专题16 三角形模型 2025-2026学年人教版八年级上册数学重难点培优专题【题型分类+知识梳理+能力提升】

人教版八上 重难点题型突破 培优专题 专题16 三角形模型目录 A · 重难点题型分类 题型1：“8字”模型…………………………………………………………… 2 题型2：“A字”模型…………………………………………………………… 3 题型3：“风筝”模型…………………………………………………………… 3 题型4：“飞镖”模型…………………………………………………………… 4 题型5：“双角平分线”模型…………………………………………………… 5 B · 能力提升 ……………………………………………………………………… 6 知识梳理 1. 三角形模型： 名称 图形 已知与结论 “8字”模型 A B C D O 已知：如图，AC与BD相交于点O，连接AB，CDA B C D O 结论：∠A+∠B= ∠C+∠D . “A字”模型 A D B C E 已知：如图，∠DAE的两边上各有一点B，C，连接BC 结论：∠DBC+∠ECB=180°+∠A . “风筝”模型 A D B C E F 1 2 3 4 5 6 结论：如图，∠1+∠2=∠BAC+∠BFC（腋下两角之和等于上、下两角之和） “飞镖”模型 A D B C 结论：如图，（1）∠BDC=∠A+∠B+∠C ； （2）AB+AC＞BD+CD . “双角平分线”模型 C A B D 已知：如图，在△ABC中，BD和CD分别是∠ABC，∠ACB的平分线 结论：∠D=90°+ ∠A A D B C E F 已知：如图，BD和CD分别是△ABC的外角∠EBC，∠FCB的平分线 结论：∠D=90°－ ∠AA D B C E F A B C E D 已知：如图，BD和CD分别是△ABC的内角∠ABC和外角∠ACE的平分线 结论：∠D= ∠A 重难点题型分类 【题型1：“8字”模型】 【例1】如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（    ） A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A＋∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D 【变式1-1】如图，在由线段组成的平面图形中，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【题型2：“A字”模型】 【例1】如图是某建筑工地上的人字架，若，那么的度数为 ． 【变式1-1】如图所示，的两边上各有一点，连接，求证． 【题型3：“风筝”模型】 【例1】在三角形纸片ABC中，∠A=65°，∠B=75°．将纸片的一角对折，使点C落在△ABC内，若∠1=20°，则∠2的度数为（ ） A．50° B．60° C．70° D．80° 【变式1-1】如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，若，，则为 ． 【题型4：“飞镖”模型】 【例1】在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果，，那么的度数是（    ）． A． B． C． D． 【变式1-1】将一副直角三角板如图放置，使含角的三角板的一条直角边和含角的三角板的一条直角边重合，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【题型5：“双角平分线”模型】 【例1】如图，△ABC中，∠E=18°，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，则∠A等于（ ） A．36° B．30° C．20° D．18° 【变式1-1】如图，已知的两条高、交于点，的平分线与外角的平分线交于点，若，则 ． 能力提升 一、单选题 1．（25-26八年级上·陕西安康·阶段练习）如图，一副分别含有和角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·重庆·期末）如图，在中，平分，平分交于点．当时，的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，将沿、翻折，顶点A、B均落在点O处，且与重合于线段，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·云南昆明·阶段练习）如图，在中，已知点、分别为边、的中点，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·江苏徐州·期中）如图，在中，，和的平分线交于，则（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·陕西·期末）某品牌椅子的侧面图如图所示，与地面平行．若，，则（ ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）如图，在中，，、分别平分、，、、分别在、、的延长线上，、分别平分、，、分别平分，，则等于（     ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，，平分，平分，点G、C、D共线，点B、E、A、F共线，，，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 9．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，在中，分别平分，，，．下列结论：①；②；③；④，其中正确的为（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 二、填空题 10．（24-25八年级上·天津·期中）如图，把纸片沿折叠，使点落在内部点处，若，则等于 ． 三、解答题 11．（24-25八年级下·山东济宁·阶段练习）如图，已知线段相交于点O，连接，我们把形如这样的图形称为“八字图形”． (1)求证：； (2)利用八字图形解决问题：如图②，若和的平分线和相交于点P，与分别交于点M，N． ①若，求的度数； ②根据①的结果直接写出之间的关系是__________________． 12．（25-26八年级上·吉林四平·阶段练习）如图，已知，，，求的度数． 13．（25-26八年级上·河南商丘·阶段练习）如图，，分别平分，交于点D，探究与的数量关系. (1)若，，则与的数量关系为 ； (2)对于一般情形，（1）中的结论还成立吗？请说明理由. 14．（25-26八年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，已知：点是内一点，，分别平分，． (1)如图①，若，，则 (2)如图①，若，求的度数； (3)如图②，作外角，的平分线，相交于点．若，求的度数．（用含m的式子表示） 15．（24-25七年级下·广东佛山·期末）（1）如图，已知线段，相交于点O，连接，，可以得到、的关系式是 ． （2）如图，若和的平分线和相交于点P，与，分别交于点M，N．猜测之间的关系，并证明你的结论． （3）若和的三等分线和相交于点P，与，分别交于点M，N，其中，则之间又有怎样的数量关系，并说明理由． 16．（24-25七年级下·全国·单元测试）【题目】如图1，根据图形填空． （1）______，______； （2）____________； 【应用】 （3）如图2，求的度数； 【拓展】 （4）如图3，若，则为______度． 17．（24-25七年级下·河南南阳·期末）【教材呈现】以下是华师版教学七下第92页的部分内容． 如图，在 中． 平分 平分 求 的度数． 解 ∵平分 (已知)， 同理可得 ． ∵ (                )， (等式的性质) = ． （1）对于上述问题，请你在解答过程的空白处填上适当的内容(理由或数学式)． 【拓展延伸】 （2）如图1， 在中，、的平分线交于点P， 将 沿折叠，使得点A与点P重合， 若， 求的度数； （3）如图2， 在中， 角平分线、交于点O，， 交边于点D，点E在的延长线上，作的平分线交的延长线于点F．若则 ． 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $人教版八上 重难点题型突破 培优专题 专题16 三角形模型目录 A · 重难点题型分类 题型1：“8字”模型…………………………………………………………… 2 题型2：“A字”模型…………………………………………………………… 4 题型3：“风筝”模型…………………………………………………………… 5 题型4：“飞镖”模型…………………………………………………………… 6 题型5：“双角平分线”模型…………………………………………………… 8 B · 能力提升 ……………………………………………………………………… 11 知识梳理 1. 三角形模型： 名称 图形 已知与结论 “8字”模型 A B C D O 已知：如图，AC与BD相交于点O，连接AB，CDA B C D O 结论：∠A+∠B= ∠C+∠D . “A字”模型 A D B C E 已知：如图，∠DAE的两边上各有一点B，C，连接BC 结论：∠DBC+∠ECB=180°+∠A . “风筝”模型 A D B C E F 1 2 3 4 5 6 结论：如图，∠1+∠2=∠BAC+∠BFC（腋下两角之和等于上、下两角之和） “飞镖”模型 A D B C 结论：如图，（1）∠BDC=∠A+∠B+∠C ； （2）AB+AC＞BD+CD . “双角平分线”模型 C A B D 已知：如图，在△ABC中，BD和CD分别是∠ABC，∠ACB的平分线 结论：∠D=90°+ ∠A A D B C E F 已知：如图，BD和CD分别是△ABC的外角∠EBC，∠FCB的平分线 结论：∠D=90°－ ∠AA D B C E F A B C E D 已知：如图，BD和CD分别是△ABC的内角∠ABC和外角∠ACE的平分线 结论：∠D= ∠A 重难点题型分类 【题型1：“8字”模型】 【例1】如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（    ） A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A＋∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D 【分析】利用三角形的外角性质，对顶角相等逐一判断即可． 【详解】∵∠A＋∠AOD＋∠D＝180°，∠C＋∠COB＋∠B＝180°，∠A＝∠C，∠AOD＝∠BOC， ∴∠B＝∠D， ∵∠1＝∠2＝∠A＋∠D， ∴∠2＞∠D， 故选项A，B，C正确， 故选D． 【点睛】本题考查了对顶角的性质，三角形外角的性质，熟练掌握并运用两条性质是解题的关键． 【变式1-1】如图，在由线段组成的平面图形中，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【分析】如图标记，然后利用三角形的外角性质得，，再利用互为邻补角，即可得答案． 【详解】解：如下图标记， ， ， ， 又， ， ， ， 故选C． 【点睛】此题考查了三角形的外角性质与邻补角的意义，熟练掌握并灵活运用三角形的外角性质与邻补角的意义是解答此题的关键． 【题型2：“A字”模型】 【例1】如图是某建筑工地上的人字架，若，那么的度数为 ． 【分析】根据平角的定义求出，再利用三角形的外角的性质即可解决问题． 【详解】解：如图 ，， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形外角的性质、平角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题． 【变式1-1】如图所示，的两边上各有一点，连接，求证． 【答案】见解析 【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和证明即可． 【详解】解：和是的外角， ． 又， ． 【点睛】本题主要考查三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 【题型3：“风筝”模型】 【例1】在三角形纸片ABC中，∠A=65°，∠B=75°．将纸片的一角对折，使点C落在△ABC内，若∠1=20°，则∠2的度数为（ ） A．50° B．60° C．70° D．80° 【详解】试题分析：根据题意，已知∠A=65°，∠B=75°，可结合三角形内角和定理和折叠变换的性质求解． 解：∵∠A=65°，∠B=75°， ∴∠C=180°﹣（65°+75°）=40°， ∴∠CDE+∠CED=180°﹣∠C=140°， ∴∠2=360°﹣（∠A+∠B+∠1+∠CED+∠CDE）=360°﹣300°=60°． 故选B． 点评：本题通过折叠变换考查三角形、四边形内角和定理．注意折叠前后图形全等；三角形内角和为180°；四边形内角和等于360度． 【变式1-1】如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，若，，则为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，掌握相关知识是解题的关键．由折叠可知，，，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：，， 由折叠可知，， ， ， 故答案为：． 【题型4：“飞镖”模型】 【例1】在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果，，那么的度数是（    ）． A． B． C． D． 【分析】延长BE交CF的延长线于O，连接AO，根据三角形内角和定理求出再利用邻补角的性质求出，再根据四边形的内角和求出，根据邻补角的性质即可求出的度数． 【详解】延长BE交CF的延长线于O，连接AO，如图， ∵ ∴ 同理得 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴, 故选：B． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，多边形内角和，三角形的外角的性质，邻补角的性质，解题关键是会添加辅助线，将已知条件联系起来进行求解．三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；邻补角性质：邻补角互补；多边形内角和：． 【变式1-1】将一副直角三角板如图放置，使含角的三角板的一条直角边和含角的三角板的一条直角边重合，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角板中的角度计算，三角形外角的性质，先根据三角板的知识得出，再根据三角形外角的性质求解． 【详解】解：如图， ， ， 故选：C． 【题型5：“双角平分线”模型】 【例1】如图，△ABC中，∠E=18°，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，则∠A等于（ ） A．36° B．30° C．20° D．18° 【分析】由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠ACD=∠A+∠ABC，∠ECD=∠E+∠EBC；由角平分线的性质，得∠ECD=（∠A+∠ABC），∠EBC=∠ABC，利用等量代换，即可求得∠A与∠E的关系，即可得到结论． 【详解】解：∵∠ACD=∠A+∠ABC， ∴∠ECD=（∠A+∠ABC）． 又∵∠ECD=∠E+∠EBC， ∴∠E+∠EBC=（∠A+∠ABC）． ∵BE平分∠ABC， ∴∠EBC=∠ABC， ∴∠ABC+∠E=（∠A+∠ABC）， ∴∠E=∠A=18°， ∴∠A=36°． 故选A． 【变式1-1】如图，已知的两条高、交于点，的平分线与外角的平分线交于点，若，则 ． 【分析】首先根据三角形的外交性质求出，结合三角形的高的知识得到和之间的关系，进而可得结果； 【详解】由图知：， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∵的两条高、交于点， ∴，， ∴， ∴在四边形中有：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：36． 【点睛】本题主要考查了与角平分线有关的三角形的内角和与外角性质，准确分析计算是解题的关键． 能力提升 一、单选题 1．（25-26八年级上·陕西安康·阶段练习）如图，一副分别含有和角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的外角性质，三角板中有关角度计算，在中，，，在中，，，然后通过外角性质可得，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：在中，，，在中，，， ∵， ∴， ∴， 故选：． 2．（24-25七年级下·重庆·期末）如图，在中，平分，平分交于点．当时，的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线定义，三角形内角和定理，三角形外角性质，由平分，平分，则，，通过三角形内角和定理可得，最后通过三角形的外角性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 3．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，将沿、翻折，顶点A、B均落在点O处，且与重合于线段，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查折叠的性质，三角形的内角和定理和三角形的外角．熟练掌握折叠的性质，以及等边对等角，是解题的关键．连接，则，推出，结合折叠得出，再结合外角性质得出，进而得出，最后根据三角形内角和求出结论． 【详解】解：连接， 由题意得：， ， ， ， 由折叠得：， ， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 4．（25-26八年级上·云南昆明·阶段练习）如图，在中，已知点、分别为边、的中点，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形中线的性质和应用，解答此题的关键是要明确三角形的中线把三角形分成面积相同的两部分．根据三角形的中线平分面积，推出即可求解． 【详解】解：点、分别为边、的中点， 、、分别为、、的中线， 根据三角形的中线平分面积可知：，，， ． 故选：B ． 5．（23-24七年级下·江苏徐州·期中）如图，在中，，和的平分线交于，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理及角平分线的定义，牢记三角形内角和是，掌握相关知识是解题的关键．在中，利用三角形内角和定理，可求出的度数，结合角平分线的定义，可求出的度数，再在中，利用三角形内角和定理，即可求出的度数． 【详解】解：在中，， ， 平分，平分， ，， ． 在中，， ． 故选：C． 6．（24-25八年级上·陕西·期末）某品牌椅子的侧面图如图所示，与地面平行．若，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，利用两直线平行，内错角相等得到，求解，再进一步求解即可得到答案． 本题主要考查了平行线的性质（两直线平行，内错角相等 ）以及三角形内角和定理（三角形内角和为 ），熟练掌握这些知识并能灵活运用是解题的关键． 【详解】解：如图所示： ，， ， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 7．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）如图，在中，，、分别平分、，、、分别在、、的延长线上，、分别平分、，、分别平分，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，准确识图，理解角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和定理是解决问题的关键． 设，，则，，在中，由三角形内角和定理得，再求出，，由角平分线定义得，，进而得，再由角平分线定义得，，继而得，在中，由三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：设，， ∵，分别平分，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，分别平分，， ∴，， ∴， ∵，分别平分，， ∴，， ∴， 在中，， ∵， ∴； 故选：A． 8．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，，平分，平分，点G、C、D共线，点B、E、A、F共线，，，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，平行线的性质，三角形内角和定理等，根据角平分线的意义和平角的定义即可判断①；根据两直线平行，内错角相等和外角的性质得出，，再根据角的和差即可判断②；根据三角形内角和定理即可判断③；根据外角的性质即可判断④． 【详解】解：∵，即， ∴， 平分，平分， ，， ， ， ，①正确； ，， ，， ， ，②正确； ， ， ，③正确； ， ，④错误； 综上，正确的结论是①②③． 故选：B． 9．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，在中，分别平分，，，．下列结论：①；②；③；④，其中正确的为（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】由角平分线的定义及三角形外角的性质可得，进而判定①；由角平分线的定义及平角的定义可求，利用三角形外角的性质及平行线的性质可判定②；利用角平分线的定义可判定③；由角平分线的性质及判定可得为外角的平分线，结合角平分线的定义及三角形外角的性质即可证明，再利用平行线的性质可得结论④． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， 即， 故①正确； ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， 故②正确； ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故③正确； 过分别作、、的垂线，垂足分别为， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴为外角的平分线， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故④正确． 综上所述，正确的有①②③④． 故选：D． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质与判定，三角形外角的性质，平行线的性质等知识的综合运用，灵活运用角平分线的性质与判定及三角形外角的性质求解角的关系是解题的关键． 二、填空题 10．（24-25八年级上·天津·期中）如图，把纸片沿折叠，使点落在内部点处，若，则等于 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的内角和定理，轴对称的性质． 由三角形的内角和求出，再由折叠得到，进而平角的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵折叠得到， ∴，， ∴， ∴ ． 故答案为： 三、解答题 11．（24-25八年级下·山东济宁·阶段练习）如图，已知线段相交于点O，连接，我们把形如这样的图形称为“八字图形”． (1)求证：； (2)利用八字图形解决问题：如图②，若和的平分线和相交于点P，与分别交于点M，N． ①若，求的度数； ②根据①的结果直接写出之间的关系是__________________． 【答案】(1)见详解 (2)①；② 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义、对顶角的性质等知识，理解并掌握三角形的内角和定理是解题关键． （1）利用三角形内角和定理和对顶角相等即可证明； （2）①由（1）结论可得在和中，，在和中，，两式相加再由角平分线的定义即可解答； ②根据角平分线的定义可得，在和中，可有，即，同理在和中，可有，，即可获得答案． 【详解】（1）证明：在中，， 在中，， ， ． （2）解：∵在和中，， 在和中，， ， ∵平分平分， ， ，即， ． ②、、之间的关系为． 理由如下：如下图， ∵和分别平分和， ， 在和中，， ， 在和中，， ， ， ∴、、之间的关系为． 12．（25-26八年级上·吉林四平·阶段练习）如图，已知，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和为是解题的关键． 通过连接，利用三角形内角和定理，先求出，再求出． 【详解】解：连接， 在中，， 即， ，，， ， ， 在中，， ． 13．（25-26八年级上·河南商丘·阶段练习）如图，，分别平分，交于点D，探究与的数量关系. (1)若，，则与的数量关系为 ； (2)对于一般情形，（1）中的结论还成立吗？请说明理由. 【答案】(1) (2)成立，理由见解析 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，正确运用三角形内角和定理是解答本题的关键． （1）结合已知条件，利用三角形内角和定理及角平分线定义求得，，再利用角的和差求得，从而得出结论 （2）利用三角形内角和定理及角平分线定义求得，然后结合已知条件，利用角的和差即可证得结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，分别平分， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：成立，理由如下: ∵，分别平分，， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴． 14．（25-26八年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，已知：点是内一点，，分别平分，． (1)如图①，若，，则 (2)如图①，若，求的度数； (3)如图②，作外角，的平分线，相交于点．若，求的度数．（用含m的式子表示） 【答案】(1)125 (2) (3) 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，熟知三角形内角和定理和三角形外角的性质是解题的关键． （1）由角平分线的定义可得的度数，再由三角形内角和定理可得答案； （2）由三角形内角和定理可得，则由角平分线的定义可推出的度数，再由三角形内角和定理可得答案； （3）由三角形外角的性质和三角形内角和定理可得，再由角平分线的定义推出，再由三角形内角和定理可得答案． 【详解】（1）解：∵，分别平分，，，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，分别平分，， ∴， ∴ （3）解：由三角形外角的性质可得， ∴， ∵， ∴， ∵分别平分， ∴， ∴， ∴． 15．（24-25七年级下·广东佛山·期末）（1）如图，已知线段，相交于点O，连接，，可以得到、的关系式是 ． （2）如图，若和的平分线和相交于点P，与，分别交于点M，N．猜测之间的关系，并证明你的结论． （3）若和的三等分线和相交于点P，与，分别交于点M，N，其中，则之间又有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）； （2），见解析； （3），见解析． 【分析】本题考查了对顶角的性质、三角形内角和定理，角平分线的性质等知识点，掌握题目中（1）的规律是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理和对顶角相等即可作答； （2）由题意设，，再根据（1）的结论建立方程组即可； （3）设，之后同（2）根据（1）的结论建立方程组即可求解． 【详解】解：（1）在中，， 在中，， 又， ， 故答案为：； （2）之间的数量关系是：，证明如下： 和的平分线和相交于点P， 设，， 由（1）的结论：在和中， ，即， 由（1）的结论：在和中， ，即， 得：， ； （3）之间的数量关系是：，理由如下： 设， ， 由（1）的结论：在和中， ，即， 由（1）的结论：在和中， ，即， ， ， 整理得：． 16．（24-25七年级下·全国·单元测试）【题目】如图1，根据图形填空． （1）______，______； （2）____________； 【应用】 （3）如图2，求的度数； 【拓展】 （4）如图3，若，则为______度． 【答案】（1）；（2）；（3）（4）220 【分析】本题考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形外角性质是解答本题的关键． （1）利用三角形外角性质即可求出； （2）根据外角性质，将转化到一个三角形内计算即可； （3）利用三角形外角性质将转化到一个三角形中，再根据三角形内角和即可得到结果； （4）利用外角套外角可得，，根据对顶角相等，即可计算出结果． 【详解】解：（1）因为是三角形的外角， 所以． 因为是三角形的外角， 所以． 故答案为；． （2）因为，， 所以． 故答案为；． （3）因为，， 所以． （4）根据三角形外角性质可得， ，． 因为， 所以． 所以． 故答案为：220． 17．（24-25七年级下·河南南阳·期末）【教材呈现】以下是华师版教学七下第92页的部分内容． 如图，在 中． 平分 平分 求 的度数． 解 ∵平分 (已知)， 同理可得 ． ∵ (                )， (等式的性质) = ． （1）对于上述问题，请你在解答过程的空白处填上适当的内容(理由或数学式)． 【拓展延伸】 （2）如图1， 在中，、的平分线交于点P， 将 沿折叠，使得点A与点P重合， 若， 求的度数； （3）如图2， 在中， 角平分线、交于点O，， 交边于点D，点E在的延长线上，作的平分线交的延长线于点F．若则 ． 【答案】（1），三角形内角和定理，，；（2）；（3） 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，垂线的定义. （1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可； （2）先由折叠的性质和平角的定义得到，进而求出，同（1）即可得到答案； （3）根据角平分线得到，，进而可知，即可求出，根据得到，根据三角形内角和即可得解. 【详解】解：（1）∵平分（已知）， ∴． 同理可得 ． ∵（三角形内角和定理）， ∴（等式的性质） ． 故答案为：，三角形内角和定理，，； （2）由折叠的性质可得，， ，，， ， ， ， ， ， 平分，平分， ，， ， 即， ； （3）是角平分线，是角平分线 ∴，， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为： 1 / 31 学科网（北京）股份有限公司 $