河北省辛集中学2025-2026学年高三上学期数学周考（2026.1.14）

河北辛集中学2025-2026学年度第一学期周考三 高三数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A D C D B B A BC BD 题号 11 答案 ABD 5.详解】由题意得，f(x)=(e+e(e-e)=e2x-e2x,函数f(x)定义域为R,xeR,-xeR, f(-x)=e2-e2=-f(x),所以函数f(x)为奇函数，又f(x)=2e2+2e2>0,所以函数f(x)为 增函数，不等式f(3a+20)+f(-2a2)<0,可化为f(3a+20)<-f(-22), 利用奇函数得，f(3a+20)<f(2m),利用增函数得，3a+20<2,即2m-3a-20>0,解得a<- 或a>4. 6【详解】由题意得cosa_sina_0sB 即cossin-cosg,即2co2g-c0g sina cosa sinB sinacosa sinB sin2a sinB' 得sn2 ccosp=2cos2 osinB,又因为sim(2a+P)=sin2 p+cos2 asinp=2 所以sin2 acosB= 子.cos2asin月-片因此sn(2a-P）-sn2 wop-cas2 2winp=5 2 7.【详解】由题意， a+a+a+a)-5 ,则42+4=4+44=10，且 a2+4=5 2 a1≤a2≤a≤a,2≤4≤8，i=1,234, 则4，a2,4,4可能的取值情况为：2,2,8,8；2,3,7,8：2,4,6,8；2,5,5,8；3,3,7,7： 3,4,6,7；3,5,5,7；4,4,6,6;4,5,5,6;5,5,5,5,共10种情况 8详解，设4(，N以®6,4B的中点M,,由想意知答+答-l答+答=1， 两式相减得各+，-+0+)=0，则名++上+业kB=0,而k。=6,所以 b 02 b2 第1页共8页 b y= 吾+产=0，所以直线o山的方程为y= b x,联立 a a b 2a y=二(x+c) 又因为OA+OB+OP=0,所以OP=-20M,所以点Pc, bS)代入椭圆的方程，得a=2c2,所以 a 2 9.Bc【详解】f)=--3x+1f()=2-2x-3=(x+10x-3到， ∴.当x∈（-o,-1)U(3,+o)时，'(x)>0;当x∈(-1,3)时，f'(x)<0, \∫(x)在(-∞，-1)，(3，+∞)上单调递增，在(-1,3)上单调递减对于AB,由单调性知，f(x)有且 仅有2个极值点，其中极大值点为-1，极小值点为3，故A错误，B正确： 对于C,f(x)的极小值为(3)=9-9-9+1=-8，故C正确： 对于D,根据∫(x)的单调性可知∫(x)无最大值，故D错误故选：BC 10.BD【详解】对A:作出过DEF的截面如下图： 延长DE和DA的延长线交于点M,延长DF和DC交于点N B F R 因为E为AA中点，所以A为MD中点，同理C为DN中点. 则AB=DN,AB/DN,即AB为△MDW的中位线， M 连接MN,则MN过点B,连接BE,BF,则四边形DEBF为过点D,E,F D 的截面， 所以平面DEF截该正方体所得的截面是四边形，故A错误： 对B:连接AC,BD,如下图： 因为ABCD-ABCD为正方体，E,F分别为AA,CC中点，所以 EF∥AC.又AC L BD,AC⊥BB,BD,BBC平面BDDB,所以AC⊥平面BDDB. 所以EF⊥平面BDDB,又EFC平面DEF,所以平面DEF⊥平面BDDB.故B正确； 对C:当u=0时，BP=BB,（0≤元≤1)，所以点P在线段BB上， 第2页共8页 所以PE到≥AB=2,1=1时取等号：PD≥BDl=2W2,1=0时取等号. 所以PE+PD>2+2W2恒成立，而2+2√>√7， 所以PE+PD的最小值为不可能为√17，故C错误： 对D:因为AP=AB+BP,所以5=4+BP→BP=1,所以P点轨迹是以B为圆心，1为半 径的圆周的}所以P点轨迹长度为：子2π=故D正确故选：BD 11.ABD 【详解】对于A:因为抛物线E:y2=4x的焦点F(1,O),所以A=5+1,B=x2+1, 若AF=BF,则x+1=x2+1,即x=x2,A正确： 对于B:若AF=FB,则A,F,B三点共线，设AB:x=w+1,代入抛物线方程得y2-4y-4=0, 所以wy=4,又M(-1.0),所以k=ka=上 x+1 x2+11 所以ka+ke=光十业三出+上 4[x(+4)+(+4】4(y+y2)yy+4) (+4)+4) (2+4)+4) 0 4 4 所以ka=-kM,即MA,MB关于x轴对称，∠AMO=∠BMO,B正确； 对于C:若F是△4BC的重心，则当++y=0,即y+y,=-y,①， 3 又P是AB中点，其纵坐标为t=Y+业=-当 2 2 由重心横坐标公式++三=1，且x=(亿=12,3)，可得+片+=12②， 3 4 将①代入②得yy2=-6③，因为A,B不同，所以(y-y)>0④， 将②©代入④得到<8，所以1-四<5，C错误 2 对于D:若P的纵坐标为2，即当十业=2，则y+y,=4, 2 南以成的化半之-受兰女1，所份有人导D正 44 故选：ABD. 第3页共8页 12.4 【详解】设七个数分别为x=12,3,4,5,6,7),所以，∑=21， f1 当加入一个新数据3时，此时这8个数的平均数为x 所以，这8个数的方差S2 8(3(0}解得228 所以，某七个数据的方差=∑化-3引P=28=4.故答案为：4 13.5 【详解】由数列{a}满足a,+a=4，且a.+a1+a+2=9, 当n=1,可得4+4+4=41+4=9，可得a=5,又由a+1+4+2+4+3=9, 联立方程组 a+a4+a,=9两式相减，可得asa=0,即a,=a,所以数列a,}是周期 4n+a+1+a+2=9 为3的周期数列，因为2026=675×3+1，所以a226=45x#1=4=5.故答案为：5. 14 【详解】解：因为g(x)=f(x)+f(-x),所以8(-x)=f(-x)+f(x)=8(x), 所以函数8(x)为偶函数，又8(0)=2f(0)=0,所以g(x)在(0，+∞)上有两个零点， 即)()-：-0有丙个不同的正实数解，即 e 690. (0) 令)号，则w)e-2， -10 9(x）=e（x-2)>0xz2;p(x)=x92<0.o<x<2. 故p(x)在(0,2)上递减，（2，+0)上递增， 故(。-8(2)-。.画出图像如图所示从而k> 4 故答案为： 4 15.)=+keZ:②45 6 3 第4页共8页 【详解】(1)由a=(sinx,√3)，b=1,cos), 得f)=a6-1=simx-V5cosx-1=2snx-受-1， 由x-子+血e乙，得x=君+ez, 3 2 所以f()图象的对称轴为x=-亚+kZ. 6 (2)在vABC中，由f(©)=0，得2sim(C-孕-1=0，即simC-孕=号 面0<<，即号c骨答则C骨名 2 由sn∠4CcD=5,得cos∠BCD=sin∠ACD=5 ,而BD=BC=2, 所以CD=2 BCeos BCD=4W5 16【详解】(1)因为强化训练前的各组频率分别为0.04,0.06,0.2,0.3,0.21,0.19： 强化训练前的成绩的平均数x=45×0.04+55×0.06+65×0.2+75×0.3+85×0.21+95×0.19=76.5, 强化训练后的各组频率分别为0.04,0.16,0.2,0.32,0.28， 又因为前三组频率之和为0.04+0.16+0.2=0.4<0.6，前四组频率之和为 0.04+0.16+0.2+0.32=0.72>0.6,可知60%分位数在[80,90)内，设60%分位数为80+x, 则0.4+0.032x=0.6,解得x=6.25,所以60%分位数约为86.25； (2)零假设为H。：跳水运动员是否优秀与强化训练无关， 补充完整的表格为 优秀人数 非优秀人数 合计 强化训练前 40 60 100 强化训练后 60 40 100 合计 100 100 200 则x2= 200×(40×40-60×60)2 100×100×100×100 =8>7.879=x05’ 根据小概率值α=0.005的独立性检验，我们推断H。不成立，所以认为跳水运动员是否优秀与强化 训练有关 17【详解】(1)取AB的中点E,连接DE, 第5页共8页 因为AB=2CD,ABIICD,所以BElICD,所以四边形BCDE为平行四边形， 所以DE=BC=AD=AE,所以VADE为等边三角形，则∠BAD=∠DAB= 3 所以∠BDE=∠DB8-容所以ADB-子所以AD1BD,因为PDL平面ABCD,BDc平面 ABCD,所以PD⊥BD, 又PD,ADC平面PAD,ADI PD=D,所以BDL平面PAD, 又PAC平面PAD,所以PA⊥BD: (2)如图，以点D为坐标原点建立空间直角坐标系， 由)知∠CD=∠CD8=若BD=5,则 .io.cf-..o.a0哈时引roau,西-e小.m-g 设平面MBD的法向量为i=(x,y,), ii.DB=y=0 则有 am-+=0 可取i=(1,0,-1), 设PW=PC(2∈[0，])， 盛-，-m元-a9小告号- 设平面NDB的法向量为i=(a,b,c), m.DB=√3b=0 则有 mDm-a+5b+1-习c=0 2 2 [b=0 所以 a=21-c’令a=20-),则c=元， 所以i=(2-22,0,2), B 则cosm,列= i列 2-3 v10 m网√2√52-82+410， 第6页共8页 化简得10-132+4=0，解得元=4或2-)，所以心-1或2八4 5 2 NC NC 8.0+y=1:22 【详解】(1)由椭圆c: +若-1的离心常为点得e=,=,则a=20, 2 a 2 箱图方程化为+=，直线OP的斜车：-名子，英方程为y=。 1 1 o=2b 由椭圆对称性，不妨设点A(x,),x>0。>0,由 %=2 ,解得 x。2+4y2=4b2 y%= 2 因此14B210A6+(2=v06=0,解得b=1a=2, 所以稀圆C的方程为号+y-1. (2)如图，延长M交E于点M。,由(1)知F(-V3,0),F(5,0), 设M(s,),M(x,y2),设M的方程为x=y-√5， M x=g-3 2V3m +y2= 由x2 m2+4 +=1消去t得+-26少-10，则 1 yV2=- m2+4 设FM与FN的距离为d,四边形耳F,M的面积为S, 由M四//N,及椭圆的对称性知，点N与点M。关于原点对称， -FMI-+INDd-0FMI+IM.Dd-IMMld-S.w 又5，号月1Vg+为-4gy 43√m2+1 43 ≤： 2+4 3 Vm2+1+ √m2+1 当且仅当Vm2+1= Vm2+1 ，即m=±√2时，等号成立， 所以四边形FF,☑M面积的最大值为2. 19f(N)=2x-3+2x-3+1-（2--(x>0),由fx)>0可得：0<x<)或x>1, 1 由了0得：x<1,所以f()在时引和)上单调地， 在上单调递减， 第7页共8页 综上，函数()的单调递描区间为0和，+)，单调递减区间为行 (2)f(y=r-3x+a血raeR)定义拔为(0，+m),了)=2x-3+g2x-3+a(x>0), 1 9 令f"()=0可得2x-3x+a=0,当△=9-8a≤0即a≥8时，f(国20对于x∈(0，+o)恒成立，所 以f(x)在(0，+∞)上单调递增，无极值： 当A=9-8a>0即0<a<9时，由2x2-3x+a=0可得：x=3社9-8a 4 由f'()>0可得：0<x<3980或x>3+9-80,由f')<0可得： 4 4 3-v9-80<x<3+v9-80 4 所以1在Q3 和 3+V9-8a 上单调递增，在 3-V9-8a3+V9-8a 上单调递 4 9 减，满足函数∫()有两个极值点x,x2,所以0<a< 8 3 由f'(x)=0可得2x2-3x+a=0,则x+x2= 2 9 由0<a<可得0<<<所以a=2=23名=3-2， 3 3 所以f(x,)=x号-3x2+anx,=x号-3x2+(3x,-2x)ln, 设g0=f-+(-2he居》则80-=Y-3+6-40a,2-6-4), t 当（存时，3<0w<0,故g0>0g0单调谴增， 当∈引时，3-4<0，f>0,故g)<0,g0单调递减， 所以g(t)在t=1处取得最大值8(1)=-2， n3-9n9e0, 故(：，)的取值范围为 第8页共8页河北辛集中学2025-2026学年度第一学期周考(2026.1.14) 高三数学试卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.) 1.已知集合4=卧e7,月=-2x-3g,则4n8=（) {}B.1c.3-1p.{1 2. 己知圆锥的母线长为2，底面圆的半径为1，则圆锥的侧面积为() A.2π B. 一元 C.V3π D.4π 3 3.已知a、b不共线，且AB=a-b,BC=a+b,那么A、B、C三点共线的充要条 件为() A.2+=2 B.元-u=2 C.u=1 D.4=-1 4.在等差数列{a}中，公差d≠0，a是a与a的等比中项.已知数列 ,a,a,a,,a,成等比数列，则数列{k}的通项公式为() A.k=3” B.=2.3" C.飞=3 D.k=3 2 5.已知m(x)=e*+e,n(x)=e-ex.设函数f(x)=m(x)n(x),若实数a满足不等式 f(3a+20)+f(-2a2)<0,则a的取值范围为() A.（利B.-4 C.(D.-) 已r引ac〔》a(=。ma=则a--( 5. 5'tana A. B. C. D.-2 7.已知四个正整数4,4,4，a,满足4≤4≤4≤a,2≤4≤8，i=1,234,且4，a2,4,4的平 均数和中位数都为5，则4，a,4,4,可能的取值情况总数是() A.12 B.10 C.9 D.7 周考三数学试卷第1页，共4页 8。已知过椭☒若+若-1a>8>0的左焦点且斜率为号的直线1与椭圆交于AB丙点若 椭圆上存在一点P,满足OA+O8+OP=0（其中点O为坐标原点)，则椭圆的离心率为 A.号 B.3 C.3 3 D.3 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9.已知函数f(x)子式-r-3x+1,下列说法正确的是（) A.f(x)有3个极值点 B.f(x)的极大值点为-1 C.f(x)的极小值为-8 D.J四的最大值为9 10.如图，己知正方体ABCD-ABCD的棱长为2，点P是侧面BCCB上的一个动点（含 边界)，且BP=BB1+BC(0≤1≤1,0≤≤1)，E,F分别是棱AA,CC的中点，则() A.平面DEF截该正方体所得的截面图形是正五边形 D B.平面DEF⊥平面BDDB B C.若u=0,则PE+PD的最小值为√7 D.若M=5,则点P的轨迹长度为 11.已知抛物线E:y2=4x的焦点为F,A(5,片)，B(x2,2),C(x,y)是E上不同的三 个点，AB的中点为P,O为坐标原点，直线I是E的准线，且1与x轴的交点为M,则 下列说法正确的有() A.若AF=BF,则5=x B.若AF=FB,则∠AMO=∠BMO C.若F是△ABC的重心，则点P的纵坐标可能大于√2 D.若点P的纵坐标为2，则直线4B的倾斜角为于 三、填空题（本题共3小题，每小题5分。） 12.已知某7个数的平均数为3，方差为s2,现又加入一个新数据3，此时这8个数的 周考三数学试卷第2页，共4页 平均数为x,方差为· 则s2= 13. 已知数列{a,}满足a2+a,=4,且a.+a1+a+2=9∈N),则426=一 kx,x≤0 14.已知函数f(x) ts0’ 若函数g(x)=f(x)+f(-x)有5个零点，则实数k的取值 范围为 四、解答题（本题共5个大题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤。)》 15.己知a=(sinx,V3),b=4,cosx),f()=a-b-1 (I)求fx)的对称轴方程： (2)已知的AMBC内角C满足C)=0,且点D在线段AB上，BD=BC=2im∠4CD=Y 3 求CD的长 16.某青少年跳水队共有100人，在强化训练前、后，教练组对他们进行了成绩测试， 分别得到如图1所示的强化训练前的频率分布直方图，如图2所示的强化训练后的频 率分布直方图， 个频率/组距 0.030 0.032个频率/组距 0.028 0.020 0.016 0.006 0.004- 0.004- 405060708090100成绩/分 05060708090100成绩/分 图1 图2 (1)根据图中数据，估计强化训练前的成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中 点值作代表)：并求强化训练后的成绩的60%分位数， (2)规定得分80分以上（含80分）的为优秀”，低于80分的为“非优秀”. 强化训练 是否优秀 合计 优秀 非优秀 强化训练前 强化训练后 合计 周考三数学试卷第3页，共4页 将上面的表格补充完整，依据小概率值α=0.005的独立性检验，能否据此推断跳水运 动员是否优秀与强化训练有关？ 附：x= n(ad-be) (a+b)(c+d)(a+c)b+d)’ n=a+b+c+d. 0.05 0.010 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 17.t如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD,AB=2BC=2CD=2AD=2PD=2,CDIIAB,M 为棱PA的中点，N为棱PC上的动点. (I)证明：PA⊥BD. (2)若平面MBD与平面NBD的夹角的余弦值为 求 10 袋的值。 18. 已知椭两C号若-a,6>0的高心率为5，过华标原点0和点心的直线与 椭圆C交于A,B两点，且AB-o (1)求椭圆C的方程： (2)直线1与C交于M,N两点(M,N在x轴的同侧)，耳，乃分别是椭圆C的左，右焦点， 当FMIIF,N时，求四边形EEM面积的最大值. 19.已知函数f(x)=x2-3x+alnr,a∈R. (I)若a=1,求f(x)的单调区间： (2)若函数∫(x)有两个极值点x,x2,且<x2,求f(x)的取值范围. 周考三数学试卷第4页，共4页