第30讲 数学开放题（知识梳理+例题讲解+考点练习）-四年级奥数培优讲义

第30讲 数学开放题 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.理解开放题的本质： 认识数学开放题是一种条件不完备、答案不唯一、解题策略多样的特殊题型，其核心在于探索多种可能性。 2.培养发散思维能力： 学会从不同角度、不同层面思考问题，敢于打破常规思维定式，寻求多种解决方案。 3.提升问题分析与信息利用能力： 能够分析题目中给出的有限信息，合理补充条件或进行假设，并利用这些信息进行推理和计算。 4.掌握基本解题策略： 学会运用尝试、枚举、分类讨论、逆向思考等策略解决简单的数学开放题。 知识梳理 知识点一、什么是数学开放题？ 数学开放题是与传统的“封闭题”相对而言的。传统的封闭题通常条件完备、答案唯一、解题方法相对固定。而数学开放题则具有以下特点： 1.条件不完备： 题目给出的信息可能不足以直接推导出唯一答案，需要学生自己补充合理条件或进行假设。 2.答案不唯一： 由于条件的不完备性或问题的开放性，符合题意的答案可能有多个（甚至无限多个）。 3.解题策略多样： 没有固定的解题套路，鼓励学生尝试不同的思路和方法来解决问题。 4.思维过程开放： 更注重思考的过程，而非仅仅追求最终答案。强调探索、发现、创造。 知识点二、数学开放题的常见类型 四年级奥数中常见的数学开放题类型包括： 1.条件开放型： (1)特点： 题目缺少部分条件，需要学生补充合理条件才能求解。 (2)例子： “一个长方形的面积是24平方厘米，它的周长可能是多少厘米？”（需要补充长和宽的关系或具体值）。 (3)解题策略： 根据题目要求和已有信息，设定变量（如长、宽），寻找约束关系（如长、宽是正整数），尝试枚举或分类讨论。 2.策略开放型： (1)特点： 题目条件相对完整，但解决问题的策略、方法不唯一。 (2)例子： “用1、2、3、4、5这五个数字组成一个三位数和一个两位数，使它们的乘积最大/最小。你能想到几种不同的组合方式？哪种乘积最大/最小？” (3)解题策略： 尝试不同的组合策略（如固定三位数的百位、尝试不同配对），比较结果。 3.结论开放型： (1)特点： 题目给出条件，但结论不唯一，存在多种可能性。 (2)例子： “两个数的和是10，差是2，这两个数可能是多少？”（答案可能是小数、分数，也可能是整数如6和4）。 (3)解题策略： 根据条件建立关系式（如 A+B=10, A-B=2），求解并分析解的范围和类型。 4.设计型： (1)特点： 要求学生根据要求设计一个方案、构造一个对象或提出一个问题。 (2)例子： “设计一个转盘游戏，使转到红色区域的可能性比转到蓝色区域的可能性大。” “用若干根长度相同的小棒，摆出面积不同的图形（至少3种）。” (3)解题策略： 理解设计要求，运用相关知识（如可能性、周长面积关系），进行设计和验证。 知识点三、解决数学开放题的核心策略 1.仔细审题，明确要求： 弄清楚题目中给出了哪些信息？要求我们做什么？（是补充条件？是寻找多种答案？是设计方案？） 2.分析信息，寻找联系： 分析已知信息之间的关系，思考可能缺失的条件是什么？可以利用哪些数学概念或公式？ 3.尝试与枚举： 对于存在多种可能答案的问题（尤其是涉及数字、组合的问题），可以从简单情况开始尝试，或者按照一定规则（如从小到大）进行枚举。 4.分类讨论： 当问题可能存在不同的情况时，要按不同的情况进行讨论，确保不遗漏任何一种可能性。（例如：按数字的奇偶性、大小关系、图形类型等分类）。 5.合理假设： 对于条件不足的问题，需要根据题意做出合理的假设。假设要符合逻辑和常识，并能在后续步骤中验证。 6.逆向思考： 有时从目标或结论出发，反向推导需要的条件或可能性，也是一种有效的策略。 7.多角度思考： 尝试从不同的切入点考虑问题，例如改变计算顺序、尝试不同的组合方式、考虑图形变换等。 8.验证与优化： 得出可能的答案或方案后，要代入题目条件进行验证，看是否符合要求。对于设计型问题，思考是否有更好的方案。 9.总结与反思： 解决后，思考一下：有哪些不同的方法？有哪些不同的答案？哪种方法比较好？为什么会有多种答案？从中可以学到什么？ 例题讲解 一、条件开放型 【例题1】一个长方形的面积是36平方厘米，它的周长可能是多少厘米？（长和宽均为整数厘米） 【例题2】一个除法算式中，商是5，余数是3，被除数可能是多少？（除数为一位数） 二、结论开放型 【例题1】用0、1、2、3这四个数字可以组成多少个不同的两位数？（数字不能重复使用） 【例题2】一个正方形的边长增加2厘米，面积增加了多少平方厘米？ 三、策略与设计开放型 【例题1】用1、2、3、4、5这五个数字组成一个三位数和一个两位数，使它们的乘积最大。你能想到几种不同的组合方式？哪种组合的乘积最大？ 【例题2】用一根长30厘米的铁丝围成一个三角形，你能围成多少种不同的三角形？（边长为整厘米数） 考点练习 一、条件开放型 1.一个三角形的面积是24平方分米，它的底和高可能是多少？（底和高均为整数分米） 2.小明有一些故事书和科技书，故事书比科技书多8本，两种书的总数在40-50本之间。科技书可能有多少本？ 3.一个平行四边形的一组邻边之和是15厘米，它的周长可能是多少厘米？面积可能是多少平方厘米？（边长为整数厘米） 4.两个数的积是48，它们的差可能是多少？（两个数均为正整数） 5.一个长方体的体积是36立方厘米，它的长、宽、高可能各是多少厘米？（长、宽、高均为正整数且不相等） 6.一个三角形的三个内角分别是多少度？（其中一个角是另一个角的2倍，且三个角都是整数度数） 二、结论开放型 1.两个数的和是15，这两个数可能是多少？（至少写出5组不同的答案，包括整数、小数和分数） 2.用一根长24厘米的铁丝围成一个长方形，这个长方形的面积可能是多少平方厘米？（长和宽均为整厘米数） 3.一个数除以5，余数可能是多少？商可能是多少？（被除数为两位数） 4.把一个平行四边形剪一刀，可能得到什么图形？ 5.用1、2、3、4这四个数字（每个数字只能用一次），可以组成多少个不同的四位数？其中最大的是多少？最小的是多少？ 6.一个三角形中可能有几个锐角？几个直角？几个钝角？ 7.用数字1、5、0可以组成哪些不同的三位数？（每个数字只能用一次） 三、策略与设计开放型 1.用一张长20厘米、宽15厘米的长方形纸，你能剪出多少个边长为5厘米的正方形？请设计几种不同的裁剪方案，并比较哪种方案利用率最高。 2.学校要在校园内建一个长方形的花坛，周长是24米。你能设计出几种不同的花坛方案？哪种方案的面积最大？ 3.学校要组织一次春游活动，共有50名学生参加，每辆面包车可坐12人，每辆小轿车可坐4人。怎样租车最合理？ 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第30讲 数学开放题 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.理解开放题的本质： 认识数学开放题是一种条件不完备、答案不唯一、解题策略多样的特殊题型，其核心在于探索多种可能性。 2.培养发散思维能力： 学会从不同角度、不同层面思考问题，敢于打破常规思维定式，寻求多种解决方案。 3.提升问题分析与信息利用能力： 能够分析题目中给出的有限信息，合理补充条件或进行假设，并利用这些信息进行推理和计算。 4.掌握基本解题策略： 学会运用尝试、枚举、分类讨论、逆向思考等策略解决简单的数学开放题。 知识梳理 知识点一、什么是数学开放题？ 数学开放题是与传统的“封闭题”相对而言的。传统的封闭题通常条件完备、答案唯一、解题方法相对固定。而数学开放题则具有以下特点： 1.条件不完备： 题目给出的信息可能不足以直接推导出唯一答案，需要学生自己补充合理条件或进行假设。 2.答案不唯一： 由于条件的不完备性或问题的开放性，符合题意的答案可能有多个（甚至无限多个）。 3.解题策略多样： 没有固定的解题套路，鼓励学生尝试不同的思路和方法来解决问题。 4.思维过程开放： 更注重思考的过程，而非仅仅追求最终答案。强调探索、发现、创造。 知识点二、数学开放题的常见类型 四年级奥数中常见的数学开放题类型包括： 1.条件开放型： (1)特点： 题目缺少部分条件，需要学生补充合理条件才能求解。 (2)例子： “一个长方形的面积是24平方厘米，它的周长可能是多少厘米？”（需要补充长和宽的关系或具体值）。 (3)解题策略： 根据题目要求和已有信息，设定变量（如长、宽），寻找约束关系（如长、宽是正整数），尝试枚举或分类讨论。 2.策略开放型： (1)特点： 题目条件相对完整，但解决问题的策略、方法不唯一。 (2)例子： “用1、2、3、4、5这五个数字组成一个三位数和一个两位数，使它们的乘积最大/最小。你能想到几种不同的组合方式？哪种乘积最大/最小？” (3)解题策略： 尝试不同的组合策略（如固定三位数的百位、尝试不同配对），比较结果。 3.结论开放型： (1)特点： 题目给出条件，但结论不唯一，存在多种可能性。 (2)例子： “两个数的和是10，差是2，这两个数可能是多少？”（答案可能是小数、分数，也可能是整数如6和4）。 (3)解题策略： 根据条件建立关系式（如 A+B=10, A-B=2），求解并分析解的范围和类型。 4.设计型： (1)特点： 要求学生根据要求设计一个方案、构造一个对象或提出一个问题。 (2)例子： “设计一个转盘游戏，使转到红色区域的可能性比转到蓝色区域的可能性大。” “用若干根长度相同的小棒，摆出面积不同的图形（至少3种）。” (3)解题策略： 理解设计要求，运用相关知识（如可能性、周长面积关系），进行设计和验证。 知识点三、解决数学开放题的核心策略 1.仔细审题，明确要求： 弄清楚题目中给出了哪些信息？要求我们做什么？（是补充条件？是寻找多种答案？是设计方案？） 2.分析信息，寻找联系： 分析已知信息之间的关系，思考可能缺失的条件是什么？可以利用哪些数学概念或公式？ 3.尝试与枚举： 对于存在多种可能答案的问题（尤其是涉及数字、组合的问题），可以从简单情况开始尝试，或者按照一定规则（如从小到大）进行枚举。 4.分类讨论： 当问题可能存在不同的情况时，要按不同的情况进行讨论，确保不遗漏任何一种可能性。（例如：按数字的奇偶性、大小关系、图形类型等分类）。 5.合理假设： 对于条件不足的问题，需要根据题意做出合理的假设。假设要符合逻辑和常识，并能在后续步骤中验证。 6.逆向思考： 有时从目标或结论出发，反向推导需要的条件或可能性，也是一种有效的策略。 7.多角度思考： 尝试从不同的切入点考虑问题，例如改变计算顺序、尝试不同的组合方式、考虑图形变换等。 8.验证与优化： 得出可能的答案或方案后，要代入题目条件进行验证，看是否符合要求。对于设计型问题，思考是否有更好的方案。 9.总结与反思： 解决后，思考一下：有哪些不同的方法？有哪些不同的答案？哪种方法比较好？为什么会有多种答案？从中可以学到什么？ 例题讲解 一、条件开放型 【例题1】一个长方形的面积是36平方厘米，它的周长可能是多少厘米？（长和宽均为整数厘米） 【答案】周长可能是：26厘米、20厘米、18厘米、38厘米、40厘米等 【详解】长方形面积=长×宽=36平方厘米，长和宽都是正整数。可能的长和宽组合： 长=36厘米，宽=1厘米，周长=(36+1)×2=74厘米 长=18厘米，宽=2厘米，周长=(18+2)×2=40厘米 长=12厘米，宽=3厘米，周长=(12+3)×2=30厘米 长=9厘米，宽=4厘米，周长=(9+4)×2=26厘米 长=6厘米，宽=6厘米，周长=(6+6)×2=24厘米 根据不同的长和宽取值，周长有多种可能。 【例题2】一个除法算式中，商是5，余数是3，被除数可能是多少？（除数为一位数） 【答案】被除数可能是：23、28、33、38、43、48、53、58、63 【详解】根据除法公式：被除数=商×除数+余数 已知商=5，余数=3，除数为一位数且必须大于余数3 所以除数可能是4、5、6、7、8、9 除数=4时，被除数=5×4+3=23 除数=5时，被除数=5×5+3=28 除数=6时，被除数=5×6+3=33 除数=7时，被除数=5×7+3=38 除数=8时，被除数=5×8+3=43 除数=9时，被除数=5×9+3=48 二、结论开放型 【例题1】用0、1、2、3这四个数字可以组成多少个不同的两位数？（数字不能重复使用） 【答案】可以组成9个不同的两位数：10、12、13、20、21、23、30、31、32 【详解】先确定十位上的数字，不能为0，所以十位上可以是1、2、3： 当十位是1时，个位可以是0、2、3，组成10、12、13 当十位是2时，个位可以是0、1、3，组成20、21、23 当十位是3时，个位可以是0、1、2，组成30、31、32 共有3×3=9个不同的两位数。 【例题2】一个正方形的边长增加2厘米，面积增加了多少平方厘米？ 【答案】面积增加量取决于原正方形的边长，可能是：12平方厘米（原边长1cm）、20平方厘米（原边长2cm）、28平方厘米（原边长3cm）等 【详解】设原正方形边长为a厘米，原面积=a²平方厘米 新正方形边长=(a+2)厘米，新面积=(a+2)²平方厘米 面积增加量=(a+2)² - a² = a² + 4a + 4 - a² = 4a + 4平方厘米 当a=1厘米时，增加面积=4×1+4=8平方厘米 当a=2厘米时，增加面积=4×2+4=12平方厘米 当a=3厘米时，增加面积=4×3+4=16平方厘米 当a=4厘米时，增加面积=4×4+4=20平方厘米 当a=5厘米时，增加面积=4×5+4=24平方厘米 面积增加量随原正方形边长的变化而变化，表达式为4a+4平方厘米。 三、策略与设计开放型 【例题1】用1、2、3、4、5这五个数字组成一个三位数和一个两位数，使它们的乘积最大。你能想到几种不同的组合方式？哪种组合的乘积最大？ 【答案】可能的组合方式：(531, 42)、(532, 41)、(541, 32)、(542, 31)、(521, 43)、(512, 43)、(431, 52)、(432, 51)、(421, 53)、(412, 53)等；乘积最大的组合是521×43=22403或431×52=22412（需精确计算比较） 【详解】要使乘积最大，应遵循以下原则： 1.较大的数字应放在较高的数位上 2.两个数的差应尽可能小 尝试不同组合并计算乘积： 531×42=22302 532×41=21812 541×32=17312 542×31=16802 521×43=22403 512×43=22016 431×52=22412 432×51=22032 421×53=22313 412×53=21836 比较结果，431×52=22412和521×43=22403是最大的两个乘积，其中431×52=22412更大。 【例题2】用一根长30厘米的铁丝围成一个三角形，你能围成多少种不同的三角形？（边长为整厘米数） 【答案】可以围成19种不同的三角形 【详解】根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边 设三角形三边分别为a、b、c，且a≤b≤c，a+b+c=30，a+b>c 因为a≤b≤c，所以c≥10（如果c<10，则a+b+c<30），且c<15（如果c≥15，则a+b=30-c≤15≤c，不满足a+b>c） 所以c的取值范围是10≤c≤14 c=10时，a+b=20，且a≤b≤10，所以a=b=10，只有1种：(10,10,10) c=11时，a+b=19，且a≤b≤11，b≥19/2=9.5，所以b=10或11 a=19-b，得到(8,11,11)、(9,10,11)，共2种 c=12时，a+b=18，且a≤b≤12，b≥9 b=9时，a=9，得到(9,9,12) b=10时，a=8，得到(8,10,12) b=11时，a=7，得到(7,11,12) b=12时，a=6，得到(6,12,12)，共4种 c=13时，a+b=17，且a≤b≤13，b≥8.5 b=9时，a=8，得到(8,9,13) b=10时，a=7，得到(7,10,13) b=11时，a=6，得到(6,11,13) b=12时，a=5，得到(5,12,13) b=13时，a=4，得到(4,13,13)，共5种 c=14时，a+b=16，且a≤b≤14，b≥8 b=8时，a=8，得到(8,8,14) b=9时，a=7，得到(7,9,14) b=10时，a=6，得到(6,10,14) b=11时，a=5，得到(5,11,14) b=12时，a=4，得到(4,12,14) b=13时，a=3，得到(3,13,14) b=14时，a=2，得到(2,14,14)，共7种 总共有1+2+4+5+7=19种不同的三角形。 考点练习 一、条件开放型 1.一个三角形的面积是24平方分米，它的底和高可能是多少？（底和高均为整数分米） 【答案】可能的组合：底=12分米，高=4分米；底=8分米，高=6分米；底=6分米，高=8分米等 【详解】三角形面积=底×高÷2=24平方分米，所以底×高=48平方分米。可能的整数组合： 底=1分米，高=48分米 底=2分米，高=24分米 底=3分米，高=16分米 底=4分米，高=12分米 底=6分米，高=8分米 以及上述各组合的底和高互换 2.小明有一些故事书和科技书，故事书比科技书多8本，两种书的总数在40-50本之间。科技书可能有多少本？ 【答案】科技书可能有17本、18本、19本或20本 【详解】设科技书有x本，则故事书有x+8本，总数为x+(x+8)=2x+8本。 根据题意：40≤2x+8≤50 解得：16≤x≤21 因为书的数量为正整数，所以科技书可能有16、17、18、19、20或21本。 当科技书=16本时，故事书=24本，总数=40本 当科技书=21本时，故事书=29本，总数=50本 3.一个平行四边形的一组邻边之和是15厘米，它的周长可能是多少厘米？面积可能是多少平方厘米？（边长为整数厘米） 【答案】周长一定是30厘米，面积可能是26平方厘米、36平方厘米、44平方厘米等 【详解】平行四边形周长=2×邻边之和=2×15=30厘米（周长固定） 设一条边为a厘米，另一条边为(15-a)厘米，高为h厘米 面积=a×h或(15-a)×h 当a=5厘米，15-a=10厘米，h=4厘米时，面积=5×4=20平方厘米 当a=6厘米，15-a=9厘米，h=5厘米时，面积=6×5=30平方厘米 当a=7厘米，15-a=8厘米，h=6厘米时，面积=7×6=42平方厘米 面积大小取决于高的长度，有多种可能。 4.两个数的积是48，它们的差可能是多少？（两个数均为正整数） 【答案】差可能是：47、22、13、8、4、0 【详解】找出所有乘积为48的正整数对： 1和48，差=48-1=47 2和24，差=24-2=22 3和16，差=16-3=13 4和12，差=12-4=8 6和8，差=8-6=2 8和6，差=8-6=2（与上一组相同） 12和4，差=12-4=8（与上一组相同） 16和3，差=16-3=13（与上一组相同） 24和2，差=24-2=22（与上一组相同） 48和1，差=48-1=47（与上一组相同） 不同的差有：47、22、13、8、2 5.一个长方体的体积是36立方厘米，它的长、宽、高可能各是多少厘米？（长、宽、高均为正整数且不相等） 【答案】可能的尺寸组合：(1, 2, 18)、(1, 3, 12)、(1, 4, 9)、(1, 6, 6)、(2, 2, 9)、(2, 3, 6)、(3, 3, 4)等 【详解】长方体体积=长×宽×高=36立方厘米 找出所有乘积为36的正整数三元组： 1×1×36=36 1×2×18=36 1×3×12=36 1×4×9=36 1×6×6=36 2×2×9=36 2×3×6=36 3×3×4=36 考虑长、宽、高不相等的条件，可能的组合有：(1, 2, 18)、(1, 3, 12)、(1, 4, 9)、(2, 3, 6)等 6.一个三角形的三个内角分别是多少度？（其中一个角是另一个角的2倍，且三个角都是整数度数） 【答案】可能的角度组合：(30°, 60°, 90°)、(40°, 80°, 60°)、(20°, 40°, 120°)等 【详解】设三个角分别为x°、2x°、y°，根据三角形内角和定理： x + 2x + y = 180，即3x + y = 180，y = 180 - 3x 同时满足三角形内角条件：x>0，2x>0，y>0，且任意两角之和大于第三角 当x=30°时，2x=60°，y=90°，得到(30°, 60°, 90°) 当x=40°时，2x=80°，y=60°，得到(40°, 80°, 60°) 当x=20°时，2x=40°，y=120°，得到(20°, 40°, 120°) 当x=25°时，2x=50°，y=105°，得到(25°, 50°, 105°) 当x=35°时，2x=70°，y=75°，得到(35°, 70°, 75°) 有多种可能的角度组合。 二、结论开放型 1.两个数的和是15，这两个数可能是多少？（至少写出5组不同的答案，包括整数、小数和分数） 【答案】可能的组合：(1, 14)、(2, 13)、(3, 12)、(4, 11)、(5, 10)、(6, 9)、(7, 8)、(8, 7)、(9, 6)、(10, 5)、(11, 4)、(12, 3)、(13, 2)、(14, 1)、(0, 15)、(15, 0)、(7.5, 7.5)、(5.5, 9.5)、(1/2, 14 1/2)等 【详解】设两个数分别为a和b，则a+b=15 整数解：(0,15)、(1,14)、(2,13)、(3,12)、(4,11)、(5,10)、(6,9)、(7,8)等 小数解：(5.5,9.5)、(6.5,8.5)、(7.5,7.5)、(4.2,10.8)等 分数解：(1/2,29/2)、(3/4,57/4)、(2/3,43/3)等 有无数组解，以上列举了部分不同类型的解。 2.用一根长24厘米的铁丝围成一个长方形，这个长方形的面积可能是多少平方厘米？（长和宽均为整厘米数） 【答案】可能的面积：11平方厘米、20平方厘米、27平方厘米、32平方厘米、35平方厘米、36平方厘米 【详解】长方形周长=2×(长+宽)=24厘米，所以长+宽=12厘米 设长为x厘米，宽为(12-x)厘米，面积=x×(12-x)平方厘米 当x=1厘米，宽=11厘米，面积=1×11=11平方厘米 当x=2厘米，宽=10厘米，面积=2×10=20平方厘米 当x=3厘米，宽=9厘米，面积=3×9=27平方厘米 当x=4厘米，宽=8厘米，面积=4×8=32平方厘米 当x=5厘米，宽=7厘米，面积=5×7=35平方厘米 当x=6厘米，宽=6厘米，面积=6×6=36平方厘米（此时为正方形） 面积可能是：11、20、27、32、35、36平方厘米 3.一个数除以5，余数可能是多少？商可能是多少？（被除数为两位数） 【答案】余数可能是0、1、2、3、4；商可能是2到19之间的整数 【详解】根据除法性质，余数必须小于除数，所以余数可能是0、1、2、3、4 被除数为两位数，范围是10到99 商=被除数÷5，所以商的范围是10÷5=2到99÷5=19.8，即商可能是2到19的整数 当商=2时，被除数=10到14，余数=0到4 当商=3时，被除数=15到19，余数=0到4 ... 当商=19时，被除数=95到99，余数=0到4 所以余数可能是0、1、2、3、4；商可能是2到19之间的整数 4.把一个平行四边形剪一刀，可能得到什么图形？ 【答案】可能得到的图形组合：两个三角形、两个平行四边形、两个梯形、一个三角形和一个梯形、一个三角形和一个五边形等 【详解】根据剪切线的不同位置和方向： 沿对角线剪：得到两个三角形 沿平行于一边的直线剪：得到两个平行四边形 沿不平行于边且不过顶点的直线剪：得到两个梯形 沿一个顶点和对边上一点（非顶点）剪：得到一个三角形和一个梯形 沿一组对边上非顶点的两点剪：得到两个梯形 沿不过顶点且不平行于边的直线剪：可能得到一个三角形和一个五边形 不同的剪法可以得到多种不同的图形组合。 5.用1、2、3、4这四个数字（每个数字只能用一次），可以组成多少个不同的四位数？其中最大的是多少？最小的是多少？ 【答案】可以组成24个不同的四位数，最大的是4321，最小的是1234 【详解】千位有4种选择，百位有3种选择，十位有2种选择，个位有1种选择 总共有4×3×2×1=24个不同的四位数 最大的四位数：4321（按数字从大到小排列） 最小的四位数：1234（按数字从小到大排列） 具体可以组成的四位数包括：1234、1243、1324、1342、1423、1432、2134、2143、2314、2341、2413、2431、3124、3142、3214、3241、3412、3421、4123、4132、4213、4231、4312、4321 6.一个三角形中可能有几个锐角？几个直角？几个钝角？ 【答案】可能的情况：3个锐角；2个锐角和1个直角；2个锐角和1个钝角 【详解】根据三角形内角和定理（180°）和角的分类： 三个锐角：锐角三角形，如(60°, 60°, 60°)、(50°, 60°, 70°)等 两个锐角和一个直角：直角三角形，如(30°, 60°, 90°)、(45°, 45°, 90°)等 两个锐角和一个钝角：钝角三角形，如(20°, 30°, 130°)、(40°, 50°, 90°)等 不可能有：2个直角（和为180°，第三个角为0°，不成立）、2个钝角（和超过180°）、1个直角和1个钝角（和超过180°）、3个直角（和为270°>180°）、3个钝角（和超过270°>180°） 7.用数字1、5、0可以组成哪些不同的三位数？（每个数字只能用一次） 【答案】可以组成4个不同的三位数：105、150、501、510 【详解】百位上不能为0，所以百位有2种选择（1或5）： 当百位是1时，十位和个位可以是0和5，组成105和150 当百位是5时，十位和个位可以是0和1，组成501和510 共可以组成4个不同的三位数：105、150、501、510 三、策略与设计开放型 1.用一张长20厘米、宽15厘米的长方形纸，你能剪出多少个边长为5厘米的正方形？请设计几种不同的裁剪方案，并比较哪种方案利用率最高。 【答案】最多可以剪出12个正方形；裁剪方案有：横5竖3排列、先剪大块再剪小块等；利用率最高的方案是无浪费裁剪，利用率100% 【详解】长方形纸面积=20×15=300平方厘米 每个正方形面积=5×5=25平方厘米 理论上最多可剪出：300÷25=12个 设计不同裁剪方案： 方案一：横排4个，竖排3个，共4×3=12个 沿长度方向可剪20÷5=4个，沿宽度方向可剪15÷5=3个，无浪费，利用率100% 方案二：先剪一个15×15的正方形（可剪出9个5×5的小正方形），再剪剩下的5×15的长方形（可剪出3个5×5的小正方形），共9+3=12个，同样无浪费 方案三：不规则裁剪，如先剪几个大的再剪小的，但只要剪出12个就是最大数量，利用率100% 所有能剪出12个正方形的方案利用率相同，都是100%。 2.学校要在校园内建一个长方形的花坛，周长是24米。你能设计出几种不同的花坛方案？哪种方案的面积最大？ 【答案】可能的方案：(1, 11, 11)、(2, 10, 20)、(3, 9, 27)、(4, 8, 32)、(5, 7, 35)、(6, 6, 36)（括号内分别为长、宽、面积，单位：米、平方米）；面积最大的方案是边长为6米的正方形花坛（特殊的长方形），面积36平方米 【详解】设长方形花坛的长为x米，宽为y米，根据周长=2(x+y)=24，得x+y=12 面积S=x×y，且x≥y>0 不同方案及面积： 长=11米，宽=1米，面积=11×1=11平方米 长=10米，宽=2米，面积=10×2=20平方米 长=9米，宽=3米，面积=9×3=27平方米 长=8米，宽=4米，面积=8×4=32平方米 长=7米，宽=5米，面积=7×5=35平方米 长=6米，宽=6米，面积=6×6=36平方米（正方形是特殊的长方形） 根据数学原理，当周长一定时，正方形的面积最大，所以边长为6米的正方形花坛面积最大，为36平方米。 3.学校要组织一次春游活动，共有50名学生参加，每辆面包车可坐12人，每辆小轿车可坐4人。怎样租车最合理？ 【答案】合理的租车方案：4辆面包车和1辆小轿车（4×12+1×4=52人，有空位）、3辆面包车和4辆小轿车（3×12+4×4=36+16=52人，有空位）、2辆面包车和7辆小轿车（2×12+7×4=24+28=52人，有空位）、1辆面包车和10辆小轿车（1×12+10×4=12+40=52人，有空位）、0辆面包车和13辆小轿车（0×12+13×4=52人，有空位）。若允许有空位且尽量少，4辆面包车和1辆小轿车最合理。 【详解】设租面包车x辆，小轿车y辆，根据题意：12x + 4y = 50 化简得：6x + 2y = 25 左边是偶数，右边是奇数，方程无整数解，所以无法做到完全不留空位。 在允许有空位的情况下，考虑以下因素选择最合理方案： 1.尽量多租面包车（人均费用低） 2.空位尽量少 3.车辆总数尽量少 计算不同方案： 4辆面包车：4×12=48人，需1辆小轿车坐2人，共5辆车，空位2个 3辆面包车：3×12=36人，需3.5辆小轿车（取整4辆），共7辆车，空位2个 2辆面包车：2×12=24人，需6.5辆小轿车（取整7辆），共9辆车，空位2个 1辆面包车：1×12=12人，需9.5辆小轿车（取整10辆），共11辆车，空位2个 0辆面包车：0×12=0人，需12.5辆小轿车（取整13辆），共13辆车，空位2个 综合考虑，4辆面包车和1辆小轿车的方案最合理（车辆总数最少，人均费用最低）。 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $