第27讲 二进制（知识梳理+例题讲解+考点练习）-四年级奥数培优讲义

第27讲 二进制 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.理解二进制的基本概念： 认识二进制是一种不同于十进制的计数方法，理解“逢二进一”的核心规则。 2.掌握二进制数的读写： 能够正确读出和写出简单的二进制数。 3.理解数位与位权： 明确二进制数中每一位的位置及其对应的位权（2的幂次方）。 4.熟练进行二进制与十进制的相互转换： (1)二进制转十进制： 学会将二进制数按位权展开求和的方法。 (2)十进制转二进制： 掌握“除二取余，倒序排列”的基本方法。 5.了解二进制的简单应用： 初步感知二进制在计算机科学中的基础作用。 知识梳理 知识点一、什么是二进制？ 1.十进制 (我们常用的计数法): (1)规则：逢十进一。使用 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 这十个数字。 (2)例子：数字 123 表示 1个百(10²) + 2个十(10¹) + 3个一(10⁰)。 2.二进制: (1)规则：逢二进一。只使用 0 和 1 这两个数字。 (2)例子：数字 101(二进制) 表示 1个四(2²) + 0个二(2¹) + 1个一(2⁰)。注意：读作“一零一”，不要读成“一百零一”，因为那不是十进制数。 3.核心区别： 二进制只用 0 和 1，每满 2 就向高位进 1。 知识点二、二进制数的位权 1.数位： 和十进制类似，二进制数从右向左，每一位也有不同的名称和含义。 (1)最右边第一位：个位 (2⁰位) (2)右边第二位：二位 (2¹位) (3)右边第三位：四位 (2²位) (4)右边第四位：八位 (2³位) (5)右边第五位：十六位 (2⁴位) (6)...以此类推，每一位的位权都是 2 的幂次方 (2ⁿ)。 2.位权： 每个数位上的数字所代表的实际大小。二进制数中，第 n 位（从右向左数，个位是第0位）的位权是 2ⁿ。 (1)个位 (第0位)：位权 = 2⁰ = 1 (2)二位 (第1位)：位权 = 2¹ = 2 (3)四位 (第2位)：位权 = 2² = 4 (4)八位 (第3位)：位权 = 2³ = 8 (5)十六位 (第4位)：位权 = 2⁴ = 16 (6)...以此类推。 知识点三、二进制数转换为十进制数 1.方法：按位权展开求和 2.步骤： (1)写出二进制数的每一位数字。 (2)在每一位数字的下方，标出该位对应的位权 (2⁰, 2¹, 2², ...)。 (3)将每一位上的数字乘以该位的位权。 (4)将所有乘积相加，得到的和就是这个二进制数对应的十进制数。 3.例子： (1)将二进制数 101 转换成十进制。 ①　1 (四位，位权4) × 4 = 4 ②　0 (二位，位权2) × 2 = 0 ③　1 (个位，位权1) × 1 = 1 ④　相加：4 + 0 + 1 = 5 ⑤　所以，101(二进制) = 5(十进制) (2)将二进制数 1101 转换成十进制。 ①　1 (八位，位权8) × 8 = 8 ②　1 (四位，位权4) × 4 = 4 ③　0 (二位，位权2) × 2 = 0 ④　1 (个位，位权1) × 1 = 1 ⑤　相加：8 + 4 + 0 + 1 = 13 ⑥　所以，1101(二进制) = 13(十进制) 知识点四、十进制数转换为二进制数 1.方法：除二取余，倒序排列 2.步骤： (1)将给定的十进制数除以 2。 (2)记录下得到的 商 和 余数 (余数只能是 0 或 1)。 (3)用上一步得到的商作为新的被除数，再次除以 2，记录新的商和余数。 (4)重复步骤 3，直到商为 0 为止。 (5)将每次除法得到的余数，从最后一次除法得到的余数开始（也就是从商为0的那次开始），由下向上 (由后向前) 依次排列。这个排列好的余数序列就是对应的二进制数。 3.例子： (1)将十进制数 13 转换成二进制。 ①　13 ÷ 2 = 6 ... 余 1 (个位) ②　6 ÷ 2 = 3 ... 余 0 (二位) ③　3 ÷ 2 = 1 ... 余 1 (四位) ④　1 ÷ 2 = 0 ... 余 1 (八位) (商为0，停止) ⑤　将余数从下向上排列：1 (八位) 1 (四位) 0 (二位) 1 (个位) ⑥　所以，13(十进制) = 1101(二进制) (2)将十进制数 10 转换成二进制。 ①　10 ÷ 2 = 5 ... 余 0 ②　5 ÷ 2 = 2 ... 余 1 ③　2 ÷ 2 = 1 ... 余 0 ④　1 ÷ 2 = 0 ... 余 1 ⑤　余数倒序排列：1 0 1 0 ⑥　所以，10(十进制) = 1010(二进制) 知识点五、二进制的简单应用 1.计算机的基础： 计算机内部的所有信息（数字、文字、图片、声音、指令）最终都是以二进制形式（0和1）存储和处理的。这是因为电子元件（如开关）很容易表示两种状态：开（1）和关（0）。 2.简单编码： 可以用二进制来代表简单的状态或信息。例如： (1)灯泡亮 = 1，灯泡灭 = 0。 (2)开关开 = 1，开关关 = 0。 (3)可以用一串二进制数表示一个简单的信号或指令。 例题讲解 一、二进制转十进制 【例题1】将二进制数转换为十进制数。 【例题2】将二进制数转换为十进制数。 【例题3】二进制数对应的十进制数是多少？ 二、十进制转二进制 【例题1】将十进制数5转换为二进制数。 【例题2】将十进制数13转换为二进制数。 【例题3】十进制数20对应的二进制数是多少？ 三、二进制数比较大小 【例题1】比较二进制数和的大小。 【例题2】比较二进制数和的大小。 【例题3】比较二进制数和的大小。 考点练习 一、二进制转十进制 1.计算二进制数的十进制值。 2.将二进制数转换为十进制数。 3.二进制数的十进制结果是多少？ 4.将二进制数转换为十进制数。 5.计算二进制数对应的十进制数。 6.二进制数转换为十进制数是多少？ 7.将二进制数转换为十进制数。 二、十进制转二进制 1.将十进制数7转换为二进制数。 2.十进制数18转换为二进制数是多少？ 3.将十进制数27转换为二进制数。 4.十进制数4对应的二进制数是多少？ 5.将十进制数12转换为二进制数。 6.十进制数30对应的二进制数是多少？ 7.将十进制数9转换为二进制数。 三、二进制数比较大小 1.比较二进制数和的大小。 2.比较二进制数和的大小。 3.比较二进制数和的大小。 4.比较二进制数和的大小。 5.比较二进制数和的大小。 6.比较二进制数和的大小。 7.比较二进制数和的大小。 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第27讲 二进制 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.理解二进制的基本概念： 认识二进制是一种不同于十进制的计数方法，理解“逢二进一”的核心规则。 2.掌握二进制数的读写： 能够正确读出和写出简单的二进制数。 3.理解数位与位权： 明确二进制数中每一位的位置及其对应的位权（2的幂次方）。 4.熟练进行二进制与十进制的相互转换： (1)二进制转十进制： 学会将二进制数按位权展开求和的方法。 (2)十进制转二进制： 掌握“除二取余，倒序排列”的基本方法。 5.了解二进制的简单应用： 初步感知二进制在计算机科学中的基础作用。 知识梳理 知识点一、什么是二进制？ 1.十进制 (我们常用的计数法): (1)规则：逢十进一。使用 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 这十个数字。 (2)例子：数字 123 表示 1个百(10²) + 2个十(10¹) + 3个一(10⁰)。 2.二进制: (1)规则：逢二进一。只使用 0 和 1 这两个数字。 (2)例子：数字 101(二进制) 表示 1个四(2²) + 0个二(2¹) + 1个一(2⁰)。注意：读作“一零一”，不要读成“一百零一”，因为那不是十进制数。 3.核心区别： 二进制只用 0 和 1，每满 2 就向高位进 1。 知识点二、二进制数的位权 1.数位： 和十进制类似，二进制数从右向左，每一位也有不同的名称和含义。 (1)最右边第一位：个位 (2⁰位) (2)右边第二位：二位 (2¹位) (3)右边第三位：四位 (2²位) (4)右边第四位：八位 (2³位) (5)右边第五位：十六位 (2⁴位) (6)...以此类推，每一位的位权都是 2 的幂次方 (2ⁿ)。 2.位权： 每个数位上的数字所代表的实际大小。二进制数中，第 n 位（从右向左数，个位是第0位）的位权是 2ⁿ。 (1)个位 (第0位)：位权 = 2⁰ = 1 (2)二位 (第1位)：位权 = 2¹ = 2 (3)四位 (第2位)：位权 = 2² = 4 (4)八位 (第3位)：位权 = 2³ = 8 (5)十六位 (第4位)：位权 = 2⁴ = 16 (6)...以此类推。 知识点三、二进制数转换为十进制数 1.方法：按位权展开求和 2.步骤： (1)写出二进制数的每一位数字。 (2)在每一位数字的下方，标出该位对应的位权 (2⁰, 2¹, 2², ...)。 (3)将每一位上的数字乘以该位的位权。 (4)将所有乘积相加，得到的和就是这个二进制数对应的十进制数。 3.例子： (1)将二进制数 101 转换成十进制。 ①　1 (四位，位权4) × 4 = 4 ②　0 (二位，位权2) × 2 = 0 ③　1 (个位，位权1) × 1 = 1 ④　相加：4 + 0 + 1 = 5 ⑤　所以，101(二进制) = 5(十进制) (2)将二进制数 1101 转换成十进制。 ①　1 (八位，位权8) × 8 = 8 ②　1 (四位，位权4) × 4 = 4 ③　0 (二位，位权2) × 2 = 0 ④　1 (个位，位权1) × 1 = 1 ⑤　相加：8 + 4 + 0 + 1 = 13 ⑥　所以，1101(二进制) = 13(十进制) 知识点四、十进制数转换为二进制数 1.方法：除二取余，倒序排列 2.步骤： (1)将给定的十进制数除以 2。 (2)记录下得到的 商 和 余数 (余数只能是 0 或 1)。 (3)用上一步得到的商作为新的被除数，再次除以 2，记录新的商和余数。 (4)重复步骤 3，直到商为 0 为止。 (5)将每次除法得到的余数，从最后一次除法得到的余数开始（也就是从商为0的那次开始），由下向上 (由后向前) 依次排列。这个排列好的余数序列就是对应的二进制数。 3.例子： (1)将十进制数 13 转换成二进制。 ①　13 ÷ 2 = 6 ... 余 1 (个位) ②　6 ÷ 2 = 3 ... 余 0 (二位) ③　3 ÷ 2 = 1 ... 余 1 (四位) ④　1 ÷ 2 = 0 ... 余 1 (八位) (商为0，停止) ⑤　将余数从下向上排列：1 (八位) 1 (四位) 0 (二位) 1 (个位) ⑥　所以，13(十进制) = 1101(二进制) (2)将十进制数 10 转换成二进制。 ①　10 ÷ 2 = 5 ... 余 0 ②　5 ÷ 2 = 2 ... 余 1 ③　2 ÷ 2 = 1 ... 余 0 ④　1 ÷ 2 = 0 ... 余 1 ⑤　余数倒序排列：1 0 1 0 ⑥　所以，10(十进制) = 1010(二进制) 知识点五、二进制的简单应用 1.计算机的基础： 计算机内部的所有信息（数字、文字、图片、声音、指令）最终都是以二进制形式（0和1）存储和处理的。这是因为电子元件（如开关）很容易表示两种状态：开（1）和关（0）。 2.简单编码： 可以用二进制来代表简单的状态或信息。例如： (1)灯泡亮 = 1，灯泡灭 = 0。 (2)开关开 = 1，开关关 = 0。 (3)可以用一串二进制数表示一个简单的信号或指令。 例题讲解 一、二进制转十进制 【例题1】将二进制数转换为十进制数。 【答案】5 【详解】位权展开：。 【例题2】将二进制数转换为十进制数。 【答案】13 【详解】位权展开：。 【例题3】二进制数对应的十进制数是多少？ 【答案】9 【详解】位权展开：。 二、十进制转二进制 【例题1】将十进制数5转换为二进制数。 【答案】 【详解】余1，余0，余1，余数倒序：101。 【例题2】将十进制数13转换为二进制数。 【答案】 【详解】余1，余0，余1，余1，余数倒序：1101。 【例题3】十进制数20对应的二进制数是多少？ 【答案】 【详解】余0，余0，余1，余0，余1，余数倒序：10100。 三、二进制数比较大小 【例题1】比较二进制数和的大小。 【答案】 【详解】转换十进制：，，故更大。 【例题2】比较二进制数和的大小。 【答案】 【详解】位数相同（4位），最高位均为1；次高位：的次高位是1，的次高位是0，故更大。 【例题3】比较二进制数和的大小。 【答案】 【详解】是4位数（十进制8），是3位数（十进制7），位数多的数大。 考点练习 一、二进制转十进制 1.计算二进制数的十进制值。 【答案】14 【详解】位权展开：。 2.将二进制数转换为十进制数。 【答案】21 【详解】位权展开：。 3.二进制数的十进制结果是多少？ 【答案】25 【详解】位权展开：。 4.将二进制数转换为十进制数。 【答案】16 【详解】位权展开：。 5.计算二进制数对应的十进制数。 【答案】15 【详解】位权展开：。 6.二进制数转换为十进制数是多少？ 【答案】22 【详解】位权展开：。 7.将二进制数转换为十进制数。 【答案】29 【详解】位权展开：。 二、十进制转二进制 1.将十进制数7转换为二进制数。 【答案】 【详解】余1，余1，余1，余数倒序：111。 2.十进制数18转换为二进制数是多少？ 【答案】 【详解】余0，余1，余0，余0，余1，余数倒序：10010。 3.将十进制数27转换为二进制数。 【答案】 【详解】余1，余1，余0，余1，余1，余数倒序：11011。 4.十进制数4对应的二进制数是多少？ 【答案】 【详解】余0，余0，余1，余数倒序：100。 5.将十进制数12转换为二进制数。 【答案】 【详解】余0，余0，余1，余1，余数倒序：1100。 6.十进制数30对应的二进制数是多少？ 【答案】 【详解】余0，余1，余1，余1，余1，余数倒序：11110。 7.将十进制数9转换为二进制数。 【答案】 【详解】余1，余0，余0，余1，余数倒序：1001。 三、二进制数比较大小 1.比较二进制数和的大小。 【答案】 【详解】转换十进制：，，故更大。 2.比较二进制数和的大小。 【答案】 【详解】位数相同（4位），前两位均为1、0；第三位：是1，是0，故更大。 3.比较二进制数和的大小。 【答案】 【详解】转换十进制：，，故更大。 4.比较二进制数和的大小。 【答案】 【详解】位数相同（5位），最高位均为1；次高位均为0；第三位：是1，是0，故更大。 5.比较二进制数和的大小。 【答案】 【详解】是5位数（十进制16），是4位数（十进制15），位数多的数大。 6.比较二进制数和的大小。 【答案】 【详解】转换十进制：，，故更大。 7.比较二进制数和的大小。 【答案】 【详解】转换十进制：，，故更大。 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $