精品解析：吉林省延边朝鲜族自治州延吉市延边第二中学2025-2026学年高一上学期1月期末考试数学试题

2025-2026学年度上学期期末考试 高一数学试题 本试卷分选择题和非选择题两部分，共19题，共150分，共3页.考试时间为120分钟.考试结束后，只交答题卡. 第Ⅰ卷 选择题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合的交集运算直接求解即可. 【详解】由题意，， 故. 故选：A 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数的真数大于0，偶次根式被开方数大于等于0，分式的分母不为0求的取值范围即可. 【详解】由题意：，所以所求函数的定义域为：. 故选：B 3. 已知某扇形的弧长和面积数值均为，则该扇形的圆心角（正角）为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】设扇形的圆心角为，半径为，利用扇形的弧长和面积公式，列出方程组，即可求解. 【详解】设扇形的圆心角为，半径为， 因为扇形的弧长和面积数值均为，可得， 解得，. 故选：C. 4. 函数的图象大致为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由特殊点函数值即可判断. 【详解】因为， 结合图象只有D符合， 故选：D 5. 已知函数（且）的图象恒过定点，幂函数的图象过点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数运算性质求的坐标，根据幂函数定义求，利用函数性质解不等式即可. 【详解】函数（且）的图象恒过定点， 设幂函数，， 因为幂函数的图象过点， 则，解得，即， 显然函数的定义域为全体实数， 因为， 所以函数是偶函数， 由幂函数的单调性的性质，函数在上单调递增， 则，即，即， 整理可得，解得或， 所以不等式的解集为. 故选：D. 6. 已知函数，若方程有三个不同的实数解，则k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查函数的零点与方程根的关系 ,把方程看作两个函数：和，在同一个坐标系中画出图象分析即可． 【详解】根据题意，画出函数和的图象如下图： 当 时，，，， 由图象可知当时，方程有三个解． 故选：C 7. 已知函数，若，，且，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先得到为奇函数，故，结合函数单调性得到，，由基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】函数的定义域为， 又，所以为奇函数， 又，所以， 所以， 又函数在单调递减，所以，所以，， 所以 ， 当且仅当，即，，等号成立，所以的最小值为. 故选：B. 8. 已知定义在上的函数满足，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据已知得出函数的周期为，结合周期把自变量转化到时计算求解. 【详解】函数满足，所以，可得的周期为， 又当时，， 所以. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，，则一定有 B. 已知关于的不等式的解集是，则的值是76 C. 已知，则“”是“”的充分不必要条件 D. 已知命题“，”的否定是“，” 【答案】BC 【解析】 【分析】A选项，举出反例得到A错误；B选项，条件转化为3与5是方程的两个根，由韦达定理得到方程，求出，故B正确；C选项，解不等式得到或，得到C正确；D选项，存在量词命题的否定为全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定. 【详解】对于A，若，，，，则有，故A错误； 对于B：由已知3与5是方程的两个根，故，， 即，所以.故B正确； 对于C：因为，所以或，所以或， 故可以得到或，但或不能得到， 所以“”是“”的充分不必要条件.故C正确； 对于D，存在量词命题的否定为全称量词命题， 故命题“，”的否定是“，”，故D错误. 故选：BC. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数的值域为 B. 若，则 C. 函数与是同一个函数 D. 函数在上单调递减，则实数的取值范围是 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据函数的单调性，求得函数的值域，可判定A正确；根据对数的运算性质，进行化简，可判定B正确；根据同一函数的定义和判定方法，可判断C正确，根据复合函数的单调性的判定方法和对数函数的定义，列出不等式组，可判定D错误. 【详解】对于A，由函数的定义域为， 又由函数在上单调递增，所以， 所以函数的值域为，所以A正确； 对于B，由函数，则， 所以，所以B正确； 对于C，由函数的定义域为，函数的定义域为， 又由， 所以函数与是同一个函数，所以C正确； 对于D，令，可得，即为， 由函数在上单调递减， 根据复合函数的单调性的判定方法，可得函数在上单调递增， 且函数值大于，则满足，解得， 所以取值范围是，所以D错误. 故选：ABC 11. 函数在一个周期内的图象如图所示.则（ ） A. B. 在区间单调递增 C. 若方程在区间上有两个不相等的实数根，则 D. 将图象的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平行移动个单位长度，得到函数 【答案】BC 【解析】 【分析】由正弦函数图象性质求得，再依次讨论各选项即可． 【详解】对于A，由题知， 所以，解得，所以， 再将点代入得，即， 所以， 因为，所以，故A错误； 对于B，由前知，由， 得时函数单调递增， 是的真子集， 则函数在区间上单调递增，故B正确； 对于C， 当时，时， 又，则为的一个对称轴， 由B的分析可得在上为减函数，在为增函数， 若方程在区间上有两个不相等的实数根， 则关于对称，所以 ， 所以，故C正确； 对于D，将图象的横坐标伸长到原来的2倍，得， 再向右平行移动个单位长度，得，故D错误. 故选：BC. 第Ⅱ卷 非选择题 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上. 12. 已知，，，则，，的大小关系是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由指对数函数的单调性，通过中间量0和1即可比较大小. 【详解】函数在上单调递增，故， 在上单调递减，， 在上单调递减，， 所以. 故答案为：. 13. 已知函数，若能用二分法求函数的零点，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用函数的零点判定定理推出结果即可． 【详解】由题得的定义域为， 因为，当时，， 当且仅当时等号成立，故时不能用二分法求函数零点； 因为， 又当时，， 当且仅当时等号成立， 若要用二分法求的零点，需满足，所以， 故答案为：． 14. 设函数，若关于的函数恰好有六个零点，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用数形结合，可知外函数要有三个零点，再利用二次方程根的分布可确定参数范围. 【详解】作出函数的图象如下： 令，则可化为， 依题意，要使函数恰好有六个零点， 则方程在内有两个不同的实数根， 解得：，解得． 实数的取值范围为． 故答案为：． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 对下列两个式子进行求值. （1）已知，求的值. （2）若，，用，表示. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由指数、对数的运算性质即可求解； （2）由指数、对数的转换和换底公式即可求解. 【小问1详解】 因为，所以，则， 又，且，所以， 所以. 【小问2详解】 因为，所以，则， 所以 16. （1）求的值； （2）已知角顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，求的值； （3）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式，逆用正弦两角和公式进行求解即可； （2）根据三角函数定义，结合两角和的正切公式进行求解即可； （3）根据三角函数关系式中平方和关系、商关系进行求解即可. 【详解】（1）因为， 所以原式. （2）由角终边上一点， 得，，， 故. （3）因为， 所以. 17. 函数满足， （1）求的解析式； （2）用定义法证：为上的单调增函数； （3）设函数对于，使成立，求k的范围. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用建立方程即可求解； （2）利用定义设，且，比较与大小即可得到单调性； （3）根据题意，求出，要使，使成立，则，然后分，两种情况求解即可. 【小问1详解】 因为，所以，解得， 则， 所以解析式为. 【小问2详解】 由（1）可知，设，且， 则， 因，所以，，则， 所以， 所以为上的单调增函数. 【小问3详解】 由（2）知，时，， 所以要使，使成立， 只需要使， 因为， ①若，则在上单调递增，则， 所以，解得， ②若，则在上单调递减，则， 所以，解得无解， 所以综上，. 18. 已知函数． （1）求的最小正周期及单调递增区间； （2）当时，求的最大值和最小值，以及相应x的值； （3）若，，求的值． 【答案】（1），． （2），， ，． （3） 【解析】 【分析】（1）将函数运用诱导公式，二倍角公式，辅助角公式进行化简，化成正弦型函数来解即可； （2），所以在上单调递增，在上单调递减，运用单调性解题即可； （3）由，得出，运用同角三角函数关系求出 ，再运用和角公式求出即可． 【小问1详解】 因为 ， 所以的最小正周期， 由，，得，， 所以的单调递增区间为． 【小问2详解】 因为，所以在上单调递增，在上单调递减， 又，，， 所以当时，，当时，． 【小问3详解】 因为，所以， 又，则，则， 所以， 所以 ． 19. 函数. （1）若的定义域为，求实数a的取值范围； （2）当时，为定义域为的奇函数，且时，， ①求的解析式 ②若关于x的方程恒有两个不同的实数根，求t的取值范围. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由函数定义域为，推得恒成立，只需求的值域即得. （2）①先求出时的的解析式，再利用函数奇偶性求得时的解析式，结合，即得分段函数的解析式； ②结合的解析式，将方程等价转化成，再利用在上的单调性，并化简得到，最后利用双勾函数的值域求得的取值范围. 【小问1详解】 因的定义域为，故恒成立，即恒成立， 设，则， 在上单调递增， 则，即，故，即. 【小问2详解】 ①因，则当时，； 若，则，， 又因为为定义域为的奇函数，所以当时，， 故； ②方程等价于， 根据解析式可知，当时，， 当时，，当时，， 即，，故方程即为， 由于在上是单调递增函数， 故方程等价于，即：， 当时，函数在单调递减，在上单调递增， 而，故要使得有两个不同的实数解，须使，即； 当时，同理可得. 综上可得，. 【点睛】思路点睛：本题主要考查求解分段函数的解析式和方程的根与函数零点关系的综合运用，属于难题. 解题思路为：求解分段函数解析式时，注意不重不漏，利用函数奇偶性求解并正确书写；对于函数与方程的关系，一般要有等价转化思想，巧妙运用函数奇偶性和单调性将其转化为求解函数的值域问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上学期期末考试 高一数学试题 本试卷分选择题和非选择题两部分，共19题，共150分，共3页.考试时间为120分钟.考试结束后，只交答题卡. 第Ⅰ卷 选择题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 已知某扇形弧长和面积数值均为，则该扇形的圆心角（正角）为（ ） A. B. C. D. 3 4. 函数的图象大致为（ ）． A. B. C. D. 5. 已知函数（且）的图象恒过定点，幂函数的图象过点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，若方程有三个不同的实数解，则k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若，，且，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 4 8. 已知定义在上的函数满足，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确是（ ） A. 若，，则一定有 B. 已知关于的不等式的解集是，则的值是76 C. 已知，则“”是“”的充分不必要条件 D. 已知命题“，”的否定是“，” 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数的值域为 B. 若，则 C. 函数与是同一个函数 D. 函数在上单调递减，则实数取值范围是 11. 函数在一个周期内的图象如图所示.则（ ） A. B. 在区间单调递增 C. 若方程在区间上有两个不相等实数根，则 D. 将图象的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平行移动个单位长度，得到函数 第Ⅱ卷 非选择题 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上. 12. 已知，，，则，，的大小关系是__________. 13. 已知函数，若能用二分法求函数的零点，则的取值范围是_______． 14. 设函数，若关于的函数恰好有六个零点，则实数的取值范围是______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 对下列两个式子进行求值. （1）已知，求的值. （2）若，，用，表示. 16. （1）求值； （2）已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，求的值； （3）已知，求的值. 17. 函数满足， （1）求的解析式； （2）用定义法证：为上的单调增函数； （3）设函数对于，使成立，求k的范围. 18. 已知函数． （1）求的最小正周期及单调递增区间； （2）当时，求的最大值和最小值，以及相应x的值； （3）若，，求的值． 19. 函数. （1）若的定义域为，求实数a的取值范围； （2）当时，为定义域为的奇函数，且时，， ①求的解析式 ②若关于x的方程恒有两个不同的实数根，求t的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $