第29讲 容斥问题（知识梳理+例题讲解+考点练习）-四年级奥数培优讲义

第29讲 容斥问题 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.理解容斥问题的本质： 认识容斥问题是一种涉及集合重叠的应用题，理解“有重叠部分的集合总和”的计算原理。 2.掌握容斥原理的核心思想： 学会运用“先加后减”或“韦恩图”的方法解决简单的二集合容斥问题。 3.熟练运用基础公式： 能够根据题目信息，运用二集合容斥原理公式（A∪B = A + B - A∩B）进行计算。 4.解决典型容斥问题： 能够独立解决涉及两类事物、存在部分重叠情况的计数问题（如同时具备两种爱好的人数、参加两项活动的人数等）。 5.培养集合思维： 在理解集合关系、分析重叠部分的过程中，锻炼分类、归纳的数学思维能力。 知识梳理 知识点一、什么是容斥问题？ 容斥问题，也叫包含排除问题。这类问题的特点是： 1.有两类事物（或者两个集合），分别有自己的数量。 2.这两类事物中，有一部分对象同时属于两类（即存在重叠）。 3.题目会给出分别属于第一类、第二类事物的数量，以及同时属于这两类事物的数量（重叠部分）。 4.要求我们求出至少属于其中一类事物的总数量（即两类事物的总数，不重复计算重叠部分）。 核心难点： 直接相加两类事物的数量会把重叠部分计算两次，导致总数偏大。需要想办法减去重复计算的部分。 知识点二、核心思想：容斥原理 解决容斥问题的核心思想是“先加后减”： 1.先相加： 把两类事物的数量（A 和 B）加起来。 2.再减去： 减去同时属于两类事物的数量（重叠部分，A∩B）。 3.得到总数： 这样得到的就是至少属于其中一类事物的总数量（A∪B）。 简单公式： 总数 = A的数量 + B的数量 - 重叠部分的数量 或者用集合符号表示： A∪B = A + B - A∩B 知识点三、韦恩图——直观理解 韦恩图是理解容斥问题的好工具。它用两个相交的圆圈来表示两个集合： 1.左边的圆圈（A）： 表示只属于第一类事物的数量（纯A）。 2.右边的圆圈（B）： 表示只属于第二类事物的数量（纯B）。 3.中间相交的部分（A∩B）： 表示同时属于两类事物的数量（重叠）。 4.整个图形覆盖的区域（A∪B）： 表示至少属于其中一类事物的总数量。 韦恩图清楚地展示了： 总数 = (纯A) + (纯B) + (重叠) = A + B - 重叠 (因为 A = 纯A + 重叠, B = 纯B + 重叠，所以 A + B = 纯A + 纯B + 2*重叠，减去一个重叠就得到 纯A + 纯B + 重叠 = 总数) 知识点四、解题步骤 解决容斥问题通常遵循以下步骤： 1.仔细审题，明确信息： (1)找出题目中涉及的两类事物分别是什么（A类是什么？B类是什么？）。 (2)找出属于A类事物的数量（A）。 (3)找出属于B类事物的数量（B）。 (4)找出同时属于A类和B类事物的数量（重叠部分，A∩B）。 2.运用公式（或画图分析）： (1)直接套用公式：总数 = A + B - 重叠。 (2)或者画韦恩图帮助理解，并在图上标出已知数量。 3.计算答案： 进行简单的加减运算。 4.验证结果（可选）： 思考一下计算结果是否符合逻辑。例如，总数应该大于或等于A、B中较大的那个数，小于或等于A+B。 例题讲解 一、基础二集合容斥问题 【例题1】五年级(1)班有50名学生，其中32人参加了数学兴趣小组，28人参加了英语兴趣小组，15人两个小组都参加了。求至少参加一个兴趣小组的人数。 【例题2】学校运动会上，五年级有48人参加了跑步比赛，36人参加了跳远比赛，其中12人既参加了跑步又参加了跳远。求参加这两项比赛的总人数。 【例题3】在一次数学测试中，五年级(2)班有35人做对了第一题，27人做对了第二题，其中18人两道题都做对了。如果每人至少做对一道题，求这个班的人数。 二、求重叠部分或单一集合 【例题1】五年级(3)班有45名学生，其中28人参加了数学竞赛，25人参加了语文竞赛，14人两项竞赛都没有参加。求同时参加两项竞赛的人数。 【例题2】某班有50名学生，参加美术小组的有26人，既参加美术小组又参加音乐小组的有12人，参加这两个小组的总人数为35人。求参加音乐小组的人数。 【例题3】学校组织活动，参加跳绳比赛的有42人，参加跑步比赛的有38人，参加这两项比赛的总人数为65人。求同时参加两项比赛的人数。 三、较复杂的容斥问题变形 【例题1】五年级四个班共有180名学生，其中参加数学兴趣小组的有85人，参加语文兴趣小组的有78人，两个小组都不参加的有42人。求只参加一个兴趣小组的人数。 【例题2】五年级学生参加课外学习，学习钢琴的有42人，学习舞蹈的有38人，学习绘画的有35人。同时学习钢琴和舞蹈的有12人，同时学习舞蹈和绘画的有10人，同时学习钢琴和绘画的有8人，三项都学习的有4人。求参加课外学习的学生总人数。 考点练习 一、基础二集合容斥问题 1.某班学生参加兴趣小组，参加绘画组的有25人，参加歌唱组的有30人，其中8人两个小组都参加了。求参加这两个兴趣小组的学生总人数。 2.五年级学生参加语文和数学竞赛，参加语文竞赛的有42人，参加数学竞赛的有48人，其中15人两项竞赛都参加了。求参加竞赛的学生总人数。 3.学校图书馆统计，借阅《童话故事》的有36人，借阅《科学探秘》的有28人，其中两种书都借阅的有12人。求借阅这两种书的学生总人数。 4.五年级学生参加体育活动，参加跳绳的有45人，参加踢毽子的有38人，其中15人既参加跳绳又参加踢毽子。求参加这两项体育活动的学生总人数。 5.某班学生参加课外活动，参加书法组的有22人，参加围棋组的有18人，其中6人两个小组都参加了。求参加这两个课外活动小组的学生总人数。 6.在一次调查中，喜欢篮球的学生有54人，喜欢足球的学生有46人，其中两种运动都喜欢的有23人。求至少喜欢一种运动的学生人数。 7.五年级学生参加乐器学习，学习钢琴的有32人，学习小提琴的有27人，其中两种乐器都学习的有9人。求学习这两种乐器的学生总人数。 二、求重叠部分或单一集合 1.五年级学生参加兴趣小组，参加科技小组的有35人，参加文艺小组的有28人，两项都参加的有12人。求只参加科技小组的人数。 2.某班学生参加课外辅导，参加数学辅导的有45人，参加英语辅导的有36人，参加这两项辅导的总人数为62人。求只参加英语辅导的人数。 3.五年级有60名学生，其中40人喜欢数学，32人喜欢语文，15人既不喜欢数学也不喜欢语文。求既喜欢数学又喜欢语文的人数。 4.学校图书馆有120名学生在看书，其中看故事书的有58人，看科技书的有45人，两种书都看的有18人。求只看故事书的人数比只看科技书的人数多多少人。 5.某班有52名学生，参加体育锻炼的有38人，参加文艺活动的有24人，两项活动都参加的人数是两项都没参加的人数的3倍。求两项活动都参加的人数。 6.五年级学生参加期末考试，语文及格的有48人，数学及格的有45人，两门都及格的有40人，两门都不及格的有3人。求五年级共有多少名学生。 7.学校组织春游活动，参加爬山的有56人，参加划船的有42人，既参加爬山又参加划船的人数是只参加划船人数的2倍。求参加这两项活动的总人数。 三、较复杂的容斥问题变形 1.某班学生参加语文、数学、英语三科考试，语文及格的有45人，数学及格的有40人，英语及格的有38人。语文和数学都及格的有30人，数学和英语都及格的有25人，语文和英语都及格的有20人，三科都及格的有15人，三科都不及格的有3人。求该班共有多少名学生。 2.学校图书馆有故事书、科技书和漫画书三类图书。借阅故事书的有52人，借阅科技书的有45人，借阅漫画书的有38人。同时借阅故事书和科技书的有15人，同时借阅科技书和漫画书的有12人，同时借阅故事书和漫画书的有10人，三类书都借阅的有5人，三类书都不借阅的有8人。求图书馆共有多少名学生在借阅图书。 3.某班有45名学生，其中喜欢打篮球的有28人，喜欢踢足球的有25人，喜欢打乒乓球的有20人。同时喜欢打篮球和踢足球的有10人，同时喜欢踢足球和打乒乓球的有8人，同时喜欢打篮球和打乒乓球的有6人，三项都喜欢的有3人。求三项运动都不喜欢的人数。 4.学校组织学生参加兴趣小组，参加数学小组的有48人，参加语文小组的有42人，参加英语小组的有36人。只参加数学和语文小组的有12人，只参加语文和英语小组的有8人，只参加数学和英语小组的有6人，三个小组都参加的有4人。求参加兴趣小组的学生总人数。 5.五年级学生参加社会实践活动，到工厂参观的有56人，到农村体验的有48人，到社区服务的有42人。既到工厂又到农村的有15人，既到农村又到社区的有12人，既到工厂又到社区的有10人，三个地方都去的有5人，三个地方都没去的有8人。求五年级共有多少名学生。 6.某班学生参加考试，语文得优的有32人，数学得优的有35人，英语得优的有28人。语文和数学都得优的有15人，数学和英语都得优的有12人，语文和英语都得优的有10人，三科都得优的有5人，三科都未得优的有8人。求该班共有多少名学生。 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第29讲 容斥问题 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.理解容斥问题的本质： 认识容斥问题是一种涉及集合重叠的应用题，理解“有重叠部分的集合总和”的计算原理。 2.掌握容斥原理的核心思想： 学会运用“先加后减”或“韦恩图”的方法解决简单的二集合容斥问题。 3.熟练运用基础公式： 能够根据题目信息，运用二集合容斥原理公式（A∪B = A + B - A∩B）进行计算。 4.解决典型容斥问题： 能够独立解决涉及两类事物、存在部分重叠情况的计数问题（如同时具备两种爱好的人数、参加两项活动的人数等）。 5.培养集合思维： 在理解集合关系、分析重叠部分的过程中，锻炼分类、归纳的数学思维能力。 知识梳理 知识点一、什么是容斥问题？ 容斥问题，也叫包含排除问题。这类问题的特点是： 1.有两类事物（或者两个集合），分别有自己的数量。 2.这两类事物中，有一部分对象同时属于两类（即存在重叠）。 3.题目会给出分别属于第一类、第二类事物的数量，以及同时属于这两类事物的数量（重叠部分）。 4.要求我们求出至少属于其中一类事物的总数量（即两类事物的总数，不重复计算重叠部分）。 核心难点： 直接相加两类事物的数量会把重叠部分计算两次，导致总数偏大。需要想办法减去重复计算的部分。 知识点二、核心思想：容斥原理 解决容斥问题的核心思想是“先加后减”： 1.先相加： 把两类事物的数量（A 和 B）加起来。 2.再减去： 减去同时属于两类事物的数量（重叠部分，A∩B）。 3.得到总数： 这样得到的就是至少属于其中一类事物的总数量（A∪B）。 简单公式： 总数 = A的数量 + B的数量 - 重叠部分的数量 或者用集合符号表示： A∪B = A + B - A∩B 知识点三、韦恩图——直观理解 韦恩图是理解容斥问题的好工具。它用两个相交的圆圈来表示两个集合： 1.左边的圆圈（A）： 表示只属于第一类事物的数量（纯A）。 2.右边的圆圈（B）： 表示只属于第二类事物的数量（纯B）。 3.中间相交的部分（A∩B）： 表示同时属于两类事物的数量（重叠）。 4.整个图形覆盖的区域（A∪B）： 表示至少属于其中一类事物的总数量。 韦恩图清楚地展示了： 总数 = (纯A) + (纯B) + (重叠) = A + B - 重叠 (因为 A = 纯A + 重叠, B = 纯B + 重叠，所以 A + B = 纯A + 纯B + 2*重叠，减去一个重叠就得到 纯A + 纯B + 重叠 = 总数) 知识点四、解题步骤 解决容斥问题通常遵循以下步骤： 1.仔细审题，明确信息： (1)找出题目中涉及的两类事物分别是什么（A类是什么？B类是什么？）。 (2)找出属于A类事物的数量（A）。 (3)找出属于B类事物的数量（B）。 (4)找出同时属于A类和B类事物的数量（重叠部分，A∩B）。 2.运用公式（或画图分析）： (1)直接套用公式：总数 = A + B - 重叠。 (2)或者画韦恩图帮助理解，并在图上标出已知数量。 3.计算答案： 进行简单的加减运算。 4.验证结果（可选）： 思考一下计算结果是否符合逻辑。例如，总数应该大于或等于A、B中较大的那个数，小于或等于A+B。 例题讲解 一、基础二集合容斥问题 【例题1】五年级(1)班有50名学生，其中32人参加了数学兴趣小组，28人参加了英语兴趣小组，15人两个小组都参加了。求至少参加一个兴趣小组的人数。 【答案】45人 【详解】根据容斥原理公式：A∪B = A + B - A∩B 参加数学小组的人数(A)=32，参加英语小组的人数(B)=28，两个小组都参加的人数(A∩B)=15 至少参加一个兴趣小组的人数=32+28-15=45(人) 【例题2】学校运动会上，五年级有48人参加了跑步比赛，36人参加了跳远比赛，其中12人既参加了跑步又参加了跳远。求参加这两项比赛的总人数。 【答案】72人 【详解】根据容斥原理公式：A∪B = A + B - A∩B 参加跑步的人数(A)=48，参加跳远的人数(B)=36，两项都参加的人数(A∩B)=12 参加这两项比赛的总人数=48+36-12=72(人) 【例题3】在一次数学测试中，五年级(2)班有35人做对了第一题，27人做对了第二题，其中18人两道题都做对了。如果每人至少做对一道题，求这个班的人数。 【答案】44人 【详解】根据容斥原理公式：A∪B = A + B - A∩B 做对第一题的人数(A)=35，做对第二题的人数(B)=27，两道题都做对的人数(A∩B)=18 班级总人数=35+27-18=44(人) 二、求重叠部分或单一集合 【例题1】五年级(3)班有45名学生，其中28人参加了数学竞赛，25人参加了语文竞赛，14人两项竞赛都没有参加。求同时参加两项竞赛的人数。 【答案】12人 【详解】首先求出至少参加一项竞赛的人数：45-14=31(人) 根据容斥原理公式：A∪B = A + B - A∩B，可得A∩B = A + B - A∪B 参加数学竞赛的人数(A)=28，参加语文竞赛的人数(B)=25，至少参加一项竞赛的人数(A∪B)=31 同时参加两项竞赛的人数=28+25-31=12(人) 【例题2】某班有50名学生，参加美术小组的有26人，既参加美术小组又参加音乐小组的有12人，参加这两个小组的总人数为35人。求参加音乐小组的人数。 【答案】21人 【详解】根据容斥原理公式：A∪B = A + B - A∩B，可得B = A∪B + A∩B - A 参加美术小组的人数(A)=26，两个小组都参加的人数(A∩B)=12，参加两个小组的总人数(A∪B)=35 参加音乐小组的人数=35+12-26=21(人) 【例题3】学校组织活动，参加跳绳比赛的有42人，参加跑步比赛的有38人，参加这两项比赛的总人数为65人。求同时参加两项比赛的人数。 【答案】15人 【详解】根据容斥原理公式：A∪B = A + B - A∩B，可得A∩B = A + B - A∪B 参加跳绳比赛的人数(A)=42，参加跑步比赛的人数(B)=38，参加两项比赛的总人数(A∪B)=65 同时参加两项比赛的人数=42+38-65=15(人) 三、较复杂的容斥问题变形 【例题1】五年级四个班共有180名学生，其中参加数学兴趣小组的有85人，参加语文兴趣小组的有78人，两个小组都不参加的有42人。求只参加一个兴趣小组的人数。 【答案】73人 【详解】首先求至少参加一个兴趣小组的人数：180-42=138(人) 根据容斥原理公式，求出两项都参加的人数：A∩B = A + B - A∪B = 85+78-138=25(人) 只参加数学兴趣小组的人数=85-25=60(人) 只参加语文兴趣小组的人数=78-25=53(人) 只参加一个兴趣小组的人数=60+53=113(人) 【例题2】五年级学生参加课外学习，学习钢琴的有42人，学习舞蹈的有38人，学习绘画的有35人。同时学习钢琴和舞蹈的有12人，同时学习舞蹈和绘画的有10人，同时学习钢琴和绘画的有8人，三项都学习的有4人。求参加课外学习的学生总人数。 【答案】89人 【详解】这是一个三集合容斥问题，公式为：A∪B∪C = A + B + C - A∩B - B∩C - A∩C + A∩B∩C 学习钢琴的人数(A)=42，学习舞蹈的人数(B)=38，学习绘画的人数(C)=35 同时学习钢琴和舞蹈的人数(A∩B)=12，同时学习舞蹈和绘画的人数(B∩C)=10 同时学习钢琴和绘画的人数(A∩C)=8，三项都学习的人数(A∩B∩C)=4 参加课外学习的总人数=42+38+35-12-10-8+4=89(人) 考点练习 一、基础二集合容斥问题 1.某班学生参加兴趣小组，参加绘画组的有25人，参加歌唱组的有30人，其中8人两个小组都参加了。求参加这两个兴趣小组的学生总人数。 【答案】47人 【详解】根据容斥原理公式：A∪B = A + B - A∩B 参加绘画组的人数(A)=25，参加歌唱组的人数(B)=30，两个小组都参加的人数(A∩B)=8 参加这两个兴趣小组的总人数=25+30-8=47(人) 2.五年级学生参加语文和数学竞赛，参加语文竞赛的有42人，参加数学竞赛的有48人，其中15人两项竞赛都参加了。求参加竞赛的学生总人数。 【答案】75人 【详解】根据容斥原理公式：A∪B = A + B - A∩B 参加语文竞赛的人数(A)=42，参加数学竞赛的人数(B)=48，两项都参加的人数(A∩B)=15 参加竞赛的总人数=42+48-15=75(人) 3.学校图书馆统计，借阅《童话故事》的有36人，借阅《科学探秘》的有28人，其中两种书都借阅的有12人。求借阅这两种书的学生总人数。 【答案】52人 【详解】根据容斥原理公式：A∪B = A + B - A∩B 借阅《童话故事》的人数(A)=36，借阅《科学探秘》的人数(B)=28，两种书都借阅的人数(A∩B)=12 借阅这两种书的总人数=36+28-12=52(人) 4.五年级学生参加体育活动，参加跳绳的有45人，参加踢毽子的有38人，其中15人既参加跳绳又参加踢毽子。求参加这两项体育活动的学生总人数。 【答案】68人 【详解】根据容斥原理公式：A∪B = A + B - A∩B 参加跳绳的人数(A)=45，参加踢毽子的人数(B)=38，两项都参加的人数(A∩B)=15 参加这两项体育活动的总人数=45+38-15=68(人) 5.某班学生参加课外活动，参加书法组的有22人，参加围棋组的有18人，其中6人两个小组都参加了。求参加这两个课外活动小组的学生总人数。 【答案】34人 【详解】根据容斥原理公式：A∪B = A + B - A∩B 参加书法组的人数(A)=22，参加围棋组的人数(B)=18，两个小组都参加的人数(A∩B)=6 参加这两个课外活动小组的总人数=22+18-6=34(人) 6.在一次调查中，喜欢篮球的学生有54人，喜欢足球的学生有46人，其中两种运动都喜欢的有23人。求至少喜欢一种运动的学生人数。 【答案】77人 【详解】根据容斥原理公式：A∪B = A + B - A∩B 喜欢篮球的人数(A)=54，喜欢足球的人数(B)=46，两种运动都喜欢的人数(A∩B)=23 至少喜欢一种运动的人数=54+46-23=77(人) 7.五年级学生参加乐器学习，学习钢琴的有32人，学习小提琴的有27人，其中两种乐器都学习的有9人。求学习这两种乐器的学生总人数。 【答案】50人 【详解】根据容斥原理公式：A∪B = A + B - A∩B 学习钢琴的人数(A)=32，学习小提琴的人数(B)=27，两种乐器都学习的人数(A∩B)=9 学习这两种乐器的总人数=32+27-9=50(人) 二、求重叠部分或单一集合 1.五年级学生参加兴趣小组，参加科技小组的有35人，参加文艺小组的有28人，两项都参加的有12人。求只参加科技小组的人数。 【答案】23人 【详解】只参加科技小组的人数=参加科技小组的总人数-两项都参加的人数 参加科技小组的人数(A)=35，两项都参加的人数(A∩B)=12 只参加科技小组的人数=35-12=23(人) 2.某班学生参加课外辅导，参加数学辅导的有45人，参加英语辅导的有36人，参加这两项辅导的总人数为62人。求只参加英语辅导的人数。 【答案】17人 【详解】首先求同时参加两项辅导的人数：A∩B = A + B - A∪B = 45+36-62=19(人) 只参加英语辅导的人数=参加英语辅导的总人数-两项都参加的人数=36-19=17(人) 3.五年级有60名学生，其中40人喜欢数学，32人喜欢语文，15人既不喜欢数学也不喜欢语文。求既喜欢数学又喜欢语文的人数。 【答案】27人 【详解】首先求至少喜欢一门学科的人数：60-15=45(人) 根据容斥原理公式：A∩B = A + B - A∪B 喜欢数学的人数(A)=40，喜欢语文的人数(B)=32，至少喜欢一门学科的人数(A∪B)=45 既喜欢数学又喜欢语文的人数=40+32-45=27(人) 4.学校图书馆有120名学生在看书，其中看故事书的有58人，看科技书的有45人，两种书都看的有18人。求只看故事书的人数比只看科技书的人数多多少人。 【答案】13人 【详解】只看故事书的人数=看故事书的总人数-两种书都看的人数=58-18=40(人) 只看科技书的人数=看科技书的总人数-两种书都看的人数=45-18=27(人) 只看故事书的人数比只看科技书的人数多：40-27=13(人) 5.某班有52名学生，参加体育锻炼的有38人，参加文艺活动的有24人，两项活动都参加的人数是两项都没参加的人数的3倍。求两项活动都参加的人数。 【答案】15人 【详解】设两项活动都没参加的人数为x，则两项都参加的人数为3x 至少参加一项活动的人数=52-x 根据容斥原理公式：A∪B = A + B - A∩B，可得52-x = 38+24-3x 解方程：52-x = 62-3x 2x = 10 x = 5 两项活动都参加的人数=3x=15(人) 6.五年级学生参加期末考试，语文及格的有48人，数学及格的有45人，两门都及格的有40人，两门都不及格的有3人。求五年级共有多少名学生。 【答案】56人 【详解】首先求至少一门及格的人数：A∪B = A + B - A∩B = 48+45-40=53(人) 五年级总人数=至少一门及格的人数+两门都不及格的人数=53+3=56(人) 7.学校组织春游活动，参加爬山的有56人，参加划船的有42人，既参加爬山又参加划船的人数是只参加划船人数的2倍。求参加这两项活动的总人数。 【答案】70人 【详解】设只参加划船的人数为x，则既参加爬山又参加划船的人数为2x 参加划船的总人数=只参加划船的人数+两项都参加的人数，即42=x+2x，解得x=14 所以两项都参加的人数=2x=28(人) 参加这两项活动的总人数=A∪B = A + B - A∩B = 56+42-28=70(人) 三、较复杂的容斥问题变形 1.某班学生参加语文、数学、英语三科考试，语文及格的有45人，数学及格的有40人，英语及格的有38人。语文和数学都及格的有30人，数学和英语都及格的有25人，语文和英语都及格的有20人，三科都及格的有15人，三科都不及格的有3人。求该班共有多少名学生。 【答案】56人 【详解】首先求至少一科及格的人数，使用三集合容斥公式： A∪B∪C = A + B + C - A∩B - B∩C - A∩C + A∩B∩C = 45+40+38-30-25-20+15=63(人) 该班总人数=至少一科及格的人数+三科都不及格的人数=63+3=66(人) 2.学校图书馆有故事书、科技书和漫画书三类图书。借阅故事书的有52人，借阅科技书的有45人，借阅漫画书的有38人。同时借阅故事书和科技书的有15人，同时借阅科技书和漫画书的有12人，同时借阅故事书和漫画书的有10人，三类书都借阅的有5人，三类书都不借阅的有8人。求图书馆共有多少名学生在借阅图书。 【答案】101人 【详解】首先求至少借阅一类书的人数，使用三集合容斥公式： A∪B∪C = A + B + C - A∩B - B∩C - A∩C + A∩B∩C = 52+45+38-15-12-10+5=103(人) 图书馆借阅图书的学生总数=至少借阅一类书的人数+三类书都不借阅的人数=103+8=111(人) 3.某班有45名学生，其中喜欢打篮球的有28人，喜欢踢足球的有25人，喜欢打乒乓球的有20人。同时喜欢打篮球和踢足球的有10人，同时喜欢踢足球和打乒乓球的有8人，同时喜欢打篮球和打乒乓球的有6人，三项都喜欢的有3人。求三项运动都不喜欢的人数。 【答案】3人 【详解】首先求至少喜欢一项运动的人数，使用三集合容斥公式： A∪B∪C = A + B + C - A∩B - B∩C - A∩C + A∩B∩C = 28+25+20-10-8-6+3=42(人) 三项运动都不喜欢的人数=总人数-至少喜欢一项运动的人数=45-42=3(人) 4.学校组织学生参加兴趣小组，参加数学小组的有48人，参加语文小组的有42人，参加英语小组的有36人。只参加数学和语文小组的有12人，只参加语文和英语小组的有8人，只参加数学和英语小组的有6人，三个小组都参加的有4人。求参加兴趣小组的学生总人数。 【答案】90人 【详解】这是一个三集合容斥问题，需要区分"只参加两项"和"参加两项"(包括三项都参加)的区别 只参加数学小组的人数=48-12-6-4=26(人) 只参加语文小组的人数=42-12-8-4=18(人) 只参加英语小组的人数=36-8-6-4=18(人) 参加兴趣小组的总人数=只参加数学+只参加语文+只参加英语+只参加数学和语文+只参加语文和英语+只参加数学和英语+三个小组都参加 =26+18+18+12+8+6+4=92(人) 5.五年级学生参加社会实践活动，到工厂参观的有56人，到农村体验的有48人，到社区服务的有42人。既到工厂又到农村的有15人，既到农村又到社区的有12人，既到工厂又到社区的有10人，三个地方都去的有5人，三个地方都没去的有8人。求五年级共有多少名学生。 【答案】126人 【详解】首先求至少去一个地方的人数，使用三集合容斥公式： A∪B∪C = A + B + C - A∩B - B∩C - A∩C + A∩B∩C = 56+48+42-15-12-10+5=114(人) 五年级总人数=至少去一个地方的人数+三个地方都没去的人数=114+8=122(人) 6.某班学生参加考试，语文得优的有32人，数学得优的有35人，英语得优的有28人。语文和数学都得优的有15人，数学和英语都得优的有12人，语文和英语都得优的有10人，三科都得优的有5人，三科都未得优的有8人。求该班共有多少名学生。 【答案】66人 【详解】首先求至少一科得优的人数，使用三集合容斥公式： A∪B∪C = A + B + C - A∩B - B∩C - A∩C + A∩B∩C = 32+35+28-15-12-10+5=63(人) 该班总人数=至少一科得优的人数+三科都未得优的人数=63+8=71(人) 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $