第23讲 追及问题（知识梳理+例题讲解+考点练习）-四年级奥数培优讲义

第23讲 追及问题 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.理解追及问题的基本概念，掌握追及问题的核心数量关系； 2.学会分析追及问题中的"路程差"形成原因，能准确找出不同情境下的路程差； 3.掌握追及问题的解题步骤，能运用公式解决基础型和变式型追及问题； 4.培养画线段图分析问题的能力，提高逻辑思维和解决实际问题的能力。 知识梳理 知识点一、知识梳理 1.基本概念 (1)追及问题：两个运动物体在同一直线上运动，速度快的物体从后面追上速度慢的物体的问题。 (2)核心要素：追及路程（路程差）、速度差、追及时间。 (3)运动特点：方向相同，速度不同（快追慢）。 2.核心公式 (1)基础公式：追及路程 = 速度差 × 追及时间 (2)推导公式： 速度差 = 追及路程 ÷ 追及时间 追及时间 = 追及路程 ÷ 速度差 快车速度 = 慢车速度 + 速度差 慢车速度 = 快车速度 - 速度差 知识点二、追及问题的类型及路程差确定方法 类型一：同时不同地出发 路程差 = 出发时两者之间的距离 （例：甲在乙前方100米，同时同向出发，路程差为100米）。 类型二：同地不同时出发 路程差 = 慢车先行的路程 （例：甲先出发2小时后乙出发追赶，路程差 = 甲的速度×2小时）。 类型三：环形跑道追及 路程差 = 跑道周长×追及次数 （例：环形跑道周长400米，甲追上乙1次，路程差为400米）。 类型四：特殊情境追及 ① 遇障碍物：路程差 = 原距离 ± 障碍物影响距离 ② 往返追及：路程差 = 单程距离×2 - 已行路程 ③ 变速追及：需分段计算路程差和速度差 知识点三、解题步骤 1.审题：明确运动方向、出发时间、出发地点、速度等关键信息。 2.画图：绘制线段图或情境图，直观表示路程关系。 3.分析：确定追及类型，找出路程差、速度差。 4.列式：根据核心公式列算式或方程。 5.计算：准确计算结果并检验。 知识点四、解题技巧 1.线段图法：用不同长度的线段表示路程，标注速度、时间等信息。 2.公式法：直接套用追及问题核心公式，注意单位统一。 3.方程法：设未知数表示未知量，根据等量关系列方程。 4.转化法：将复杂追及问题转化为基础类型（如将环形追及转化为直线追及）。 例题讲解 一、追及问题 【例题1】卡尔步行上学，每分钟行70米。离家12分钟后，爸爸发现卡尔的文具盒忘在家中，爸爸带着文具盒，立即骑自行车以每分钟280米的速度去追卡尔。当爸爸追上卡尔时他们离家多远？ 【例题2】B处的兔子和A处的狗相距56米，兔子从B处逃跑，狗同时从A处跳出追兔子，狗一跳前进2米，狗跳3次时间与兔子跳4次时间相同，兔子跳出112米到达C处，狗追上兔子，问兔子一跳前进多少米？ 二、特殊情境追及 【例题1】爸爸和儿子一起骑车去郊游，他们每分钟行240米，出发5分钟，爸爸发现忘带照相机，他们商定，儿子继续前行，爸爸马上以每分钟320米的速度按原路返回家中去取，取上后再立刻去追。爸爸自返回开始到追上儿子，在路上要用多少分钟？ 【例题2】骑车人以每分钟300米的速度沿公共汽车路线前进，当他离始发站3000米时，一辆公共汽车从始发站出发，它的速度为每分钟700米，并且每行3分钟到达一站停车1分钟。问：公共汽车多长时间追上骑车人？ 【例题3】老师带领学生从学校出发到A地去春游，队伍每分钟行60米，5分钟后，老师发现手机忘带，马上叫小刚返回去拿，小刚每分钟跑100米，到学校拿到手机后马上去追老师和同学们。学校与A地相距3000米，小刚能在老师和同学们到达A地之前追上吗？ 三、环形跑道追及 【例题1】小明和小乐在学校的环形跑道上比赛长跑。他们从同一地点同时同向出发。小明每分钟跑200米，小乐每分钟跑180米，经过20分钟，小明第一次追上小乐。学校的跑道长多少米？ 【例题2】如图，正方形ABCD的周长为480米。甲、乙两人同时分别从A，D出发按逆时针方向行走，甲每分钟走150米，乙每分钟走120米，甲、乙在每一个顶点都要休息4秒钟。则当甲第一次追上乙需多少秒钟？ 考点练习 一、追及问题 1．小丁丁8：00出门，以每分钟60米的速度从家步行去学校，8：15即可到达。出发9分钟后，爸爸发现他的作业遗漏在家里了，沿路骑自行车以每分钟180米的速度追他，爸爸能在小丁丁到达前追上他吗？（用方程解） 2．小胖早上步行从家出发去学校，速度为80米/分，小胖出发900米后，爸爸发现小胖语文书没带，以每分钟200米的速度去追。请问爸爸几分钟后能追上小胖？（列方程解决问题） 3．有甲，乙两列火车，甲车长260米，每秒行22米：乙车长240米，两列火车同向行驶，甲车超过乙车共用了125秒（从甲车追上乙车的到甲车车尾离开乙车车头），问乙车每秒行多少米？ 4．六年级的同学分乘两种交通工具去郊游。男同学骑自行车先从校门口出发，每小时骑行15千米，2小时后，女同学坐汽车从校门口出发，经过半小时追上了男同学。汽车每小时行驶多少千米？ 5．野兔逃出80步后猎狗才开始追，野兔跑7步的路程猎狗只需跑3步，野兔跑9步的时间猎狗只能跑5步。问：猎狗至少跑多少步才能追上野兔？ 二、特殊情境追及 1．杨柳小学安排学生从学校出发去参加游园活动，队伍每小时行6千米。离开学校12千米后，班主任发现没有拿入园门票，马上要求助教老师骑自行车回学校取。助教以每小时12千米的速度回到学校，取了入园门票后立即返回。助教老师从学校出发，几小时可以追上队伍？ 2．淘气骑车每分钟行200米，妙想步行每分钟80米。妙想出发3.6千米后淘气骑车去追妙想，但淘气每行5分钟就要停1分钟。淘气追上妙想要多长时间？ 3．甲、乙、丙三人在周长400米的圆形跑道上进行1万米赛跑。三人从同一起跑线同时起跑，甲每分钟跑300米，乙每分钟跑310米，丙每分钟跑350米。当丙第一次追上甲时，甲开始加速，速度为原来的1.3倍，并保持到终点；当丙第一次追上乙时，乙、丙同时加速，乙每分钟比原来多跑90米，丙每分钟比原来多跑25米，两人都以这个速度跑到终点。请你确定三人的名次。 4．学校组织军训，甲、乙、丙三人步行从学校到军训驻地。甲、乙两人早晨7点一起从学校出发，甲每小时走6千米，乙每小时走5千米，丙上午9点才从学校出发，下午5点甲、丙同时到达军训驻地。问：丙在何时追上乙？ 5．摩托车行驶120千米与汽车行驶180千米所用的时间相同，7小时内摩托车行驶的路程比6小时内汽车行驶的路程少80千米，若摩托车先出发2小时，然后汽车从同一出发点开始追赶，那么汽车出发后几小时内可以追上摩托车？ 6．小美步行去上学，从家出发16分钟后爸爸发现她没带文具盒，于是骑摩托车去追，在距离家800米的地方追上了她，小美带着文具盒继续向学校走去，爸爸在返回家以后发现她作业本也没带，于是带上作业本又骑摩托车去追，刚好在学校门口追上了她，已知家到学校门口的距离为1200米，请问小美每分钟走多少米？ 7．某部解放军进行野外训练，大部队以每小时20千米的速度先行了2小时，然后小分队以每小时30千米的速度沿着大部队行走的路线追赶。其间通讯员随着小分队同时出发，但以每小时50千米的速度向大部队赶去传递相关信息，遇到大部队后又以同样的速度返回，向小分队传递相关信息……就这样，通讯员遇到小分队后就返回大部队，遇到大部队后就返回小分队，直到小分队追上大部队。那么小分队追上大部队时，通讯员行了多少千米？ 8．甲、乙两车同时从某地出发背向而行，甲车以每小时88千米的速度行驶，乙车以每小时64千米的速度行驶，1.5小时后甲车掉头去追乙车，需要多少小时才能追上？ 9．甲、乙两人以每分60米的速度同时、同地、同向步行出发。走15分钟后甲返回原地取东西，而乙继续前进。甲取东西用去5分钟的时间，然后改骑自行车以每分钟360米的速度追乙，甲骑车多少分钟才能追上乙？ 10．甲乙两人分别从相距60千米的A、B两地同时出发，在A、B之间不断往返骑车，已知甲骑车的速度是每小时21千米，乙骑车的速度是每小时9千米，问出发多长时间，甲第一次追上乙？再过多长时间甲第二次追上乙？ 三、环形跑道追及 1．小林和爸爸在400米长的环形跑道上散步，他们同时从同一地点出发，爸爸每分钟走20米，40分钟后第一次追上小林。小林每分钟走几米？ 2．君君和丽丽沿着400米的环形跑道跑步，他们同时从同一地点出发，同向而行。20分钟后丽丽第一次追上君君。已知君君的速度是230米/分，丽丽的速度是多少？（用方程解） 3．如下图所示，甲、乙二人沿边长100米的正方形跑道按逆时针方向练习长跑，甲从A点出发，每分钟跑380米，乙从B点出发，每分钟跑430米。当乙第二次追上甲时，应在正方形的那条边上？ 4．在500米的跑道上有A、B两点相距170米，甲乙同时分别从A、B两点出发，逆时针方向跑步，每秒钟甲跑5米，乙跑4米，两人每跑100米，都要休息10秒；甲需多少秒才能追上乙？ 5．如图，正方形操场的边长为100米，长跑运动员枫枫和叶叶分别从A、D两点同时起跑沿箭头方向绕操场练习跑步，枫枫的速度为3米/秒，叶叶的速度为2米/秒。枫枫每次遇到（相遇或追上）叶叶就改变方向（转身时间忽略不计），但速度大小不变。 （1）多长时间后，枫枫第二次遇到叶叶？ （2）24分钟内，枫枫一共遇到叶叶多少次？ 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第23讲 追及问题 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.理解追及问题的基本概念，掌握追及问题的核心数量关系； 2.学会分析追及问题中的"路程差"形成原因，能准确找出不同情境下的路程差； 3.掌握追及问题的解题步骤，能运用公式解决基础型和变式型追及问题； 4.培养画线段图分析问题的能力，提高逻辑思维和解决实际问题的能力。 知识梳理 知识点一、知识梳理 1.基本概念 (1)追及问题：两个运动物体在同一直线上运动，速度快的物体从后面追上速度慢的物体的问题。 (2)核心要素：追及路程（路程差）、速度差、追及时间。 (3)运动特点：方向相同，速度不同（快追慢）。 2.核心公式 (1)基础公式：追及路程 = 速度差 × 追及时间 (2)推导公式： 速度差 = 追及路程 ÷ 追及时间 追及时间 = 追及路程 ÷ 速度差 快车速度 = 慢车速度 + 速度差 慢车速度 = 快车速度 - 速度差 知识点二、追及问题的类型及路程差确定方法 类型一：同时不同地出发 路程差 = 出发时两者之间的距离 （例：甲在乙前方100米，同时同向出发，路程差为100米）。 类型二：同地不同时出发 路程差 = 慢车先行的路程 （例：甲先出发2小时后乙出发追赶，路程差 = 甲的速度×2小时）。 类型三：环形跑道追及 路程差 = 跑道周长×追及次数 （例：环形跑道周长400米，甲追上乙1次，路程差为400米）。 类型四：特殊情境追及 ① 遇障碍物：路程差 = 原距离 ± 障碍物影响距离 ② 往返追及：路程差 = 单程距离×2 - 已行路程 ③ 变速追及：需分段计算路程差和速度差 知识点三、解题步骤 1.审题：明确运动方向、出发时间、出发地点、速度等关键信息。 2.画图：绘制线段图或情境图，直观表示路程关系。 3.分析：确定追及类型，找出路程差、速度差。 4.列式：根据核心公式列算式或方程。 5.计算：准确计算结果并检验。 知识点四、解题技巧 1.线段图法：用不同长度的线段表示路程，标注速度、时间等信息。 2.公式法：直接套用追及问题核心公式，注意单位统一。 3.方程法：设未知数表示未知量，根据等量关系列方程。 4.转化法：将复杂追及问题转化为基础类型（如将环形追及转化为直线追及）。 例题讲解 一、追及问题 【例题1】卡尔步行上学，每分钟行70米。离家12分钟后，爸爸发现卡尔的文具盒忘在家中，爸爸带着文具盒，立即骑自行车以每分钟280米的速度去追卡尔。当爸爸追上卡尔时他们离家多远？ 【答案】1120米 【分析】本题是追及问题的基本应用。我们先求出追及时间，追及时间＝追及路程÷速度差，再运用速度×时间就可以得出爸爸行驶的路程，该路程就是题目中所求的答案了。 【详解】爸爸行驶的时间： 70×12÷（280－70）＝4（分钟） 爸爸行驶的路程： 280×4＝1120（米） 答：爸爸追上卡尔时他们离家1120米。 【例题2】B处的兔子和A处的狗相距56米，兔子从B处逃跑，狗同时从A处跳出追兔子，狗一跳前进2米，狗跳3次时间与兔子跳4次时间相同，兔子跳出112米到达C处，狗追上兔子，问兔子一跳前进多少米？ 【答案】1米 【分析】由题干可知：免子跳出的路程为112米，狗追击的路程为56＋112＝168米，由此先求出狗跳的次数，由狗跳3次的时间与免跳4次的时间相同的条件，可得出免子跳的次数，从而即可解决问题， 【详解】根据追及问题可知，兔跳112米时，狗跳的路程：56＋112＝168（米）。 狗一共跳的次数：168÷2＝84（次）。 由狗跳3次的时间与兔跳4次的时间相同的条件可知 兔跳的次数：4×（84÷3）＝112（次） 兔跳一次的距离：112÷112＝1（米）。 答：兔子一跳前进1米。 二、特殊情境追及 【例题1】爸爸和儿子一起骑车去郊游，他们每分钟行240米，出发5分钟，爸爸发现忘带照相机，他们商定，儿子继续前行，爸爸马上以每分钟320米的速度按原路返回家中去取，取上后再立刻去追。爸爸自返回开始到追上儿子，在路上要用多少分钟？ 【答案】30分钟 【分析】由题意可知爸爸出发5分钟后返回，儿子继续前行，根据“路程＝速度×时间”可以求出此时爸爸和儿子已经走过的路程为：240×5＝1200（米）。然后爸爸以每分钟320米的速度返回家中然后立刻去追儿子，因此爸爸要比儿子多走2个1200米，然后再根据追及问题“追及时间＝路程差÷速度差”即可求出爸爸自返回开始到追上儿子需要多少分钟。 【详解】240×5×2÷（320－240） ＝1200×2÷80 ＝2400÷80 ＝30（分钟） 答：爸爸自返回开始到追上儿子需要30分钟。 【例题2】骑车人以每分钟300米的速度沿公共汽车路线前进，当他离始发站3000米时，一辆公共汽车从始发站出发，它的速度为每分钟700米，并且每行3分钟到达一站停车1分钟。问：公共汽车多长时间追上骑车人？ 【答案】11分钟 【分析】由题干可知：公共汽车追及距离为3000米，1分钟追上（700－300）＝400米，追上3000米要用3000÷400＝7.5（分钟），但公共汽车行3分钟要停1分钟，共停2分钟，骑车人又要前行300×2＝600米，公共汽车追上这600米，又要多用600÷400＝1.5分钟，由此即可解决， 【详解】追上3000米要用：3000÷（700－300）＝7.5（分钟）， 但公共汽车行7.5分钟要停两站：1×2＝2（分钟）， 公共汽车停2分钟，骑车人又要前行（300×2）＝600米， 公共汽车追上这600米要用：600÷400＝1.5分钟， 所以公共汽车追上骑车人共需7.5＋2＋1.5＝11（分钟）； 答：11分钟后公共汽车刚好追上骑车人。 【例题3】老师带领学生从学校出发到A地去春游，队伍每分钟行60米，5分钟后，老师发现手机忘带，马上叫小刚返回去拿，小刚每分钟跑100米，到学校拿到手机后马上去追老师和同学们。学校与A地相距3000米，小刚能在老师和同学们到达A地之前追上吗？ 【答案】小刚能在老师和同学们到达A地之前追上 【分析】本题是个追及问题，关键是分析出路程差就能迎刃而解了。我们可以通过画线段图辅助理解，其实路程差就是小刚回学校时，队伍离学校的距离。求出路程差，我们就容易求出追及时间。小刚从学校出发后到追上老师和学生的行走路程就是老师和学生行走的总路程，根据路程＝速度×时间，得出的路程大于等于3000米，那就说明小刚追不上，小于3000米说明小刚能追上。 【详解】小刚返回学校用时： 60×5÷100＝3（分钟） 小刚追上队伍用时：（5＋3）×60÷（100－60）＝12（分钟） 此时，小刚离学校距离：12×100＝1200（米） 1200米＜3000米 答：小刚能在老师和同学们到达A地之前追上。 三、环形跑道追及 【例题1】小明和小乐在学校的环形跑道上比赛长跑。他们从同一地点同时同向出发。小明每分钟跑200米，小乐每分钟跑180米，经过20分钟，小明第一次追上小乐。学校的跑道长多少米？ 【答案】400米 【分析】两人同向出发，即属于追及问题，第一次追上时，小明比小乐多跑了一圈，利用路程差＝速度差×追及时间，即可得出跑道一圈的长度。 【详解】速度差：200－180＝20米/分 跑道长：20×20＝400（米） 答：学校的跑道长400米。 【例题2】如图，正方形ABCD的周长为480米。甲、乙两人同时分别从A，D出发按逆时针方向行走，甲每分钟走150米，乙每分钟走120米，甲、乙在每一个顶点都要休息4秒钟。则当甲第一次追上乙需多少秒钟？ 【答案】256秒 【分析】正方形的周长为480米，根据正方形的边长＝正方形的周长÷4得出每一条边是120米。甲每分钟走150米，乙每分钟走120米，根据1分钟＝60秒得出甲每秒走2.5米，乙每秒走2米。 甲乙两人分别从A、D同时出发，按逆时针方向行走，他们在每一个顶点都要休息4秒钟，甲第一次追上乙的时候，甲一定比乙多经过一个顶点，即甲一定比乙多休息一次，可以先求出甲休息的这4秒时间里乙走过的路程为8米，因此追及路程为＝正方形的边长＋7，为128米。 根据“追及时间＝路程差÷速度差”即可求出追及时间为256秒。即可求出甲第一次追上乙需要的时间。 【详解】480÷4＝120（米） 120÷60＝2（米/秒） 150÷60＝2.5（米/秒） 2×4＝8（米） 120＋8＝128（米） 128÷（2.5－2） ＝128÷0.5 ＝256（秒） 答：当甲第一次追上乙需256秒。 考点练习 一、追及问题 1．小丁丁8：00出门，以每分钟60米的速度从家步行去学校，8：15即可到达。出发9分钟后，爸爸发现他的作业遗漏在家里了，沿路骑自行车以每分钟180米的速度追他，爸爸能在小丁丁到达前追上他吗？（用方程解） 【答案】能 【分析】设经过x分钟后爸爸追上小丁丁；根据路程＝速度×时间，小丁丁每分钟60米，先求出小丁丁9分钟走的路程，列式为60×9；再求走x分钟行的路程，即60x米；爸爸骑自行车每分钟180米，x分钟爸爸行了180x米；小丁丁走的路程＝爸爸骑自行车行的路程，列方程：60×9＋60x＝180x，解方程，求出经过多少分钟爸爸追上小丁丁，再加上9分钟，求出小丁丁走的时间；再和小丁丁上学的时间比较，如果大于小丁丁上学用的时间，爸爸不能在小丁丁到达学校前追上，如果小于等于小丁丁上学用的时间，爸爸能在小丁丁到达学校前追上，据此解答。 【详解】8：15－8：00＝15（分钟） 解：设经过x分钟后爸爸追上小丁丁。 60×9＋60x＝180x 540＋60x＝180x 540＋60x－60x＝180x－60x 120x＝540 120x÷120＝540÷120 x＝4.5 4.5＋9＝13.5（分钟） 13.5分钟＜15分钟，爸爸能在小丁丁到达前追上他。 答：爸爸能在小丁丁到达前追上他。 2．小胖早上步行从家出发去学校，速度为80米/分，小胖出发900米后，爸爸发现小胖语文书没带，以每分钟200米的速度去追。请问爸爸几分钟后能追上小胖？（列方程解决问题） 【答案】7.5分钟 【分析】设爸爸x分钟后能追上小胖；爸爸每分钟200米，x分钟走200x米；小胖速度为80米/分，x分钟走80x米，再加上900米就是小胖走的路程，爸爸走的路程＝小胖走的路程，列方程：200x＝900＋80x，解方程，即可解答。 【详解】解：设爸爸x分钟后能追上小胖。 200x＝900＋80x 200x－80x＝900 120x＝900 x＝900÷120 x＝7.5 答：爸爸7.5分钟后能追上小胖。 3．有甲，乙两列火车，甲车长260米，每秒行22米：乙车长240米，两列火车同向行驶，甲车超过乙车共用了125秒（从甲车追上乙车的到甲车车尾离开乙车车头），问乙车每秒行多少米？ 【答案】18米 【分析】由题意可知，超车时间为125秒，直接利用公式速度差＝路程差÷超车时间，其中，路程差即为两车车长和，代入公式求出速度差，即可得出答案。 【详解】速度差：（260＋240）÷125＝4（米/秒） 乙车速度：22－4＝18（米/秒） 答：乙车每秒行18米 4．六年级的同学分乘两种交通工具去郊游。男同学骑自行车先从校门口出发，每小时骑行15千米，2小时后，女同学坐汽车从校门口出发，经过半小时追上了男同学。汽车每小时行驶多少千米？ 【答案】75千米 【分析】男同学先骑行2小时，女同学才出发，男同学先行了15×2＝30（千米），女同学半小时就追上了男同学，说明半小时里女同学比男同学多走了30千米，用30除以0.5等于女同学每小时比男同学多行了多少千米，再加上男同学每小时骑行的路程，即等于汽车小时行驶的路程，据此即可解答。 【详解】15×2÷0.5＋15 ＝30÷0.5＋15 ＝60＋15 ＝75（千米） 答：汽车每小时行驶75千米。 5．野兔逃出80步后猎狗才开始追，野兔跑7步的路程猎狗只需跑3步，野兔跑9步的时间猎狗只能跑5步。问：猎狗至少跑多少步才能追上野兔？ 【答案】150步 【分析】假设猎狗3步跑21米，则兔子7步也跑21米，猎犬跑5步的时间为1秒，则兔子跑9步的时间也是1秒，那猎狗一步跑7米，1秒跑5步，所以猎狗的速度就是7×5＝35（米/秒）；兔子一步跑3米，1秒跑9步，所以兔子的速度就是3×9＝27（米/秒）。猎狗与兔子的路程差：3×80＝240（米），追及时间：240÷（35－27）＝30（秒），猎狗追上兔子需要跑的步数：30×5＝150（步）。 【详解】[7，3]＝21 假设野兔跑7步的路程和猎狗跑3步的路程是21米 兔1步：21÷7＝3（米）   狗1步：21÷3＝7（米） 假设兔跑9步的时间和猎狗跑5步的时间是1秒 野兔的速度：3×9＝27（米/秒） 猎狗的速度：7×5＝35（米/秒） 路程差：80×3＝240（米） 猎狗跑的步数：240÷（35－27）×5＝150（步） 答：猎狗至少跑150步才能追上野兔。 二、特殊情境追及 1．杨柳小学安排学生从学校出发去参加游园活动，队伍每小时行6千米。离开学校12千米后，班主任发现没有拿入园门票，马上要求助教老师骑自行车回学校取。助教以每小时12千米的速度回到学校，取了入园门票后立即返回。助教老师从学校出发，几小时可以追上队伍？ 【答案】3小时 【分析】助教老师准备返回时，队伍已经走了12÷6＝2小时，助教老师回到学校用时12÷12＝1小时，当他返回准备去追及队伍时，队伍已经离校3小时，即3×6＝18千米，路程差即为18千米，直接代公式路程差÷速度差，即可得出追及时间。 【详解】助教老师准备返回时，队伍走了：12÷6＝2（小时） 助教老师回到学校用时：12÷12＝1小时 路程差：6×（2＋1）＝18（千米） 追及时间：18÷（12－6）＝3（小时） 答：助教老师从学校出发，3小时可以追上队伍。 2．淘气骑车每分钟行200米，妙想步行每分钟80米。妙想出发3.6千米后淘气骑车去追妙想，但淘气每行5分钟就要停1分钟。淘气追上妙想要多长时间？ 【答案】40分钟 【分析】由题干可知：淘气的追及距离为3600米，1分钟追上200－80＝120米，追上3600米要用3600÷120＝30（分钟），但淘气每行5分钟要停1分钟，共停6分钟，妙想又要前行80×6＝480米，淘气追上这480米，又要多用480÷120＝4分钟，由此即可解决， 【详解】3.6千米＝3600米 淘气不停追上3600米要用：3600÷（200－80）＝30（分钟）， 但淘气行30分钟要停6次：1×6＝6（分钟）， 淘气停6分钟，骑车人又要前行80×6＝480米， 淘气追上这480米要用：480÷120＝4分钟， 所以淘气追上妙想共需30＋6＋4＝40（分钟）； 答：淘气追上妙想要40分钟。 3．甲、乙、丙三人在周长400米的圆形跑道上进行1万米赛跑。三人从同一起跑线同时起跑，甲每分钟跑300米，乙每分钟跑310米，丙每分钟跑350米。当丙第一次追上甲时，甲开始加速，速度为原来的1.3倍，并保持到终点；当丙第一次追上乙时，乙、丙同时加速，乙每分钟比原来多跑90米，丙每分钟比原来多跑25米，两人都以这个速度跑到终点。请你确定三人的名次。 【答案】乙第一名，丙第二名，甲第三名。 【分析】丙第一次追上甲：丙与甲速度差为50米/分，需追击400米，耗时8分钟。此时剩下的路程7600米，甲开始加速至390米/分钟。甲跑1万米需要的总时间＝用速度是300米时跑的时间＋速度是390跑的时间。 丙第一次追上乙：丙与乙速度差为40米/分钟，需追击400米，耗时10分钟。则此时乙已经跑了3100米，剩下的6900米，乙加速到400米/分。乙跑1万米需要的总时间＝用速度是310米时跑的时间＋速度是400跑的时间。 丙再追上乙时加速度，即当跑了10分钟路程为3500，剩下的6500是加速为375米/分，丙跑1万米需要的总时间＝用速度是350米时跑的时间＋速度是375跑的时间。 最后比较三人的时间，时间最短的是第一名。 【详解】甲需要的时间： 350－300＝50（米/分钟） 400÷50＝8（分钟） 300×8＝2400（米） 300×1.3＝390（米/分钟） （1000－2400）÷390 ＝7600÷390 ≈19.487（分钟） 8＋19.487≈27.487（分钟） 乙需要的总时间： 400÷（350－310） ＝400÷40 ＝10（分钟） 310＋90＝400（米/分钟） 310×10＝3100（米） 10000－3100＝6900（米） 6900÷400＝17.25（分钟） 10＋17.25＝27.25（分钟） 丙需要的总时间： 350＋25＝375（米/分钟） 350×10＝3500（米） 10000－3500＝6500（米） 6500÷375≈17.333（分钟） 10＋17.333≈27.333（分钟） 乙（27.25分钟）＜丙（27.333分钟）＜甲（27.487分钟） 答：乙第一名，丙第二名，甲第三名。 4．学校组织军训，甲、乙、丙三人步行从学校到军训驻地。甲、乙两人早晨7点一起从学校出发，甲每小时走6千米，乙每小时走5千米，丙上午9点才从学校出发，下午5点甲、丙同时到达军训驻地。问：丙在何时追上乙？ 【答案】下午1点 【分析】甲上午7时出发，下午5时到达，所以甲一共走了10小时，每小时6千米，即可得出全程是60千米，丙上午9时出发，下午5时到达，合计走了8小时，因此，丙的速度为60÷8＝7.5千米/小时，丙出发的时候，乙已经走了2小时，合计2×5＝10千米，则丙追上乙时，路程差即为10千米，利用路程差÷速度差，即可算出追及时间。 【详解】下午5点－上午7点＝10小时    下午5点－上午9点＝8小时 丙的速度：10×6÷8＝7.5（千米/小时） 乙丙追及时间：5×2÷（7.5－5）＝4（小时） 9点过了4小时是下午1点。 答：丙在下午1点追上乙。 5．摩托车行驶120千米与汽车行驶180千米所用的时间相同，7小时内摩托车行驶的路程比6小时内汽车行驶的路程少80千米，若摩托车先出发2小时，然后汽车从同一出发点开始追赶，那么汽车出发后几小时内可以追上摩托车？ 【答案】汽车出发后4小时内可以追上摩托车 【分析】首先分析两车的路程比即是速度比，根据路程差除以速度差即可求解。 【详解】依题意可知： 摩托车速度：汽车的速度＝120：180＝2：3 每一份的路程为：80÷（3×6－2×7）＝20（千米） 摩托车7小时的路程为：20×7×2＝280（千米）。 摩托车的速度为：280÷7＝40（千米/时） 汽车6小时的路程为：20×6×3＝360（千米） 汽车的速度是：360÷6＝60（千米/时） 40×2÷（60－40）＝4（小时） 答：那么汽车出发后4小时内可以追上摩托车。 6．小美步行去上学，从家出发16分钟后爸爸发现她没带文具盒，于是骑摩托车去追，在距离家800米的地方追上了她，小美带着文具盒继续向学校走去，爸爸在返回家以后发现她作业本也没带，于是带上作业本又骑摩托车去追，刚好在学校门口追上了她，已知家到学校门口的距离为1200米，请问小美每分钟走多少米？ 【答案】每分钟走40米 【分析】从第一次追上到第二次追上，小美行了1200－800＝400（米），小美的爸爸行了800＋1200＝2000（米），因此爸爸的速度是小美速度的2000÷400＝5倍。 当爸爸出发去追小美，第一次追上小美时，小美行了800÷5＝160（米），因此小美16分钟行了800－160＝640（米），小美的速度是640÷16＝40（米/分） 【详解】1200－800＝400（米） 800＋1200＝2000（米） 2000÷400＝5 800÷5＝160（米） 800－160＝640（米） 640÷16＝40（米/分） 答：小美每分钟走40米。 7．某部解放军进行野外训练，大部队以每小时20千米的速度先行了2小时，然后小分队以每小时30千米的速度沿着大部队行走的路线追赶。其间通讯员随着小分队同时出发，但以每小时50千米的速度向大部队赶去传递相关信息，遇到大部队后又以同样的速度返回，向小分队传递相关信息……就这样，通讯员遇到小分队后就返回大部队，遇到大部队后就返回小分队，直到小分队追上大部队。那么小分队追上大部队时，通讯员行了多少千米？ 【答案】200千米 【分析】根据题意可知，大部队先走了20×2＝40（千米），小分队每小时比大部队多走30－20＝10（千米），所以小分队追上大部队的时间为40÷10＝4（小时）；通讯员随着小分队同时出发，直到小分队追上大部队，所以通讯员行驶的时间等于小分队追上大部队的时间，用通讯员行驶的速度乘小分队追上大部队的时间即等于通讯员行的路程，据此即可解答。 【详解】20×2÷（30－20）×50 ＝40÷10×50 ＝4×50 ＝200（千米） 答：通讯员行了200千米。 【点睛】通讯员行走的时间等于小分队追上大部队的时间，这是解决本题的关键。 8．甲、乙两车同时从某地出发背向而行，甲车以每小时88千米的速度行驶，乙车以每小时64千米的速度行驶，1.5小时后甲车掉头去追乙车，需要多少小时才能追上？ 【答案】9.5小时 【分析】根据路程＝速度×时间，先求出1.5小时之后两车相距的路程，再用减法求出两车的速度差，最后用相距的路程除以速度差，即可求出需要多少小时才能追上。 【详解】（88＋64）×1.5 ＝152×1.5 ＝228（千米） 228÷（88－64） ＝228÷24 ＝9.5（小时） 答：需要9.5小时才能追上。 【点睛】本题考查行程问题的计算及应用，先理解题意，再找出数量关系，列式计算即可。 9．甲、乙两人以每分60米的速度同时、同地、同向步行出发。走15分钟后甲返回原地取东西，而乙继续前进。甲取东西用去5分钟的时间，然后改骑自行车以每分钟360米的速度追乙，甲骑车多少分钟才能追上乙？ 【答案】7分钟 【分析】由题意可知，甲返回原地时，已经走了15×2＝30（分钟），取东西用去5分钟，共用了35分钟，也是乙走的时间．即此时两人相距60×35＝2100（米），之后甲每分中比乙多走360－60＝300（米），根据路程差÷速度差＝追及时间求出答案。 【详解】60×（15×2＋5）÷（360－60） ＝60×35÷300 ＝7（分钟） 答：甲骑车7分钟才能追上乙。 【点睛】解答此题应明确：路程差÷速度差＝追及时间。 10．甲乙两人分别从相距60千米的A、B两地同时出发，在A、B之间不断往返骑车，已知甲骑车的速度是每小时21千米，乙骑车的速度是每小时9千米，问出发多长时间，甲第一次追上乙？再过多长时间甲第二次追上乙？ 【答案】5小时；10小时 【分析】如图： 从线段图很容易可以发现：甲第一次追上乙时，甲和乙的路程差是1个全程；甲第二次追上乙时，甲和乙的路程差是3个全程；据此用追及时间=追及路程÷速度差解答即可。 【详解】由分析可得：第一次追上，两人的路程差是1个全程，时间： 60÷（21－9） ＝60÷12 ＝5（小时） 从第一次追上到第二次追上，两人的路程差是2个全程，时间： 2×60÷（21－9） ＝2×60÷12 ＝10（小时） 答：出发5小时，甲第一次追上乙，再过10小时甲第二次追上乙。 【点睛】解答此类问题最基本的方法就是画线段图，寻找相同时间内的路程关系。解答本题要明确，两人从两地出发，每相邻的两次追及之间，两人的路程差恰好等于2个全程。 三、环形跑道追及 1．小林和爸爸在400米长的环形跑道上散步，他们同时从同一地点出发，爸爸每分钟走20米，40分钟后第一次追上小林。小林每分钟走几米？ 【答案】10米 【分析】根据题意可知，第一次追上小林时，爸爸比小林多走400米，追及的路程÷追及的时间＝速度差，把数据代入即可求出爸爸和小林的速度差，再用爸爸的速度减去爸爸和小林的速度差，即可求出小林的速度，据此即可解答。 【详解】20－400÷40 ＝20－10 ＝10（米） 答：小林每分钟走10米。 2．君君和丽丽沿着400米的环形跑道跑步，他们同时从同一地点出发，同向而行。20分钟后丽丽第一次追上君君。已知君君的速度是230米/分，丽丽的速度是多少？（用方程解） 【答案】250米/分 【分析】设丽丽的速度是x米/分，根据等量关系：丽丽的速度×行驶的时间－君君的速度×行驶的时间＝400米，列方程解答即可。 【详解】解：设丽丽的速度是x米/分。 20x－230×20＝400 20x－4600＝400 20x－4600＋4600＝400＋4600 20x＝5000 20x÷20＝5000÷20 x＝250 答：丽丽的速度是250米/分。 【点睛】本题主要考查了列方程解应用题，关键是找等量关系。 3．如下图所示，甲、乙二人沿边长100米的正方形跑道按逆时针方向练习长跑，甲从A点出发，每分钟跑380米，乙从B点出发，每分钟跑430米。当乙第二次追上甲时，应在正方形的那条边上？ 【答案】BC边上 【分析】根据路程差÷速度差＝追及时间，开始的时候，甲乙相距300米，结合公式即可得出第一次追上甲的时间，然后乙要想再次追上甲，需比甲多跑一圈，即路程差为正方形的周长400米，进而得到整个过程中乙第二次追上甲的总用时，结合速度×时间＝路程，即可算出这期间乙跑的路程，用路程去除以一圈的长度，即可得到圈数和剩余的距离，从而确定出追上时在那条边上。 【详解】 乙第一次追上甲需100×3÷（430－380）＝6（分钟） 乙第二次追上甲共需6＋100×4÷（430－380）＝14（分钟） 乙从B点出发一共跑了430×14＝6020米） 6020÷（100×4）＝15（圈）……20（米） 所以当乙第二次追上甲时，相遇点在BC边上。 答：当乙第二次追上甲时，相遇点在BC边上。 4．在500米的跑道上有A、B两点相距170米，甲乙同时分别从A、B两点出发，逆时针方向跑步，每秒钟甲跑5米，乙跑4米，两人每跑100米，都要休息10秒；甲需多少秒才能追上乙？ 【答案】甲需314秒才能追上乙 【分析】由题意可得，甲跑100米需要（100÷5＋10）＝30秒，乙跑100米需要（100÷4＋10）＝35秒，根据30和35的公倍数可分析出在相同时间下甲乙分别跑了多少米，此时再根据相差的距离具体计算即可。 【详解】100＋5＋10＝30（秒），甲每30秒跑100米。 100＋4＋10＝35（秒），乙每35秒跑100米。 [30，35]＝210＝30×7＝35×6， 甲每210秒跑700米，乙每210秒600米，此时甲在乙后面600＋170－700＝70米处， 甲每30秒跑100米，90秒跑300米，14秒跑70米。 乙每35秒跑100米，95秒跑300米（然后休息10秒）。 210＋90＋14＝314（秒） 答：甲需314秒才能追上乙。 5．如图，正方形操场的边长为100米，长跑运动员枫枫和叶叶分别从A、D两点同时起跑沿箭头方向绕操场练习跑步，枫枫的速度为3米/秒，叶叶的速度为2米/秒。枫枫每次遇到（相遇或追上）叶叶就改变方向（转身时间忽略不计），但速度大小不变。 （1）多长时间后，枫枫第二次遇到叶叶？ （2）24分钟内，枫枫一共遇到叶叶多少次？ 【答案】（1）460秒； （2）6次 【分析】（1）先求出第一次两人相遇的时间，然后叶叶就会改变方向，此时两人的运动方向相同，因此就变成一个追及问题。枫枫比叶叶多跑一圈时枫枫就追上叶叶了，此时即为两人第二次遇到。由此即可求出时间。 （2）枫枫每次遇到（相遇或追上）叶叶就改变方向，因此两人先是相遇，然后是追及，接下来又是相遇、追及……不停地循环。可以求出两人相遇一次的事假，追及遇到一次的时间。然后再看24分钟会循环多少次，由此即可求出24分钟会遇到多少次。 【详解】（1）第一次遇到的时间：100×3÷（2＋3） ＝300÷5 ＝60（秒） 追及一次需要的时间：100×4÷（3－2） ＝400÷1 ＝400（秒） 60＋400＝460（秒） 答：460秒后枫枫第二次遇到叶叶。 （2）相遇一次需要的时间： 100×4÷（2＋3） ＝400÷5 ＝80（秒） 遇到2次后剩余的时间：24×60－460 ＝1440－460 ＝980（秒） 980÷（400＋80） ＝980÷480 ＝2（次）……20（秒） 2×2＋2 ＝4＋2 ＝4（次） 答：24分钟内，枫枫一共遇到叶叶6次。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $