第28讲 盈亏问题（知识梳理+例题讲解+考点练习）-四年级奥数培优讲义

第28讲 盈亏问题 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.理解盈亏问题的本质： 认识盈亏问题是一种涉及分配物品时出现“多余”（盈）或“不足”（亏）情况的典型应用题。 2.掌握核心解题方法： 学会运用“比较法”或“假设法”来解决盈亏问题，理解“总差额”和“单位差”的概念。 3.熟练求解人数和物品数： 能够根据题目给出的两种分配方案（一盈一亏、双盈、双亏）及其结果，求出参与分配的人数以及物品的总数。 4.应用核心公式： 掌握并灵活运用盈亏问题的核心公式： (1)(盈 + 亏) ÷ 两次分配差 = 人数 (2)人数 × 一次分配量 + 盈 = 物品总数 (3)人数 × 一次分配量 - 亏 = 物品总数 5.解决典型盈亏问题： 能够独立解决“一盈一亏”、“双盈”、“双亏”三种基本类型的盈亏问题。 知识梳理 知识点一、什么是盈亏问题？ 1.盈亏问题是一类经典的分配应用题。它的特点是：有一批物品要分配给若干人（或对象）。如果按照一种分配标准来分，物品会多出来一些（称为“盈”）；如果按照另一种分配标准来分，物品会不够分，还差一些（称为“亏”）。题目会给出这两种分配方案及其结果（盈多少、亏多少），要求我们求出参与分配的人数以及物品的总数。 2.核心： 比较两种分配方案，找出分配量的差异（每人多分或少分多少）和结果的总差异（从盈到亏的总差额），进而求出人数。 知识点二、盈亏问题的三种基本类型 1.一盈一亏： 一种方案分配后物品有剩余（盈），另一种方案分配后物品不足（亏）。 例如：小朋友分苹果。每人分4个，多10个（盈）；每人分6个，少20个（亏）。 2.双盈： 两种不同的分配方案，分配后物品都有剩余（盈），但盈的数量不同。 例如：小朋友分糖果。每人分5颗，多15颗（盈）；每人分8颗，多3颗（盈）。 3.双亏： 两种不同的分配方案，分配后物品都不足（亏），但亏的数量不同。 例如：小朋友分练习本。每人分3本，少12本（亏）；每人分4本，少5本（亏）。 知识点三、核心解题思想与方法 解决盈亏问题的关键是比较两种分配方案的差异。 1.找出“单位差”： 比较两种分配方案中，每人分配数量的差异是多少？即第二种方案比第一种方案每人多分或少分多少？这个差值称为“两次分配差”。 2.找出“总差额”： 比较两种分配方案的结果，物品的总量发生了怎样的变化？这个变化的总量就是“总差额”。 3.建立联系： “总差额”是如何产生的？它是由“单位差”累积起来的。有多少人参与分配，每人分配量差一点，累积起来就形成了总差额。因此：人数 = 总差额 ÷ 单位差 4.通用核心公式： (1)人数 = 总差额 ÷ 两次分配差 ①　对于 一盈一亏：总差额 = 盈 + 亏 ②　对于 双盈：总差额 = 大盈 - 小盈 (因为第二次分配比第一次分得更多，盈得更少) ③　对于 双亏：总差额 = 大亏 - 小亏 (因为第二次分配比第一次分得更多，亏得更少) (2)两次分配差 = 方案1每人分配量 - 方案2每人分配量 (表示每人分配量的差异) (3)物品总数 = 人数 × 方案1每人分配量 + 方案1的盈 (4)物品总数 = 人数 × 方案1每人分配量 - 方案1的亏 (5)物品总数 = 人数 × 方案2每人分配量 + 方案2的盈 (6)物品总数 = 人数 × 方案2每人分配量 - 方案2的亏 (根据方案情况选择使用) 知识点四、解题步骤 1.仔细审题，明确类型： 判断题目属于“一盈一亏”、“双盈”还是“双亏”。找出两种分配方案中每人分配的物品数量（A 和 B）以及对应的结果（盈多少？亏多少？）。 2.计算两次分配差：B - A。 3.计算总差额： (1)一盈一亏：总差额 = 盈 + 亏 (2)双盈：总差额 = 大盈 - 小盈 (3)双亏：总差额 = 大亏 - 小亏 4.求出人数： 人数 = 总差额 ÷ 两次分配差 5.求出物品总数： 选择一种分配方案（通常选择计算简便的），代入公式计算物品总数。例如：物品总数 = 人数 × A + 盈（如果方案1是盈）。 6.代入验证： 将求出的人数代入两种分配方案中进行验算，看是否分别得到题目给出的盈或亏的结果。这一步非常重要！ 例题讲解 一、盈亏问题 【例题1】某部队安排新兵宿舍。如果每间房住10人，则缺2个房间；如果每间房住12人，则多1个房间。这批新兵共有多少人？ 【例题2】同学们乘车去春游，若每车坐55人，则还可再坐30人；若每车坐50人，则还可再坐10人，问共有车几辆？共有学生多少人？ 【例题3】饲养员给老虎喂食。如果每只老虎分6千克肉，那么刚好分完；如果每只老虎分5千克肉，则多10千克。那么饲养员一共准备了多少千克肉？ 【例题4】用一根长绳测量井的深度。如果绳子两折，井外余6米；如果绳子三折，绳子离井口还有3米。求绳子的长度和井的深度？ 考点练习 一、盈亏问题 1．某企业工会要把一笔慰问金分给困难职工。若每人分1100元，则少800元；若每人分800元，则少200元。求困难职工人数与慰问金总数。 2．春游期间，老师带领五年级的同学们去公园划船。如果减少一条船，每条船正好坐8人；如果增加一条船，每条船正好坐7人。一共有多少人去划船？ 3．服装店的一批服装，如果每套卖120元，就亏本200元；如果每套卖150元，可以赚400元。要做到不亏本也不赚钱，每套服装应卖多少元？ 4．五年级学生和老师坐车去春游。原定每车坐30人，现决定每车坐50人（未超载），这样可以少用2辆车。那么一共有多少名学生和老师参加这次春游？ 5．红旗小学被借用为自学考试的考点。如果每个考场坐30名考生，则缺2个考场；如果每个考场坐40名考生，则多20个座位。你知道一共有多少名考生参加这次自学考试吗？ 6．红星农场给农户分玉米种子。如果每户分16千克，就会缺48千克；如果每户分10千克，正好分完。这批玉米种子有多少千克？ 7．美猴王给一群小猴分桃子。如果每只小猴分4个桃，就会多出3个没有分完；如果每只小猴分5个，那么就差2个桃子。问：一共有多少只小猴子？这些桃子共有多少个？ 8．一群好朋友带了面包去野餐。如果每3人分6个面包，就会多5个面包；如果每4人分12个面包，就会少7个面包。一共有多少位好朋友参加了这次野餐活动？他们一共带了多少个面包？ 9．王叔叔为厂里加工零件，原计划每天加工120个，正好在规定时间内完成任务；实际每天比原计划多加工了30个，结果在规定完成任务时间的前3天，还剩180个没有完成。这批零件有多少个？ 10．小芳从家到学校上课。如果用每分钟80米的速度走会迟到4分钟；如果用每分钟100米的速度走会提早5分钟到校。请问：她家离学校有多远？ 11．爱心小组的同学准备编一些幸运结送给远方的朋友。如果其中2人每人编5个，其他人每人各编8个，那么还有20个幸运结完不成；如果每人编10个，那么正好完成。爱心小组的同学准备编多少个幸运结？ 12．一个旅游团支旅馆住宿，6人一间，多2个房间；若4人一间，少2个房间。旅馆有房间多少？旅游团有多少人？ 13．粉笔盒里装的白粉笔支笔是彩色粉笔的5倍，教师们每天用去白粉笔20支，彩色粉笔6支。若干天后盒子中余下的白粉笔60支，而彩色粉笔已断用了2天，粉笔盒中原有白粉笔、彩色粉笔各多少支？ 14．学校给住宿的新生安排宿舍，如果按7人一间安排比按8人一间多用两间宿舍，有多少住宿的新生？ 15．学校给参加夏令营的同学租了几辆大轿车，如果每辆车乘28人，则有13名同学上不了车；如果每辆车乘32人，则还有3个空座。一共有同学几名？ 16．用一根长绳测量井的深度。如果绳子两折时，多5米，如果绳子三折时，差1米。求绳子长度和井深。（提示：绳子两折多5米，表示绳子长度是井深的2倍多10米。） 17．某校学生参加劳动，分成若干组，每组8人，觉得每组人数太少，把每组改为12人，因此减少2组，参加劳动的学生共有多少人？ 18．有一堆螺丝和螺母。如果一个螺丝配两个螺母，则多10个螺母；如果一个螺丝配三个螺母，则少6个螺母，螺丝、螺母各多少个？ 19．老师将一批练习本发给班上的学生。如果每人发6本，则少94本；如果每人发4本，则少2本。问有多少个学生？有多少练习本。 20．某商店从深圳运来一批水果，运费花了1000元，水果报损了100千克，若按2元1千克卖出，则要亏损300元；若按3元1千克买出，则可盈利500元。问原来进货多少千克？水果进货的金额是多少元？ 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第28讲 盈亏问题 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.理解盈亏问题的本质： 认识盈亏问题是一种涉及分配物品时出现“多余”（盈）或“不足”（亏）情况的典型应用题。 2.掌握核心解题方法： 学会运用“比较法”或“假设法”来解决盈亏问题，理解“总差额”和“单位差”的概念。 3.熟练求解人数和物品数： 能够根据题目给出的两种分配方案（一盈一亏、双盈、双亏）及其结果，求出参与分配的人数以及物品的总数。 4.应用核心公式： 掌握并灵活运用盈亏问题的核心公式： (1)(盈 + 亏) ÷ 两次分配差 = 人数 (2)人数 × 一次分配量 + 盈 = 物品总数 (3)人数 × 一次分配量 - 亏 = 物品总数 5.解决典型盈亏问题： 能够独立解决“一盈一亏”、“双盈”、“双亏”三种基本类型的盈亏问题。 知识梳理 知识点一、什么是盈亏问题？ 1.盈亏问题是一类经典的分配应用题。它的特点是：有一批物品要分配给若干人（或对象）。如果按照一种分配标准来分，物品会多出来一些（称为“盈”）；如果按照另一种分配标准来分，物品会不够分，还差一些（称为“亏”）。题目会给出这两种分配方案及其结果（盈多少、亏多少），要求我们求出参与分配的人数以及物品的总数。 2.核心： 比较两种分配方案，找出分配量的差异（每人多分或少分多少）和结果的总差异（从盈到亏的总差额），进而求出人数。 知识点二、盈亏问题的三种基本类型 1.一盈一亏： 一种方案分配后物品有剩余（盈），另一种方案分配后物品不足（亏）。 例如：小朋友分苹果。每人分4个，多10个（盈）；每人分6个，少20个（亏）。 2.双盈： 两种不同的分配方案，分配后物品都有剩余（盈），但盈的数量不同。 例如：小朋友分糖果。每人分5颗，多15颗（盈）；每人分8颗，多3颗（盈）。 3.双亏： 两种不同的分配方案，分配后物品都不足（亏），但亏的数量不同。 例如：小朋友分练习本。每人分3本，少12本（亏）；每人分4本，少5本（亏）。 知识点三、核心解题思想与方法 解决盈亏问题的关键是比较两种分配方案的差异。 1.找出“单位差”： 比较两种分配方案中，每人分配数量的差异是多少？即第二种方案比第一种方案每人多分或少分多少？这个差值称为“两次分配差”。 2.找出“总差额”： 比较两种分配方案的结果，物品的总量发生了怎样的变化？这个变化的总量就是“总差额”。 3.建立联系： “总差额”是如何产生的？它是由“单位差”累积起来的。有多少人参与分配，每人分配量差一点，累积起来就形成了总差额。因此：人数 = 总差额 ÷ 单位差 4.通用核心公式： (1)人数 = 总差额 ÷ 两次分配差 ①　对于 一盈一亏：总差额 = 盈 + 亏 ②　对于 双盈：总差额 = 大盈 - 小盈 (因为第二次分配比第一次分得更多，盈得更少) ③　对于 双亏：总差额 = 大亏 - 小亏 (因为第二次分配比第一次分得更多，亏得更少) (2)两次分配差 = 方案1每人分配量 - 方案2每人分配量 (表示每人分配量的差异) (3)物品总数 = 人数 × 方案1每人分配量 + 方案1的盈 (4)物品总数 = 人数 × 方案1每人分配量 - 方案1的亏 (5)物品总数 = 人数 × 方案2每人分配量 + 方案2的盈 (6)物品总数 = 人数 × 方案2每人分配量 - 方案2的亏 (根据方案情况选择使用) 知识点四、解题步骤 1.仔细审题，明确类型： 判断题目属于“一盈一亏”、“双盈”还是“双亏”。找出两种分配方案中每人分配的物品数量（A 和 B）以及对应的结果（盈多少？亏多少？）。 2.计算两次分配差：B - A。 3.计算总差额： (1)一盈一亏：总差额 = 盈 + 亏 (2)双盈：总差额 = 大盈 - 小盈 (3)双亏：总差额 = 大亏 - 小亏 4.求出人数： 人数 = 总差额 ÷ 两次分配差 5.求出物品总数： 选择一种分配方案（通常选择计算简便的），代入公式计算物品总数。例如：物品总数 = 人数 × A + 盈（如果方案1是盈）。 6.代入验证： 将求出的人数代入两种分配方案中进行验算，看是否分别得到题目给出的盈或亏的结果。这一步非常重要！ 例题讲解 一、盈亏问题 【例题1】某部队安排新兵宿舍。如果每间房住10人，则缺2个房间；如果每间房住12人，则多1个房间。这批新兵共有多少人？ 【答案】180人 【分析】如果“每间房住10人，则缺2个房间”，这意味着按照每间10人住的话，还缺10×2＝20人的位置（因为缺2个房间，每个房间住10人）。“如果每间房住12人，则多1个房间”，也就是按照每间12人住的话，会空出12×1＝12人的位置（多1个房间，每个房间住12人）。 从每间住10人变为每间住12人，每间房多住了12−10＝2人。总共的人数变化是20＋12＝32人（前面算出缺2个房间能多住20人，多1个房间空出12人，所以总人数变化是这两部分之和）。那么房间数就是32÷2＝16间（因为每间房多住2人导致总人数变化32人，所以房间数 ＝ 总人数变化量 ÷ 每间房人数变化量）。 按照第一种住法 “每间房住10人，则缺2个房间”，房间数是16间，那么新兵人数为10×（16＋2）＝180人。 【详解】（20＋12）÷2 ＝32÷2 ＝16（间） 10×（16＋2） ＝10×18 ＝180（人） 答：新兵共有180人。 【例题2】同学们乘车去春游，若每车坐55人，则还可再坐30人；若每车坐50人，则还可再坐10人，问共有车几辆？共有学生多少人？ 【答案】共有4辆车，共有学生190人。 【分析】若每车坐55人，则还可再坐30人，即每车坐55人，人数少30人；若每车坐50人，则还可再坐10人，即每车坐50人，人数少10人；对比两次分配方法可知，亏30，亏10，两次分配的人数差是55－50＝5人，则车数为（30－10）÷（55－50）＝4辆，人数为4×55－30＝190人。 【详解】（30－10）÷（55－50） ＝20÷5 ＝4（辆） 4×55－30 ＝220－30 ＝190（人） 答：共有4辆车，共有学生190人。 【点睛】此题属于盈亏问题，考查了关系式（大亏数－小亏数）÷两次分物数量的差＝分物份数。 【例题3】饲养员给老虎喂食。如果每只老虎分6千克肉，那么刚好分完；如果每只老虎分5千克肉，则多10千克。那么饲养员一共准备了多少千克肉？ 【答案】60千克 【分析】第一次如果每只老虎分6千克肉，那么刚好分完；如果每只老虎分5千克肉，则多10千克。第一次比第二次每只老虎多分（6－5）千克肉，即每只老虎多分1千克。两次分配的总差额是10千克，因此可以用两次分配的总差额÷每只老虎两次分配的差额即可求出老虎的只数。最后用老虎只数乘6即可求出一共准备了多少千克肉。 【详解】10÷（6－5）×6 ＝10÷1×6 ＝10×6 ＝60（千克） 答：饲养员一共准备了60千克肉。 【例题4】用一根长绳测量井的深度。如果绳子两折，井外余6米；如果绳子三折，绳子离井口还有3米。求绳子的长度和井的深度？ 【答案】绳子54米；井深21米 【分析】根据题意可知，绳子的长度没变，绳子两折，井外余6米，也就是井外的绳子长度有6×2＝12（米），绳子三折，绳子离井口还有3米，也就是到井口还差3×3＝9（米）绳子，两折和三折到井口需要的绳子长度相差12＋9＝21（米），也就是井的深度，井深加6米的和，再乘2即等于绳子的长度，据此即可解答。 【详解】6×2＋3×3 ＝12＋9 ＝21（米） （21＋6）×2 ＝27×2 ＝54（米） 答：绳子长54米，井的深度是21米。 【点睛】明确两折和三折到井口需要的绳子长度差等于井深是解答本题的关键。 考点练习 一、盈亏问题 1．某企业工会要把一笔慰问金分给困难职工。若每人分1100元，则少800元；若每人分800元，则少200元。求困难职工人数与慰问金总数。 【答案】2人；1400元 【分析】第一次若每人分1100元，则少800元；第二次若每人分800元，则少200元。第一次比第二次每人多分（1100－800）元，即每人多分300元。两次分配的总差额是（800－200）元，即总差额是600元。因此可以用总差额÷每人两次差额即可求出困难职工人数。最后用人数乘1100，再减去800，即可求出慰问金总数。 【详解】（800－200）÷（1100－800） ＝600÷300 ＝2（人） 2×1100－800 ＝2200－800 ＝1400（元） 答：困难职工人数有2人，慰问金总数有1400元。 2．春游期间，老师带领五年级的同学们去公园划船。如果减少一条船，每条船正好坐8人；如果增加一条船，每条船正好坐7人。一共有多少人去划船？ 【答案】112人 【分析】根据题意可知，如果每条船坐8人，则缺8人才能坐满，如果每条船坐7人，则还多7人坐不下，两种坐法相差8＋7＝15（人），每条船相差8－7＝1（人），所以15除以1等于船的条数，船的条数减1的差乘8等于一共去划船的人数，据此即可解答。 【详解】（8＋7）÷（8－7） ＝15÷1 ＝15（条） （15－1）×8 ＝14×8 ＝112（人） 答：一共有112人去划船。 【点睛】把增加一条船或减少一条船坐的人数转化为多出的或缺少的人数是解答本题的关键。 3．服装店的一批服装，如果每套卖120元，就亏本200元；如果每套卖150元，可以赚400元。要做到不亏本也不赚钱，每套服装应卖多少元？ 【答案】130元 【分析】如果每套卖120元，就亏本200元；如果每套卖150元，可以赚400元。由此可知总的差额为：200＋400＝600（元），每套的差额为：150－120＝30（元），然后用总的差额除以每套的差额，即可求出这批服装的数量。然后用亏本的200元除以数量，即可求出每套衣服亏本多少元，由此即可求出每套衣服的成本。要做到不亏本也不赚钱，则按成本价出售即可。 【详解】数量：（200＋400）÷（150－120） ＝600÷30 ＝20（套） 成本：200÷20＋120 ＝10＋120 ＝130（元） 答：每套服装应卖130元。 4．五年级学生和老师坐车去春游。原定每车坐30人，现决定每车坐50人（未超载），这样可以少用2辆车。那么一共有多少名学生和老师参加这次春游？ 【答案】150名 【分析】每车坐50人和每车坐30人，每车相差：50－30＝20（人），每车坐50人时，少用2辆车，这意味着如果车的数量不变，还能多坐50×2＝100人，而每车坐30人时正好坐满，也就是多坐的人数为0人。所以两种坐法在车辆数不变的情况下，可乘坐总人数的差是100人。 每车相差20人，总共就相差100人，所以车的数量为：100÷20＝5（辆），再用原来每车坐的人数乘5即可解答。 【详解】50×2÷（50－30） ＝100÷20 ＝5（辆） 30×5＝150（名） 答：一共有150名学生和老师参加这次春游 5．红旗小学被借用为自学考试的考点。如果每个考场坐30名考生，则缺2个考场；如果每个考场坐40名考生，则多20个座位。你知道一共有多少名考生参加这次自学考试吗？ 【答案】300名 【分析】如果每个考场坐30名考生，则缺2个考场，也就是人数多了：30×2＝60（人）；如果每个考场坐40名考生，则多20个座位，也就是人数少了20人。因此可以知道两次安排的总差额是（60＋20）人，即总差额是80人。每次安排的差额为（40－30）人，即每次差额是10人，因此用总差额÷每次差额即可求出一共有多少个考场。最后再用考场数乘40，然后再减去20，即可求出一共有多少名考生参加这次自学考试吗。 【详解】（30×2＋20）÷（40－30） ＝（60＋20）÷10 ＝80÷10 ＝8（个） 40×8－20 ＝320－20 ＝300（名） 答：一共有300名考生参加这次自学考试。 6．红星农场给农户分玉米种子。如果每户分16千克，就会缺48千克；如果每户分10千克，正好分完。这批玉米种子有多少千克？ 【答案】80千克 【分析】第一次如果每户分16千克，就会缺48千克；第二次如果每户分10千克，正好分完。第一次比第二次每户多分（16－10）千克，即每户多分6千克。两次分配的总差额是48千克，可以用总差额÷每户两次差额即可求出户数。最后再用户数乘10，即可求出这批玉米种子有多少千克。 【详解】48÷（16－10）×10 ＝48÷6×10 ＝8×10 ＝80（千克） 答：这批玉米种子有80千克。 7．美猴王给一群小猴分桃子。如果每只小猴分4个桃，就会多出3个没有分完；如果每只小猴分5个，那么就差2个桃子。问：一共有多少只小猴子？这些桃子共有多少个？ 【答案】5只；23个 【分析】第一次如果每只小猴分4个桃，就会多出3个没有分完；第二次如果每只小猴分5个，那么就差2个桃子。第二次比第一次每只小猴多分（5－4）个，即每只小猴多分1个。两次分配的总差额是（3＋2）个，即总差额是5个。因此可以用总差额÷每人两次差额即可求出小猴的只数。最后用小猴只数乘4，再加上3，即可求出桃子的总数。 【详解】（3＋2）÷（5－4） ＝5÷1 ＝5（只） 5×4＋3 ＝20＋3 ＝23（个） 答：一共有5只小猴子，这些桃子共有23个。 8．一群好朋友带了面包去野餐。如果每3人分6个面包，就会多5个面包；如果每4人分12个面包，就会少7个面包。一共有多少位好朋友参加了这次野餐活动？他们一共带了多少个面包？ 【答案】12位；29个 【分析】根据题意可知，每3人分6个，也就是每人分6÷3＝2（个），就会多5个面包；如果每4人分12个，也就是每人分12÷4＝3（个），就差7个面包；每人分3个比每人分2个总共多分了5＋7＝12（个），每个人多分了1个，所以总共多分的个数等于总共的人数，总人数乘2，再加5即等于面包的个数。 【详解】6÷3＝2（个） 12÷4＝3（个） 5＋7＝12（人） 12×2＋5 ＝24＋5 ＝29（个） 答：一共有12位好朋友参加了这次野餐活动，他们一共带了29个面包。 【点睛】每3人分6个比每4人分12个，每人少分1个，所以两种分法需要面包的个数相差数等于人数，这是解答本题的关键。 9．王叔叔为厂里加工零件，原计划每天加工120个，正好在规定时间内完成任务；实际每天比原计划多加工了30个，结果在规定完成任务时间的前3天，还剩180个没有完成。这批零件有多少个？ 【答案】1080个 【分析】根据题意可知，计划的天数内，每天加工120个，正好完成任务，如果每天比计划多加工30，结果在规定完成任务时间的前3天，还剩180个没有完成，3天还可以加工（120＋30）×3个，减去还剩下180个，即等于比任务数总共多加工（120＋30）×3－180个，这个多加工的个数是由于实际每天比计划多加工30个产生的，所以用总共多加工的个数除以实际每天比计划多加工的个数等于计划的天数，计划每天加工的个数乘计划的天数即等于这批零件的个数，据此即可解答。 【详解】[（120＋30）×3－180]÷30 ＝[150×3－180]÷30 ＝[450－180]÷30 ＝270÷30 ＝9（天） 120×9＝1080（个） 答：这批零件有1080个。 【点睛】在计划的天数内，实际加工的零件比计划加工的零件多的个数是由于每天多加工30个产生的，实际比计划多加工的零件个数除以实际每天比原计划多加工的个数等于计划加工的天数，这是解答本题的关键。 10．小芳从家到学校上课。如果用每分钟80米的速度走会迟到4分钟；如果用每分钟100米的速度走会提早5分钟到校。请问：她家离学校有多远？ 【答案】3600米 【分析】根据题意可知，到上课的时间不变，如果每分钟80米，到上课时间离学校还差80×4＝320（米）；如果每分钟100米，到上课时间还可以走100×5＝500（米），到上课时间两种速度走的路程相差320＋500＝820（米），每分钟相差100－80＝20（米），所以用820除以20即等于到上课的时间，到上课的时间加4分钟，再乘80即等于小芳家到学校的路程，据此即可解答。 【详解】（80×4＋100×50）÷（100－80） ＝（320＋500）÷20 ＝820÷20 ＝41（分钟） （41＋4）×80 ＝45×80 ＝3600（米） 答：她家离学校有3600米。 【点睛】到校的时间不变，相同时间内两种速度走的路程差除以速度差等于行走的时间，这是解答本题的关键。 11．爱心小组的同学准备编一些幸运结送给远方的朋友。如果其中2人每人编5个，其他人每人各编8个，那么还有20个幸运结完不成；如果每人编10个，那么正好完成。爱心小组的同学准备编多少个幸运结？ 【答案】70个 【分析】根据题意可知，如果每人都编8个，那么应该有20－（8－5）×2＝14（个）完不成，如果每人编10个正好完成，所以每人编10个比每人编8个多编了14个，每人多编了10－8＝2（个），总共多编的14个除以每人多编的2个即等于爱心小组的人数，10乘爱心小组的人数即等于准备编的幸运结的个数，据此即可解答。 【详解】20－（8－5）×2 ＝20－3×2 ＝20－6 ＝14（个） 14÷（10－8） ＝14÷2 ＝7（人） 10×7＝70（个） 答：爱心小组的同学准备编70个幸运结。 【点睛】两种编法相差的总个数等于两种编法每人相差的个数乘人数，这是解答本题的关键。 12．一个旅游团支旅馆住宿，6人一间，多2个房间；若4人一间，少2个房间。旅馆有房间多少？旅游团有多少人？ 【答案】旅馆有房间10间，旅游团有48人。 【分析】6人一间，多2个房间，即6人一间，则人数缺6×2＝12人；若4人一间，少2个房间，则若4人一间，人数多出4×2＝8人；对比两次分配方法，盈12人，亏8人，两次分配的差为6－4＝2人，则房间数为（12＋8）÷（6－4）＝10间，人数为（10－2）×6＝48人。 【详解】6×2＝12（人） 4×2＝8（人） （12＋8）÷（6－4） ＝20÷2 ＝10（间） （10－2）×6 ＝8×6 ＝48（人） 答：旅馆有房间10间，旅游团有48人。 【点睛】将题目中多出和少出的房间数转化成少或多的人数，算出盈与亏是解决本题的关键。 13．粉笔盒里装的白粉笔支笔是彩色粉笔的5倍，教师们每天用去白粉笔20支，彩色粉笔6支。若干天后盒子中余下的白粉笔60支，而彩色粉笔已断用了2天，粉笔盒中原有白粉笔、彩色粉笔各多少支？ 【答案】粉笔盒中原有白粉笔300支，彩色粉笔60支。 【分析】“每天用去白粉笔20支，彩色粉笔6支。若干天后盒子中余下的白粉笔60支，而彩色粉笔已断用了2天”，即每天用白粉笔20支，彩色粉笔6支，若干天后，白粉笔剩下60支，彩色粉笔少6×2＝12支；因为白色粉笔是彩色粉笔的5倍，如果每天白色粉笔用20支，彩色粉笔用4支，则当剩下白色粉笔60支时，彩色粉笔应该剩下60÷5＝12支；对比两次的分配方法，亏12，盈12，两次分配彩色粉笔的数量差为6－4＝2支，所以一共用了（12＋12）÷（6－4）＝12天，彩色粉笔有（12－2）×6＝60支，白色粉笔60×5＝300支。 【详解】20÷5＝4（支） 60÷5＝12（支） 2×6＝12（支） （12＋12）÷（6－4） ＝24÷2 ＝12（天） （12－2）×10 ＝10×10 ＝60（支） 60×5＝300（支） 答：粉笔盒中原有白粉笔300支，彩色粉笔60支。 【点睛】本题中分配的对象有白色粉笔和彩色粉笔两种，根据白色粉笔与彩色粉笔的倍数关系将题中的分配方法按照白色粉笔与彩色粉笔的倍数关系进行分配，从而得到两次分配彩色粉笔的盈与亏是解决本题的关键。本题还可以采用假设法与方程法解。 14．学校给住宿的新生安排宿舍，如果按7人一间安排比按8人一间多用两间宿舍，有多少住宿的新生？ 【答案】112人 【分析】按7人一间安排比按8人一间多用两间宿舍，即若每间房住7人，人数会多7×2＝14人；用“多出的人数÷多用的房间数”即可算得房间总数，在用房间总数×每间房的人数＋多（或－少）的人数即可算出总人数。 【详解】2×7＝14（人） 14÷（8－7） ＝14÷1 ＝14（间） 14×7＋2×7 ＝98＋14 ＝112（人） 答：有112个住宿的新生。 【点睛】将本题中多用的房间数转化成多出的人数是解决本题的关键。本题也可以使用方程法解。 15．学校给参加夏令营的同学租了几辆大轿车，如果每辆车乘28人，则有13名同学上不了车；如果每辆车乘32人，则还有3个空座。一共有同学几名？ 【答案】125名 【分析】如果每辆车乘28人，则有13名同学上不了车，即每辆车乘28人，人数多出13人；如果每辆车乘32人，则还有3个空座，则每辆车乘32人，人数缺少3人；对此两次乘车的方法，第二次比第一次每辆车多乘32－28＝4人，则就要多乘人数13＋3＝16人；用多乘的人数÷两次乘车的人数差＝车数，再用车数×每车乘人数＋多（或－少）的人数＝总人数。 【详解】（13＋3）÷（32－28） ＝16÷4 ＝4（辆） 4×28＋13 ＝112＋13 ＝125（人） 答：一共有125名同学。 【点睛】解决本题的关键是对比两次乘车方法差异以及造成这个人数差异的原因，算出盈与亏。此题也可以用方程求解。 16．用一根长绳测量井的深度。如果绳子两折时，多5米，如果绳子三折时，差1米。求绳子长度和井深。（提示：绳子两折多5米，表示绳子长度是井深的2倍多10米。） 【答案】绳子长度是36米；井深13米。 【分析】如果绳子两折时，多5米，即绳子长度是井深的2倍多5×2＝10米；如果绳子三折时，差1米，绳子长度是井深的3倍少3×1＝3米；用多出的绳子长度加上缺少的绳子长度再除以（3－2），即可计算出井深多少米，然后根据绳子的对折可计算出绳子的长度。 【详解】2×5＝10（米） 1×3＝3（米） （10＋3）÷（3－2） ＝13÷1 ＝13（米） （13＋5）×2 ＝18×2 ＝36（米） 答：绳子长度是36米，井深13米。 【点睛】解答此题的关键是分析出2折多5米，其实是多单根绳子的10米，3折少1米，其实是少了单根绳子的3米，然后再用两数之和除以3－2即可得到井深，然后再依据题意计算出绳子的长度即可。 17．某校学生参加劳动，分成若干组，每组8人，觉得每组人数太少，把每组改为12人，因此减少2组，参加劳动的学生共有多少人？ 【答案】48人 【分析】分成若干组，每组8人，则若每组8人，人数刚好分完；把每组改为12人，因此减少2组，即若每组12人，则人数少2×12＝24人；对比两次分配方法，盈0，亏24，两次分配的人数差为12－8＝4人，则组数为24÷4＝6组，总人数为6×8＝48人。 【详解】2×12＝24（人） 24÷（12－8） ＝24÷4 ＝6（组） 6×8＝48（人） 答：参加劳动的学生有48人。 【点睛】把本题中的减少的组数转化成人数缺少的数量，算出盈与亏是解决本题的关键。 18．有一堆螺丝和螺母。如果一个螺丝配两个螺母，则多10个螺母；如果一个螺丝配三个螺母，则少6个螺母，螺丝、螺母各多少个？ 【答案】螺丝有16个，螺母有42个。 【分析】如果一个螺丝配两个螺母，则多10个螺母；如果一个螺丝配三个螺母，则少6个螺母；对比两次的分配方法，盈10，亏6，两次分配的螺母数量差为3－2＝1，则螺丝有（10＋6）÷（3－2）＝16个，螺母有16×2＋10＝42个。 【详解】（10＋6）÷（3－2） ＝16÷1 ＝16（个） 16×2＋10 ＝32＋10 ＝42（个） 答：螺丝有16个、螺母有42个。 【点睛】对比两次分配方法计算出盈与亏是解决本题的关键。解决这类问题要弄清楚分配的对象是谁。 19．老师将一批练习本发给班上的学生。如果每人发6本，则少94本；如果每人发4本，则少2本。问有多少个学生？有多少练习本。 【答案】有学生46人，练习本182本。 【分析】根据题目信息分析可知，第二次分配比第一次分配每人少分配6－4＝2本，则练习本就少94－2＝92本，用“少分配的练习本数÷平均每人少分配的联系本数”即可算得人数，用“人数×每人分得的联系本数－少分的练习本数”即可算得总的练习本数。 【详解】（94－2）÷（6－4） ＝92÷2 ＝46（人） 46×6－94 ＝276－94 ＝182（本） 答：有学生46人，练习本182本。 【点睛】本题主要考查了盈亏问题的应用，注意本题中两次分配都是“亏”。也可以使用方程法解决此题。 20．某商店从深圳运来一批水果，运费花了1000元，水果报损了100千克，若按2元1千克卖出，则要亏损300元；若按3元1千克买出，则可盈利500元。问原来进货多少千克？水果进货的金额是多少元？ 【答案】900千克；1900元 【分析】两种出售方式，可出售水果的重量和水果总价是不变的，两次的单价差1元，总售价差800元，先求出可出售水果的重量，再求出总的水果的重量和进货金额。 【详解】 答：原来进货900千克；水果进货的金额是1900元。 【点睛】本题是盈亏问题中的“盈亏型”，但要注意题目根据两次销售的情况首先求出的可出售的重量，并不是题目所求。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $