精品解析：吉林省吉林地区普通高中2025-2026学年高一上学期期末调研测试数学试题

吉林地区普通高中2025-2026学年度第一学期高一年级期末调研测试 数学试题 命题、校对：高一数学命题组 说明： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，贴好条形码. 2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，用0.5毫米的黑色签字笔将答案写在答题卡上．字体工整，笔迹清楚. 3．请按题号顺序在答题卡相应区域作答，超出区域所写答案无效；在试卷上、草纸上答题无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设命题，则命题为（ ） A B. C. D. 3. 已知函数，那么（ ） A. B. 0 C. 1 D. 4 4. 为了得到函数的图象，只需将函数上所有的点（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在区间内恰有2个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. “”是“”的必要不充分条件 C. “”是“”的充分不必要条件 D. “”是“”的必要不充分条件 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 直线是函数图象的一条对称轴 C. 函数的图象关于点中心对称 D. 函数在上单调递增 11. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数，则（ ） A. 函数为奇函数 B. 函数的图象关于点成中心对称图形 C. 若函数的图象关于点中心对称，且与的图象共有2026个交点，记为，则 D. 解集为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知 ，则 最小值为 ______． 13. 点从出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达点，则点的坐标为_______． 14. “长征”系列运载火箭为分级火箭，是中国自主研发的运载火箭．火箭方程描述了火箭速度增量与排气速度，初始质量和最终质量之间的关系，对于分级火箭，总速度增量是各阶段速度增量之和．一枚两级火箭，第一级火箭的排气速度，点火前总质量与燃烧结束质量比值为5；第二级火箭的排气速度，为了保证该火箭总速度增量不低于第一宇宙速度，则第二级火箭初始质量和最终质量比至少为_______．（） 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知． （1）求的值； （2）若为第三象限角，求及值． 16. 已知关于x的不等式的解集为或． （1）求a，b的值； （2）当时，，求的最小值． 17. 已知函数． （1）求的最小正周期，并求的最大值以及取得最大值时的集合； （2）若，求值． 18. 已知函数为偶函数，函数． （1）求实数的值； （2）若不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）设函数，若，使得成立，求实数的取值范围． 19. 对于连续函数定义域为I，若存在，使得，则称为函数的一阶不动点，简称不动点．已知函数，函数． （1）求函数的不动点； （2）若函数在上恰有2个不动点，求实数a的最小值； （3）．求函数的不动点，若函数有不动点，求实数m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林地区普通高中2025-2026学年度第一学期高一年级期末调研测试 数学试题 命题、校对：高一数学命题组 说明： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，贴好条形码. 2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，用0.5毫米的黑色签字笔将答案写在答题卡上．字体工整，笔迹清楚. 3．请按题号顺序在答题卡相应区域作答，超出区域所写答案无效；在试卷上、草纸上答题无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用集合交集运算即可. 【详解】因为集合， 所以， 故选：C. 2. 设命题，则命题为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据存在量词的命题的否定法则可得答案. 【详解】由命题， 得命题，即命题为：. 故选：A 3. 已知函数，那么（ ） A. B. 0 C. 1 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据分段函数的区间代入求值即可. 【详解】，. 故选：C. 4. 为了得到函数的图象，只需将函数上所有的点（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数图象的平移变换即可得到答案. 【详解】选项A：把函数上所有的点向左平移个单位长度可得的图象，选项A正确； 选项B：把函数上所有的点向右平移个单位长度可得的图象，选项B错误； 选项C：把函数上所有的点向左平移个单位长度可得的图象，选项C错误； 选项D：把函数上所有的点向右平移个单位长度可得的图象，选项D错误； 故选：A. 5. 已知，则（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质作差比较大小即可． 详解】，， 对于A，，， ，即，故A错误； 对于B，，即，故B错误； 对于CD，，即，故C错误，D正确． 故选：D． 6 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将平方，根据同角三角函数基本关系及二倍角公式计算即可求解. 【详解】因为，则， 即，解得. 故选：A 7. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先判断函数的单调性，再结合零点存在性定理，即可判断出零点所在的区间. 【详解】因为函数与在上均是单调增函数， 所以函数是上的单调增函数， 因为，， 又函数的图象连续不间断， 所以函数的零点所在的区间为. 故选：B 8. 已知函数在区间内恰有2个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由题意求得的取值范围，再利用正弦函数的性质得到关于的不等式，从而得解. 【详解】因为，，则， 又因为函数在区间上恰有2个零点， 则，解得， 所以的取值范围为. 故选：D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. “”是“”的必要不充分条件 C. “”是“”的充分不必要条件 D. “”是“”的必要不充分条件 【答案】AD 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义进行判断即可. 【详解】对于A和B：因为，所以，所以“”是“”的充分条件， 而时，或，所以“”是“”的充分不必要条件，A正确B错误； 对于C和D：因为，所以或或均为0，此时不一定为0， 而时，且，此时，所以“”是“”的必要不充分条件，C错误D正确. 故选：AD. 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 直线是函数图象的一条对称轴 C. 函数的图象关于点中心对称 D. 函数在上单调递增 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数图象求出函数解析式，再逐项分析判断即可. 【详解】由图象可知，，所以，由可得，. 又函数最大值为2，最小值为，且，所以. 因此. 又函数图象过，所以， 函数在上单调递增， 故，也即， 又，所以. 因此函数解析式为. 选项A：，A正确； 选项B：正弦型函数的对称轴应满足，解得， 当时，，故直线是对称轴，B正确； 选项C：令，解得，即对称中心为 因为不存在整数，使得，所以点不是对称中心，C错误； 选项D：令，解得， 所以函数的单调递增区间为， 当时，递增区间为，又， 所以函数在上单调递增，D正确. 故选：ABD. 11. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数，则（ ） A. 函数奇函数 B. 函数的图象关于点成中心对称图形 C. 若函数的图象关于点中心对称，且与的图象共有2026个交点，记为，则 D. 的解集为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数的对称性、奇函数的性质、不等式的性质逐项判断计算即可. 【详解】对于A：因为函数，所以函数. 令，所以，所以函数不是奇函数，A错误； 对于B：因为，令， 由于，所以为奇函数，即为奇函数， 根据题意中函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数． 所以函数的图象关于点成中心对称图形，B正确； 对于C：因为关于对称，也关于对称，且两个函数图象的交点个数为偶数， 所以对称中心不是其交点， 则，若，则， 则交点的对称点也是交点， 因此每对交点满足， 即每对对称交点各自的坐标之和的总和为 2026个交点共1013对，所以总和为2026，C正确； 对于D：，令， 则或或，所以. 因为，所以当时，要使不等式成立，则. 解得或，又，所以； 所以当时，要使不等式成立，则. 解得，又，所以； 综上，不等式的解集为，D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知 ，则 的最小值为 ______． 【答案】4 【解析】 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】已知 ，根据基本不等式可得， 当且仅当，即 时取等号. 故答案为：4. 13. 点从出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达点，则点的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据的大小以及三角函数的概念，求点的坐标即可. 【详解】设，由题意可知，且点在第二象限， 所以，， 所以， 故答案为： 14. “长征”系列运载火箭为分级火箭，是中国自主研发的运载火箭．火箭方程描述了火箭速度增量与排气速度，初始质量和最终质量之间的关系，对于分级火箭，总速度增量是各阶段速度增量之和．一枚两级火箭，第一级火箭的排气速度，点火前总质量与燃烧结束质量比值为5；第二级火箭的排气速度，为了保证该火箭总速度增量不低于第一宇宙速度，则第二级火箭初始质量和最终质量比至少为_______．（） 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得到，则，结合公式即可得到第二级火箭初始质量和最终质量比． 【详解】设第一级、第二级火箭速度增量为，第二级火箭初始质量和最终质量比为， ， 为了保证该火箭总速度增量不低于第一宇宙速度， 则， 即，解得， 所以，第二级火箭初始质量和最终质量比至少为． 故答案为：． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知． （1）求的值； （2）若为第三象限角，求及的值． 【答案】（1）1 （2）， 【解析】 【分析】（1）将分子分母同时除以，根据求解即可. （2）因为是第三象限角，根据，求解即可. 小问1详解】 因为，所以， 将分子分母同时除以，. 【小问2详解】 已知，且在第三象限，所以. 由，设，，其中. 由可得，解得， 则，. 所以. 16. 已知关于x的不等式的解集为或． （1）求a，b的值； （2）当时，，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用一元二次不等式的解法和韦达定理求解即可； （2）利用将转化为基本不等式形式求解即可. 【小问1详解】 由题意得，，是方程的两根， 且 . 则，解得. 【小问2详解】 当时，， 由（1）得，，     所以 ，         当且仅当，且，即时等号成立， 所以的最小值为. 17. 已知函数． （1）求的最小正周期，并求的最大值以及取得最大值时的集合； （2）若，求的值． 【答案】（1）；1； （2） 【解析】 【分析】（1）先利用二倍角公式和正弦的两角和公式化简，再根据正弦函数的图象和性质求解即可； （2）将转化为，再利用同角三角函数关系、诱导公式和二倍角公式计算求解即可. 【小问1详解】 由题意， 所以的最小正周期， 由正弦函数的图象和性质可得当，即，时，取得最大值1， 综上的最小正周期为，最大值为1，取最大值时的集合为. 【小问2详解】 由（1）可得，且， 所以，余弦值为负， 所以， 所以 ， 即. 18. 已知函数为偶函数，函数． （1）求实数的值； （2）若不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）设函数，若，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据偶函数性质，列式计算即可； （2）根据复合函数单调性可判断的单调性，结合基本不等式计算可解； （3）由题意可得，由（2）可得，根据二次函数性质分类讨论求解即可. 【小问1详解】 已知函数为偶函数， 则，即， 则，即； 【小问2详解】 由（1）可知， 所以，定义域为， 因为函数在定义域内单调递增，函数在定义域内单调递增， 所以函数在定义域内单调递增， 若不等式恒成立，则恒成立，即， 由基本不等式可得， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即实数的取值范围为； 【小问3详解】 若，使得成立， 则，由（2）可知，， 函数为开口向下的抛物线，对称轴为， 当时，函数在区间上单调递减，所以，不满足题意舍去； 当时，函数在区间上单调递增，所以， 则，解得，因为，所以； 当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以，则，解得或， 因为，所以此时无解； 综上，实数的取值范围为. 19. 对于连续函数定义域为I，若存在，使得，则称为函数的一阶不动点，简称不动点．已知函数，函数． （1）求函数的不动点； （2）若函数在上恰有2个不动点，求实数a的最小值； （3）．求函数的不动点，若函数有不动点，求实数m的取值范围． 【答案】（1）或 （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）根据不动点的概念，列出方程，求出方程的解即可. （2）根据三角恒等变换，求出函数解析式，根据正弦函数性质，求出函数在指定区间内的值域，进而根据不动点的概念，求出参数的范围. （3）根据函数单调性和奇偶性，判断函数零点的个数，进而求出函数的不动点，根据不动点的值，判断关于函数方程得解的情况，进而求出函数值域，判断参数的范围. 【小问1详解】 当，使得，则称为函数的不动点， 即方程的解，为函数的不动点， 则，化简得， 当时，解得或， 所以函数的不动点或. 【小问2详解】 由， 得 ， 当时，即， 化简得， 当函数在上恰有2个不动点， 即方程在上恰有2个解， 当时，， 由正弦函数性质可知，当时，， 当时，， 则当方程在上恰有2个解时，， 即实数a的最小值为. 【小问3详解】 设函数， 因为，即当时，， 当时，，所以恒成立， 所以在上，恒成立， 因为，所以函数为奇函数， 所以当时，，当时，，即函数有唯一零点， 即有唯一解，所以函数的不动点， 函数， 则函数， 当函数有不动点时，即方程有解， 设函数，化简得， 令，则， 可得，且， 可知，当且仅当，即时，等号成立， 所以，即， 即函数的值域为， 则实数m的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $