精品解析：安徽省临泉田家炳实验中学（临泉县教师进修学校）2025-2026学年高二上学期1月月考数学试题

高二数学 （120分钟　150分） 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知点P在以F1，F2分别为左、右焦点的椭圆上，若，则（ ） A. 3 B. 13 C. 5 D. 7 2. 抛物线的准线与直线的距离为4，则此抛物线的方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 3. 双曲线的左、右焦点分别为，右支上有一点，满足的面积为4，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知抛物线的顶点为O，经过点，且F为抛物线C的焦点，若，则抛物线C的准线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知双曲线C: （a>0）的右焦点为F，过点F作直线l与C交于A，B两点，若满足的直线l有且仅有3条，则实数a的值为（ ） A. 2 B. C. D. 或2 6. 已知椭圆Γ: 的左、右焦点分别为，，过原点的直线与椭圆Γ相交于A，B两点，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，若点P是抛物线上任意一点，点Q是圆上任意一点，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 已知，为椭圆的两个焦点，B为椭圆短轴的一个端点，若，则椭圆的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若方程所表示的曲线为C，则下面结论正确的是（ ） A. 若，则C为椭圆 B. 若，则C为双曲线 C. 若C为双曲线，则焦距可以为 D. 若C为焦点在轴上的椭圆，则 10. 关于双曲线，下列结论正确的是（ ） A. 实轴长为49 B. 焦距为50 C. 渐近线的斜率为± D. 渐近线的方程为y=±x 11. 已知抛物线的焦点为F，点在C的内侧，点B是抛物线C上的一个动点，且的周长的最小值为，过点F的直线与抛物线交于M，N两点，P为线段MN的中点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则B点的坐标为或 C. 若，则点P到y轴的距离为3 D. 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知椭圆C:，若不过原点且斜率为的直线与相交于，两点，且线段的中点为，则=____. 13. 已知F2为双曲线的右焦点，经过F2作与双曲线的一条渐近线垂直的直线l，垂足为A，直线l与双曲线的另一条渐近线在第二象限的交点为B.若，则双曲线的离心率为____. 14. 已知抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，以为圆心的圆与线段相交于点，与过焦点且垂直于对称轴的直线交于点.若，且直线与抛物线的另一交点为，过分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，则____. 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 求适合下列条件的双曲线的标准方程. （1）顶点之间的距离为6，且渐近线的方程为的双曲线. （2）已知椭圆，则称双曲线为其伴随双曲线.若椭圆C:，且其伴随双曲线Γ的离心率为椭圆C的离心率的倍，求此伴随双曲线的标准方程. 16. 一种卫星接收天线的轴截面如图所示，卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处.已知接收天线的口径（直径）为，深度为. （1）若以轴截面的顶点为原点，以顶点指向焦点的方向为x轴的正方向建立直角坐标系，求抛物线的标准方程； （2）在第（1）问的条件下，为了增强卫星波束的接收，拟将接收天线的口径增大为，求此时卫星波束反射聚集点的坐标.. 17. 已知双曲线的渐近线方程为，，分别为双曲线C的左、右焦点. （1）求双曲线C的标准方程; （2）P是双曲线C上异于左、右顶点的一点，过作平分线的垂线，垂足为M，求点M到直线的距离的最小值. 18. 在平面直角坐标系中，已知椭圆+=1的焦距为，离心率为，椭圆的右顶点为. （1）求该椭圆的标准方程; （2）如图，过点作直线，交椭圆于不同的两点，求证:直线的斜率之和为定值. 19. 已知抛物线C：的焦点为，过点且斜率为的直线交抛物线C于P，Q两点，且. （1）求的值. （2）设直线l：被圆截得的弦长为. ①求；（用表示） ②若直线l被抛物线C截得的弦长为，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 （120分钟　150分） 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知点P在以F1，F2分别为左、右焦点的椭圆上，若，则（ ） A. 3 B. 13 C. 5 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆的定义即可求解. 【详解】因为椭圆C的方程为，所以，由椭圆的定义可得，且，所以. 故选：D. 2. 抛物线的准线与直线的距离为4，则此抛物线的方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线写出准线方程，结合已知求参数，即可得. 【详解】抛物线的准线方程为，则，得或， 故所求抛物线的方程为或. 故选：C 3. 双曲线的左、右焦点分别为，右支上有一点，满足的面积为4，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】不妨设，由，解出，进而得，计算，进而求解. 【详解】不妨设. 双曲线方程化成标准方程为，可得， 因为的面积为4，所以，则， 又，则，故.所以，， 则，所以， 故. 故选：C. 4. 已知抛物线的顶点为O，经过点，且F为抛物线C的焦点，若，则抛物线C的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的定义列方程，求得，代入方程求得，所以准线方程为. 【详解】因为点在抛物线C上，且， 所以，即，所以， 所以，解得， 故抛物线C的准线方程为. 故选：A. 5. 已知双曲线C: （a>0）的右焦点为F，过点F作直线l与C交于A，B两点，若满足的直线l有且仅有3条，则实数a的值为（ ） A. 2 B. C. D. 或2 【答案】D 【解析】 【分析】据双曲线的对称性，斜率互为相反数（且不为0）的两条直线对应的弦长相等，当直线l的斜率为0时通径长大于5不满足条件，当斜率不存在时列方程解得或，经检验满足条件. 【详解】若直线l的斜率存在且不为0，根据双曲线的对称性，斜率互为相反数（且不为0）的两条直线对应的弦长相等. 因满足条件的直线共3条，为奇数，故其中必有一条直线的斜率为0或斜率不存在. ①当直线l的斜率为0时，A，B为双曲线的左、右顶点， 由，得双曲线C的方程为， 易得过点F的通径长为，不满足条件. ②当直线l的斜率不存在时，此时AB为双曲线C过点F的通径，则， 解得或， 当时，实轴长为1，因为1<5，所以满足|AB|=5的直线有3条; 当时，实轴长为4，因为4<5，所以满足|AB|=5的直线也有3条. 故实数a的值为或2. 故选：D 6. 已知椭圆Γ: 的左、右焦点分别为，，过原点的直线与椭圆Γ相交于A，B两点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出椭圆的焦点坐标，再利用椭圆的定义结合余弦定理列方程组求解． 【详解】椭圆Γ: 的左、右焦点分别为，， ， 如下图所示，连接，，根据椭圆的对称性，可得四边形为平行四边形， 由椭圆的定义可得， ①， ， ，在中，由余弦定理可得， 即②， 由①减②得，，故B正确． 故选：B． 7. 已知，若点P是抛物线上任意一点，点Q是圆上任意一点，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】利用抛物线的性质，结合直线与圆的位置关系，求出的最小值． 【详解】抛物线的焦点为，准线为， 圆的圆心为，半径， 过点P作PB垂直准线l，垂足为点B， 由抛物线的定义可知， 则 ， 当且仅当B，P，A三点共线时，等号成立， 综上所述，的最小值为5，故C正确． 故选：C． 8. 已知，为椭圆的两个焦点，B为椭圆短轴的一个端点，若，则椭圆的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆的概念，结合离心率公式以及三角函数的恒等式，利用题干中的不等式，可得答案. 【详解】设点O为椭圆的中心，由椭圆的定义可知，， 设、、，则， . ，即，， 又，. 故选：C. 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若方程所表示的曲线为C，则下面结论正确的是（ ） A. 若，则C为椭圆 B. 若，则C为双曲线 C. 若C为双曲线，则焦距可以为 D. 若C为焦点在轴上的椭圆，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据二元二次方程与曲线的关系列不等式求参数范围，依次判断各项的正误. 【详解】对于A，若表示椭圆，则，解得或，A错； 对于B，当时，，此时方程表示焦点在x轴上的双曲线，B对； 对于C，当时，方程，此时，则双曲线的焦距为，C对； 对于D，若表示焦点在轴上的椭圆，则，解得，D对. 故选：BCD 10. 关于双曲线，下列结论正确的是（ ） A. 实轴长为49 B. 焦距为50 C. 渐近线的斜率为± D. 渐近线的方程为y=±x 【答案】BD 【解析】 【分析】根据双曲线的标准方程，求得的值，结合双曲线的几何性质，即可求解 【详解】由双曲线，可得， 所以，则， 对于A，双曲线的实轴长为，所以A不正确； 对于B，双曲线的焦距为，所以B正确； 对于C，双曲线的渐近线的斜率为，所以C不正确； 对于D，双曲线的渐近线方程为，所以D正确. 故选：BD. 11. 已知抛物线的焦点为F，点在C的内侧，点B是抛物线C上的一个动点，且的周长的最小值为，过点F的直线与抛物线交于M，N两点，P为线段MN的中点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则B点的坐标为或 C. 若，则点P到y轴的距离为3 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据抛物线的性质、定义、准线方程、直线与抛物线的关系等知识逐项计算即可. 【详解】如图，过点作准线的垂线，垂足为，过点作准线的垂线，垂足为. 由抛物线，得准线的方程为，则由抛物线的定义可知， 所以的周长为， 当且仅当三点共线，即点与点重合时取等号， 因为，， 所以，解得，故A正确. 设点的坐标为，且， ，解得， ，解得， 点的坐标是或，故B错误. 设点，则，解得， 又为线段的中点，则，所以点P到y轴的距离为，故C正确. 依题意，过点F的直线的斜率不为0，设过点F的直线方程为， 由消去x，得，显然， ，则， ，故D正确. 故选：ACD 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知椭圆C:，若不过原点且斜率为的直线与相交于，两点，且线段的中点为，则=____. 【答案】 【解析】 【分析】分别设，，然后再利用点差法即可求解. 【详解】设，， 因为，两点都在椭圆上， 则，两式相减可得， 即， 所以，解得. 故答案为：. 13. 已知F2为双曲线的右焦点，经过F2作与双曲线的一条渐近线垂直的直线l，垂足为A，直线l与双曲线的另一条渐近线在第二象限的交点为B.若，则双曲线的离心率为____. 【答案】## 【解析】 【分析】根据双曲线的几何性质写出其右焦点坐标及渐近线方程，设出直线的方程并分别与两渐近线方程联立求出的坐标，由知，代入相应值得的关系式，即可求得离心率. 【详解】易知右焦点，渐近线方程为或， 可设直线的方程为， ，则， ，则， 因为，所以，即，化简得， 所以，双曲线. 故答案为： 14. 已知抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，以为圆心的圆与线段相交于点，与过焦点且垂直于对称轴的直线交于点.若，且直线与抛物线的另一交点为，过分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，则____. 【答案】3 【解析】 【分析】根据抛物线的定义得，直线方程为，到直线距离为，利用圆的弦，可得，利用，结合抛物线方程，求出和，得到点坐标，联立直线与抛物线方程，求出点坐标，进而求解. 【详解】由题意得，如图，点到直线的距离， 因，而，则， 则，且，故可得， 故有，解得， 将点代入，可得，又，解得， 则有，，，故直线的方程为， 联立，整理得，解得或， 依题意，，代入可得， 所以，，故. 故答案为：. 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 求适合下列条件的双曲线的标准方程. （1）顶点之间的距离为6，且渐近线的方程为的双曲线. （2）已知椭圆，则称双曲线为其伴随双曲线.若椭圆C:，且其伴随双曲线Γ的离心率为椭圆C的离心率的倍，求此伴随双曲线的标准方程. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的渐近线求解即可. （2）根据双曲线的离心率和标准方程求解即可. 【小问1详解】 当焦点在轴上时，由且，得， 所以所求双曲线的标准方程为; 当焦点在轴上时，由且，得， 所以所求双曲线的标准方程为. 所以双曲线的标准方程为或. 【小问2详解】 设椭圆C与其伴随双曲线Γ的离心率分别为， 依题意可得，即， 即，解得，所以椭圆C:， 其伴随双曲线Γ的标准方程为. 16. 一种卫星接收天线的轴截面如图所示，卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处.已知接收天线的口径（直径）为，深度为. （1）若以轴截面的顶点为原点，以顶点指向焦点的方向为x轴的正方向建立直角坐标系，求抛物线的标准方程； （2）在第（1）问的条件下，为了增强卫星波束的接收，拟将接收天线的口径增大为，求此时卫星波束反射聚集点的坐标.. 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（1）设抛物线的方程为，根据已知条件得到抛物线过点，代入抛物线方程即可求得； （2）设出抛物线的方程，根据抛物线过列方程即可得到焦点坐标. 【小问1详解】 依据题意，建立如图所示的直角坐标系， 设抛物线的方程为， 因为接收天线的口径（直径）为，深度为，即抛物线过点，亦即， 把的坐标代入方程中，得，解得， 所以抛物线的标准方程为. 【小问2详解】 设增大接收天线口径后的抛物线的方程为， 将接收天线的口径增大为，即该抛物线过点，亦即， 把的坐标代入方程中，得，解得， 所以焦点的坐标为，即. 17. 已知双曲线的渐近线方程为，，分别为双曲线C的左、右焦点. （1）求双曲线C的标准方程; （2）P是双曲线C上异于左、右顶点的一点，过作平分线的垂线，垂足为M，求点M到直线的距离的最小值. 【答案】（1）. （2）1 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的渐近线方程以及焦点坐标，结合标准方程，可得答案； （2）根据角平分线性质，结合双曲线的概念可得各线段长，可得动点的轨迹，利用圆上点到定直线的距离性质，可得答案. 【小问1详解】 由双曲线的渐近线方程为，得， 又，分别为双曲线C的左、右焦点， 所以，所以， 故双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 由题意，延长，且与交于一点，如图所示. 由于，且为的平分线，所以， 且M点为线段的中点.不妨假设点P在双曲线C的右支上， 由于，故， 由于O，M分别为，的中点，所以， 故点M的轨迹是以原点为圆心，4为半径的圆，轨迹方程为， 点M到直线的距离的最小值为原点到直线的距离减去半径4， 即. 18. 在平面直角坐标系中，已知椭圆+=1的焦距为，离心率为，椭圆的右顶点为. （1）求该椭圆的标准方程; （2）如图，过点作直线，交椭圆于不同的两点，求证:直线的斜率之和为定值. 【答案】（1）+y2=1. （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题目条件求出，即可得到椭圆的标准方程. （2）设出点坐标，分类讨论斜率存在与不存在的情况，后设出直线方程与椭圆方程联立，根据根与系数关系得到两根的关系，代入的斜率之和公式即可证明结论为定值. 【小问1详解】 由题意可知，椭圆的焦点在轴上， ，椭圆的离心率，则， 则椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 证明：设点． 当斜率不存在时，且右顶点为，则与椭圆只有一个交点，不合题意． 由题意可设方程为，联立方程， 整理得：， 由，得， 由韦达定理可知， 则， 则由， 得． ∴直线的斜率之和为定值． 19. 已知抛物线C：的焦点为，过点且斜率为的直线交抛物线C于P，Q两点，且. （1）求的值. （2）设直线l：被圆截得的弦长为. ①求；（用表示） ②若直线l被抛物线C截得的弦长为，求的最小值. 【答案】（1）2 （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）先求过焦点的直线方程，联立抛物线方程，利用韦达定理得，再由抛物线弦长公式求； （2）先求圆心到直线距离，用圆的弦长公式求，联立直线与抛物线求，代入表达式用基本均值不等式求最小值. 【小问1详解】 设过点且斜率为的直线方程为，代入，得. 设，，则，， 所以，则. 【小问2详解】 ①因为圆的方程为，所以=. ②联立得，即有. 所以==≥==， 当且仅当时，等号成立， 经检验，满足条件，故的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $