 联立直线与抛物线的方程得：， 整理得， ∴，②， 由①②得：，解得：， ∵点在轴左侧， ∴， ∴，即， ∴，即． （3）解：点关于轴的对称点， 直线与轴交于点，则点， 设点的坐标分别为：、， 由点的坐标得，直线的表达式为： ， 将点的坐标代入上式得： ， 整理得：， 由点的坐标得，直线的表达式为： ， 同理可得，的表达式为： ， 联立上述两式得： ， 解得：， ， 则， ， ， ∴点的纵坐标为为定值，即的面积为定值， ∵，到的距离为， ∴． 考点二： 坐标系中的规律探索问题 解｜题｜技｜巧 该题型主要以选择、填空的形式出现，一般较为靠后，有一定难度，该题型需要分析变化规律得到一般的规律(如点变的循环规律或点运动的循环规律，点的横、纵坐标的变化规律等)。主要考查对点的坐标变化规律，一般我们需要结合所给图形，找到点或图形的变化规律或者周期性，最后利用正确运用数的运算求解。这类问题体现了“特殊与一般”的数学思想方法，解答时往往体现“探索、归纳、猜想”等思维特点，对分析问题、解决问题的能力具有很高的要求。 题型01 沿坐标运动的点的规律 1．（2025·广东广州·一模）如图，动点A在平面直角坐标系中按图中方向运动，第一次从原点O出发，依次运动到点，，，，，……按照这样的运动规律，点的横坐标是（   ） A．2698 B．2699 C．2700 D．2702 【答案】C 【分析】本题主要考查了点的坐标变化规律，根据点运动规律，可知横坐标的变化规律是依次、、、，从点O到点共进行了675个循环，根据变化规律即可解答． 【详解】解：根据从原点出发，点，，，，，的运动规律， 可知横坐标的变化规律是依次、、、，每三个是一次循环运动， ， ∴从点O到点共进行了675个循环运动， 的横坐标为． 故选：C． 2．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，按这样的运动规律，经过第2025次运动后动点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，确定点的变化规律是解题关键．根据题意可得第n次运动后的点的横坐标为n，且纵坐标是1，0，2，0四个数一循环，即可求解． 【详解】解：根据题意，可得第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点， 由此发现，第n次运动后的点的横坐标为n，且纵坐标是1，0，2，0四个数一循环， ∵， ∴经过第2025次运动后，动点P的坐标是． 故选：D． 3．（2024·山东泰安·二模）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如，……，根据这个规律探索可得第2024个点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点的坐标规律探索，探索出点的坐标规律是解题的关键；按点的纵坐标分类：纵坐标是1的点有1个，纵坐标是2的点有3个，纵坐标是3的点有5个，纵坐标是4的点有7个，……，一般地，纵坐标为n的点有个；考虑点排列方向：纵坐标是1、3、5、7，……，点是从右往左的方向，纵坐标是2、4、6，……，点是从左往右排列的方向；而，当纵坐标是45时，这样的点共有89个，且点是从右往左方向，则可得第2024个点的坐标． 【详解】解：纵坐标是1的点有1个，纵坐标是2的点有3个，纵坐标是3的点有5个，纵坐标是4的点有7个，……，一般地，纵坐标为n的点有个，且这n个点的横坐标从左往右依次是；考虑点排列方向：纵坐标是1、3、5、7，……，点是从右往左的方向，纵坐标是2、4、6，……，点是从左往右排列的方向； ，当纵坐标是45时，这样的点共有89个，且点是从右往左方向， 最左边的点坐标为，即第2025个点的坐标， 第2024个点的坐标为． 故选：C． 4．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，已知，，，，，，，…，依此规律，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点坐标的规律探究．解题的关键在于根据题意推导出一般性规律．根据题意可知个点坐标的纵坐标为一个循环，的坐标为，据此可求得的坐标． 【详解】解：∵，，，，，，，…，， ∴可知个点坐标的纵坐标为一个循环，的坐标为， ∵， ∴的坐标为． ∴的坐标为 故答案为：． 题型02 绕原点呈“回”字形运动的点的规律 1．（2025·湖南湘潭·二模）如图，在一单位为1的方格纸上，，，，都是斜边在轴上，斜边长分别为，，，……的等腰直角三角形，若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，解题的关键是根据点的坐标的变化寻找规律．根据脚码确定出当脚码分别为偶数和奇数时的坐标规律，即可得到答案． 【详解】解：由图可得： ∵，， ，，， ， ∴得到规律， 当为奇数时：； 当为偶数时：； ∵， ∴， ∴． 故选：A． 2．（2025·宁夏银川·三模）如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长度，，，，……均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列，如：，，，，，，……，根据这个规律，点的坐标为 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标规律探究，解题关键是仔细观察点的坐标变化及运动轨迹，发现以4个点为一组的规律，包括每组点坐标的变化特征以及每组最后一个点坐标的规律．根据各个点的位置关系，可得点在第四象限的角平分线上，点在第三象限的角平分线上，点在直线的图象上，点在第一象限的角平分线上，且，再根据第四项象限内点的符号得出答案即可． 【详解】解：∵，，，，，，，，，，，……， 由此发现：点在第四象限的角平分线上，点在第三象限的角平分线上，点在直线的图象上，点在第一象限的角平分线上， ∵， ∴点在第三象限的角平分线上， ∴点． 故答案为：． 3．（2025广安市模拟）如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长，，，，…，均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列，如：，，，，，，….根据这个规律，点 的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查平面直角坐标系当中点的规律，正确找出平面直角坐标系当中点的规律是解题的关键． 根据各个点的位置关系，可得出下标为4的倍数的点在第四象限的角平分线上，由图可知，被4除余1的点在第三象限的角平分线的点上，再根据第三象限内点的符号得出答案即可． 【详解】解：∵，，，，，，…， ∴下标为4的倍数的点在第四象限的角平分线上，被4除余1的点在第三象限的角平分线的直线上， 由规律可得，，即点在第三象限的角平分线的直线上， ∴点， 故答案为：． 题型03 图形变换的点的规律 1．（2025·山东烟台·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，的顶点的坐标为．以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧；以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧……按照以上规律作图，点的坐标为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了位似的性质，根据位似比等于变换后与变换前的图形的对应线段的比，根据两点距离得出进而得出，求得直线的解析式，根据，即可求解． 【详解】解：依题意，， ∴， 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴ 设 ∴ 解得：（舍去） ∴ 故答案为：． 2．（2025·山西长治·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，，，，是边长为1个单位长度的小正方形的顶点，开始时，顶点，依次放在点，的位置，然后向右滚动，第1次滚动使点落在点的位置，第2次滚动使点落在点的位置⋯，按此规律滚动下去，则第2025次滚动后，顶点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了点的坐标变化规律，解题关键是找到点随滚动次数的变化规律．列举几次滚动后的点坐标，找到滚动次数与点坐标之间的规律，进而求出第2025次滚动后顶点的坐标． 【详解】解：第1次滚动点的坐标为， 第2次滚动点的坐标为， 第3次滚动点的坐标为， 第4次滚动点的坐标为， 第5次滚动点的坐标为， …， 每滚动4次一个循环， ，，，， ， ， 即， 故选：C． 3．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，数学活动小组在用几何画板绘制几何图形时，发现了如“花朵”形的美丽图案，他们将等腰三角形OBC置于平面直角坐标系中，点O的坐标为，点B的坐标为，点C在第一象限，．将沿x轴正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第一次滚动后，点O的对应点为，点C的对应点为，与的交点为，称点为第一个“花朵”的花心，点为第二个“花朵”的花心；……；按此规律，滚动2024次后停止滚动，则最后一个“花朵”的花心的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，等腰直角的性质，点的坐标规律探索．连接，求得，，，分别得到，， ，，推导得到，滚动一次得到，滚动四次得到，滚动七次得到，由此得到滚动2024次后停止滚动，则，据此求解即可． 【详解】解：连接， 由题意得，，， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ， 同理， ， ， 滚动一次得到，滚动四次得到，滚动七次得到， ∴滚动2024次后停止滚动，则时，， 故答案为：． 4．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图，在平面直角坐标系中，，，将绕点顺时针旋转并且按一定规律放大，每次变化后得到的图形仍是顶角为的等腰三角形．第一次变化后得到等腰三角形，点的对应点为；第二次变化后得到等腰三角形，点的对应点为；第三次变化后得到等腰三角形，点的对应点为 ，依此规律，则第个等腰三角形中，点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标变化规律，由题意可得旋转三次完成一周，点 在第三象限，每变化一次腰长增加，且，，，进而得到点在第三象限，，又由得，利用三角函数求出点到的距离和到的距离即可求解，由已知找到点的坐标变化规律是解题的关键． 【详解】解：第一次变化后得到等腰三角形，点的对应点为， ∴； 第二次变化后得到等腰三角形，点的对应点为， ∴； 第三次变化后得到等腰三角形，点的对应点为， ∴； ， ∵绕点每次顺时针旋转， ∴旋转三次完成一周， ∴点 在第三象限， ∵每变化一次腰长增加， ∴，，， ∵， ∴点在第三象限，且， ∵， ∴， ∴点到的距离为，到的距离为， ∴点的坐标是， 故答案为：． 5．（2025·山东淄博·二模）小明用绘图软件绘制了二次函数的图象后，将其对称轴左侧的部分作关于轴对称的图象，将坐标系中图象实线部分记为，如图所示．按横坐标从开始依次增加的规律，在图象上取20个点，得到，，，，，则这20个点的纵坐标的和等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了中心对称，二次函数的图象和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 由图象可得，函数图象关于点中心对称，结合题意可得，求出，，即可得解． 【详解】解：由图象可得，函数图象关于点中心对称， 这20个点的横坐标从开始依次增加， ，，， ，， ， ，， ， 故答案为：． 6．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）利用几何图形的变化可以制作出形态各异的图案．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以为边作，使，，再以为边作，使，，过点，，作弧，记作第1条弧；以为边，使，，再以为边作，使，，过点，，作弧，记作第2条弧……按此规律，第2025条弧上与原点的距离最小的点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，解直角三角形的相关计算，根据题意找出一般规律是解题的关键．分别求出，，，……得出，根据题意得出第2025条弧上与原点的距离最小的点为，求出，根据，，，，得出，然后求出结果即可． 【详解】解：根据题意可知：， ， ， ， …… ， ∵点，，作弧为第1条弧， 点，，作弧为第2条弧， ……， ∴组成第2025条弧， ∴第2025条弧上与原点的距离最小的点为， ∴， ∵，，，，……，, ∴12次操作循环一周， ∵， ∴， 过点作轴于点M，如图所示： ∴， ∴， ， ∴， ∴第2025条弧上与原点的距离最小的点的坐标为． 故答案为：． 题型04 坐标轴与直线相结合类规律 1．（2025·广西南宁·三模）如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点作轴于点，作等腰直角三角形（与原点O重合），再以为腰作等腰直角三角形，以为腰作等腰直角三角形，…，按照这样的规律进行下去，那么的坐标为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线的解析式以及等腰直角三角形的性质即可得出，，，根据坐标的变化即可找出变化规律，．即可得出点的坐标．本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质以及规律型中点的坐标，解题的关键是找出坐标的变化规律，本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，结合一次函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形的性质找出线段的变化规律是关键． 【详解】解：依题意 结合等腰三角形的性质，结合图象得出点、、、、在轴上，且，，， ， 把代入， 得出， ∴， 直线， 当时，则， ， ∵， ∴， 把，则， 即， ∵， ∴把，则， 即， ， ，， ∴的坐标为． 故选：B 2．（2025·黑龙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交y轴于点．四边形，，，，都是正方形，顶点，，，，都在轴上，顶点，，，，都在直线上，连接，，，，分别交，，，，于点，，，，．设，，，，…的面积分别为，，，，，则 ． 【答案】 【分析】根据一次函数的解析式可得点的坐标是，设点的坐标是，根据正方形的四条边都相等可得，从而求出正方形的边长为，根据正方形的对边相互平行，可知，根据相似三角形的性质求出，从而可得，利用三角形的面积公式可以求出，同理可以求出，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可证，且相似比为，根据规律可得． 【详解】解：当时，， 点的坐标是， 点在直线上， 设点的坐标是， 则点的坐标是，点的坐标是， 四边形是正方形， ，， ， 解得：， 的坐标是， 正方形的边长为， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ； 设点的坐标为， 则点的坐标是，点的坐标是， ， 四边形是正方形， ，， ， 解得：， ， 的坐标是， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ， 的坐标是，的坐标是， ， 的坐标是，点的坐标是， ， ，， ， 又四边形和均为正方形， 轴，轴， ， ， ，且相似比为， ， 当时，， 同理可证，且相似比为， 则， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象与性质、正方形的性质、相似三角形的判定与性质、图形的规律与探索，解决本题的关键是分别计算出和的面积，根据这两个三角形的形状与面积之间的关系找出规律，根据规律得出结果． 3．（2025·河北唐山·二模）如图，都是等腰直角三角形，点均在轴正半轴上，直角顶点均在直线上．设的面积分别为，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了规律型、点的坐标、等腰直角三角形的性质等知识，掌握从特殊到一般探究规律，再利用规律解决问题的思路是解题的关键． 分别过点作轴的垂线段，先根据等腰直角三角形的性质求得前三个等腰直角三角形的底边和底边上的高，继而求得三角形的面积，然后归纳面积的规律并按照规律求解即可． 【详解】 解：如图，分别过点作轴的垂线段，垂足分别为点C、D、E， ∵，是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 设，则，， ∴， ∴点坐标为， 将点坐标代入得：，解得：， ∴，， ∴， 同理求得， ∴， ∴． 故答案为：． 4．（2024·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知直线的表达式为，点的坐标为，以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；……按照这样的规律进行下去，点的横坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数性质应用，等腰直角三角形的判定与性质及点的坐标规律问题，作轴于点H，依次求出，找出规律即可解决． 【详解】解：作轴于点H， 均在直线上， ， ， ，， ， ， ， ， ， 同理，， ， 同理， ， 即点的横坐标是， 故答案为：． 5．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图，把置于平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，与的平分线交于点，过点作的垂线，交轴于点，过点作轴的垂线，交直线于点，与的平分线交于点按此规律，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，涉及角平分线的性质、相似三角形的性质和判定，解直角三角形等相关知识点，综合性强，难度较大，根据作图规律分别求出的长度，坐标，找到变化规律是正确解答此题的关键． 作于，于，于，连接，证明四边形是正方形，得，证明，得，同理可得，设，求得，进而得，同法求得，即，，即可得出变化规律，从而得解． 【详解】解：作于，于，于，连接， ， ， ， 四边形是正方形， ， 与的平分线交于点， ， ， ， ， 同理， 点的坐标为， ，， ， 设， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ， 作于，于，于， 同理可求， ， ，即； 作于，于，于， 同理可求，，， ， ， ， 依此类推，可得的坐标是， 故答案为：． 6．（24-25九年级上·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，正方形的位置如图所示，点的坐标为，点的坐标为．延长交轴于点，作正方形；延长交轴于点，作正方形，……，按这样的规律进行下去，正方形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定的应用，正确求出正方形的边长，并找出规律是解题的关键． 先利用勾股定理求出的长，得到，再利用三角形相似得到，，找出规律，即可得到结果． 【详解】解：的坐标为，点的坐标为， ∴， ∴， ∵正方形，正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得，，， …… ， 正方形的面积为， 故答案为：． 7．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A在直线∶上，过点A作轴，垂足为点B，将沿过点A的直线翻折，使斜边落在上，得到，再将绕点旋转，得到，……，按此规律，依次翻折、旋转．若点B的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点的坐标规律和解直角三角形，根据题意找到点的规律是解题的关键． 根据题意可求得，，，，，根据翻折和旋转的性质可得，，，，，……，根据解直角三角形求出的坐标，由图形可找到点的运动规律，求出每次循环的坐标差，进而可求得的坐标． 【详解】解：已知，轴，在上， 可得，，，，， ∴翻折、旋转后可得，， ，， ∴，，，，，…… 如图， 可求出的坐标为，即， 由图可知翻折、旋转后点的规律为4次一个循环，即到为第一个循环， ∵，所以为507次循环的开始， 由图可知和的纵坐标、横坐标的距离与和的纵坐标、横坐标的距离相等， 即纵坐标距离相差，横坐标的距离相差， ∴的坐标为， 故答案为：． 8．（2025·山东东营·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线分别交轴于点．以为直角边在其左侧作，且另一直角边满足，过点作分别交直线与于点；以为直角边在其左侧作，且另一直角边满足，过点作分别交直线与于点；以为直角边在其左侧作，且另一直角边满足照此规律进行下去，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图像上的坐标特征及直角三角形的性质，解决问题的关键是通过计算找出、变化的规律，然后用三角形面积公式计算即可．先根据两条直线的解析式求出A、B两点坐标，然后求出长度，由可求出点C坐标，又因为始终经过点且与y轴平行，通过计算找出、变化的规律，然后用三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵直线：与y轴交于点A， ∴， 直线：与y轴交于点B， ∴， ，， ∵， ∴， 又∵过点C作分别交直线与于点、， ， ， 又∵过点作分别交直线与于点，， ， ， 以此类推， ， ， … ， ， 则， 故答案为：． 9．（2025·山东淄博·一模）如图，双曲线与直线相交于点A，B，在直线上取点，，…，依次以，…为对角线分别向外作左、右一组对边垂直于x轴的矩形，…．矩形的四条边与该双曲线的交点由第一象限逆时针依次记为：；矩形的四条边与该双曲线的交点由第一象限逆时针依次记为：；矩形的四条边与该双曲线的交点由第一象限逆时针依次记为：，…．按此规律，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标规律探索，反比例函数的性质，根据题意得出每个矩形上都有4个点，根据，得出点在矩形上，且在第一象限内，先根据规律得出横坐标，然后将横坐标代入反比例函数解析式，求出结果即可． 【详解】解：根据题意可知：在矩形上，在矩形上，,在矩形上，因此每个矩形上都有4个点， ∵， ∴点在矩形上，且在第一象限内， ∴横坐标为， 把代入得：， ∴． 故答案为：． 考点三： 实际情境函数的信息解读 解｜题｜技｜巧 根据图像读取信息时，要把握以下三个方面： 1）横、纵轴的意义，以及横、纵轴分别表示的量； 2）关于图像上的某个点，可以过该点分别向横纵轴作垂线来求得该点的坐标； 3）在实际问题中，要注意图像与横、纵轴的交点代表的具体含义. 题型01 从函数图像中获取信息 1．（2025·青海·中考真题）如图，甲、乙两车从地出发前往地，在整个行程中，汽车离开地的路程与时刻之间的对应关系如图所示，下列结论错误的是（    ） A．乙车先到达地 B．、两地相距 C．甲车的平均速度为 D．在时，乙车追上甲车 【答案】C 【分析】本题考查从函数图象获取信息的能力，根据函数图象中的数据，可以先计算出甲、乙两车的速度，然后再根据图象中的数据，逐一判断各个选项中的说法是否正确即可． 【详解】解：由图象可知，A，B两城相距，甲车先出发，乙车先到达B城， 故选项A、B不符合题意； 甲的速度为：， 乙的速度为：， 故选项C错误，符合题意； 由交点的横坐标可知，乙车在追上甲车． 故D不符合题意． 故选：C． 2．（2025·浙江·中考真题）为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路向目的地B处运动．设为x（单位：）为y（单位：）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点，且经过和两点．下列选项正确的是（   ） A． B． C．点C的纵坐标为240 D．点在该函数图象上 【答案】D 【分析】作，当时，动点运动到点的位置，得到，当点运动到点的时候，最小为，，勾股定理求出的值，判断A；当时，点运动到点，根据三线合一，得到，进而求出的值，判断B；连接，勾股定理求出的长，确定的纵坐标，判断C，求出时，点的位置，再利用勾股定理求出，判断D，即可． 【详解】解：如图，作，当时，动点运动到点的位置，则由题意和图象可知，当点运动到点的时候，最小，即：，， 在中，由勾股定理，得：， 解得：，故选项A错误； ∴，， 当时，点运动到点，则， ∴， ∵， ∴， ∴，故选项B错误； ∴当，即点在点时， ∴； ∴点的纵坐标为；故选项C错误； 当时，点运动到点，则：， ∴， ∴， ∴点在该函数图象上，故选项D正确； 故选D． 【点睛】本题考查动点的函数图象，勾股定理，垂线段最短，三线合一等知识点，熟练掌握相关知识点，从函数图象中有效的获取信息，确定点的位置，是解题的关键． 3．（2025·河南·中考真题）汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化．研究发现，某款轮胎的摩擦系数与车速之间的函数关系如图所示．下列说法中错误的是（   ） A．汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为 B．当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小 C．要使这款轮胎的摩擦系数不低于，车速应不低于 D．若车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小 【答案】C 【分析】本题考查了利用函数图象获取信息，正确理解函数图象是解题关键．根据某款轮胎的摩擦系数与车速之间的函数关系图，逐项判断即可． 【详解】解：A、由图象可知，当时，，即汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为，原说法正确，不符合题意； B、由图象可知，当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小，原说法正确，不符合题意； C、要使这款轮胎的摩擦系数不低于，车速应不高于，原说法错误，符合题意； D、由图象可知，当时，；当时，，即车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小，原说法正确，不符合题意； 故选：C 4．（2025·山东·中考真题）在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度（厘米/天）和光照强度（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围（）内，与近似成一次函数关系；在中高光照强度范围内，与近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（   ）    A．当时，随的增大而减小 B．当时，有最大值 C．当时， D．当时， 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质、二次函数与不等式等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． 根据抛物线可直接判断A选项；根据抛物线以及相关数据可得抛物线的对称轴为，进而判定B选项；根据函数图象可判定C选项；根据二次函数的对称性可判定D选项． 【详解】解：A．当时，随的增大先增大、后减小，即A选项错误，不符合题意； B．由函数图象可知：抛物线的对称轴为，即当时，有最大值，则B选项正确，符合题意； C．由函数图象可知：当时，，即C选项错误，不符合题意； D．当时，由图象知，对应的值有两个，即D选项错误，不符合题意． 故选B． 5．（2024·河南·中考真题）把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象（如图2）．下列结论中错误的是（    ） A．当时， B．Q随I的增大而增大 C．I每增加1A，Q的增加量相同 D．P越大，插线板电源线产生的热量Q越多 【答案】C 【分析】本题考查了函数的图象，准确从图中获取信息，并逐项判定即可． 【详解】解∶根据图1知：当时，，故选项A正确，但不符合题意； 根据图2知：Q随I的增大而增大，故选项B正确，但不符合题意； 根据图2知：Q随I的增大而增大，但前小半段增加的幅度小，后面增加的幅度大，故选项C错误，符合题意； 根据图1知：I随P的增大而增大，又Q随I的增大而增大，则P越大，插线板电源线产生的热量Q越多，故选项D正确，但不符合题意； 故选：C． 题型02 与函数综合 1．（2025·陕西·中考真题）在探究小球速度随时间变化规律的实验中，小球由静止开始沿斜面向下滚动，到达斜面底端后，在水平面上继续滚动直至停止，如图①所示．小球滚动过程中的速度与时间之间的关系如图②所示． (1)求所在直线的函数表达式； (2)求该小球滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设所在直线的函数表达式为，再代入进行计算，得，然后求出点坐标为，再运用待定系数法进行列式计算，即可作答． （2）理解题意，则当时，解得，故，即可作答． 【详解】（1）解：设所在直线的函数表达式为， 把代入， ， ， 当时，， 即点坐标为， 设所在直线的函数表达式为 得， 解得， ∴所在直线的函数表达式为； （2）解：由（1）得所在直线的函数表达式为； 依题意，当时， 解得， ， 该小球在滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长为． 2．（2025·吉林·中考真题）【知识链接】实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关 实验过程：如图①，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相同的两个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计A，B的下方，从离桌面20cm的高度，分别缓慢浸入到甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化．（溢水杯的杯底厚度忽略不计） 实验结论：物体在液体中所受浮力的大小，跟它浸在液体中的体积有关、跟液体的 密度有关．物体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大，浮力就越大． 总结公式：当小铝块位于液面上方时，； 当小铝块浸入液面后，． 【建立模型】在实验探究的过程中，实验小组发现：弹簧测力计A，B各自的示数与小铝块各自下降的高度之间的关系如图②所示． 【解决问题】 (1)当小铝块下降10cm时，直接写出弹簧测力计A和弹簧测力计B的示数． (2)当时，求弹簧测力计A的示数关于x的函数解析式． (3)当弹簧测力计A悬挂的小铝块下降8cm时，甲液体中的小铝块受到的浮力为，若使乙液体中的小铝块所受的浮力也为，则乙液体中小铝块浸入的深度为，直接写出m，n的值． 【答案】(1)弹簧测力计A的示数为，弹簧测力计B的示数为； (2)； (3)，． 【分析】本题考查了一次函数的应用． （1）直接根据图②作答即可； （2）设当时，弹簧测力计A的示数关于x的函数解析式为，别将，代入计算即可； （3）由题意可知小铝重为，将代入得，将变形即可求出，求出当时，弹簧测力计B的示数关于x的函数解析式为，将代入计算即可． 【详解】（1）解：由图②可知，当小铝块下降10cm时，弹簧测力计A的示数为，弹簧测力计B的示数为； （2）解：设当时，弹簧测力计A的示数关于x的函数解析式为， 由图可知经过， 分别将，代入得： ， 解得：， ∴； （3）解：由题意可知小铝重为， 将代入得， 则，即； 则使乙液体中的小铝块所受的浮力为， ∴， 设当时，弹簧测力计B的示数关于x的函数解析式为， 由图可知经过， 分别将，代入得： ， 解得：， 即， 将代入得：， 解得：， ∴深度为． 3．（2025·江苏宿迁·中考真题）甲、乙两人从同一地点出发沿同一路线匀速步行前往处参加活动．甲比乙早出发，两人途中均未休息，先到达处的人在原地休息等待，直到另一人到达处．两人之间的路程与甲行走的时间的函数图像如图所示． (1)乙步行的速度为___________之间的路程为___________； (2)当时，求关于的函数表达式； (3)甲出发多长时间时，两人之间的路程为． 【答案】(1)90，3960 (2) (3)当甲出发或时，两人之间的路程为 【分析】本题考查一次函数的实际应用，从函数图像中有效的获取信息，正确的求出函数解析式是解题的关键： （1）观察图像可知，甲走了，甲行走时，乙追上甲，进而求出甲和乙的速度，当甲行走时，乙到达点，求出乙的总路程即为之间的路程； （2）求出点坐标，待定系数法求出段的函数关系式即可； （3）分和两种情况，求出的值即可． 【详解】（1）解：由图像可知：甲的速度为：， 设乙的速度为，由题意，得：，解得：， 故乙的速度为； 之间的路程为：； 故答案为：90，3960； （2）由图像可知：点的纵坐标为， ∴， 当时，设，把，代入，得： ，解得：， ∴； （3）当时，令，解得：； 当时，，解得：； 综上：当甲出发或时，两人之间的路程为． 4．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）2025年春晚舞台上的机器人表演，充分演绎了科技与民族文化的完美融合．为满足学生的好奇心和求知欲，某校组织科技活动“机器人走进校园”，AI热情瞬间燃爆．校园里一条笔直的“勤学路”上依次设置了A，B，C三个互动区，机器人甲、乙分别从A，C两区同时出发开始表演，机器人甲沿“勤学路”以20米／分的速度匀速向B区行进，行至B区时停留4.5分钟（与师生热情互动）后，继续沿“勤学路”向C区匀速行进，机器人乙沿“勤学路”以10米／分的速度匀速向B区行进，行至B区时接到指令立即匀速返回，结果两机器人同时到达C区．机器人甲、乙距B区的距离y（米）与机器人乙行进的时间x（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象信息解答下列问题： (1)A，C两区相距__________米，__________； (2)求线段所在直线的函数解析式； (3)机器人乙行进的时间为多少分时，机器人甲、乙相距30米？（直接写出答案即可） 【答案】(1) (2) (3)7分或11分或13分 【分析】本题主要考查一次函数的应用和从函数图象获取信息，熟练掌握一次函数的应用是解题的关键． （1）根据图象可直接进行求解A、C两区之间的距离，然后再结合甲的行进情况可求解a； （2）求出，由图象可得，设直线的解析式为，进而问题可求解； （3）由题意可分三种情况分别进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得，A，C两区相距为（米）， 由题意可知，表示甲到达B区的时间，则， 故答案为： （2）由题意可知，点E表示机器人乙沿“勤学路”以10米／分的速度匀速到达了B区， ∴点E的横坐标为， ∴， 设直线的解析式为，把，代入得到， ，解得：， ∴线段所在直线的函数解析式为：； （3）机器人乙行进的时间为x分时，甲和乙都未到达B区，相距30米， 则， 解得， 即机器人乙行进的时间为分时，机器人甲、乙相距30米； 机器人乙行进的时间为t分时，从B点返回，且甲仍在B区停留期间，相距30米， 则， 解得， 即机器人乙行进的时间为分时，机器人甲、乙相距30米； 机器人乙行进的时间为n分时，从B点返回途中，且甲离开B区向C区前进时，相距30米， 当时，甲机器人距B区的距离y（米）与机器人乙行进的时间x（分）之间的函数关系为，把，代入得到， ，解得：， ∴线段所在直线的函数解析式为：； 则， 解得， 即机器人乙行进的时间为分时，机器人甲、乙相距30米； 综上可知，机器人乙行进的时间7分或11分或13分时，机器人甲、乙相距30米． 5.（2025·天津·中考真题）已知小华的家、书店、公园依次在同一条直线上，书店离家，公园离家．小华从家出发，先匀速步行了到书店，在书店停留了，之后匀速步行了到公园，在公园停留后，再用匀速跑步返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 小华离开家的时间 1 6 18 50 小华离家的距离 ②填空：小华从公园返回家的速度为____________； ③当时，请直接写出小华离家的距离关于时间的函数解析式； (2)若小华的妈妈与小华同时从家出发，小华的妈妈以的速度散步直接到公园．在从家到公园的过程中，对于同一个的值，小华离家的距离为，小华的妈妈离家的距离为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)①②③ (2) 【分析】本题主要考查了函数的图形，数形结合的数学思想，求分段函数的解析式，一次函数和不等式相结合等内容，解题的关键是准确从图形中获取信息． （1）①理解题意，从图形中获取准确信息即可； ②理解题意，从图形中获取准确信息利用速度公式进行计算即可； ③理解题意，从图形中获取准确信息，并利用待定系数法进行分段求函数解析式即可； （2）求出相关解析式，列出等式求解，并结合图形即可求出不等式的解集． 【详解】（1）解：①小华去书店的速度为， 1分钟时小华离家的距离为； 由图可知18分钟时，小华离家的距离为； 50分钟时，小华离家的距离为； 故答案为：； ②小华返回家的速度为 故答案为：； ③由①得小华去书店的速度为， ∴当时，； 由图可知，当时，； 当时，假设直线解析式为， 将代入解析式得， 解得 ∴； 综上，； （2）解：如图所示，为妈妈的图形， 根据题意可知，小华妈妈的速度为， 所以其直线解析式为， 当时， 令， 解得，经验证，符合题意； 令， 解得，经验证，符合题意； 结合图形，当时，． 6．（2025·黑龙江绥化·中考真题）自主研发和创新让我国的科技快速发展，“中国智造”正引领世界潮流．某科技公司计划投入一笔资金用来购买、两种型号的芯片．已知购买颗型芯片和2颗型芯片共需要元，购买颗型芯片和颗型芯片共得要元． (1)求购买颗型芯片和颗型芯片各需要多少元． (2)若该公司计划购买、两种型号的芯片共频，其中购买型芯片的数量不少于型芯片数量的倍．当购买型芯片多少颗时，所需资金最少，最少资金是多少元． (3)该公司用甲、乙两辆芯片运输车，先后从地出发，沿着同一条公路匀速行驶，前往目的地，两车到达地后均停止行驶．如图，、分别是甲、乙两车离地的距离与甲车行驶的时间之间的函数关系．请根据图象信息解答下列问题： ①甲车的速度是________． ②当甲、乙两车相距时，直接写出的值________． 【答案】(1)购买颗型芯片和颗型芯片分别需要元和元 (2)当该公司购买型芯片颗，所需资金最少，最少资金是元 (3)①；②或或 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数最优化问题： （1）根据题意列方程组求解即可； （2）结合不等式约束条件，将问题转化为求函数最小值即可； （3）求出解析式代入计算即可；求出甲乙两车的函数解析式，分类讨论即可． 【详解】（1）设：购买颗型芯片和颗型芯片分别需要元和元 由题意得 解得 答：购买颗型芯片和颗型芯片分别需要元和元 （2）设购买型芯片颗，则购买型芯片颗，所需资金为元 由题意得： 随的增大而减小 购买型芯片的数量不少于型芯片数量的3倍， 解得 取正整数 当时，取最小值，（元） 此时 答：当该公司购买型芯片颗，所需资金最少，最少资金是元 （3）①设的解析式为 将点，代入 得 解得 所以，的解析式为， 当时， 所以，甲车的速度为 ②的解析式为 将点代入 得，解得 所以的解析式为 当函数的图象在函数上方时 可列方程 解得 当函数的图象在函数下方时 可列方程 解得 当甲车到达地，乙离目的地时， 可列方程 解得 综上所述，的值为：或或． 考点四： 动点的函数图像问题 解｜题｜技｜巧 题型01 根据函数图像求具体值 1．（2025·山东东营·中考真题）如图1，在矩形中，，是边上的一个动点，，交于点，设，，图2是点从点运动到点的过程中，关于的函数图象，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了动点问题的函数图象问题、矩形的性质、相似三角形的性质与判定，利用相似三角形的性质求出关于的函数关系式是解题的关键．首先推导出，设，利用相似三角形的性质求出关于的函数关系式为，再结合函数图象求出的值即可得出结论． 【详解】解：矩形， ， ， ，， ． ， ． ． ， ， 设，则， 整理得， 由图象可知，关于的函数图象经过， 代入得，， ， ． 故选：A． 2．（2025·甘肃·中考真题）如图1，在等腰直角三角形中，，点D为边的中点．动点P从点A出发，沿边方向匀速运动，运动到点B时停止．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到的中点时，的长为（   ） A．2 B．2.5 C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查了根据函数图象得到信息，三角形中位线，等腰直角三角形，根据运动轨迹可得的面积先增大，再减小，当点P运动到点时，的面积最大，此时的面积为，即可求得，再利用三角形中位线定理即可解答，得到当点P运动到点时，的面积最大是解题的关键． 【详解】解：根据题意动点P从点A出发，沿边方向匀速运动过程中， 的面积先增大，再减小， 当点P运动到点时，的面积最大， 根据函数图象可得此时的面积为， 如图， ，点D为边的中点，等腰直角三角形, ， 可得， 当点P运动到的中点时，如图， ，点D为边的中点， ， 故选：A． 3．（2025·湖北武汉·中考真题）如图1，在中，是边上的定点．点从点出发，依次沿两边匀速运动，运动到点时停止．设点运动的路程为，的长为，关于的函数图象如图2所示．其中分别是两段曲线的最低点．点的纵坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查动点问题的函数图象，根据图2得到的长度及点D到的距离，点N的纵坐标表示点D到的距离，掌握勾股定理及其逆定理、三角形面积计算公式是解题的关键．由图2可知的长度及点D到的距离，点N的纵坐标表示点D到的距离，再根据勾股定理及其逆定理、三角形面积公式求出点D到的距离即可． 【详解】解：根据图2，，点D到的距离，点N的纵坐标表示点D到的距离．如图： 在中，利用勾股定理，得， 在中利用勾股定理，得， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中利用勾股定理，得， 则， 解得， ∴点N的纵坐标是． 故选：B． 4．（2024·四川广元·中考真题）如图①，在中，，点P从点A出发沿A→C→B以1的速度匀速运动至点B，图②是点P运动时，的面积随时间x（s）变化的函数图象，则该三角形的斜边的长为（    ） A．5 B．7 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据函数图象获取信息，完全平方公式，勾股定理， 由图象可知，面积最大值为6，此时当点P运动到点C，得到，由图象可知， 根据勾股定理，结合完全平方公式即可求解． 【详解】解：由图象可知，面积最大值为6 由题意可得，当点P运动到点C时，的面积最大， ∴，即， 由图象可知，当时，，此时点P运动到点B， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A 5．（2024·甘肃·中考真题）如图1，动点P从菱形的点A出发，沿边匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到中点时，的长为（　　） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】结合图象，得到当时，，当点P运动到点B时，，根据菱形的性质，得，继而得到，当点P运动到中点时，的长为，解得即可． 本题考查了菱形的性质，图象信息题，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】结合图象，得到当时，， 当点P运动到点B时，， 根据菱形的性质，得， 故， 当点P运动到中点时，的长为， 故选C． 题型02 面积与时间的函数关系 1．（2025·山东东营·中考真题）如图，在同一平面内放置的和矩形，与重合，，，，以的速度沿方向匀速运动，当点F与点C重合时停止．在运动过程中，与矩形重叠部分的面积S（）与运动时间t（s）之间的函数关系图象大致是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得和，则，分三种情况求解，当时，结合题意求得和，利用面积公式求解：当时，；当时，，同理，此时，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：如图， 由题意知，，， 则， ∴， ①当时， ∵以的速度沿方向匀速运动， ∴， ∵，，， ∴， 即， ； ②当时， ； ③当时，如图， 则，同理，， ； 故选：B． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、三角形的面积公式、相似三角形的判定和性质以及二次函数的性质，解题的关键是熟悉二次函数的性质和动态思想的应用． 2．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在菱形中，，，动点从点出发沿边匀速运动，运动到点时停止，过点作的垂线，在点运动过程中，垂线扫过菱形（即阴影部分）的面积为，点运动的路程为．下列图象能反映与之间函数关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分三种情况：点E在上时，点E在上且l与相交时，点E在上且l与相交时，分别计算出阴影部分面积的表达式，即可求解． 【详解】解：当点E在上时，如图， ，， ， ，， ， 此时图象为开口上的抛物线的一部分，排除C，D选项； 当点E在上且l与相交时，作，如图， ，， ， ，， ， 此时图象为直线一部分； 当点E在上且l与相交时，如图， ，，， ， ， ， 此时图象为开口下的抛物线的一部分，排除B选项； 故选A． 【点睛】本题考查菱形上的动点问题，解直角三角形，勾股定理，二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质等，求出不同阶段y与x的解析式是解题的关键． 3．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，在中，，，．点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设的面积为，运动时间为秒，则下列图象中大致反映与之间函数关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、动点问题的函数图象、直角三角形的性质以及二次函数和一次函数的性质，熟练掌握分阶段分析动点运动过程并建立函数关系式是解题的关键． 分点在上和点在上两个阶段，分别求出的面积与运动时间的函数关系式，再根据函数关系式判断图象． 【详解】解：当点在上时（）： 过点作于点． ，， ． 又，， ． ． 这是一个二次函数，开口向下，顶点在处，但此阶段，函数在上图象不断上升，当时，． 当点在上时（）, ∵四边形是平行四边形， ，点从到用时秒， 此时在上的运动距离为，方向上的高与上的高相同，即（当时，后续在上时，到的距离不变）． ， ． 这是一个一次函数，随的增大而减小，当时，． 综上，当时，是开口向下的二次函数的一部分，图象不断上升；当时，是一次函数，图象不断下降． 故选：A． 4．（2024·甘肃兰州·中考真题）如图1，在菱形中，，连接，点M从B出发沿方向以的速度运动至D，同时点N从B出发沿方向以的速度运动至C，设运动时间为，的面积为，y与x的函数图象如图2所示，则菱形的边长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查菱形的性质和二次函数的性质，根据题意可知，，结合菱形的性质得，过点M作于点H，则，那么，设菱形的边长为a，则，那么点M和点N同时到达点D和点C，此时的面积达到最大值为，利用最大值即可求得运动时间，即可知菱形边长． 【详解】解：根据题意知，，， ∵四边形为菱形，， ∴， 过点M作于点H，连接交于点O，如图，    则， 那么，的面积为， 设菱形的边长为a， ∴， ∴点M和点N同时到达点D和点C，此时的面积达到最大值为， ∴，解得，（负值舍去）， ∴． 故选：C． 5．（2024·山东烟台·中考真题）如图，水平放置的矩形中，，，菱形的顶点，在同一水平线上，点与的中点重合，，，现将菱形以的速度沿方向匀速运动，当点运动到上时停止，在这个运动过程中，菱形与矩形重叠部分的面积与运动时间之间的函数关系图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，菱形的性质，动点问题的函数图象，二次函数的图象的性质，先求得菱形的面积为，进而分三种情形讨论，重合部分为三角形，重合部分为五边形，重合部分为菱形，分别求得面积与运动时间的函数关系式，结合选项，即可求解． 【详解】解：如图所示，设交于点， ∵菱形，， ∴ 又∵， ∴是等边三角形， ∵，， ∴ ∴ ∴ 当时，重合部分为， 如图所示， 依题意，为等边三角形， 运动时间为，则， ∴ 当时，如图所示， 依题意，，则 ∴ ∴ ∵ ∴当时， 当时，同理可得， 当时，同理可得， 综上所述，当时，函数图象为开口向上的一段抛物线，当时，函数图象为开口向下的一段抛物线，当时，函数图象为一条线段，当时，函数图象为开口向下的一段抛物线，当时，函数图象为开口向上的一段抛物线； 故选：D． 6．（2025·吉林·中考真题）如图，在中，，，．动点P从点A出发，沿边以每秒1个单位长度的速度向终点C匀速运动．当点P出发后，以为边作正方形，使点D和点B始终在边同侧．设点P的运动时间为，正方形与重叠部分图形的面积为y（平方单位）． (1)的长为_______． (2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． (3)当正方形的对称中心与点B重合时，直接写出x的值． 【答案】(1)7 (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数与几何图形问题，正方行的性质、三角形相似、勾股定理等知识，解题的关键是添加辅助线利用数形结合的思想进行求解； （1）当重合时，通过勾股定理分别求出即可求解； （2）将正方形与重叠部分图形的面积分割成一个三角形的面积和直角梯形的面积之和来求解即可； （3）根据正方形的对称中心与点B重合时，得出，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：当重合时，如下图： ，以为边作正方形， 是等腰直角三角形， ， 即， 解得：（负的舍去）， ， ， ， 故答案为：7； （2）解：当在线段上运动时， ， 当在线段的延长线上运动时，即点在线段上运动，如下图： ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ； （3）解：当正方形的对称中心与点B重合时， ， ， 即， 解得：， ． 题型03 判断函数的大致图像 1．（2025·江苏南通·中考真题）如图，在等边三角形的三边上，分别取点，使．若，的面积为，则关于的函数图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 利用等边三角形的性质得出相等的边和角，通过证明全等三角形得出对应边相等，判定是等边三角形，作垂线利用面积公式求出和的面积，即可得到函数关系式，再结合二次函数的性质判断图象即可． 【详解】解：是等边三角形， ∴， ∵ ， 即， ， ∴， 过点A作于G点，则， ∴ ∴， ∴， ∴， 过点D作于点H，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ' ， ∴y关于x的函数图象开口向上，当时，当时，当时y的最小值为， ∴选项A，C，D均不符合题意，选项B符合题意， 故选：B 2．（2025·江苏常州·中考真题）小华家、小丽家与图书馆位于一条笔直的街道上，小丽家位于小华家和图书馆之间，小华家到小丽家、图书馆的距离分别为300米、1800米．若小华、小丽各自从自己家同时出发，分别以米/分钟、米/分钟的速度匀速前往图书馆，则两人恰好同时到达．现两人各自从自己家同时出发，小丽仍然以米/分钟的速度匀速前往图书馆，小华先以米/分钟的速度追赶小丽，与小丽相遇后，再以米/分钟的速度与小丽一同前往图书馆，则小华到图书馆的距离y（米）与行进时间x（分钟）之间的函数图像可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查函数图象，行程问题，分式方程，熟练根据题意找到等量关系是解题的关键．由题意得小丽家到图书馆的距离为米，若小华、小丽各自从自己家同时出发，分别以米/分钟、米/分钟的速度匀速前往图书馆，则两人恰好同时到达，得出，可得现在小华开始的速度为（米/分钟）,设小华分钟后与小丽相遇后，由题意得，得，则相遇时小华到图书馆的距离为（米），再结合小华开始的速度为米/分钟，大于后面的速度米/分钟，即可求解． 【详解】解：由题意得小丽家到图书馆的距离为（米）， ∵若小华、小丽各自从自己家同时出发，分别以米/分钟、米/分钟的速度匀速前往图书馆，则两人恰好同时到达， ∴， ∴， ∴现在小华开始的速度为（米/分钟）, 设小华分钟后与小丽相遇， 由题意得， 得， 则相遇时小华到图书馆的距离为（米）， 剩余路程为（米）， 再结合小华开始的速度为米/分钟，大于后面的速度米/分钟， 则开始的900米所用时间小于后面的900米所用时间， 可知只有选项A符合题意， 故选：A． 3．（2025·四川绵阳·一模）如图，腰长分别为2和4的两个等腰直角三角形，开始它们在左边重合，大直角三角形固定不动，然后把小直角三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止．设小直角三角形移动的距离为x，两个三角形重叠面积为y，则y关于x的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，二次函数的性质，等腰三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，再进行分类讨论，根据三角形面积公式进行列式化简，即可作答． 【详解】解：∵腰长分别为2和4的两个等腰直角三角形，开始它们在左边重合，大直角三角形固定不动，然后把小直角三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止． ①时，两个等腰直角三角形重叠面积为小的等腰直角三角形的面积， ∴； ②当时， 依题意，，， 移动距离， 则 ∴ ∴重叠的面积=边长为的等腰直角三角形的面积， 即， 此时是开口方向向上的二次函数， ③当时，两个三角形没有重叠的部分，即重叠面积为0， 故选A． 4．（23-24九年级上·安徽淮南·月考）如图，点和点同时从正方形的顶点出发，点沿着运动，点沿着运动，速度都为，终点都是点．若，则的面积S（cm2）与运动时间之间的函数关系的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了动点问题的函数图象．当时，；当时，，结合图形，即可求解． 【详解】解：当时，如图， ∴，， ∴，此时抛物线开口向上． 当时，如图， ∴，， ∵，四边形是正方形， ∴， ∴，， ∴， ∴ ，此时抛物线的开口向下． 综上，选项A符合题意， 故选：A． 1．（2025·陕西汉中·模拟预测）遗忘曲线由德国心理学家艾宾浩斯（）研究发现，描述了人类大脑在完全掌握新事物规律或情况后遗忘的规律．人体大脑对新事物遗忘的循序渐进的直观描述，该曲线对人类记忆认知研究产生了重大影响．对于艾宾浩斯遗忘曲线，有几种说法，请你观察图象判断正确的有（   ）个． ①完全掌握知识后不复习，在天后还能保持的掌握度 ②在图示的过程中，能拥有掌握度及以上的时间有天 ③完全掌握知识后不复习，在2天后会丢失的掌握程度 ④艾宾浩斯遗忘曲线的知识掌握度与天数成反比例关系 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数图象，从图象中获取信息，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．根据图象的横纵坐标表示的意义，进行计算即可得出答案． 【详解】解：由图象可得，完全掌握知识后不复习，在天后还能保持的掌握度，故①说法正确； 在图示的过程中，能拥有掌握度及以上的时间小于天，故②说法错误； 完全掌握知识后不复习，在2天后会丢失 的掌握程度，故③说法错误； 艾宾浩斯遗忘曲线的知识掌握度在时与天数不成反比例关系，故④说法错误． 所以判断正确的有1个． 故选：B． 2．（2025·安徽亳州·一模）如图，在平面直角坐标系中，用12个以点O为公共顶点的相似三角形组成形如海螺的图案，并按此方法无限地作下去，……，若． (1)填空：①点的坐标是_____；②点的坐标是______；③点的坐标是______；④点的坐标是______；（结果可保留乘方形式） (2)观察（1）中的结果，发现规律，求点的坐标． 【答案】(1)①；②；③；④ (2) 【分析】本题考查了余弦函数，相似三角形的性质，点的坐标规律探索，找到各直角三角形斜边长度的规律是解题的关键． （1）由题意知，12个以点O为公共顶点的直角三角形相似，则得每个三角形中以O为顶点的内角均为，利用三角函数得，，，，…，得到一般规律，从而可完成解答； （2）根据（1）中的规律，即可求点的坐标． 【详解】（1）解：由题意知，12个以点O为公共顶点的直角三角形相似， ∴每个三角形中以O为顶点的内角均为， 在中，， 在中，， 在中，， 在中，， …， 一般地：； ∴点的坐标是；点的坐标是；点的坐标是；点的坐标是， 故答案为：①；②；③；④； （2）解：由（1）知，，且12次一个循环， ， 则点与点一样落在y轴正半轴上， ， ∴点的坐标为． 3．（2025·四川南充·二模）在正六边形中，是对角线上一点，．则的面积与的面积的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正六边形的性质、等腰三角形的性质、三角函数和相似三角形的判定与性质的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 作，垂足为，然后分别证明得和，然后得到，通过相似三角形的性质即可求解； 【详解】解：作，垂足为，如图： ， 在正六边形中， ∴， ， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∵， ∴在中，设， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的面积，的面积， ∴， ∴， 故选：C； 4．（2025·宁夏吴忠·二模）已知矩形的顶点，，，分别在正六边形的边，，，上，在点从移动到的过程中，下列对矩形的判断： ①矩形的面积与周长保持不变； ②矩形的面积逐渐减少； ③矩形的周长逐渐增大； ④矩形的对角线长存在最小值． 其中正确的是（    ） A．①④ B．②③ C．①③ D．②④ 【答案】D 【分析】本题属于代数几何综合题，是中考填空题的压轴题，考查了正多边形和圆，矩形的性质，一次函数的性质，二次函数的最值，解决本题的关键是掌握正多边形的性质． 以的对称轴为y轴，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，设正六边形的边长为2，连接，过点E作轴于点H，根据正六边形的性质可得，，设解析式为，代入值可得解析式为，根据M在上，设 ，根据矩形，点M和点N关于y轴对称，可得，点M和点Q关于x轴对称，可得，所以，，然后表示矩形的周长、面积、对角线，进而可以逐一进行判断． 【详解】解：∵正六边形是轴对称图形， ∴以的对称轴为y轴，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图， 设正六边形的边长为2，连接，过点E作轴于点H， ∴，， ∴，， ∴，， 设解析式为， ， 解得， ∴解析式为， ∵M在上，设 ， 矩形中，点M和点N关于y轴对称， ∴， ∵点M和点Q关于x轴对称， ∴， ∴，， ∴矩形周长 ， ∵， ∴C的值随x的增大而减小，点M从E移动到D的过程中，x不断增大， 故周长C会逐渐减小，故①③错误； ∵矩形的面积 ∵， ∴抛物线开口向下，当时，S随x的增大而减小， 故矩形的面积S逐渐减小，故②正确； ∵矩形的对角线 ∴当时，有最小值，此时，对角线最小，故④正确． 综上所述：②④正确． 故选：D 5．（2025·四川绵阳·二模）如图，矩形的顶点C在反比例函数的图象．上，反比例函数的图象与，分别交于点E，F，轴于点H，轴于点G，与相交于点M．有下列说法：①矩形的面积是1；②的面积是 ；③矩形与矩形的面积一定相等；④若的面积为，矩形的面积为，则必有．其中说法正确的是 （填序号）． 【答案】②③ 【分析】该题考查了反比例函数与几何综合，以及反比例函数值的几何意义，解题的关键是数形结合． 根据题意设，则，从而得出，再根据图象解答判断即可． 【详解】解：根据题意设， 则， ∴， ∴矩形的面积，故①错误； 的面积 ，故②正确； ∵反比例函数的图象与，分别交于点E，F， ∴， ∴， 即矩形与矩形的面积相等，故③正确； ∵的面积， 矩形的面积， ∴，故④错误； 故答案为：②③． 6．（2025·福建漳州·模拟预测）用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的菜园． 方案一：如图①，围成一个矩形菜园，其中一边是墙， 其余的三边，， 用篱笆，其中； 方案二：如图②，围成一个扇形菜园，一条半径是墙，其余用篱笆． 有下列结论： ①的长可以是； ②的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为； ③矩形菜园的面积的最大值为； ④方案二围成扇形菜园的最大面积大于方案一围成矩形菜园的最大面积． 其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） 【答案】②③ 【分析】本题考查了一元二次方程与二次函数的应用，准确列出方程和函数解析式是解答本题的关键．①设边长为，则边长为，当时，求出是，不符合题意，即可判断正误；②列出一元二次方程：求出值即可判断正误；③列出二次函数解析式 ，根据最值求法即可判断正误；④列出二次函数解析式 ，求得扇形面积的最大值，即可判断正误． 【详解】解：图①，设边长为，则边长为， 当时， ， ∴， ∵， 故①不正确； ∵菜园面积为 ∴， 整理得： 解得： 或， ∴或， ∵时， ， 满足，故②正确； 设矩形菜园的面积为 根据题意得：， ， ∴当时， 有最大值，最大值为，故③正确； 如图②，设则弧长， ， ， ∴当时， 有最大值，最大值为， ∴方案二围成扇形菜园的最大面积等于方案一围成矩形菜园的最大面积. 故④不正确. ∴正确结论是②③. 故答案为： ②③． 7．（2024·广东广州·二模）如图1，在平面直角坐标系中，点、C分别在y轴和x轴上，轴，，点P从B点出发，以的速度沿边匀速运动，点Q从点出发，沿线段匀速运动．点P与点Q同时出发，其中一点到达终点，另一点也随之停止运动．设点P运动的时间为，的面积为，已知S与t之间的函数关系如图2中的曲线段、线段与曲线段．下列说法正确的是（   ） ①点的运动速度为；②点的坐标为；③线段段的函数解析式为；④曲线段的函数解析式为；⑤若的面积是四边形的面积的，则时间． A．①②③④⑤ B．①③④ C．①③⑤ D．①③④⑤ 【答案】B 【分析】结合函数图象可得当时，，此时的面积为，进而求出为，即可得出点的速度，进而求出的长，由此即可判断①②；当点在上时，过点作于点，根据三角形的面积公式可求出此时的，由此即可判断③；过点作于点，从而可得，，再解直角三角形可得，利用三角形的面积公式即可判断④；先求出四边形的面积，从而可得的面积，分三种情况：、和，分别列出方程，解方程即可判断⑤． 【详解】解：由函数图象可知，当时，的面积的函数关系式改变，则在上运动秒， ∴当时，，此时的面积为， ∴， ∴， ∴点的运动速度为，则说法①正确； 当运动到秒时，函数关系式改变，则， 如图，过作于点， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴设，则， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴，则说法②错误； 如图，当点在上时，过点作于点， ∵，， ∴线段段的函数解析式为，则说法③正确； ∵点从点运动到点所需时间为，点沿线段匀速运动到终点时，所需时间为， ∴， 当时，如图，过点作于点， 则，， ∵， ∴设，则， ∴， ∴， ∴， ∴曲线段的函数解析式为，则结论④正确； ∵， ∴的面积． 当时，此时的边，边上的高为， ∴，解得或（不符合题设，舍去）； 当时，则，解得（不符合题设，舍去）； 当时，则，解得或 （不符合题设，舍去）； 综上，若的面积是四边形的面积的，则时间或，则说法⑤错误； 综上，说法正确的是①③④， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的几何应用、解直角三角形、一元二次方程的应用、勾股定理等知识，综合性强，有一定的难度，读懂函数图象，正确获取信息是解题关键． 8．（2025·四川宜宾·二模）如图1，在平面直角坐标系中，点分别在轴和轴上，轴，，点从点出发，以的速度沿边匀速运动，点从点出发，沿线段匀速运动．点与点同时出发，其中一点到达终点，另一点也随之停止运动．设点运动的时间为的面积为，已知与之间的函数关系如图2中的曲线段、线段与曲线段．下列说法中正确的个数有（    ）个． ①点的运动速度为； ②点的坐标为； ③线段段的函数解析式为； ④曲线段的函数解析式为； ⑤若的面积是四边形的面积的，则时间． ⑥当在线段上运动时，存在某一时刻，使得周长最小． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】结合函数图象可得当时，，此时的面积为，进而求出为 ，即可得出点的速度，进而求出的长，由此即可判断①②；当点在上时，过点作于点，根据三角形的面积公式可求出此时的，由此即可判断③；过点作于点，从而可得，再解直角三角形可得，利用三角形的面积公式即可判断④；先求出四边形的面积，从而可得的面积，分三种情况：和，分别列出方程，解方程即可判断⑤．作点关于和的对称点，连接，则，得出当点共线时，最小，故的周长最小值为，结合①知，证明，得出，重合，此时，不符合题意，故⑥错误． 【详解】解：由函数图象可知，当时，的面积的函数关系式改变，则在上运动 3 秒， ∴当时，，此时的面积为， ， ， ∴点的运动速度为，则说法①正确； 当运动到 5 秒时，函数关系式改变，则， 如图，过作于点， ∴四边形是矩形， ， ， ∴设，则， ， ， ， ， ∴，则说法②错误； 如图，当点在上时，过点作于点， ， ∴线段段的函数解析式为，则说法③正确； ∵点从点运动到点所需时间为，点沿线段匀速运动到终点时，所需时间为， ， 当时，如图，过点作于点， 则， ， ∴设，则， ， ， ， ∴曲线段的函数解析式为，则结论④正确； ， ∴的面积． 当时，此时的边边上的高为， ∴，解得或（不符合题设，舍去）； 当时，则，解得（不符合题设，舍去）； 当时，则，解得或（不符合题设，舍去）； 综上，若的面积是四边形的面积的，则时间或， 则说法⑤错误； 如图，作点关于和的对称点，连接 则， 则的周长， 当点共线时，最小，即， 故的周长最小值为， 结合①知， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴重合， 此时， 则，不符合题意，故⑥错误． 综上，说法正确的是①③④，共3个， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的几何应用、解直角三角形、一元二次方程的应用、勾股定理等知识，综合性强，有一定的难度，读次函数图象，正确获取信息是解题关键． 9．（2025·黑龙江·模拟预测）如图，的直径为，，点为的中点，点沿路线运动，连接，．用表示点的运动路程，表示的面积下列图像适合表示与的对应关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分点P在上运动和点P在上运动两种情况，分别用含x的式子表示出的面积，即可求解． 【详解】解：当点P在上运动时，作于点E，如图： ∵为的直径， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵点D为的中点， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 即当时，，可以排除C，D选项； 当点P在上运动时，如图： ∵， ∴， 即当时， ，可以排除B选项； 故选：A． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图像，用勾股定理解三角形，半圆（直径）所对的圆周角是直角，解直角三角形的相关计算等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 10．（2025·辽宁铁岭·三模）心理学研究发现，一般情况下，在一节的物理课中，学生的注意力随上课时间的变化而变化，开始上课时，学生的注意力逐步增强，后保持平稳一段时间，平稳时间持续，随后学生的注意力开始分散．通过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间的变化规律如图所示，为反比例函数图象的一部分． (1)当时，请求出y关于x的函数解析式． (2)物理老师计划在课堂上讲解两道总计需要的串、并联电路综合题，请问：他能否经过适当的安排，使学生在听这道题目的讲解时注意力指标数不低于30？并说明理由． 【答案】(1) (2)物理老师经过适当的安排，能使学生在听这两道题目的讲解时注意力指标数不低于30，理由见解析 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的应用． （1）分别从图象中找到其经过的点，利用待定系数法求得函数的解析式即可； （2）分别求出注意力指数为30时的两个时间，再将两时间之差与27比较，大于27则能讲完，否则不能． 【详解】（1）解：由题意可知， ∴点C的坐标为 设反比例函数的解析式为， 将代入， 得 ， 解得∶， ∴反比例函数的解析式为 ， ∴将代入 得：， ∴点 D 的坐标为 ， ∴点A 的坐标为 ， 设时，y与x的函数解析式为， 由题图可得点B的坐标为， 将，代入， 得   解的： ， ∴当时，y关于x的函数解析式为； （2）解：物理老师经过适当的安排，能使学生在听这两道题目的讲解时注意力指标数不低于30，理由如下： 对于， 当时，， 解得． 对于 当时， ∵， ∴物理老师经过适当的安排，能使学生在听这两道题目的讲解时注意力指标数不低于30． 1．（2025·陕西西安·模拟预测）【问题提出】在一个直角三角形中，以斜边上任意一点向两直角边做垂直，所截取的矩形的最大面积是多少？ 【规律探究】如图①，是一个直角三角形，，在上任取点，作，，得到矩形，我们可以设，证明得到后，经过推导，用含有的代数式表示出该矩形的面积，从而求得答案． 探究：如图①，，，请根据材料， 填空：①______；②______；③矩形的最大面积的值为______． 【问题应用】如图②，已知有一块“缺角矩形”，，，，，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积． 【拓展延伸】如图③，现有一块四边形的木板余料，经测量，， ，且，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点、在边上且面积最大的矩形，则该矩形的面积为______．（直接写出答案） 【答案】规律探究：，，12；问题应用：720；拓展延伸： 【分析】规律探究：由知，得，，根据矩形面积公式表示面积，再根据二次函数性质求出最大值； 问题应用：延长交于点F，延长交于点G，延长交于点H，取的中点I，的中点K，证明和，得，再利用【规律探究】的结论即可求出结果； 拓展延伸：延长交于点E，过点E作于点H，转化为图①中模型解决问题即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，最大值是12， 故答案是：，，12； 问题应用： 如图，延长交于点F，延长交于点G，延长交于点H，取的中点I，的中点K， 由题意知四边形是矩形， ∵，，，， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴， ∵， ∴中位线的两端点在线段和上，过点K作于点L， 由【规律探究】知矩形的最大面积为； 拓展延伸： 如图，延长交于点E，过点E作于点H， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵ 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴的中点Q在线段上， ∵， ∴的中点P在线段上， ∴中位线的两端点在线段上，由【规律探究】知，矩形的最大面积为． 【点睛】本题考查四边形的综合问题，解题的关键是熟练掌握中位线定理，相似三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质． 2．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，在矩形中，，．点P从点A出发，沿边向点B以1个单位长度/秒的速度运动，同时点Q从点B出发，沿边向点C以2个单位长度/秒的速度运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t秒． (1)当时，求的面积； (2)当t为何值时，的面积最大？最大面积是多少？ (3)是否存在某一时刻t，使的面积等于矩形面积的？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)8 (2) 的面积最大，且为 (3)不存在，理由见详解 【分析】本题考查了矩形的性质，二次函数的其他应用，一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由矩形的性质得，结合时间和速度，得出，运用三角形面积公式进行列式计算，即可作答． （2）先由矩形的性质得，结合时间和速度，得出，运用三角形面积公式进行列式得，根据二次函数的性质进行分析，即可作答． （3）先由矩形的性质得，且结合题意得，运用三角形面积公式进行列式得，即可作答． 【详解】（1）解：连接，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴， 依题意，当时，则， ∴， ∴的面积； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， 依题意， ， ∴， ∵当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动． ∴， 即， ∴； ∵， ∴函数的开口向下，在时，有最大值， 即把代入，得， ∴当t为秒时，的面积最大？最大面积是； （3）解：不存在，理由如下： 在矩形中，，． ∴，矩形的面积， ∵的面积等于矩形面积的， ∴， 由（）得， ∴， 则， ∴， 此时无法找到一个t使得成立， 即不存在某一时刻t，使的面积等于矩形面积的． 3．（2025·天津河西·一模）在平面直角坐标系中，为原点，三角形纸片，顶点，．在边上取一点，在边上取一点，连接，将沿翻折到同一平面内，得，点的对应点为点． (1)填空：的度数为 ，的度数为 ； (2)若，设，翻折后与三角形重叠部分的面积为． ①如图①，当时，点的坐标为 ，重合部分的面积为 ； ②如图②，当折叠后重合部分为四边形时，与交点为．试用含有的式子表示的长，并直接写出的取值范围； ③填空：当 时，重合部分面积最大． (3)当，的面积等于面积时，求点的坐标（直接写出结果即可）． 【答案】(1)， (2)①，；②，；③ (3) 【分析】（1）由，得轴，再解即可求解； （2）①解求解点D坐标，重叠部分为的面积，根据面积公式求解；②可得，在中，，由折叠的性质证明是等边三角形，则，解直角三角形得，则，故，再由则，且，即可求解取值范围；③由，得，而，代入梯形面积即可求解，得到关于t的二次函数，利用二次函数的性质求解最值； （3）过点C作于点T，过点D作于点M，解直角三角形求出，而，故，导角证明，则，那么，故当的面积等于面积时，，可得为中点，即可求解． 【详解】（1）解：∵三角形纸片，顶点，， ∴， ∴轴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：①∵，， ∴， ∴翻折后点O的对应点E在x轴上， 当时， ∴， ∴， 由折叠知，而， ∴点E在点A左侧， ∴重叠的面积为， 故答案为：，； ②由（1）得， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， 由折叠知，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 要使得重叠部分为四边形，则， ∴， ∴， 且，则， ∴ ③∵， ∴， ∵， ∴ ∴ ∵， ∴当时，取得最大值， 故答案为：； （3）解：过点C作于点T，过点D作于点M， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵翻折， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴当的面积等于面积时，， ∴，而， ∴为中点， ∴． 【点睛】本题考查了折叠问题，涉及解直角三角形，等边三角形的判定与性质，二次函数最值问题，线段垂直平分线的性质等知识点，综合性较强，熟练运用解直角三角形进行边角转化是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $