精品解析：山西省运城市万荣县 2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

2025－2026学年第一学期期末测试九年级数学 一、单项选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．） 1. 在2025年全球气候行动峰会上，设有“碳中和”“可再生能源”“绿色交通”“生态保护”四个议题，供与会代表讨论．甲、乙两个国家代表需从这四个议题中随机选择一个议题进行投票．每个议题被选择的可能性相同，且两国代表的选择相互独立．甲、乙两国代表选择同一议题的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了列表法或画树状图法求随机事件的概率，掌握列表法或画树状图法是关键． 运用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来，再根据概率公式计算即可． 【详解】解：“碳中和”“可再生能源”“绿色交通”“生态保护”四个议题分别用表示，运用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示如下， 共有16种等可能结果，其中甲、乙两国代表选择同一议题的有4种， ∴甲、乙两国代表选择同一议题的概率是， 故选：B ． 2. 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键． 根据，配方得进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 3. 如图，四边形为菱形，点、、、在坐标轴上，，，则菱形的面积等于（ ） A. B. C. D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，菱形的性质与面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据菱形的性质，可得，，然后利用勾股定理求得，最后利用求出面积即可． 【详解】解：四边形为菱形， ，， ， ， ， ， ， 菱形的面积为：， 故选：B． 4. 2025年9月3日，中国战略反击体系中的重要组成——东风-5C 液体洲际战略核导弹亮相纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式，一句“打击范围覆盖全球”给所有人都留下了极为深刻的印象．如图为东风洲际导弹的部分图片及其示意图，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都不相同 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查简单组合体的三视图，根据简单组合体三视图的画法画出它的三视图即可． 【详解】解：东风洲际导弹的三视图为： 所以主视图与俯视图相同，左视图与俯视图和主视图不相同． 故选：B． 5. 如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且DE∥BC，若AD：DB＝3：2，则AE：AC等于（　　） A. 3：2 B. 3：1 C. 2：3 D. 3：5 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】∵DE//BC， ∴AD：DB=3：2， ∴AE：EC=3：2， ∴AE：AC=3：5． 故选D． 考点：平行线分线段成比例． 6. 将抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用平移规律：左加右减，上加下减是解题关键．按照“左加右减，上加下减”的规律即可求得． 【详解】解：将抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位， 得到的抛物线是，即． 故选：D 7. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，若的三个顶点都在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查求角的余弦，取格点，连接，先由勾股定理逆定理得到，再根据计算即可． 【详解】解：如图，取格点，连接， 由网格可得，，，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 8. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，轴于点，连接交轴于点，结合图象判断下列结论，错误的为（ ） A. 点与点关于原点对称 B. 点是的中点 C. 在中，的值随值的增大而减小 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图像与性质，根据反比例函数图象的中心对称性质及反比例函数的性质逐项分析解答即可． 【详解】解：根据反比例函数图象关于原点成中心对称图形，故选项A正确，不合题意； 点与点关于原点对称， ， 轴， ， ， 是的中点，故选项B正确，不合题意； ③在中，在每个象限内，随的增大而减小，故选项C错误，符合题意； ④，故选项D正确，不合题意； 故选：C． 9. 如图，边长为12的正方形中，点E是的中点，点F在上，且．则的长为（ ） A. 15 B. 16 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查正方形性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识点，作出合理辅助线并证明全等是解题关键． 过点作的垂线，垂足为，连接，根据正方形的性质得出直角和相等的边，证明和，得出相等的边，假设，表示出相关的边长，利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：如图，过点作的垂线，垂足为，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∵，, ∴， ∴， ∴，且， ∴， ∴， 假设，则，， 根据勾股定理得， 即， 解得， ∴, 故选：A． 10. 鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的轨迹，右图为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面，足球的飞行轨迹可看成抛物线．若把对应的抛物线的函数表达式设为，画二次函数的图象时，列表如下： x … 1 2 3 4 … y … 0 1 0 … 关于此函数下列说法不正确的是（ ） A. 函数图象开口向下 B. 当时，该函数有最大值 C. 当时， D. 若在函数图象上有两点，，则 【答案】D 【解析】 【分析】先利用待定系数法求二次函数的解析式，再根据二次函数图象与性质对各项进行判断即可． 【详解】解：由题意可知，抛物线的图象经过点、、， 即：，解得：， ∴抛物线的解析式为：， ∵， ∴抛物线开口向下，故A正确； ∵， ∴当时，该函数有最大值，故B正确； 当时，，故C正确； ∵当，即，解得：，， ∴抛物线与x轴的交点坐标为：、， ∴，y随x的增大而增大；，y随x的增大而减小， ∴当函数值时，，或，故D错误； 故选：D． 【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象与性质，熟练掌握用待定系数法求函数解析式是解题的关键． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 若方程的两个根是和，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再对所求式子进行变形代入计算． 先根据一元二次方程根与系数的关系，求出方程的两根之和与两根之积，然后将所求式子变形为，最后代入计算． 【详解】解：由题意可得：， ， 将代入上式，得到： ． 故答案为：． 12. 设，，是抛物线图象上的三点，则，，的大小关系为____________（用“＜”连接）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，由抛物线解析式得抛物线开口向上，对称轴为直线，抛物线上的点离对称轴越近，对应的函数值越小，比较各点到对称轴的距离，即可解答． 【详解】解：， 抛物线开口向上，对称轴为直线，抛物线上的点离对称轴越近，对应的函数值越小， ∵， ． 故答案为：． 13. 如图：在中，点D、E分别在边、上，，如果，，，那么______ 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 根据相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，即， ∴． 故答案为：6． 14. 如图，航拍无人机从处测得一幢建筑物顶部的仰角为，测得底部的俯角为，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离为，那么该建筑物的高度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，分别解和，求出和，进而即可求解，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在轴的正半轴依次截取，过点，，分别作轴的垂线与反比例函数的图象相交于点，，，得，，，并设其面积分别为，，，以此类推，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，连接，，，根据题意可得，又，则有，，，，从而可得，正确作出辅助线，利用反比例函数系数的几何意义求解是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，，， ∵，，，是反比例函数的图象上的点，都垂直于轴， ∴， ∵， ∴，，， ， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 用适当的方法解关于的一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，涉及公式法、因式分解法解一元二次方程等知识，熟练掌握一元二次方程的解法步骤是解决问题的关键． （1）先求出判别式，再由求根公式，利用公式法解一元二次方程即可得到答案； （2）利用提公因式法分解因式后解一元二次方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 即，； 【小问2详解】 解：， ， 则， ， 则或， 解得，． 17. 某校为落实“双减”政策，利用课后服务时间开展社团活动，社团分为美术、体育、劳技、音乐、科技共五大类，每个学生只能选报一个社团、为了解学生参与社团的情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果绘制成如下统计图，解答下列问题． （1）学校随机抽取了______名学生进行调查，补全条形统计图： （2）该校1800名学生中参加科技社团的学生大约有多少人？ （3）该校从美术社团中挑选了男、女生各两名，再从这四名学生中随机抽取两人参加绘画比赛，请用树状图或列表的方法求恰好抽到男、女生各一名的概率． 【答案】（1）， 补全条形统计图如下： （2）人 （3） 【解析】 【分析】此题考查了树状图或列表法求概率、条形统计图和扇形统计图信息关联，读懂题意，正确求解是解题的关键． （1）用劳技人数除以对应的百分比得到抽取的总人数，用总人数减去其它类的学生数得到被抽查科技社团的学生数； （2）用全校总人数乘以科技社团的百分比即可得到答案； （3）记A，B表示男生，C，D表示女生，根据题意画出树状图，用符合题意的情况数除以总的情况数即可得到答案． 【小问1详解】 解：（名）， 即学校随机抽取了名， 故答案为：； 则音乐社团人数为（名）； 【小问2详解】 （名）， 即该校1800名学生中参加科技社团的学生大约有人； 【小问3详解】 记A，B表示男生，C，D表示女生，画树状图如图： 共有12种等可能的结果，其中抽到一名男生一名女生的有8种结果， ． 18. 如图，已知是坐标原点，、的坐标分别为， （1）在轴的左侧以为位似中心作的位似，使新图与原图的相似比为 （2）分别写出、的对应点、的坐标． （3）点为轴上一点，当最小时，点的坐标为________． 【答案】（1）见解析 （2）)，) （3） 【解析】 【分析】本题考查了位似变换的性质，轴对称的性质，一次函数与坐标轴交点问题；熟知位似变换的性质是解决问题的关键． （1）根据位似变换的性质，即可画出位似； （2）根据位似变换的性质，即可求得、的对应点、的坐标. （3）取关于轴的对称点，连接交轴于点，则点即为所求，进而待定系数法求得直线解析式，令，即可求解． 【小问1详解】 如图所示，即为所求； 【小问2详解】 根据坐标系可得)，)； 【小问3详解】 解：如图，取关于轴的对称点，连接交轴于点，则点即为所求； 设直线的解析式为，代入，， 得，， 解得：， ∴， 当时，， ∴， 故答案为：． 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）直接写出不等式的解集． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式． （1）根据待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）求出点坐标得到线段长，根据代入数据计算即可； （3）根据两个函数图象的位置及交点坐标，可直接写出不等式的解集． 【小问1详解】 解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点， ， ，， 反比例函数解析式为：， ，在一次函数的图象上， ，解得， 一次函数解析式为：． 【小问2详解】 解：在一次函数中，令，则， ， ； 【小问3详解】 解：根据两个函数图象的位置及交点坐标，可直接写出不等式的解集为：或． 20. 某公司设计了一款工艺品，每件的成本是40元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是50元时，每天的销售量是100件，而销售单价每提高1元，每天就减少售出2件，但要求销售单价不得超过65元． （1）若销售单价为每件60元，则每天的销售量为______件，销售利润为______元； （2）要使每天销售这种工艺品盈利1350元，每件工艺品售价应为多少元？ （3）公司每天销售这种工艺品获利能否达到2000元？请说明理由． 【答案】（1）80；1600 （2）每件工艺品售价应为55元 （3）利润不能到2000元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据“销售单价每提高1元，每天就减少售出2件”可求出销售量，再根据“利润=每件的利润×每天的销售量”计算即可得解； （2）设每件工艺品售价为x元，则每天的销售量是件，根据每天的销售利润=每件的利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． （3）同（2），利润=每件的利润×每天的销售量，判断该方程是否有解，且小于65，若存在，则能，否则则不能． 【小问1详解】 解：依题意得：销售量为：（件）， 销售利润为：（元）， 故答案为：；； 【小问2详解】 解：设每件工艺品售价为x元，则每天的销售量是件， 依题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：每件工艺品售价应为55元． 【小问3详解】 解：设每件工艺品售价为x元，则每天的销售量是件， 依题意得：， 整理得：， ， ∴无解， 答：利润不能到2000元． 21. 某校九年级数学兴趣小组开展实践活动，甲、乙两小组成员分别采用不同的方案测量同一古塔的高度，以下是他们研究报告的部分记录内容： 课题 测量古塔的高度 组别 甲组的研究报告 乙组的研究报告 测量工具 卷尺、平面镜、标杆 测角仪、卷尺 测量方案 点、、在同一水下线上，、均与垂直，平面镜大小忽略不计， 点、在同一水平线上，和均与垂直，在点处测得塔顶A的仰角为，于点 测量数据 ，， ，， 参考数据 ，， 备注 测量过程中注意安全及保护文物不被破坏 请你从甲、乙两组中任选一组的方法计算古塔的高度，写出解答过程．（结果精确到0.1m） 【答案】若选择甲组，；若选择乙组， 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形及相似三角形的应用，熟练掌握解直角三角形及相似三角形的应用是解题的关键；若选取甲组，由题意易得，然后根据相似三角形的性质可进行求解；若选择乙组，由题意易得四边形是矩形，然后根据三角函数可进行求解． 【详解】解：若选择甲组， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴； 若选择乙组， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴． 22. 在四边形中，对角线相交于点O．在线段上任取一点P（端点除外），连接．点Q在的延长线上且． （1）如图1，若四边形是正方形． ①求的度数； ②探究与的数量关系并说明理由． （2）如图2，若四边形是菱形且．探究与的数量关系并说明理由． 【答案】（1）①；②，详见解析 （2），详见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形和菱形的性质、全等三角形的判定和性质、腰三角形的性质和判定、等边三角形的性质和判定等知识点，熟练掌握有关基础知识是解题的关键． （1）①先证明，进而推出；可得出，根据等边对等角和三角形内角和定理即可解答；②如图2，如图2，在上取一点N，使，连接，证明，再根据全等三角形的性质即可解答； （2）如图3，过点D作于E，连接，先证明是等边三角形，再证明和，进而完成解答． 【小问1详解】 解：①如图： ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ②，理由如下： 如图2，在上取一点N，使，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：，理由如下： 如图3，过点D作于E，连接， ∴，， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴，是等边三角形， ∴， 由（1）同理得：， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 23. 某景观公园内圆形人工湖中心有一喷泉，在人工湖中央垂直于水面安装一个柱子，安置在柱子顶端的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．爱思考的小敏发现，如果设距喷水柱子的水平距离为米，喷出的抛物线形水线距离湖面高度为米，与的数量变化有一定规律． 【提出问题】 喷出的抛物线形水线距离湖面高度为米与距喷水的柱子的水平距离米，与之间有怎样的函数关系？ 【分析问题】 小敏对某个方向喷水的路径测量和计算得出如下数据： （米） … 0 1 2 3 4 … （米） … 2 2 … 【解决问题】 （1）在建立如图1所示的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑曲线连接； （2）已知与之间存在已学过的某种函数关系，请结合表中所给数据和所画出的图象，求出与之间的函数关系式； （3）现公园想通过喷泉设立一个新的游玩项目，使公园的平顶游船能从喷泉最高点的正下方通过．如果游船宽度为米，顶棚到水面的高度为2米，为了避免游船被淋到，顶棚到水柱的垂直距离不小于米，问游船能否顺利通过？说明理由． （4）如图2，若从安全的角度考虑，需要在这个喷泉外围设立一圈圆形护栏．这个喷泉的任何一条水柱在湖面上的落点到护栏的距离不能小于1米，请通过计算说明公园至少需要准备多少米的护栏？（结果保留） 【答案】（1） 解：描点、连线、图象如图； ； （2） （3）不能正常通过，理由： 游船宽度米，在抛物线的正下方通过，令， 代入（2）中所得抛物线解析式得， 由已知，顶棚到水面的高度为2米，顶棚到水柱的垂直距离不小于米， ∴， ∵， ∴不能正常通过； （4）公园至少需要准备米的护栏 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）根据表格数据对应描点画图即可； （2）根据表格数据和图象的对称性可得顶点为，设二次函数的关系式为，利用待定系数法即可得到答案； （3）根据游船的宽度求得当时，的值，结合顶棚到水面的高度为2米，顶棚到水柱的垂直距离不小于米，即可作出判断； （4）根据（2）的关系式可求得当时，的值，即为落水点距离喷头的水平距离，进而求得圆形护栏的半径，根据圆的周长公式即可求解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：该函数是二次函数，由和可知，抛物线的对称轴为直线， 当时，， ∴水柱最高点距离湖面的高度是米； 由图象可得，顶点， 设二次函数的关系式为， 把代入可得， ∴； 将和代入抛物线关系式，左边等于右边，所有的点都在二次函数图象上， ∴可以确认该函数是二次函数， ∴与之间的函数关系式为； 【小问3详解】 略； 【小问4详解】 解：当时，即， 解得（舍去）或， ∵喷泉的任何一条水柱在湖面上的落点到护栏的距离不能小于1米， ∴圆的半径至少为（米）， ∴至少需要准备栏杆（米）， ∴公园至少需要准备米的护栏． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年第一学期期末测试九年级数学 一、单项选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．） 1. 在2025年全球气候行动峰会上，设有“碳中和”“可再生能源”“绿色交通”“生态保护”四个议题，供与会代表讨论．甲、乙两个国家代表需从这四个议题中随机选择一个议题进行投票．每个议题被选择的可能性相同，且两国代表的选择相互独立．甲、乙两国代表选择同一议题的概率是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，四边形为菱形，点、、、在坐标轴上，，，则菱形的面积等于（ ） A. B. C. D. 12 4. 2025年9月3日，中国战略反击体系中的重要组成——东风-5C 液体洲际战略核导弹亮相纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式，一句“打击范围覆盖全球”给所有人都留下了极为深刻的印象．如图为东风洲际导弹的部分图片及其示意图，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都不相同 5. 如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且DE∥BC，若AD：DB＝3：2，则AE：AC等于（　　） A. 3：2 B. 3：1 C. 2：3 D. 3：5 6. 将抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，若的三个顶点都在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，轴于点，连接交轴于点，结合图象判断下列结论，错误的为（ ） A. 点与点关于原点对称 B. 点是的中点 C. 在中，的值随值的增大而减小 D. 9. 如图，边长为12的正方形中，点E是的中点，点F在上，且．则的长为（ ） A. 15 B. 16 C. D. 10. 鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的轨迹，右图为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面，足球的飞行轨迹可看成抛物线．若把对应的抛物线的函数表达式设为，画二次函数的图象时，列表如下： x … 1 2 3 4 … y … 0 1 0 … 关于此函数下列说法不正确的是（ ） A. 函数图象开口向下 B. 当时，该函数有最大值 C. 当时， D. 若在函数图象上有两点，，则 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 若方程的两个根是和，则的值为___________． 12. 设，，是抛物线图象上的三点，则，，的大小关系为____________（用“＜”连接）． 13. 如图：在中，点D、E分别在边、上，，如果，，，那么______ 14. 如图，航拍无人机从处测得一幢建筑物顶部的仰角为，测得底部的俯角为，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离为，那么该建筑物的高度为______． 15. 如图，在轴的正半轴依次截取，过点，，分别作轴的垂线与反比例函数的图象相交于点，，，得，，，并设其面积分别为，，，以此类推，则的值为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 用适当的方法解关于的一元二次方程： （1）； （2）． 17. 某校为落实“双减”政策，利用课后服务时间开展社团活动，社团分为美术、体育、劳技、音乐、科技共五大类，每个学生只能选报一个社团、为了解学生参与社团的情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果绘制成如下统计图，解答下列问题． （1）学校随机抽取了______名学生进行调查，补全条形统计图： （2）该校1800名学生中参加科技社团的学生大约有多少人？ （3）该校从美术社团中挑选了男、女生各两名，再从这四名学生中随机抽取两人参加绘画比赛，请用树状图或列表的方法求恰好抽到男、女生各一名的概率． 18. 如图，已知是坐标原点，、的坐标分别为， （1）在轴的左侧以为位似中心作的位似，使新图与原图的相似比为 （2）分别写出、的对应点、的坐标． （3）点为轴上一点，当最小时，点的坐标为________． 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）直接写出不等式的解集． 20. 某公司设计了一款工艺品，每件的成本是40元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是50元时，每天的销售量是100件，而销售单价每提高1元，每天就减少售出2件，但要求销售单价不得超过65元． （1）若销售单价为每件60元，则每天的销售量为______件，销售利润为______元； （2）要使每天销售这种工艺品盈利1350元，每件工艺品售价应为多少元？ （3）公司每天销售这种工艺品获利能否达到2000元？请说明理由． 21. 某校九年级数学兴趣小组开展实践活动，甲、乙两小组成员分别采用不同的方案测量同一古塔的高度，以下是他们研究报告的部分记录内容： 课题 测量古塔的高度 组别 甲组的研究报告 乙组的研究报告 测量工具 卷尺、平面镜、标杆 测角仪、卷尺 测量方案 点、、在同一水下线上，、均与垂直，平面镜大小忽略不计， 点、在同一水平线上，和均与垂直，在点处测得塔顶A的仰角为，于点 测量数据 ，， ，， 参考数据 ，， 备注 测量过程中注意安全及保护文物不被破坏 请你从甲、乙两组中任选一组的方法计算古塔的高度，写出解答过程．（结果精确到0.1m） 22. 在四边形中，对角线相交于点O．在线段上任取一点P（端点除外），连接．点Q在的延长线上且． （1）如图1，若四边形是正方形． ①求的度数； ②探究与的数量关系并说明理由． （2）如图2，若四边形是菱形且．探究与的数量关系并说明理由． 23. 某景观公园内圆形人工湖中心有一喷泉，在人工湖中央垂直于水面安装一个柱子，安置在柱子顶端的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．爱思考的小敏发现，如果设距喷水柱子的水平距离为米，喷出的抛物线形水线距离湖面高度为米，与的数量变化有一定规律． 【提出问题】 喷出的抛物线形水线距离湖面高度为米与距喷水的柱子的水平距离米，与之间有怎样的函数关系？ 【分析问题】 小敏对某个方向喷水的路径测量和计算得出如下数据： （米） … 0 1 2 3 4 … （米） … 2 2 … 【解决问题】 （1）在建立如图1所示的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑曲线连接； （2）已知与之间存在已学过的某种函数关系，请结合表中所给数据和所画出的图象，求出与之间的函数关系式； （3）现公园想通过喷泉设立一个新的游玩项目，使公园的平顶游船能从喷泉最高点的正下方通过．如果游船宽度为米，顶棚到水面的高度为2米，为了避免游船被淋到，顶棚到水柱的垂直距离不小于米，问游船能否顺利通过？说明理由． （4）如图2，若从安全的角度考虑，需要在这个喷泉外围设立一圈圆形护栏．这个喷泉的任何一条水柱在湖面上的落点到护栏的距离不能小于1米，请通过计算说明公园至少需要准备多少米的护栏？（结果保留） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $