第28讲 统计与概率初步（知识梳理+例题讲解+考点练习）-六年级奥数培优讲义

第28讲 统计与概率初步 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.掌握数据收集与整理方法： 学会设计简单的调查问卷，运用适当的方法（如分类、排序）整理原始数据。 2.提升图表解读与分析能力： 能熟练读取、理解并分析条形统计图、折线统计图、扇形统计图所表达的信息，发现数据分布规律和变化趋势。 3.理解基本统计量意义与应用： 掌握平均数、中位数、众数的概念和计算方法，理解它们在不同情境下的意义，并能根据问题特点选择合适的统计量进行分析。 4.建立初步的概率观念： 理解“确定性事件”、“不确定性事件（随机事件）”、“可能性”等基本概念，能区分“可能”、“一定”、“不可能”。 5.掌握简单概率计算方法： 学会用分数表示简单事件发生的可能性（概率），理解等可能事件概率的计算公式（事件数 / 总情况数），并能进行简单的概率计算。 6.培养统计推断意识： 初步体会如何利用样本数据推断总体情况，理解抽样调查的意义。 知识梳理 知识点一、统计初步 核心：收集、整理、描述和分析数据，从中获取信息。 1.数据的收集与整理 (1)收集方法： 调查（问卷、访谈）、实验、查阅资料等。 (2)整理方法： ①　分类： 将数据按属性分组。 ②　排序： 将数据按大小、时间等顺序排列。 ③　制作统计表： 清晰地呈现整理后的数据（如单式统计表、复式统计表）。 2.统计图的表示与分析 (1)条形统计图： ①　特点：用直条长短表示数量多少，便于比较不同类别的数量差异。 ②　分析：比较各类别数量大小，找出最多/最少。 (2)折线统计图： ①　特点：用点表示数量，用线段连接点，反映数据变化趋势（上升、下降、波动）。 ②　分析：观察整体趋势、变化速度、最高点/最低点。 (3)扇形统计图： ①　特点：用扇形面积表示各部分占总体的百分比，反映部分与整体的关系。 ②　分析：计算各部分百分比，比较各部分大小。 (4)选择合适的统计图： 根据数据类型和想表达的信息选择合适的图表（比较数量选条形，看趋势选折线，看占比选扇形）。 (5)综合应用： 能根据一种图表的信息补充另一种图表。 3.统计量的认识与应用 (1)平均数： ①　概念：一组数据的“平均水平”（总数量 ÷ 总份数）。 ②　意义：反映整体水平，易受极端值影响。 ③　应用：求平均成绩、平均身高、平均速度等。 (2)中位数： ①　概念：将一组数据按大小顺序排列，处于中间位置的那个数（奇数个取中间，偶数个取中间两数的平均数）。 ②　意义：反映一般水平，不受极端值影响。 ③　应用：分析收入中位数、比赛成绩中位数等。 (3)众数： ①　概念：一组数据中出现次数最多的那个数。 ②　意义：反映集中趋势。 ③　应用：了解最受欢迎的尺码、最常见的得分等。 (4)选择合适的统计量： 根据问题特点选择（关心平均水平用平均数，关心典型水平用中位数，关心集中趋势用众数）。 4.趣味统计挑战 (1)缺失数据的推断： 根据图表中的已知数据和规律，推断缺失的数据。 (2)图表中的陷阱识别： 识别图表中可能存在的误导信息（如坐标轴刻度设置不合理）。 (3)简单的抽样调查： 理解抽样调查的目的和局限性（样本代表性）。 知识点二、概率初步 核心：研究随机事件发生的可能性大小。 1.基本概念 (1)确定性事件： ①　一定发生的事件（如：太阳从东方升起）。 ②　不可能发生的事件（如：太阳从西方升起）。 (2)不确定性事件（随机事件）： 可能发生也可能不发生的事件（如：抛一枚硬币，正面朝上）。 (3)可能性： 随机事件发生的几率大小。 ①　一定： 事件肯定发生（可能性为1）。 ②　可能： 事件可能发生也可能不发生（可能性大于0小于1）。 ③　不可能： 事件肯定不会发生（可能性为0）。 2.简单概率计算 (1)概率的定义： 事件发生的可能性大小，用分数表示。 (2)等可能事件： 如果每个结果发生的可能性都相同。 (3)概率计算公式（等可能事件）： ①　事件A发生的概率 P(A) = 事件A包含的等可能结果数 / 所有等可能结果的总数 ②　例如：抛一枚均匀硬币，正面朝上的概率 P(正面) = 1 / 2。 ③　例如：掷一个均匀骰子，点数为3的概率 P(3) = 1 / 6；点数为偶数的概率 P(偶数) = 3 / 6 = 1 / 2。 (4)概率的范围： 0 ≤ P(A) ≤ 1。 3.概率的简单应用 (1)游戏公平性判断： 计算游戏规则下各方的获胜概率，判断是否公平（概率相等则公平）。 (2)简单预测： 根据概率大小预测事件发生的可能性（概率大则发生可能性大）。 (3)生活中的概率： 理解天气预报、抽奖活动、比赛胜负等涉及的概率思想。 例题讲解 一、平均数、中位数、众数 【例题1】在数52、40、38、40、41、38、37、48这组数中，它们的平均数是( )，中位数是( )，众数为( )。 【例题2】下面是学校篮球队男生身高记录单。 编号 1 2 3 4 5 6 7 身高（厘米） 166 162 168 160 170 168 175 这组数据的平均数是( )，中位数是( )，众数是( )。 【例题3】某部门员工年龄如下∶25岁，28岁，39岁，28岁，35岁。这个部门员工的平均年龄为( )岁，这组数据的中位数为( )，众数为( )。 二、统计图表的综合应用 【例题1】为了了解同学们的课外阅读情况，学校对六年级学生最喜爱的课外书籍进行调查，数据整理如下： （1）六年级一共有（    ）名学生。请将条形统计图补充完整。 （2）喜欢科普类的人数比喜欢文艺类的人数多百分之几？ 【例题2】为落实国家“双减”政策，阳光小学开展了课后服务，其中体育类活动开设了四种运动项目：乒乓球、排球、篮球、跳绳。为了解学生最喜欢哪种运动项目，随机抽取部分学生进行调查（每个学生仅选其中的一种），并将调查结果制成尚不完整的统计图表，如下图。 问卷情况统计表 运动项目 人数 A．乒乓球 n B．排球 10 C．篮球 80 D．跳绳 70 （1）本次一共调查了（    ）名学生，统计表中的（    ）。 （2）若阳光小学共有2000名学生，那么该校最喜欢乒乓球的学生有多少名？请你写出计算过程。 【例题3】近几年我国雾霾天气得到了较大改善，某校在学生中做了一次对雾霾知识了解程度的抽样调查，调查结果共分为四个等级：A：非常了解；B：比较了解；C：基本了解；D：不了解。根据调查结果，绘制了统计表和统计图。 调查时间 A类人数 B类人数 C类人数 D类人数 第一天 320 235 115 80 第二天 160 第三天 510 410 120 60 第四天 620 480 52 25 (1)你会选择( )统计图来描述第一天的数据，理由是( )，如果要表示连续四天参与调研的A类人数的变化情况你会选择( )统计图。 (2)第三天雾霾知识了解程度调查结果统计图如下，与统计表中的数据表示的信息相一致的统计图是（    ）。 A． B． C． (3)小东用扇形统计图对第二天的数据进行了描述（如下图），其中“C类：基本了解”的学生有160人，请将扇形统计图补充完整，第二天参与调查的学生一共有多少人？ (4)根据第二天雾霾知识了解程度调查结果，你能提出一个数学问题并解决吗？ 三、概率初步 【例题1】一辆肇事车辆撞人后逃离现场，警察到现场调查取证，目击者只能记得车牌是由、、、、五个数字组成，却把它们的排列顺序忘记了，警察在调查过程中，如果在电脑上输入一个由这五个数字构成的车牌号，那么输入的车牌号正好是肇事车辆车牌号的可能性是( )。 【例题2】一个班有女生25人，男生27人，任意抽选两名同学，恰好都是女生的概率是几分之几？ 【例题3】设每门高射炮击中敌机的概率为，今欲以的把握击中敌机，则至少应配备几门高射炮同时射击？ 考点练习 一、平均数、中位数、众数 1．小明记录了一周的体温（单位：℃）：36.2、36.5、36.3、36.4、36.6、36.1、36.5，这组数据的中位数是（    ）。 A．36.3 B．36.4 C．36.5 D．36.2 2．某班40名学生数学测试成绩如下：10人得90分，15人得80分，10人得70分，5人得60分。该班数学成绩的平均分与中位数分别是（    ）。 A．80分、80分 B．80分、85分 C．77.5分、80分 D．78分、85分 3．为了调查某小区居民的用水情况，随机抽取了若干户家庭的月用水量，结果如下表，则关于这若干户家庭的月用水量，下列说法错误的是（    ）。   月用水量（吨） 3 4 5 8 户数 2 3 4 1 A．平均数是4.6 B．调查了10户家庭的月用水量 C．中位数是4 D．众数是5 4．5名同学身高（cm）：152、155、158、160、a。若中位数是158，则a可能是（    ）。 A．150 B．157 C．156 D．162 5．在一组数据171，133，128，92，113，116，182，125，92中，这组数据的平均数是( )，中位数是( )，众数是( )。 6．下面是明明家每天买菜所用的钱数情况，如下表。 星期 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 金额/元 50 42 42 47 50 43 50 在以上这组数据中，众数是( )，中位数是( )。 7．六（1）班第一组同学的体重是45千克、50千克、45千克、51千克、47千克、45千克。这组数据的众数是( )，中位数是( )。 8．下图为某市十几年来的士起步价的变迁图： （1）若单位起步价表示为，那么图中所标时间哪个时间的单位起步价最低？ （2）起步价和单位起步价的众数分别是多少？ 9．六（1）班同学的身高、体重情况如下表。 身高/米 1.40 1.43 1.46 1.49 1.52 1.55 1.58 人数 1 3 5 10 12 6 3 体重/千克 30 33 36 39 42 45 48 人数 2 4 5 12 10 4 3 （1）六（1）班大部分同学的身高和体重分别是多少？ （2）六（1）班同学的平均身高和平均体重分别是多少？ （3）如果把全班同学编号，随意抽取一名学生，该生体重在36千克及以下的可能性大，还是在39千克及以上的可能性大？ 二、统计图表的综合应用 1．随着我国经济发展的加速和电力行业改革的深入推进，电力行业的现状和发展趋势也在不断变化。下面是2024年1~9月全国发电量和发电量占比情况的统计图。 ①根据以上的信息，请你算一算2024年1－9月全国发电总量是多少亿千瓦时？ ②请将条形统计图和扇形统计图中缺少的数据补全。 ③下表是部分发电方式的优缺点。 发电方式 优点 缺点 火力发电 技术成熟、效率较高、建设成本低、供应稳定 依赖化石燃料、不可持续、污染严重 水力发电 清洁、可再生、环境友好 地理条件限制、可能影响生态 风力发电 可再生、建设周期短、运营成本低 稳定性差、占地大、可能影响鸟类 核能发电 能量密度高、发电稳定、低碳排放 建设运营成本高、核废料处理难、有风险 太阳能发电 资源丰富、无污染、可持续 效率低、受天气影响大、成本高 请你根据这些信息和统计图中的数据，提出你对我国下一阶段电力发展的建议。 2．小米家平均每月各种支出占家庭消费支出总额百分比情况如图。 （1）结合扇形统计图，填写下表。 项目 购物支出 教育支出 还房贷 …… 费用（元） 2400 3000 … 百分比 20% 15% … （2）根据以下信息解答。 国际上常用恩格尔系数来衡量一个国家和地区人民生活水平的状况（如下表），恩格尔系数＝食品支出总额÷家庭消费支出总额×100%。 恩格尔系数 50%—60% 40%—50% 30%—40% 20%—30% 生活水平 温饱 小康 相对富裕 富裕 小米家平均每月食品支出总额为4200元，他家生活属于（    ）水平，请说明理由。 3．数据分析。 “校园手机”现象越来越受到社会的关注。红旗小学召开家长代表会，调查了家长们对学生玩手机现象的意见，根据收集到的数据，绘制了下面不完整的统计图。 （1）共（    ）位家长参加了本次家长代表会。 （2）根据条形统计图和扇形统计图的信息，补全上面的两幅统计图。 （3）持反对意见的人数比持无所谓和赞成意见的总人数多（    ）人。持赞成意见的人数比持无所谓的人数少（    ）%。 4．根据统计图回答下列问题。 （1）科技类和少儿类图书一共占图书总数的百分之几？ （2）如果这所学校有文艺类图书1920本，那么有少儿类图书多少本？ （3）根据扇形统计图，提出一个数学问题并解答。 5．希望小学六（2）班学生调查了“双减”政策下本班全体同学某天数学课后作业的完成时间情况，并绘制了如图两幅不完整的统计图。根据统计图完成下面各题。 （1）从扇形统计图中可以看出，在（    ）时间段完成作业的学生最多，有（    ）%的学生完成作业的时间超出20分钟。 （2）将条形统计图补充完整。 （3）六（2）班一共有（    ）名学生。 6．在社会实践周，六一班同学对本校同学的到校出行方式作了调查，被调查的每个学生按步行、私家车、自行车、摩托车四个类型进行统计。每个学生只选其中一类，然后绘制了图1和图2两幅统计图： （1）经核对，图1是正确的，图2有且只有一处错误，有错误的出行方式是（    ），选择该类出行方式的学生实际有（    ）人。 （2）参加调查的同学一共有多少人？ （3）该校有750名学生，根据调查数据，全校有多少名同学选择私家车出行？你想对这些同学说什么？ 7．为了提高学生学习数学的兴趣，丰富学生对数学的多元认知，某学校各个年级都开设了“趣味数学社团”。六年级开设的数学社团有：阅读、运算、魔方、汉诺塔、数独（每人只能参与其中一个）。小华统计了六年级部分同学参与的情况，并绘制了两幅统计图。 请根据图中的信息回答下列问题。 （1）小华共统计了（    ）人，将条形统计图和扇形统计图补充完整。 （2）若该学校六年级参加数学社团的有200名学生，请根据以上数据估计该校六年级有（    ）人参加“数独”社团。 （3）请你根据统计图中的信息，提出一个数学问题并解答。 8．阅读理解，数据分析。 假期中，体育组王老师向同学们推荐了四种居家锻炼方式：A跳绳，B踢毽子，C仰卧起坐，D俯卧撑。为了解学生对四种锻炼方式的喜欢情况，王老师对本校部分学生进行了问卷调查，规定被调查的学生须从以上四种锻炼方式中选择自己最喜欢的一种作答。现根据问卷调查汇总情况，王老师绘制了如下两幅不完整的条形与扇形统计图。 请根据以上信息，解答下列问题： （1）此次抽样调查，共抽取了多少名学生？ （2）在扇形统计图中，锻炼方式D所对应扇形的圆心角大小是多少？ （3）若该校共有1200名学生，请根据抽样调查的结果，估算该校喜欢锻炼方式C的学生有多少？ 9．为了参加“小小数学家”比赛，乐乐和园园每晚放学回家都进行40分钟的数学素养训练。下面统计图分别反映了她们的训练时间分配情况和训练10周的测试成绩。 （1）园园在（    ）上花费的时间最多，占（    ）%；乐乐在（    ）上花费的时间最多，占（    ）%。 （2）在反思上花费时间更多的是（    ），每晚比另一个人多（    ）分钟。 （3）如果你是指导老师，要从两人中选择一人参赛，那么你会选择谁？为什么？ 三、概率初步 1．2023赛季的火星HBA总决赛在玛尔斯队和阿雷斯队之间展开，两队一直以来水平相当。总决赛是7场4胜制，也就是先取得4场胜利的球队拿到总冠军。现在已经比了3场，玛尔斯队以总比分2∶1领先，那么玛尔斯队获得最后总冠军的概率是（    ）。 A． B． C． D．2 2．小明有黑桃、红桃、方块、草花这四种花色的扑克牌各2张，从这8张牌中任取出2张，这2张扑克牌花色相同的概率是（    ）。 A． B． C． D． 3．一块电子手表，显示时与分，使用小时计时制，例如中午点和半夜点都显示为。如果在一天（24小时）中的随机一个时刻看手表，至少看到一个数字“1”的概率是( )。 4．从小红家门口的车站到学校，有路、路两种公共汽车可乘，它们都是每隔分中开来一辆。小红到车站后，只要看见路或路，马上就上车，据有人观察发现：总有路车过去以后分钟就来路车，而路车过去以后分钟才来路车。小红乘坐( )路车的可能性较大。 5．从立方体的八个顶点中选个顶点，你能算出： （1）它们能构成多少个三角形？ （2）这些三角形中有多少个直角三角形？ （3）随机取三个顶点，这三个点构成直角三角形的可能性有多少？ 6．一张圆桌旁有四个座位，、、、四人随机坐到四个座位上，求与不相邻而坐的概率。 7．工厂质量检测部门对某一批次的件产品进行抽样检测，如果这件产品中有两件产品是次品，那么质检人员随机抽取件产品，这两件产品恰好都是次品的概率为多少？这两件产品中有一件是次品的概率为多少？这两件产品中没有次品的概率为多少？ 8．在某次的考试中，甲、乙、丙三人优秀（互不影响）的概率为0.5，0.4，0.2，考试结束后，最容易出现几个人优秀？ 9．一个标准的五角星（如图）由个点连接而成，从这个点随机选取个点，则这三个点在同一条直线上的概率为多少，这三个点能构成三角形的概率为多少？如果选取个点，则这四个点恰好构成平行四边形的概率为多少？ 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第28讲 统计与概率初步 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.掌握数据收集与整理方法： 学会设计简单的调查问卷，运用适当的方法（如分类、排序）整理原始数据。 2.提升图表解读与分析能力： 能熟练读取、理解并分析条形统计图、折线统计图、扇形统计图所表达的信息，发现数据分布规律和变化趋势。 3.理解基本统计量意义与应用： 掌握平均数、中位数、众数的概念和计算方法，理解它们在不同情境下的意义，并能根据问题特点选择合适的统计量进行分析。 4.建立初步的概率观念： 理解“确定性事件”、“不确定性事件（随机事件）”、“可能性”等基本概念，能区分“可能”、“一定”、“不可能”。 5.掌握简单概率计算方法： 学会用分数表示简单事件发生的可能性（概率），理解等可能事件概率的计算公式（事件数 / 总情况数），并能进行简单的概率计算。 6.培养统计推断意识： 初步体会如何利用样本数据推断总体情况，理解抽样调查的意义。 知识梳理 知识点一、统计初步 核心：收集、整理、描述和分析数据，从中获取信息。 1.数据的收集与整理 (1)收集方法： 调查（问卷、访谈）、实验、查阅资料等。 (2)整理方法： ①　分类： 将数据按属性分组。 ②　排序： 将数据按大小、时间等顺序排列。 ③　制作统计表： 清晰地呈现整理后的数据（如单式统计表、复式统计表）。 2.统计图的表示与分析 (1)条形统计图： ①　特点：用直条长短表示数量多少，便于比较不同类别的数量差异。 ②　分析：比较各类别数量大小，找出最多/最少。 (2)折线统计图： ①　特点：用点表示数量，用线段连接点，反映数据变化趋势（上升、下降、波动）。 ②　分析：观察整体趋势、变化速度、最高点/最低点。 (3)扇形统计图： ①　特点：用扇形面积表示各部分占总体的百分比，反映部分与整体的关系。 ②　分析：计算各部分百分比，比较各部分大小。 (4)选择合适的统计图： 根据数据类型和想表达的信息选择合适的图表（比较数量选条形，看趋势选折线，看占比选扇形）。 (5)综合应用： 能根据一种图表的信息补充另一种图表。 3.统计量的认识与应用 (1)平均数： ①　概念：一组数据的“平均水平”（总数量 ÷ 总份数）。 ②　意义：反映整体水平，易受极端值影响。 ③　应用：求平均成绩、平均身高、平均速度等。 (2)中位数： ①　概念：将一组数据按大小顺序排列，处于中间位置的那个数（奇数个取中间，偶数个取中间两数的平均数）。 ②　意义：反映一般水平，不受极端值影响。 ③　应用：分析收入中位数、比赛成绩中位数等。 (3)众数： ①　概念：一组数据中出现次数最多的那个数。 ②　意义：反映集中趋势。 ③　应用：了解最受欢迎的尺码、最常见的得分等。 (4)选择合适的统计量： 根据问题特点选择（关心平均水平用平均数，关心典型水平用中位数，关心集中趋势用众数）。 4.趣味统计挑战 (1)缺失数据的推断： 根据图表中的已知数据和规律，推断缺失的数据。 (2)图表中的陷阱识别： 识别图表中可能存在的误导信息（如坐标轴刻度设置不合理）。 (3)简单的抽样调查： 理解抽样调查的目的和局限性（样本代表性）。 知识点二、概率初步 核心：研究随机事件发生的可能性大小。 1.基本概念 (1)确定性事件： ①　一定发生的事件（如：太阳从东方升起）。 ②　不可能发生的事件（如：太阳从西方升起）。 (2)不确定性事件（随机事件）： 可能发生也可能不发生的事件（如：抛一枚硬币，正面朝上）。 (3)可能性： 随机事件发生的几率大小。 ①　一定： 事件肯定发生（可能性为1）。 ②　可能： 事件可能发生也可能不发生（可能性大于0小于1）。 ③　不可能： 事件肯定不会发生（可能性为0）。 2.简单概率计算 (1)概率的定义： 事件发生的可能性大小，用分数表示。 (2)等可能事件： 如果每个结果发生的可能性都相同。 (3)概率计算公式（等可能事件）： ①　事件A发生的概率 P(A) = 事件A包含的等可能结果数 / 所有等可能结果的总数 ②　例如：抛一枚均匀硬币，正面朝上的概率 P(正面) = 1 / 2。 ③　例如：掷一个均匀骰子，点数为3的概率 P(3) = 1 / 6；点数为偶数的概率 P(偶数) = 3 / 6 = 1 / 2。 (4)概率的范围： 0 ≤ P(A) ≤ 1。 3.概率的简单应用 (1)游戏公平性判断： 计算游戏规则下各方的获胜概率，判断是否公平（概率相等则公平）。 (2)简单预测： 根据概率大小预测事件发生的可能性（概率大则发生可能性大）。 (3)生活中的概率： 理解天气预报、抽奖活动、比赛胜负等涉及的概率思想。 例题讲解 一、平均数、中位数、众数 【例题1】在数52、40、38、40、41、38、37、48这组数中，它们的平均数是( )，中位数是( )，众数为( )。 【答案】 41.75 40 38和40 【分析】一组数据中所有数据的和除以这组数据中数据的个数，所得的数叫平均数。 中位数：将一组数据按大小顺序排列，处在最中间位置的一个数叫做这组数据的中位数。如果这组数据的个数为偶数个，那么中间两位数的平均数就是这组数据的中位数。 众数：在一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数。 【详解】（1）平均数是： （52＋40＋38＋40＋41＋38＋37＋48）÷8 ＝334÷8 ＝41.75 （2）从大到小顺序排列：37、38、38、40、40、41、48、52； 排在中间的两个数是40，这两个数的平均数是40，所以中位数是40。 （3）这组数中，37、41、48、52各出现1次，38、40各出现2次； 出现次数最多的是38和40，所以众数是38和40。 在数52、40、38、40、41、38、37、48这组数中，它们的平均数是41.75，中位数是40，众数为38和40。 【例题2】下面是学校篮球队男生身高记录单。 编号 1 2 3 4 5 6 7 身高（厘米） 166 162 168 160 170 168 175 这组数据的平均数是( )，中位数是( )，众数是( )。 【答案】 167 168 168 【分析】用这组数据的和除以数据的个数就可计算出这组数据的平均数； 将一组数据按照从小到大的顺序进行排列，排在中间位置上的数叫作这组数据的中位数，在这组数据中出现次数最多的数据叫作这组数据的众数。 【详解】（166＋162＋168＋160＋170＋168＋175）÷7 ＝1169÷7 ＝167（厘米） 160＜162＜166＜168＝168＜170＜175 共7个数，中位数是168，众数是168。 【点睛】本题考查平均数的求法，以及中位数、众数的认识。 【例题3】某部门员工年龄如下∶25岁，28岁，39岁，28岁，35岁。这个部门员工的平均年龄为( )岁，这组数据的中位数为( )，众数为( )。 【答案】 31 28 28 【分析】求这个部门员工的平均年龄为多少岁，根据“总数÷个数＝平均数”进行解答即可； 中位数∶将这组数据先按照从小到大的顺序排列，个数为奇数个，中间一位数即是这组数据的中位数，如果个数是偶数个，则中间两个数据的平均数是这组数据的中位数； 众数∶这组数据中出现次数最多的数是这组数据的众数；据此解答即可。 【详解】平均数∶（25＋28＋28＋35＋39）÷5 ＝155÷5 ＝31（岁） 把25岁，28岁，39岁，28岁，35岁，从小到大排列为∶25、28、28、35、39。 这组数据的中位数是∶28， 这组数据的众数是28。 故答案为∶31、28、28。 【点睛】正确理解中位数、众数、平均数的概念是解决此题的关键。 二、统计图表的综合应用 【例题1】为了了解同学们的课外阅读情况，学校对六年级学生最喜爱的课外书籍进行调查，数据整理如下： （1）六年级一共有（    ）名学生。请将条形统计图补充完整。 （2）喜欢科普类的人数比喜欢文艺类的人数多百分之几？ 【答案】（1）300；补充条形统计图见详解； （2）50% 【分析】（1）用喜欢漫画的人数除以喜欢漫画的人数占比即可求出总人数；用总人数减去喜欢漫画、科普、文艺、其他的人数即为喜欢童话类的人数，并补充条形统计图； （2）先求出喜欢科普类的人数比喜欢文艺类的人数多的人数，再用多的人数除以喜欢文艺类的人数即可求出。 【详解】（1） ＝ ＝300（人） 300－135－36－24－15 ＝105－15 ＝90（人） 所以六年级一共有300名学生，条形统计图如下图： （2） ＝ ＝ 答：喜欢科普类的人数比喜欢文艺类的人数多百分之五十。 【例题2】为落实国家“双减”政策，阳光小学开展了课后服务，其中体育类活动开设了四种运动项目：乒乓球、排球、篮球、跳绳。为了解学生最喜欢哪种运动项目，随机抽取部分学生进行调查（每个学生仅选其中的一种），并将调查结果制成尚不完整的统计图表，如下图。 问卷情况统计表 运动项目 人数 A．乒乓球 n B．排球 10 C．篮球 80 D．跳绳 70 （1）本次一共调查了（    ）名学生，统计表中的（    ）。 （2）若阳光小学共有2000名学生，那么该校最喜欢乒乓球的学生有多少名？请你写出计算过程。 【答案】（1）200；40； （2）400名；过程见详解 【分析】（1）把被调查的总人数看作单位“1”，最喜欢篮球的学生有80名，占被调查总人数的40%。求单位“1”的量用除法，用对应数量除以对应分率，用80÷40%即可得到被调查的总人数，计算可得200名；最喜欢排球的有10人，用10÷200算出最喜欢排球的学生占被调查总人数的百分率，计算可得5%，最后用1－5%－40%－35%，求出n对应的百分率，再乘总人数即可得n等于多少。 （2）把2000名学生看作单位“1”，第（1）题计算可得喜欢乒乓球的学生占总人数的20%，用2000×20%即可得到最喜欢乒乓球的学生有多少名； 【详解】（1）80÷40%＝80÷0.4＝200（名） 10÷200＝0.05＝5% 1－5%－40%－35% ＝95%－40%－35% ＝55%－35% ＝20% 200×20%＝40（名） 本次一共调查了200名学生，统计表中的n＝40。 （2）2000×20%＝2000×0.2＝400（名） 答：该校最喜欢乒乓球的学生有400名。 【例题3】近几年我国雾霾天气得到了较大改善，某校在学生中做了一次对雾霾知识了解程度的抽样调查，调查结果共分为四个等级：A：非常了解；B：比较了解；C：基本了解；D：不了解。根据调查结果，绘制了统计表和统计图。 调查时间 A类人数 B类人数 C类人数 D类人数 第一天 320 235 115 80 第二天 160 第三天 510 410 120 60 第四天 620 480 52 25 (1)你会选择( )统计图来描述第一天的数据，理由是( )，如果要表示连续四天参与调研的A类人数的变化情况你会选择( )统计图。 (2)第三天雾霾知识了解程度调查结果统计图如下，与统计表中的数据表示的信息相一致的统计图是（    ）。 A． B． C． (3)小东用扇形统计图对第二天的数据进行了描述（如下图），其中“C类：基本了解”的学生有160人，请将扇形统计图补充完整，第二天参与调查的学生一共有多少人？ (4)根据第二天雾霾知识了解程度调查结果，你能提出一个数学问题并解决吗？ 【答案】(1) 条形统计图 条形统计图可以直观呈现数据大小以及清晰展示数据分布 折线 (2)A (3)1000人，统计图见详解 (4)D类：不了解的人数有多少人？ 1000×4%＝40（人） 【分析】（1）条形统计图的特点是可以直观呈现数据大小以及清晰展示数据分布，所以描述第一天数据选择条形统计图更合适；折线统计图能清晰地反映事物的变化情况，要表示连续四天参与调研的A类人数的变化情况，选择折线统计图更合适。 （2）观察第三天的数据，A类人数最多510人，B类人数其次410人，C类人数再次120人，D类人数最少60人。据此观察统计图的条形高度比例，首先排除统计图C，它表示的A类和B类人数一样多是错误的；其次通过B类人数大约是C类人数的3.5倍，那么条形长度也应该是C类的3.5倍左右，而统计图B明显长度比例不对，排除；而统计图A的人数高度比例均符合题意，因此判断统计图A最符合要求。 （3）先计算C类人数占总数的百分比，用1减去A、B、D类人数占总数的百分比，即1－48%－32%－4%＝16%。再根据量率对应，用已知C类人数除以其占比，计算第二天参与调查的学生总数，即160÷16%。 （4）提出如“D：不了解的人数有多少人？”的问题，根据求一个数的百分之几是多少用乘法，用总数乘D的占比，即 1000×4%。 【详解】（1）根据分析可知：选择条形统计图来描述第一天的数据，理由是条形统计图可以直观呈现数据大小以及清晰展示数据分布，如果要表示连续四天参与调研的A类人数的变化情况你会选择折线统计图。 （2）根据分析可知，第三天雾霾知识了解程度调查结果统计图如下，与统计表中的数据表示的信息相一致的统计图是A。 （3）1－48%－32%－4%＝16% 160÷16%＝1000（人） 补充完整的统计图如下： （4）提出问题：“D类：不了解的人数有多少人？”（答案不唯一） 1000×4%＝40（人） 答：D类：不了解的人数有40人。 三、概率初步 【例题1】一辆肇事车辆撞人后逃离现场，警察到现场调查取证，目击者只能记得车牌是由、、、、五个数字组成，却把它们的排列顺序忘记了，警察在调查过程中，如果在电脑上输入一个由这五个数字构成的车牌号，那么输入的车牌号正好是肇事车辆车牌号的可能性是( )。 【答案】 【分析】警察在调查过程中，在电脑上输入第一个数字可能是5、4、3、2、1中的任何一个，有5种可能，第二位数字有4种可能，……，第五位数字有1种可能，组成的五位数有120种可能，但符合要求的只有1个。 【详解】一共有种可能 所以输入正确车牌号的可能性是。 【点睛】本题考查的是概率问题，事件发生的概率可以用符合要求的数量除以总数量。 【例题2】一个班有女生25人，男生27人，任意抽选两名同学，恰好都是女生的概率是几分之几？ 【答案】 【分析】总共有52人，从52人中选2人，有1326种方法，从25个女生中选2人，有300种方法，然后计算对应的概率。 【详解】从25名女生中任意抽出两个人有种不同的方法。 从全体学生中任意抽出两个人有种不同的方法。 计算概率：。 答：恰好都是女生的概率是。 【点睛】概率问题通常与排列组合问题相结合，关键是求出总数量以及符合要求的数量。 【例题3】设每门高射炮击中敌机的概率为，今欲以的把握击中敌机，则至少应配备几门高射炮同时射击？ 【答案】门 【分析】只有保证有1门高射炮击中敌机即可，每门高射炮击中的概率是0.6，未击中的概率是0.4，n门高射炮都没有击中的概率是0.4n，用1减去0.4n，即为击中的概率。 【详解】如果只配一门高射炮，那么未击中的概率为， 配备两门高射炮那么未击中的概率为， 如果配备三门高射炮，那么未击中的概率为， 如果配备四门高射炮，那么未击中的概率为， 如果配备五门高射炮，那么未击中的概率为， 如果配备六门高射炮，那么未击中的概率为。 所以至少配备门高射炮，同时射击。 答：至少配备6门高射炮同时射击。 【点睛】本题考查的是概率问题，每门高射炮之间是独立的，击中与否，是不受影响的。 考点练习 一、平均数、中位数、众数 1．小明记录了一周的体温（单位：℃）：36.2、36.5、36.3、36.4、36.6、36.1、36.5，这组数据的中位数是（    ）。 A．36.3 B．36.4 C．36.5 D．36.2 【答案】B 【分析】中位数是将一组数据按照大小顺序排列后，位于中间位置的数值。它能反映数据的集中趋势，且不受极端值的影响。对于一组数据，若数据个数为奇数，则中位数是排序后位于正中间的那个数；若数据个数为偶数，则中位数是排序后中间两个数的平均值。本题中小明记录的体温数据共7个（7为奇数），因此需先将数据排序，再找正中间的第4个数据作为中位数。 【详解】对数据排序得：36.1、36.2、36.3、36.4、36.5、36.5、36.6 数据总个数为7，数据个数代入计算：（7＋1）÷2＝4，即中位数是排序后第4个数据，第4个数据为36.4，因此这组数据的中位数是36.4。 故答案为：B 2．某班40名学生数学测试成绩如下：10人得90分，15人得80分，10人得70分，5人得60分。该班数学成绩的平均分与中位数分别是（    ）。 A．80分、80分 B．80分、85分 C．77.5分、80分 D．78分、85分 【答案】C 【分析】用这组数据的和除以数据的个数，就是平均数；把一组数据按照从大到小或者从小到大的顺序排列，找最中间的一个数或求出最中间两个数的平均数就是这组数据的中位数，据此解答。 【详解】平均分：（10×90＋15×80＋10×70＋5×60）÷40 ＝（900＋1200＋700＋300）÷40 ＝3100÷40 ＝77.5（分） 中位数：一共40名学生，10人得90分，15人得80分，10人得70分，5人得60分，则中间两人得分都是80分。 （80＋80）÷2 ＝160÷2 ＝80（分） 所以，该班数学成绩的平均分与中位数分别是77.5分、80分。 故答案为：C 3．为了调查某小区居民的用水情况，随机抽取了若干户家庭的月用水量，结果如下表，则关于这若干户家庭的月用水量，下列说法错误的是（    ）。   月用水量（吨） 3 4 5 8 户数 2 3 4 1 A．平均数是4.6 B．调查了10户家庭的月用水量 C．中位数是4 D．众数是5 【答案】C 【分析】根据平均数，中位数和众数的定义，分别对每一项分析即可判断。 【详解】2＋3＋4＋1＝10（户） 2×3＋3×4＋5×4＋1×8 ＝6＋12＋20＋8 ＝46（吨） 46÷10＝4.6 5出现了4次，所以众数为5 （4＋5）÷2 ＝9÷2 ＝4.5 故答案为：C 【点睛】本题考查众数、中位数和平均数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，众数是一组数据中出现最多的数。 4．5名同学身高（cm）：152、155、158、160、a。若中位数是158，则a可能是（    ）。 A．150 B．157 C．156 D．162 【答案】D 【分析】将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数是这组数据的中位数。已知数据152、155、158、160，因为这组数据有5个（个数为奇数），中位数是158，所以将5个数据从小到大排列后，第3个数是158。那么a需要满足a≥158，这样才能保证158处于第3位。 【详解】A．150＜158，不符合。 B．157＜158，不符合。 C．156＜158，不符合。 D．162＞158，符合。 所以a可能是162。 故答案为：D 5．在一组数据171，133，128，92，113，116，182，125，92中，这组数据的平均数是( )，中位数是( )，众数是( )。 【答案】 128 125 92 【分析】中位数与众数、平均数的意义，把一组数据按从小到大的顺序排列起来，最中间的一个数或两个数的平均数即这组数据的中位数；一组数据中出现次数最多的数叫这组数据的众数；平均数等于数据之和除以个数，据此解答即可。 【详解】这组数据按照从小到大的顺序排列：92，92，113，116，125，128，133，171，182 平均数： 这组数据按照从小到大的顺序排列：92，92，113，116，125，128，133，171，182 综上可得：这组数据的平均数是128，中位数是125，众数是92。 6．下面是明明家每天买菜所用的钱数情况，如下表。 星期 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 金额/元 50 42 42 47 50 43 50 在以上这组数据中，众数是( )，中位数是( )。 【答案】 50 47 【分析】根据中位数和众数的意义，中位数是指把一组数据按照大小顺序排列后：总个数为奇数个时：处于中间位置的数；总个数为偶数个时，处于中间的两个数之和除以2的结果是中位数。众数是指在一组数据中出现的频数最多的数；由此解答。 【详解】根据分析，将数据按从小到大的顺序排列为：42、42、43、47、50、50、50； 所以这组数据中，众数是50，中位数是47。 【点睛】此题考查了众数与中位数的认识，关键理解概念。 7．六（1）班第一组同学的体重是45千克、50千克、45千克、51千克、47千克、45千克。这组数据的众数是( )，中位数是( )。 【答案】 45 46 【分析】在一组数据中出现次数最多的数叫作这组数据的众数，众数可能不止一个，也可能没有众数；把一组数据按照从大到小或者从小到大的顺序排列，找最中间的一个数或求出最中间两个数的平均数就是这组数据的中位数，据此解答。 【详解】分析可知，这组数据中出现次数最多的是45，所以这组数据的众数是45。 从小到大排列：45、45、45、47、50、51。 （45＋47）÷2 ＝92÷2 ＝46 所以，这组数据的中位数是46。 【点睛】掌握众数和中位数的求法是解答题目的关键。 8．下图为某市十几年来的士起步价的变迁图： （1）若单位起步价表示为，那么图中所标时间哪个时间的单位起步价最低？ （2）起步价和单位起步价的众数分别是多少？ 【答案】（1）1997年；（2）起步价的众数是8元，单位起步价的众数是3元 【分析】（1）根据单位起步价＝起步价÷路程，代入数据分别计算每个年份的单位起步价，再比较即可； （2）一组数据中出现次数最多的数值较做众数，据此找出起步价和单位起步价的众数。 【详解】（1）1992年：14÷4＝3.5（元/公里） 1996年：9.8÷4＝2.45（元/公里） 1997年：8÷4＝2（元/公里） 2000年：8÷3＝（元/公里） 2003年6月：3÷1＝3（元/公里） 2009年12月：6÷2＝3（元/公里） 3.5＞3＞＞2.45＞2 答：1997年的单位起步价最低。 （2）起步价中8元出现的次数最多，单位起步价中3元出现的次数最多。 答：起步价的众数是8元，单位起步价的众数是3元。 9．六（1）班同学的身高、体重情况如下表。 身高/米 1.40 1.43 1.46 1.49 1.52 1.55 1.58 人数 1 3 5 10 12 6 3 体重/千克 30 33 36 39 42 45 48 人数 2 4 5 12 10 4 3 （1）六（1）班大部分同学的身高和体重分别是多少？ （2）六（1）班同学的平均身高和平均体重分别是多少？ （3）如果把全班同学编号，随意抽取一名学生，该生体重在36千克及以下的可能性大，还是在39千克及以上的可能性大？ 【答案】（1）1.49米和1.52米；39千克和42千克 （2）约1.50米；39.6千克 （3）39千克及以上的可能性大。 【分析】（1）统计表中，身高是1.49米和1.52米的人数多，体重是39千克和42千克的人数多，据此解答； （2）六（1）班同学的平均身高和平均体重，分别用身高和体重的总和除以这组数据的个数即可解答； （3）将36千克及以下的人数和39千克及以上的人数分别求出来，然后进行比较，哪个人数多则哪个可能性就大。 【详解】（1）答：六（1）班大部分同学的身高是1.49米和1.52米，体重是39千克和42千克。 （2） （米） （米） （千克） 答：六（1）班同学的平均身高约为1.50米，平均体重是39.6千克。 （3）36千克及以下：（人） 39千克及以上：（人） 11＜29 答：随意抽取一名学生，该生体重在39千克及以上的可能性大。 二、统计图表的综合应用 1．随着我国经济发展的加速和电力行业改革的深入推进，电力行业的现状和发展趋势也在不断变化。下面是2024年1~9月全国发电量和发电量占比情况的统计图。 ①根据以上的信息，请你算一算2024年1－9月全国发电总量是多少亿千瓦时？ ②请将条形统计图和扇形统计图中缺少的数据补全。 ③下表是部分发电方式的优缺点。 发电方式 优点 缺点 火力发电 技术成熟、效率较高、建设成本低、供应稳定 依赖化石燃料、不可持续、污染严重 水力发电 清洁、可再生、环境友好 地理条件限制、可能影响生态 风力发电 可再生、建设周期短、运营成本低 稳定性差、占地大、可能影响鸟类 核能发电 能量密度高、发电稳定、低碳排放 建设运营成本高、核废料处理难、有风险 太阳能发电 资源丰富、无污染、可持续 效率低、受天气影响大、成本高 请你根据这些信息和统计图中的数据，提出你对我国下一阶段电力发展的建议。 【答案】①70600亿千瓦时； ②见详解； ③见详解 【分析】①根据统计图可知，“太阳能及其他”发电量为2824亿千瓦时，占全国总发电量的4%，根据量率对应，“总量＝部分量÷部分量占比”，计算出全国发电总量，列式为2824÷4%； ②用上一步求出的全国总发电量减去其他各项发电量，得到水力发电量；然后用风力发电量除以全国总发电量得到风力发电占比；用核能发电量除以全国总发电量得到核能发电占比； ③结合表格中不同发电方式的优缺点，以及我国的能源结构和环保需求，提出合理化建议。例如，可以建议大力发展清洁能源，减少对传统能源的依赖。 【详解】①2824÷4% ＝2824÷0.04 ＝70600（亿千瓦时） 答：2024年1－9月全国发电总量是70600亿千瓦时。 ②70600－47302－7060－3530－2824 ＝70600－（47302＋7060＋3530＋2824） ＝70600－（54362＋3530＋2824） ＝70600－（57892＋2824） ＝70600－60716 ＝9884（亿千瓦时） 风力发电占比： 7060÷70600×100% ＝0.1×100% ＝10% 核能发电占比： 3530÷70600×100% ＝0.05×100% ＝5% 根据信息，补充统计表如下： ③答：我建议大力发展太阳能发电，因为太阳能发电在全国总发电量的占比很小；另外太阳能发电资源丰富，无污染，可持续发展，未来有很大的发展空间。所以我建议可以大力发展太阳能发电。（答案不唯一，能结合数据和表格中的信息提出相应的建议即可） 2．小米家平均每月各种支出占家庭消费支出总额百分比情况如图。 （1）结合扇形统计图，填写下表。 项目 购物支出 教育支出 还房贷 …… 费用（元） 2400 3000 … 百分比 20% 15% … （2）根据以下信息解答。 国际上常用恩格尔系数来衡量一个国家和地区人民生活水平的状况（如下表），恩格尔系数＝食品支出总额÷家庭消费支出总额×100%。 恩格尔系数 50%—60% 40%—50% 30%—40% 20%—30% 生活水平 温饱 小康 相对富裕 富裕 小米家平均每月食品支出总额为4200元，他家生活属于（    ）水平，请说明理由。 【答案】（1）1800；25% （2）相对富裕；理由见详解 【分析】（1）将家庭消费支出总额看作单位“1”，购物支出÷对应百分率＝家庭消费支出总额，家庭消费支出总额×教育支出对应百分率＝教育支出；其他支出÷家庭消费支出总额＝其他支出对应百分率，据此填表； （2）根据恩格尔系数＝食品支出总额÷家庭消费支出总额×100%，求出小米家的恩格尔系数，找到对应生活水平即可。 【详解】（1）2400÷20%＝12000（元） 12000×15%＝1800（元） 3000÷12000＝25% 填写表如下： 项目 购物支出 教育支出 还房贷 …… 费用（元） 2400 1800 3000 … 百分比 20% 15% 25% … （2）4200÷12000＝35% 30%＜35%＜40% 答：他家生活属于相对富裕水平。小米家的恩格尔系数为35%，再30%—40%之间，所以他家的生活水平属于相对富裕的水平。 3．数据分析。 “校园手机”现象越来越受到社会的关注。红旗小学召开家长代表会，调查了家长们对学生玩手机现象的意见，根据收集到的数据，绘制了下面不完整的统计图。 （1）共（    ）位家长参加了本次家长代表会。 （2）根据条形统计图和扇形统计图的信息，补全上面的两幅统计图。 （3）持反对意见的人数比持无所谓和赞成意见的总人数多（    ）人。持赞成意见的人数比持无所谓的人数少（    ）%。 【答案】（1）50 （2）见详解 （3）18；40 【分析】（1）从扇形图中获取反对人数的占比（68%），从条形图中获取反对的具体人数（34人），利用“总数＝部分数÷对应占比”的公式，算出参与家长的总人数。 （2）先通过总人数减去反对、赞成的人数，求出无所谓的人数；再分别用赞成、无所谓的人数除以总人数，算出二者的占比，最后根据计算结果补全条形图的高度和扇形图的百分比。 （3）先算出无所谓和赞成的总人数，用反对人数减去该总数得到人数差；再用“（无所谓人数－赞成人数）÷无所谓人数×100%”的公式，求出赞成人数比无所谓少的百分比。 【详解】（1）34÷68% ＝34÷0.68 ＝50（位） 答：共50位家长参加了本次家长代表会。 （2）赞成人数：6人 占比：6÷50×100% ＝0.12×100% ＝12% 无所谓人数：50－34－6 ＝16－6 ＝10（人） 占比：10÷50×100% ＝0.2×100% ＝20% 画图如下： （3）无所谓和赞成总人数：10＋6＝16（人） 反对人数比无所谓和赞成总人数多：34－16＝18（人） 赞成比无所谓少的百分比：（10－6）÷10×100% ＝4÷10×100% ＝0.4×100% ＝40% 答：持反对意见的人数比持无所谓和赞成意见的总人数多18人。持赞成意见的人数比持无所谓的人数少40%。 4．根据统计图回答下列问题。 （1）科技类和少儿类图书一共占图书总数的百分之几？ （2）如果这所学校有文艺类图书1920本，那么有少儿类图书多少本？ （3）根据扇形统计图，提出一个数学问题并解答。 【答案】（1）35% （2）480本 （3）文艺类和其他类图书一共占图书总数的百分之几？；60%（答案不唯一） 【分析】（1）用科技类图书占图书总数的百分比＋少儿类图书占图书总数的百分比，即可求出科技类和少儿类图书一共占图书总数百分比； （2）把图书总数看作单位“1”，文艺类图书占图书总数的40%，文艺类图书有1920本，根据“已知一个数的百分之几是多少，求这个数用除法”，用文艺类图书数量除以文艺类图书占图书总数的40%即可求出图书的总数，再根据“求一个数的百分之几是多少用乘法”，用图书的总数乘少儿类图书占图书总数的百分比，即可求出少儿类图书的数量； （3）根据扇形统计图提出问题“文艺类和其他类图书一共占图书总数的百分之几？”；用文艺类图书占图书总数的百分比＋其他类图书占图书总数的百分比，即可求出文艺类和其他类图书一共占图书总数百分比。 【详解】（1）25%＋10%＝35% 答：科技类和少儿类图书一共占图书总数的35%。 （2）图书的总数： 1920÷40% ＝1920÷0.4 ＝4800（本） 少儿类图书的数量： 4800×10% ＝4800×0.1 ＝480（本） 答：有少儿类图书480本。 （3）提出问题：文艺类和其他类图书一共占图书总数的百分之几？（答案不唯一） 40%＋20%＝60% 答：文艺类和其他类图书一共占图书总数的60%。 5．希望小学六（2）班学生调查了“双减”政策下本班全体同学某天数学课后作业的完成时间情况，并绘制了如图两幅不完整的统计图。根据统计图完成下面各题。 （1）从扇形统计图中可以看出，在（    ）时间段完成作业的学生最多，有（    ）%的学生完成作业的时间超出20分钟。 （2）将条形统计图补充完整。 （3）六（2）班一共有（    ）名学生。 【答案】（1）11～15分钟；15 （2）见详解 （3）40 【分析】（1）根据扇形面积大小确定哪个时间段完成作业的学生最多，用1减去其它三个百分率求出有百分之多少的学生完成作业的时间超出20分钟。。 （2）用10分钟及以内的人数除以对应的百分率，得到总人数，进而乘相应百分率，得到11～15分钟的人数，进而将条形统计图补充完整。 （3）用10分钟内做完作业的同学数量6人除以对应百分比15%即可求出六（2）班一共有多少名学生。 【详解】（1）1－25%－45%－15%＝15% 即从扇形统计图中可以看出，在11～15分钟时间段完成作业的学生最多，有15%的学生完成作业的时间超出20分钟。 （2）11～15分钟时间段完成作业的学生人数： 6÷15%×45% ＝40×45% ＝18（人） （3）6÷15%＝40（名） 即六（2）班一共有40名学生。 6．在社会实践周，六一班同学对本校同学的到校出行方式作了调查，被调查的每个学生按步行、私家车、自行车、摩托车四个类型进行统计。每个学生只选其中一类，然后绘制了图1和图2两幅统计图： （1）经核对，图1是正确的，图2有且只有一处错误，有错误的出行方式是（    ），选择该类出行方式的学生实际有（    ）人。 （2）参加调查的同学一共有多少人？ （3）该校有750名学生，根据调查数据，全校有多少名同学选择私家车出行？你想对这些同学说什么？ 【答案】（1）自行车；40 （2）200 （3）75；为了环保和缓解交通压力，在条件允许的情况下，可以尽量选择步行、自行车等绿色出行方式。 【分析】（1）由题意可知，其中摩托车和自行车的占比是相同的，所以人数也是相同的； （2）由题意可知，被调查的学生总数为图2四个出行方式的人数相加即可； （3）已知该校有750名学生，私家车出行人数占比为10%，那么全校选择私家车出行的同学根据总人数×占比即可算出私家车出行的人数。 对于这些同学可以说：为了环保和缓解交通压力，在条件允许的情况下，可以尽量选择步行、自行车等绿色出行方式。（答案不唯一，有理即可。） 【详解】（1）摩托车和自行车的占比是相同的，所以人数也是相同的 因此，图2错误的出行方式是自行车，人数和摩托车人数是一样的，是40人。 （2）20＋100＋40＋40 ＝120＋40＋40 ＝160＋40 ＝200（人） 答：参加调查的同学一共有200人。 （3）750×10%＝75（名） 答：全校有75名同学选择私家车出行。对于这些同学可以说：为了环保和缓解交通压力，在条件允许的情况下，可以尽量选择步行、自行车等绿色出行方式。 7．为了提高学生学习数学的兴趣，丰富学生对数学的多元认知，某学校各个年级都开设了“趣味数学社团”。六年级开设的数学社团有：阅读、运算、魔方、汉诺塔、数独（每人只能参与其中一个）。小华统计了六年级部分同学参与的情况，并绘制了两幅统计图。 请根据图中的信息回答下列问题。 （1）小华共统计了（    ）人，将条形统计图和扇形统计图补充完整。 （2）若该学校六年级参加数学社团的有200名学生，请根据以上数据估计该校六年级有（    ）人参加“数独”社团。 （3）请你根据统计图中的信息，提出一个数学问题并解答。 【答案】（1）60；见详解； （2）60； （3）见详解； 【分析】（1）把统计的总人数看作单位“1”，汉诺塔统计了6人，占总人数的10%，求单位“1”的量用除法计算，用对应数量6人除以对应百分率10%即可，计算可得60人；参加“数独”社团的人数占60人的30%，用60×30%即可得出参加“数独”社团的人数为18人，在条形统计图上数独的位置画一个高度对齐18人的直条；参加“魔方”社团的有12人，用12÷60得出百分数结果为20%，表示参加“魔方”社团的人数占调查总人数的20%，在扇形统计图魔方的地方写上百分数20%；参加“运算”社团的人数为15人，用15÷60得出百分数结果为25%，表示参加“运算”社团的人数占调查总人数的25%，在扇形统计图运算的地方写上百分数25%即可。 （2）把该学校六年级参加数学社团的200名学生看作单位“1”，参加“数独”社团的人数占30%，用200×30%即可得出参加“数独”社团的人数； （3）小华统计的参加“魔方”社团的人数比参加“阅读”社团的人数多几分之几？用参加“魔方”社团的12人减去参加“阅读”社团的9人，得到相差量，再接着除以参加“阅读”社团的9人即可得解。（答案不唯一） 【详解】（1）6÷10%＝6÷0.1＝60（人） 60×30%＝60×0.3＝18（人） 12÷60＝0.2＝20% 15÷60＝0.25＝25% 作图如下： 小华共统计了60人，将条形统计图和扇形统计图补充完整。 （2）200×30%＝200×0.3＝60（人） 若该学校六年级参加数学社团的有200名学生，请根据以上数据估计该校六年级有60人参加“数独”社团。 （3）小华统计的参加“魔方”社团的人数比参加“阅读”社团的人数多几分之几？ （12－9）÷9 ＝3÷9 ＝ 答：小华统计的参加“魔方”社团的人数比参加“阅读”社团的人数多。（答案不唯一） 8．阅读理解，数据分析。 假期中，体育组王老师向同学们推荐了四种居家锻炼方式：A跳绳，B踢毽子，C仰卧起坐，D俯卧撑。为了解学生对四种锻炼方式的喜欢情况，王老师对本校部分学生进行了问卷调查，规定被调查的学生须从以上四种锻炼方式中选择自己最喜欢的一种作答。现根据问卷调查汇总情况，王老师绘制了如下两幅不完整的条形与扇形统计图。 请根据以上信息，解答下列问题： （1）此次抽样调查，共抽取了多少名学生？ （2）在扇形统计图中，锻炼方式D所对应扇形的圆心角大小是多少？ （3）若该校共有1200名学生，请根据抽样调查的结果，估算该校喜欢锻炼方式C的学生有多少？ 【答案】（1）50名         （2）72°         （3）360名 【分析】（1）A跳绳人数占抽取总人数的40%，跳绳人数＝抽取总人数×40%，则抽取总人数＝跳绳人数÷40%，代入数据计算出共抽取的学生为20÷40%＝50（名），即可解答。 （2）扇形统计图表示各部分占总量的百分数，如果拿度数解释扇形统计图，这个整体表示360°，每部分所占的百分之几就是360°的百分之几，则先计算锻炼方式D的人数占抽取总人数的百分之几，最后乘360°，就可以得到锻炼方式D所对应扇形的圆心角大小。 （3）学校抽取50名学生做调查，其中喜欢锻炼方式C的学生有15人，则喜欢锻炼方式C的学生占抽取学生人数的，那么喜欢锻炼方式C的学生人数是1200名学生的30%，可得喜欢锻炼方式C的学生人数大约是1200×30%，计算即可解答。 【详解】（1）20÷40% ＝20÷0.4 ＝50（名） 答：共抽取了50名学生。 （2）10÷50×100% ＝0.2×100% ＝20% 360°×20%＝72° 答：锻炼方式D所对应扇形的圆心角大小是72°。 （3）15×50×100% ＝30×100% ＝30% 1200×30% ＝1200×0.3 ＝360（名） 答：学校喜欢锻炼方式C的学生约有360名。 9．为了参加“小小数学家”比赛，乐乐和园园每晚放学回家都进行40分钟的数学素养训练。下面统计图分别反映了她们的训练时间分配情况和训练10周的测试成绩。 （1）园园在（    ）上花费的时间最多，占（    ）%；乐乐在（    ）上花费的时间最多，占（    ）%。 （2）在反思上花费时间更多的是（    ），每晚比另一个人多（    ）分钟。 （3）如果你是指导老师，要从两人中选择一人参赛，那么你会选择谁？为什么？ 【答案】（1）阅读；45；做题；62.5 （2）园园；3 （3）我会选择园园。因为园园从第6周开始成绩超过乐乐，且持续在进步。 【分析】（1）园园的时间分配：园园的训练时间是扇形统计图，总占比为100%。已知反思占20%，做题占35%，则阅读占比用总占比减去反思的再减去做题的即可，因此，园园在阅读上花费的时间最多。 乐乐的训练时间是条形统计图，总时间40分钟。阅读10分钟，做题25分钟，反思5分钟。其中做题时间最长，做题的占比用做题的时间除以总时间乘100%。 （2）先计算园园的反思时间，用总时间×园园反思的所占比，比较乐乐和园园的反思时间谁的更长即可。 （3）选择园园参赛。理由：从 “训练 10 周的测试成绩统计图” 可以看出，园园的成绩呈持续上升趋势，且后期成绩明显高于乐乐，更具竞争力。 【详解】（1）园园在阅读上花费的时间最多，阅读占比为。，乐乐在做题上花费的时间最多。占比为。 （2）园园的反思时间为：（分钟），乐乐的反思时间是5分钟，所以反思时间更多的是园园，每晚多（分钟）。 （3）我会选择园园。因为园园从第6周开始成绩超过乐乐，且持续在进步。 三、概率初步 1．2023赛季的火星HBA总决赛在玛尔斯队和阿雷斯队之间展开，两队一直以来水平相当。总决赛是7场4胜制，也就是先取得4场胜利的球队拿到总冠军。现在已经比了3场，玛尔斯队以总比分2∶1领先，那么玛尔斯队获得最后总冠军的概率是（    ）。 A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】7场比赛已经比克三场，则从后面的4场分类考虑，要想比赛结束，至少还需：4－2＝2（场），所以分别从再打2场，3场，4场讨论玛尔斯队获得最后总冠军的概率，最后求和。 【详解】因为目前已比了3场，玛尔斯队以总比分2：1领先，所以玛尔斯队想要获得最后总冠军，在剩下的4场比赛中赢得2场。 每一场比赛中，玛尔斯队获胜的可能性是 如果再比2场比赛结束，则玛尔斯队两场均获胜，其概率为：； 如果再比3场比赛结束，则玛尔斯队前两场一胜一负，第三场一定要胜，其概率为：； 如果再比4场比赛结束，则玛尔斯队前三场一胜两负，第四场一定要胜，其概率为：； 所以玛尔斯队获得最后总冠军的概率为： 故答案为：B 2．小明有黑桃、红桃、方块、草花这四种花色的扑克牌各2张，从这8张牌中任取出2张，这2张扑克牌花色相同的概率是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先从黑桃、红桃、方块、草花这4种花色的扑克牌中任选2张，这2张扑克牌花色相同的情况一共有4种，即2张都是黑桃、2张都是红桃、2张都是方块、2张都是草花。再从8张牌中任选2张，有8×7÷（2×1）＝28种，4÷28＝，据此解答即可。 【详解】 故答案为：A 3．一块电子手表，显示时与分，使用小时计时制，例如中午点和半夜点都显示为。如果在一天（24小时）中的随机一个时刻看手表，至少看到一个数字“1”的概率是( )。 【答案】 【分析】表示小时的数从01~12，总共12种，表示分钟的数从00~59，总共60种，一共720种组合，找出没有1的情况，再用总数减去没有1的情况，即为含有的情况。 【详解】一天当中，手表上显示的时刻一共有种。 其中冒号之前不出现的情况有2、3、4、5、6、7、8、9八种， 冒号之后不出现的情况有种， 所以不出现的情况有种。 所以至少看到一个数字“1”的情况有种， 所以至少看到一个数字“1”的概率为种。 【点睛】求解概率问题时，如果正向考虑问题不方便，可以从反面考虑问题。 4．从小红家门口的车站到学校，有路、路两种公共汽车可乘，它们都是每隔分中开来一辆。小红到车站后，只要看见路或路，马上就上车，据有人观察发现：总有路车过去以后分钟就来路车，而路车过去以后分钟才来路车。小红乘坐( )路车的可能性较大。 【答案】1 【分析】可以假设某一时刻开来1路车，然后根据规律，统计在一段时间内，1路车和9路车各开来多少辆，然后计算各自的概率。 【详解】首先某一时刻开来路车，从此时起，分析乘坐汽车如下表所示： 分钟 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 车号 1 9 9 9 1 1 1 1 1 1 1 9 9 9 1 1 1 1 1 显然由上表可知每分钟乘坐路车的几率均为，乘坐路车的几率均为，因此小红乘坐路车的可能性较大。 【点睛】事件发生的概率是与数量相关的，数量越大，事件发生的可能性就越大。 5．从立方体的八个顶点中选个顶点，你能算出： （1）它们能构成多少个三角形？ （2）这些三角形中有多少个直角三角形？ （3）随机取三个顶点，这三个点构成直角三角形的可能性有多少？ 【答案】（1） （2） （3） 【分析】从立方体的八个顶点中选3个顶点，总共有56种方法，并且不存在共线的情况，所以一共有56个三角形；当三角形的三个顶点中任两个都不在正方体的一条棱上，不能构成直角三角形。 【详解】从个顶点中任取个顶点都能构成三角形，所以应该有个。 如果三角形的三个顶点中任两个都不在正方体的一条棱上，则该三角形不是直角三角形，共有个不是直角三角形。 所以直角三角形共有个。 构成直角三角形的可能性有。 答：能构成56个三角形；有48个直角三角形；构成直角三角形的可能性是。 【点睛】本题考查的是概率问题，并且与立体几何中的计数问题相结合，难度较大。 6．一张圆桌旁有四个座位，、、、四人随机坐到四个座位上，求与不相邻而坐的概率。 【答案】 【分析】四人随机坐到四个座位上，总共有24种可能，可以求出A与B相邻的情况，求出对应的概率，然后计算不相邻的概率。 【详解】四人入座的不同情况有种。 、相邻的不同情况，首先固定的座位，有种，安排的座位有种，安排、的座位有种，一共有种，所以、相邻而座的概率为，那么、不相邻而座的概率为。 答：A与B不相邻的概率是。 【点睛】概率问题通常与排列组合问题相结合，如果从正向考虑问题不方便，可以考虑其对立事件。 7．工厂质量检测部门对某一批次的件产品进行抽样检测，如果这件产品中有两件产品是次品，那么质检人员随机抽取件产品，这两件产品恰好都是次品的概率为多少？这两件产品中有一件是次品的概率为多少？这两件产品中没有次品的概率为多少？ 【答案】；； 【分析】从10件产品中抽取两件产品，有45种可能，两件产品恰好都是次品的情况只有1种；有一件是次品的情况有8种；没有次品的情况有28种，然后计算各自的概率。 【详解】从件产品中选择件一共有种情况。 所以这两件产品恰好都是次品的概率为。 两件产品中有一件次品的情况有种情况，所以两件产品中有一件次品的概率为。 两件产品中都不是次品的概率有种情况，所以两件产品都不是次品的概率为。 答：都是次品的概率为；有一件是次品的概率为；没有次品的概率为。 【点睛】本题考查的是概率问题，关键是求出每一种情况下符合要求的选法一共有多少种。 8．在某次的考试中，甲、乙、丙三人优秀（互不影响）的概率为0.5，0.4，0.2，考试结束后，最容易出现几个人优秀？ 【答案】个人优秀 【分析】可以分别求出三个人优秀的概率，两个人优秀的概率，一个人优秀的概率，以及全都不优秀的概率，然后进行比较，找出概率最大的。 【详解】甲不优秀的概率： 乙不优秀的概率： 丙不优秀的概率： 三人都优秀的概率是， 只有甲乙两人优秀的概率为， 只有甲丙二人优秀的概率， 只有乙丙二人优秀的概率， 所以有两人优秀的概率为， 甲一人优秀的概率， 乙一人优秀的概率， 丙一人优秀的概率， 所以只有一人优秀的概率为 全都不优秀的概率为， 答：最容易出现只有一人优秀的情况。 【点睛】三个人优秀的概率一定小于两个人优秀的概率，两个人优秀的概率一定小于一个人优秀的概率，所以这里重点是比较一个人优秀的概率的全都不优秀的概率。 9．一个标准的五角星（如图）由个点连接而成，从这个点随机选取个点，则这三个点在同一条直线上的概率为多少，这三个点能构成三角形的概率为多少？如果选取个点，则这四个点恰好构成平行四边形的概率为多少？ 【答案】；； 【分析】从10个点中选3个点，一共120种方法，一共有5条直线，从同一条直线上选出的3个点一定共线，也就不能构成三角形；从10个点中选4个点，一共210种方法，可以构成平行四边形的一共10种。 【详解】个点中任意取个的情况为种， 其中涉及到条直线，每条直线上各有个点，其中任意点都共线，所以取这3点不能够成三角形，这样的概率是，所以点构成三角形的概率为。 如图所示： 总共可以找出10个平行四边形； 个点中取个点的情形为种，个点中平行四边形有个，所以构成平行四边形的概率为。 【点睛】本题考查的是概率问题，符合要求的数量除以总数量，得到事件发生的概率。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $