第25讲 逆推还原问题（知识梳理+例题讲解+考点练习）-四年级奥数培优讲义

第25讲 逆推还原问题 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.理解还原问题的本质： 认识还原问题是一种需要从最后的结果出发，按照与原来相反的顺序进行倒推，从而求出最初状态或中间步骤的问题。 2.掌握倒推法的核心思想： 学会运用“逆运算”或“反操作”的思维方式，从已知的结果一步步倒推出原始数据或过程。 3.熟练运用倒推法解题： (1)能够根据题意画出清晰的倒推流程图或线段图。 (2)能够正确运用加与减、乘与除、扩大与缩小等逆运算关系。 (3)能够处理涉及多个步骤的复杂倒推过程。 4.解决典型还原问题： 能够独立解决数字变化还原、物品分配还原、年龄问题还原等常见题型。 知识梳理 知识点一、什么是还原问题？ 1.还原问题，也叫“逆推问题”或“倒推问题”。这类问题的特点是：已知某个事物经过一系列变化后的最终结果，以及这些变化的具体过程（规则），要求我们求出这个事物原来的初始状态或中间某个步骤的状态。 2.解决这类问题的关键方法是：倒推法（还原法）。即从题目给出的最终结果出发，按照与原来变化顺序相反的方向，利用逆运算（加法的逆运算是减法，乘法的逆运算是除法等）或反操作，一步一步倒着推回去，从而得到最初的状态或所需的信息。 知识点二、核心思想：倒推法 倒推法的精髓在于“反其道而行之”： 1.如果最后是“增加”，倒推时就要“减少”。 2.如果最后是“减少”，倒推时就要“增加”。 3.如果最后是“乘以几”，倒推时就要“除以几”。 4.如果最后是“除以几”，倒推时就要“乘以几”。 5.如果最后是“扩大几倍”，倒推时就要“缩小几倍”。 6.如果最后是“缩小几倍”，倒推时就要“扩大几倍”。 知识点三、解题步骤 解决还原问题通常遵循以下步骤： 1.仔细审题，明确结果与变化： 弄清楚题目给出的最终结果是什么？经历了哪些变化步骤？每一步变化的规则是什么？ 2.从结果出发，倒着推： 以最终结果为起点。 3.确定逆运算/反操作： 针对上一步的变化规则，确定这一步需要进行的逆运算或反操作。 4.逐步倒推： 严格按照倒推顺序，一步一步进行逆运算，计算出每一步倒推后的结果。可以利用流程图或线段图来清晰地表示倒推过程。 5.求出原始状态： 倒推到最后一步，得到的就是我们要求的原始状态或所需的信息。 6.代入验证： 将求出的原始状态，按照题目描述的变化顺序重新计算一遍，看是否能得到题目给出的最终结果。这一步非常重要，能确保答案的正确性！ 知识点四、解题策略与注意事项 1.审题要仔细： 必须准确理解每一步变化的具体规则（是“一半多”还是“一半少”？是“增加”还是“减少到”？）。 2.画图辅助： 对于步骤较多的还原问题，用流程图或线段图来表示每一步的变化和倒推过程，可以极大地提高清晰度，避免混乱。 (1)流程图： 用方框表示状态，箭头表示变化（并注明变化规则），从后往前画。 (2)线段图： 用线段长度表示数量，在线上标注变化过程，从最终线段倒着推。 3.逆运算要正确： 这是倒推法的核心。务必准确判断每一步变化对应的逆运算是什么。 4.注意运算顺序： 倒推时，必须严格按照题目描述的变化顺序的逆序进行。先发生的变化后倒推，后发生的变化先倒推。 5.处理好“一半多/少”： 这类表述容易出错。关键是理解： (1)拿走一半多n： 拿走的 = (总数 ÷ 2) + n， 剩下的 = (总数 ÷ 2) - n。 (2)拿走一半少n： 拿走的 = (总数 ÷ 2) - n， 剩下的 = (总数 ÷ 2) + n。 (3)倒推时，利用剩下的数量与总数的关系来求解。 6.利用列表法： 对于涉及多个对象或复杂操作的还原问题，可以用表格列出每一步操作前后的状态，方便跟踪。 7.代入验证： 求出原始状态后，务必按照题目描述的正向顺序重新计算一遍，确保最终结果与题目一致。这是检验答案正确性的关键步骤！ 例题讲解 一、单变量数字变化还原 【例题1】一个数先扩大到原来的3倍，再加上10，然后缩小到原来的一半，最后减去6，结果是10。这个数是多少？ 【例题2】一个数加上8，乘以8，减去8，除以8，再加上8，结果是20。这个数是多少？ 【例题3】一个数先乘以2，再加上10，然后除以2，减去5，最后乘以3，结果是24。这个数是多少？ 【例题4】一个数经过以下运算：加上6，乘以3，减去9，除以3，减去5，结果是1。这个数是多少？ 二、物品分配还原 【例题1】一篮苹果，第一次吃去一半多1个，第二次吃去剩下的一半多1个，还剩1个。这篮苹果原有多少个？ 【例题2】一筐橘子，第一次卖出一半少2个，第二次卖出剩下的一半少1个，这时还剩6个。这筐橘子原有多少个？ 【例题3】一根绳子，第一次剪去全长的一半多3米，第二次剪去剩下的一半少1米，第三次剪去剩下的一半多2米，最后还剩5米。这根绳子原有多少米？ 三、年龄问题还原 【例题1】今年父子年龄和是48岁，3年前父亲年龄是儿子年龄的5倍。今年父子各多少岁？ 【例题2】今年母女年龄和是45岁，5年前母亲年龄是女儿年龄的4倍。今年母女各多少岁？ 四、多个对象操作还原 【例题1】甲、乙两桶油共重40千克，从甲桶倒出5千克给乙桶，这时两桶油重量相等。甲、乙两桶原有油各多少千克？ 【例题2】甲、乙两个仓库共存粮80吨，从甲仓库运出10吨到乙仓库，这时甲仓库的存粮是乙仓库的3倍。甲、乙两个仓库原有存粮各多少吨？ 考点练习 一、单变量数字变化还原 1.一个数的5倍减去15，再除以3，等于20。这个数是多少？ 2.一个数加上12后，再乘以12，减去12，最后除以12，结果是12。这个数是多少？ 3.一个数的3倍加上6，再除以3，减去5，结果是3。这个数是多少？ 4.一个数先扩大到原来的5倍，再减去25，然后除以5，加上10，最后乘以2，结果是50。这个数是多少？ 5.一个数经过以下运算：先减去10，乘以2，加上8，除以4，减去3，乘以5，结果是20。这个数是多少？ 6.一个数经过以下运算：乘以3，减去6，除以2，加上9，乘以4，减去12，结果是36。这个数是多少？ 7.一个数先加上15，再乘以2，然后减去30，除以5，加上8，最后乘以2，结果是40。这个数是多少？ 8.一个数经过以下运算：先扩大到原来的3倍，加上12，除以4，减去5，乘以6，加上6，结果是30。这个数是多少？ 二、物品分配还原 1.一袋糖果，小明第一次吃了总数的一半多2颗，第二次吃了剩下的一半少1颗，第三次吃了剩下的一半多3颗，最后还剩2颗。这袋糖果原有多少颗？ 2.一筐鸡蛋，第一次卖出总数的一半多3个，第二次卖出剩下的一半少2个，第三次卖出剩下的一半多1个，最后还剩5个。这筐鸡蛋原有多少个？ 3.一桶油，第一次倒出总数的一半少1千克，第二次倒出剩下的一半多2千克，第三次倒出剩下的一半少3千克，最后还剩8千克。这桶油原有多少千克？ 4.一堆煤，第一天用去总数的一半多2吨，第二天用去剩下的一半多3吨，第三天用去剩下的一半少1吨，还剩5吨。这堆煤原有多少吨？ 5.一篮桃子，第一次取出一半多1个，第二次取出剩下的一半少2个，第三次取出剩下的一半多3个，最后还剩4个。这篮桃子原有多少个？ 6.一盒珠子，第一次取出总数的一半少3颗，第二次取出剩下的一半多4颗，第三次取出剩下的一半少2颗，最后还剩6颗。这盒珠子原有多少颗？ 7.一袋大米，第一次吃去总数的一半多2千克，第二次吃去剩下的一半少1千克，第三次吃去剩下的一半多3千克，第四次吃去剩下的一半少2千克，最后还剩5千克。这袋大米原有多少千克？ 三、年龄问题还原 1.今年甲的年龄是乙的年龄的3倍，3年前甲的年龄是乙的年龄的4倍。甲、乙今年各多少岁？ 2.今年父子年龄和是50岁，5年前父亲年龄是儿子年龄的7倍。今年父子各多少岁？ 3.今年哥哥年龄是弟弟年龄的3倍，3年前哥哥年龄是弟弟年龄的4倍。哥哥、弟弟今年各多少岁？ 4.今年父亲年龄是儿子年龄的5倍，8年后父亲年龄是儿子年龄的3倍。今年父子各多少岁？ 5.今年甲的年龄比乙的年龄大12岁，3年后甲的年龄是乙的年龄的3倍。甲、乙今年各多少岁？ 四、多个对象操作还原 1.甲、乙、丙三个小朋友共有画片90张，如果甲给乙5张，乙给丙8张，丙给甲10张，这时三人的画片张数相等。甲、乙、丙三个小朋友原来各有画片多少张？ 2.甲、乙两个书架共有图书120本，从甲书架取出5本放入乙书架，再从乙书架取出8本放入甲书架，这时甲书架的图书本数是乙书架的2倍。甲、乙两个书架原有图书各多少本？ 3.甲、乙、丙三人共有人民币168元，第一次甲拿出与乙相同的钱数给乙，第二次乙拿出与丙相同的钱数给丙，第三次丙拿出与甲相同的钱数给甲，这时三人的钱数相等。甲、乙、丙三人原来各有人民币多少元？ 4.甲、乙两桶油各有若干千克，如果从甲桶倒出和乙桶同样多的油放入乙桶，再从乙桶倒出和甲桶同样多的油放入甲桶，这时两桶油恰好都是24千克。甲、乙两桶原有油各多少千克？ 5.甲、乙两人共有人民币80元，甲给乙10元后，乙又给甲5元，这时甲的钱数是乙的3倍。甲、乙两人原来各有人民币多少元？ 6.甲、乙、丙三个仓库共存粮240吨，先从甲仓库运出与乙仓库同样多的粮食到乙仓库，再从乙仓库运出与丙仓库同样多的粮食到丙仓库，最后从丙仓库运出与甲仓库同样多的粮食到甲仓库，这时三个仓库的存粮相等。甲、乙、丙三个仓库原来各存粮多少吨？ 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第25讲 逆推还原问题 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.理解还原问题的本质： 认识还原问题是一种需要从最后的结果出发，按照与原来相反的顺序进行倒推，从而求出最初状态或中间步骤的问题。 2.掌握倒推法的核心思想： 学会运用“逆运算”或“反操作”的思维方式，从已知的结果一步步倒推出原始数据或过程。 3.熟练运用倒推法解题： (1)能够根据题意画出清晰的倒推流程图或线段图。 (2)能够正确运用加与减、乘与除、扩大与缩小等逆运算关系。 (3)能够处理涉及多个步骤的复杂倒推过程。 4.解决典型还原问题： 能够独立解决数字变化还原、物品分配还原、年龄问题还原等常见题型。 知识梳理 知识点一、什么是还原问题？ 1.还原问题，也叫“逆推问题”或“倒推问题”。这类问题的特点是：已知某个事物经过一系列变化后的最终结果，以及这些变化的具体过程（规则），要求我们求出这个事物原来的初始状态或中间某个步骤的状态。 2.解决这类问题的关键方法是：倒推法（还原法）。即从题目给出的最终结果出发，按照与原来变化顺序相反的方向，利用逆运算（加法的逆运算是减法，乘法的逆运算是除法等）或反操作，一步一步倒着推回去，从而得到最初的状态或所需的信息。 知识点二、核心思想：倒推法 倒推法的精髓在于“反其道而行之”： 1.如果最后是“增加”，倒推时就要“减少”。 2.如果最后是“减少”，倒推时就要“增加”。 3.如果最后是“乘以几”，倒推时就要“除以几”。 4.如果最后是“除以几”，倒推时就要“乘以几”。 5.如果最后是“扩大几倍”，倒推时就要“缩小几倍”。 6.如果最后是“缩小几倍”，倒推时就要“扩大几倍”。 知识点三、解题步骤 解决还原问题通常遵循以下步骤： 1.仔细审题，明确结果与变化： 弄清楚题目给出的最终结果是什么？经历了哪些变化步骤？每一步变化的规则是什么？ 2.从结果出发，倒着推： 以最终结果为起点。 3.确定逆运算/反操作： 针对上一步的变化规则，确定这一步需要进行的逆运算或反操作。 4.逐步倒推： 严格按照倒推顺序，一步一步进行逆运算，计算出每一步倒推后的结果。可以利用流程图或线段图来清晰地表示倒推过程。 5.求出原始状态： 倒推到最后一步，得到的就是我们要求的原始状态或所需的信息。 6.代入验证： 将求出的原始状态，按照题目描述的变化顺序重新计算一遍，看是否能得到题目给出的最终结果。这一步非常重要，能确保答案的正确性！ 知识点四、解题策略与注意事项 1.审题要仔细： 必须准确理解每一步变化的具体规则（是“一半多”还是“一半少”？是“增加”还是“减少到”？）。 2.画图辅助： 对于步骤较多的还原问题，用流程图或线段图来表示每一步的变化和倒推过程，可以极大地提高清晰度，避免混乱。 (1)流程图： 用方框表示状态，箭头表示变化（并注明变化规则），从后往前画。 (2)线段图： 用线段长度表示数量，在线上标注变化过程，从最终线段倒着推。 3.逆运算要正确： 这是倒推法的核心。务必准确判断每一步变化对应的逆运算是什么。 4.注意运算顺序： 倒推时，必须严格按照题目描述的变化顺序的逆序进行。先发生的变化后倒推，后发生的变化先倒推。 5.处理好“一半多/少”： 这类表述容易出错。关键是理解： (1)拿走一半多n： 拿走的 = (总数 ÷ 2) + n， 剩下的 = (总数 ÷ 2) - n。 (2)拿走一半少n： 拿走的 = (总数 ÷ 2) - n， 剩下的 = (总数 ÷ 2) + n。 (3)倒推时，利用剩下的数量与总数的关系来求解。 6.利用列表法： 对于涉及多个对象或复杂操作的还原问题，可以用表格列出每一步操作前后的状态，方便跟踪。 7.代入验证： 求出原始状态后，务必按照题目描述的正向顺序重新计算一遍，确保最终结果与题目一致。这是检验答案正确性的关键步骤！ 例题讲解 一、单变量数字变化还原 【例题1】一个数先扩大到原来的3倍，再加上10，然后缩小到原来的一半，最后减去6，结果是10。这个数是多少？ 【答案】8 【详解】从结果出发倒推： ① 减去6之前的数：10+6=16 ② 缩小到原来一半之前的数：16×2=32 ③ 加上10之前的数：32-10=22 ④ 扩大到原来3倍之前的数：22÷3=8 验证：8×3+10=34，34÷2-6=10，符合题意。 【例题2】一个数加上8，乘以8，减去8，除以8，再加上8，结果是20。这个数是多少？ 【答案】5 【详解】从结果出发倒推： ① 加上8之前的数：20-8=12 ② 除以8之前的数：12×8=96 ③ 减去8之前的数：96+8=104 ④ 乘以8之前的数：104÷8=13 ⑤ 加上8之前的数：13-8=5 验证：(5+8)×8-8=104，104÷8+8=20，符合题意。 【例题3】一个数先乘以2，再加上10，然后除以2，减去5，最后乘以3，结果是24。这个数是多少？ 【答案】8 【详解】从结果出发倒推： ① 乘以3之前的数：24÷3=8 ② 减去5之前的数：8+5=13 ③ 除以2之前的数：13×2=26 ④ 加上10之前的数：26-10=16 ⑤ 乘以2之前的数：16÷2=8 验证：8×2+10=26，26÷2-5=8，8×3=24，符合题意。 【例题4】一个数经过以下运算：加上6，乘以3，减去9，除以3，减去5，结果是1。这个数是多少？ 【答案】3 【详解】从结果出发倒推： ① 减去5之前的数：1+5=6 ② 除以3之前的数：6×3=18 ③ 减去9之前的数：18+9=27 ④ 乘以3之前的数：27÷3=9 ⑤ 加上6之前的数：9-6=3 验证：(3+6)×3-9=18，18÷3-5=1，符合题意。 二、物品分配还原 【例题1】一篮苹果，第一次吃去一半多1个，第二次吃去剩下的一半多1个，还剩1个。这篮苹果原有多少个？ 【答案】10个 【详解】从结果出发倒推： 第二次吃去后剩下1个。 第二次吃去前：(1+1)×2=4个（剩下的1个加上多吃的1个，正好是第二次吃去前的一半） 第一次吃去前：(4+1)×2=10个（第二次吃去前的4个加上多吃的1个，正好是原来的一半） 验证：10÷2-1=4，4÷2-1=1，符合题意。 【例题2】一筐橘子，第一次卖出一半少2个，第二次卖出剩下的一半少1个，这时还剩6个。这筐橘子原有多少个？ 【答案】16个 【详解】从结果出发倒推： 第二次卖出后剩下6个。 第二次卖出前：(6-1)×2=10个（因为第二次卖出的是"一半少1个"，所以剩下的就是"一半多1个"，从剩下的6个中减去1个，正好是第二次卖出前的一半） 第一次卖出前：(10-2)×2=16个（同理，第一次卖出的是"一半少2个"，剩下的就是"一半多2个"，从10个中减去2个，正好是原来的一半） 验证：16÷2+2=10，10÷2+1=6，符合题意。 【例题3】一根绳子，第一次剪去全长的一半多3米，第二次剪去剩下的一半少1米，第三次剪去剩下的一半多2米，最后还剩5米。这根绳子原有多少米？ 【答案】58米 【详解】从结果出发倒推： 第三次剪去后剩下5米。 第三次剪去前：(5+2)×2=14米（多剪2米，倒推时加2米再乘2） 第二次剪去前：(14-1)×2=26米（少剪1米，倒推时减1米再乘2） 第一次剪去前：(26+3)×2=58米（多剪3米，倒推时加3米再乘2） 验证：58÷2-3=26，26÷2+1=14，14÷2-2=5，符合题意。答案为58米 三、年龄问题还原 【例题1】今年父子年龄和是48岁，3年前父亲年龄是儿子年龄的5倍。今年父子各多少岁？ 【答案】父亲38岁，儿子10岁 【详解】从现在出发倒推3年前： 3年前父子年龄和：48-3×2=42岁 3年前儿子年龄：42÷(5+1)=7岁 3年前父亲年龄：7×5=35岁 今年儿子年龄：7+3=10岁 今年父亲年龄：35+3=38岁 验证：38+10=48，(38-3)=5×(10-3)，符合题意。 【例题2】今年母女年龄和是45岁，5年前母亲年龄是女儿年龄的4倍。今年母女各多少岁？ 【答案】母亲33岁，女儿12岁 【详解】 5年前母女年龄和：45-5×2=35岁 5年前女儿年龄：35÷(4+1)=7岁 今年女儿年龄：7+5=12岁 今年母亲年龄：45-12=33岁 验证：33-5=28，12-5=7，28=4×7，符合题意。答案为母亲33岁，女儿12岁 四、多个对象操作还原 【例题1】甲、乙两桶油共重40千克，从甲桶倒出5千克给乙桶，这时两桶油重量相等。甲、乙两桶原有油各多少千克？ 【答案】甲25千克，乙15千克 【详解】从结果出发倒推： 两桶油重量相等时，各重40÷2=20千克 甲桶原有：20+5=25千克 乙桶原有：20-5=15千克 验证：25-5=20，15+5=20，符合题意。 【例题2】甲、乙两个仓库共存粮80吨，从甲仓库运出10吨到乙仓库，这时甲仓库的存粮是乙仓库的3倍。甲、乙两个仓库原有存粮各多少吨？ 【答案】甲65吨，乙15吨 【详解】从结果出发倒推： 运粮后乙仓库存粮：80÷(3+1)=20吨 乙仓库原有：20-10=10吨 甲仓库原有：80-10=70吨 验证：70-10=60，10+10=20，60=3×20，符合题意。答案为甲70吨，乙10吨 考点练习 一、单变量数字变化还原 1.一个数的5倍减去15，再除以3，等于20。这个数是多少？ 【答案】15 【详解】从结果出发倒推： ① 除以3之前的数：20×3=60 ② 减去15之前的数：60+15=75 ③ 5倍之前的数：75÷5=15 验证：15×5-15=60，60÷3=20，符合题意。 2.一个数加上12后，再乘以12，减去12，最后除以12，结果是12。这个数是多少？ 【答案】1 【详解】从结果出发倒推： ① 除以12之前的数：12×12=144 ② 减去12之前的数：144+12=156 ③ 乘以12之前的数：156÷12=13 ④ 加上12之前的数：13-12=1 验证：(1+12)×12-12=144，144÷12=12，符合题意。 3.一个数的3倍加上6，再除以3，减去5，结果是3。这个数是多少？ 【答案】5 【详解】从结果出发倒推： ① 减去5之前的数：3+5=8 ② 除以3之前的数：8×3=24 ③ 加上6之前的数：24-6=18 ④ 3倍之前的数：18÷3=6 验证：6×3+6=24，24÷3-5=3，符合题意。 4.一个数先扩大到原来的5倍，再减去25，然后除以5，加上10，最后乘以2，结果是50。这个数是多少？ 【答案】8 【详解】从结果出发倒推： ① 乘以2之前的数：50÷2=25 ② 加上10之前的数：25-10=15 ③ 除以5之前的数：15×5=75 ④ 减去25之前的数：75+25=100 ⑤ 5倍之前的数：100÷5=20 验证：20×5-25=75，75÷5+10=25，25×2=50，符合题意。 5.一个数经过以下运算：先减去10，乘以2，加上8，除以4，减去3，乘以5，结果是20。这个数是多少？ 【答案】16 【详解】从结果出发倒推： ① 乘以5之前的数：20÷5=4 ② 减去3之前的数：4+3=7 ③ 除以4之前的数：7×4=28 ④ 加上8之前的数：28-8=20 ⑤ 乘以2之前的数：20÷2=10 ⑥ 减去10之前的数：10+10=20 验证：(20-10)×2+8=28，28÷4-3=4，4×5=20，符合题意。 6.一个数经过以下运算：乘以3，减去6，除以2，加上9，乘以4，减去12，结果是36。这个数是多少？ 【答案】5 【详解】从结果出发倒推： ① 减去12之前的数：36+12=48 ② 乘以4之前的数：48÷4=12 ③ 加上9之前的数：12-9=3 ④ 除以2之前的数：3×2=6 ⑤ 减去6之前的数：6+6=12 ⑥ 乘以3之前的数：12÷3=4 验证：4×3-6=6，6÷2+9=12，12×4-12=36，符合题意。 7.一个数先加上15，再乘以2，然后减去30，除以5，加上8，最后乘以2，结果是40。这个数是多少？ 【答案】10 【详解】从结果出发倒推： ① 乘以2之前的数：40÷2=20 ② 加上8之前的数：20-8=12 ③ 除以5之前的数：12×5=60 ④ 减去30之前的数：60+30=90 ⑤ 乘以2之前的数：90÷2=45 ⑥ 加上15之前的数：45-15=30 验证：30+15=45，45×2-30=60，60÷5+8=20，20×2=40，符合题意。 8.一个数经过以下运算：先扩大到原来的3倍，加上12，除以4，减去5，乘以6，加上6，结果是30。这个数是多少？ 【答案】6 【详解】从结果出发倒推： ① 加上6之前的数：30-6=24 ② 乘以6之前的数：24÷6=4 ③ 减去5之前的数：4+5=9 ④ 除以4之前的数：9×4=36 ⑤ 加上12之前的数：36-12=24 ⑥ 3倍之前的数：24÷3=8 验证：8×3+12=36，36÷4-5=4，4×6+6=30，符合题意。 二、物品分配还原 1.一袋糖果，小明第一次吃了总数的一半多2颗，第二次吃了剩下的一半少1颗，第三次吃了剩下的一半多3颗，最后还剩2颗。这袋糖果原有多少颗？ 【答案】40颗 【详解】从结果出发倒推： 第三次吃后剩下2颗。 第三次吃前：(2+3)×2=10颗 第二次吃前：(10-1)×2=18颗 第一次吃前：(18+2)×2=40颗 验证：40÷2-2=18，18÷2+1=10，10÷2-3=2，符合题意。 2.一筐鸡蛋，第一次卖出总数的一半多3个，第二次卖出剩下的一半少2个，第三次卖出剩下的一半多1个，最后还剩5个。这筐鸡蛋原有多少个？ 【答案】46个 【详解】从结果出发倒推： 第三次卖出后剩下5个。 第三次卖出前：(5+1)×2=12个 第二次卖出前：(12-2)×2=20个 第一次卖出前：(20+3)×2=46个 验证：46÷2-3=20，20÷2+2=12，12÷2-1=5，符合题意。答案为46个 3.一桶油，第一次倒出总数的一半少1千克，第二次倒出剩下的一半多2千克，第三次倒出剩下的一半少3千克，最后还剩8千克。这桶油原有多少千克？ 【答案】46千克 【详解】从结果出发倒推： 第三次倒出后剩下8千克。 第三次倒出前：(8-3)×2=10千克（少倒3千克，倒推时减3千克再乘2） 第二次倒出前：(10+2)×2=24千克（多倒2千克，倒推时加2千克再乘2） 第一次倒出前：(24-1)×2=46千克（少倒1千克，倒推时减1千克再乘2） 验证：46÷2+1=24，24÷2-2=10，10÷2+3=8，符合题意。答案为46千克 4.一堆煤，第一天用去总数的一半多2吨，第二天用去剩下的一半多3吨，第三天用去剩下的一半少1吨，还剩5吨。这堆煤原有多少吨？ 【答案】48吨 【详解】从结果出发倒推： 第三天用去后剩下5吨。 第三天用去前：(5-1)×2=8吨（少用1吨，倒推时减1吨再乘2） 第二天用去前：(8+3)×2=22吨（多用3吨，倒推时加3吨再乘2） 第一天用去前：(22+2)×2=48吨（多用2吨，倒推时加2吨再乘2） 验证：48÷2-2=22，22÷2-3=8，8÷2+1=5，符合题意。答案为48吨 5.一篮桃子，第一次取出一半多1个，第二次取出剩下的一半少2个，第三次取出剩下的一半多3个，最后还剩4个。这篮桃子原有多少个？ 【答案】50个 【详解】从结果出发倒推： 第三次取出后剩下4个。 第三次取出前：(4+3)×2=14个 第二次取出前：(14-2)×2=24个 第一次取出前：(24+1)×2=50个 验证：50÷2-1=24，24÷2+2=14，14÷2-3=4，符合题意。答案为50个 6.一盒珠子，第一次取出总数的一半少3颗，第二次取出剩下的一半多4颗，第三次取出剩下的一半少2颗，最后还剩6颗。这盒珠子原有多少颗？ 【答案】42颗 【详解】从结果出发倒推： 第三次取出后剩下6颗。 第三次取出前：(6-2)×2=8颗（少取2颗，倒推时减2颗再乘2） 第二次取出前：(8+4)×2=24颗（多取4颗，倒推时加4颗再乘2） 第一次取出前：(24-3)×2=42颗（少取3颗，倒推时减3颗再乘2） 验证：42÷2+3=24，24÷2-4=8，8÷2+2=6，符合题意。 7.一袋大米，第一次吃去总数的一半多2千克，第二次吃去剩下的一半少1千克，第三次吃去剩下的一半多3千克，第四次吃去剩下的一半少2千克，最后还剩5千克。这袋大米原有多少千克？ 【答案】72千克 【详解】从结果出发倒推： 第四次吃去后剩下5千克。 第四次吃去前：(5-2)×2=6千克 第三次吃去前：(6+3)×2=18千克 第二次吃去前：(18-1)×2=34千克 第一次吃去前：(34+2)×2=72千克 验证：72÷2-2=34，34÷2+1=18，18÷2-3=6，6÷2+2=5，符合题意。答案为72千克 三、年龄问题还原 1.今年甲的年龄是乙的年龄的3倍，3年前甲的年龄是乙的年龄的4倍。甲、乙今年各多少岁？ 【答案】甲27岁，乙9岁 【详解】设乙今年x岁，甲今年3x岁： 3x-3=4(x-3) 3x-3=4x-12 x=9 甲今年27岁，乙今年9岁 验证：27-3=24，9-3=6，24=4×6，符合题意。 2.今年父子年龄和是50岁，5年前父亲年龄是儿子年龄的7倍。今年父子各多少岁？ 【答案】父亲40岁，儿子10岁 【详解】5年前父子年龄和：50-5×2=40岁 5年前儿子年龄：40÷(7+1)=5岁 今年儿子年龄：5+5=10岁 今年父亲年龄：50-10=40岁 验证：40-5=35，10-5=5，35=7×5，符合题意。 3.今年哥哥年龄是弟弟年龄的3倍，3年前哥哥年龄是弟弟年龄的4倍。哥哥、弟弟今年各多少岁？ 【答案】哥哥27岁，弟弟9岁 【详解】设弟弟今年x岁，哥哥3x岁： 3x-3=4(x-3) 3x-3=4x-12 x=9 哥哥27岁，弟弟9岁 验证：27-3=24，9-3=6，24=4×6，符合题意。 4.今年父亲年龄是儿子年龄的5倍，8年后父亲年龄是儿子年龄的3倍。今年父子各多少岁？ 【答案】父亲40岁，儿子8岁 【详解】设儿子今年x岁，父亲5x岁： 5x+8=3(x+8) 5x+8=3x+24 2x=16 x=8 父亲40岁，儿子8岁 验证：40+8=48，8+8=16，48=3×16，符合题意。 5.今年甲的年龄比乙的年龄大12岁，3年后甲的年龄是乙的年龄的3倍。甲、乙今年各多少岁？ 【答案】甲15岁，乙3岁 【详解】设乙今年x岁，甲x+12岁： x+12+3=3(x+3) x+15=3x+9 2x=6 x=3 甲15岁，乙3岁 验证：15+3=18，3+3=6，18=3×6，符合题意。 四、多个对象操作还原 1.甲、乙、丙三个小朋友共有画片90张，如果甲给乙5张，乙给丙8张，丙给甲10张，这时三人的画片张数相等。甲、乙、丙三个小朋友原来各有画片多少张？ 【答案】甲25张，乙33张，丙32张 【详解】从结果出发倒推： 最后三人各有：90÷3=30张 甲原有：30-10+5=25张（丙给甲10张，倒推时甲要还给丙10张；甲给乙5张，倒推时乙要还给甲5张） 乙原有：30-5+8=33张（甲给乙5张，倒推时乙要还给甲5张；乙给丙8张，倒推时丙要还给乙8张） 丙原有：30-8+10=32张（乙给丙8张，倒推时丙要还给乙8张；丙给甲10张，倒推时甲要还给丙10张） 验证：25-5+10=30，33+5-8=30，32+8-10=30，符合题意。 2.甲、乙两个书架共有图书120本，从甲书架取出5本放入乙书架，再从乙书架取出8本放入甲书架，这时甲书架的图书本数是乙书架的2倍。甲、乙两个书架原有图书各多少本？ 【答案】甲77本，乙43本 【详解】从结果出发倒推： 最后乙书架有：120÷(2+1)=40本 甲书架有：120-40=80本 乙书架原有：40+8-5=43本（乙给甲8本，倒推时甲要还给乙8本；甲给乙5本，倒推时乙要还给甲5本） 甲书架原有：80-8+5=77本（甲给乙5本，倒推时乙要还给甲5本；乙给甲8本，倒推时甲要还给乙8本） 验证：77-5+8=80，43+5-8=40，80=2×40，符合题意。 3.甲、乙、丙三人共有人民币168元，第一次甲拿出与乙相同的钱数给乙，第二次乙拿出与丙相同的钱数给丙，第三次丙拿出与甲相同的钱数给甲，这时三人的钱数相等。甲、乙、丙三人原来各有人民币多少元？ 【答案】甲77元，乙49元，丙42元 【详解】从结果出发倒推： 最后三人各有：168÷3=56元 第三次操作前：甲有56÷2=28元，丙有56+28=84元，乙有56元 第二次操作前：丙有84÷2=42元，乙有56+42=98元，甲有28元 第一次操作前：乙有98÷2=49元，甲有28+49=77元，丙有42元 验证：甲给乙49元后：28、98、42 乙给丙42元后：28、56、84 丙给甲28元后：56、56、56，符合题意。 4.甲、乙两桶油各有若干千克，如果从甲桶倒出和乙桶同样多的油放入乙桶，再从乙桶倒出和甲桶同样多的油放入甲桶，这时两桶油恰好都是24千克。甲、乙两桶原有油各多少千克？ 【答案】甲30千克，乙18千克 【详解】从结果出发倒推： 第二次操作前：甲桶有24÷2=12千克，乙桶有24+12=36千克 第一次操作前：乙桶有36÷2=18千克，甲桶有12+18=30千克 验证：甲给乙18千克后：12、36 乙给甲12千克后：24、24，符合题意。 5.甲、乙两人共有人民币80元，甲给乙10元后，乙又给甲5元，这时甲的钱数是乙的3倍。甲、乙两人原来各有人民币多少元？ 【答案】甲65元，乙15元 【详解】从结果出发倒推： 最后乙有：80÷(3+1)=20元 甲有：80-20=60元 乙给甲5元前：甲有60-5=55元，乙有20+5=25元 甲给乙10元前：甲有55+10=65元，乙有25-10=15元 验证：65-10+5=60，15+10-5=20，60=3×20，符合题意。 6.甲、乙、丙三个仓库共存粮240吨，先从甲仓库运出与乙仓库同样多的粮食到乙仓库，再从乙仓库运出与丙仓库同样多的粮食到丙仓库，最后从丙仓库运出与甲仓库同样多的粮食到甲仓库，这时三个仓库的存粮相等。甲、乙、丙三个仓库原来各存粮多少吨？ 【答案】甲110吨，乙70吨，丙60吨 【详解】从结果出发倒推： 最后三个仓库各存粮：240÷3=80吨 第三次操作前：甲仓库有80÷2=40吨，丙仓库有80+40=120吨，乙仓库有80吨 第二次操作前：丙仓库有120÷2=60吨，乙仓库有80+60=140吨，甲仓库有40吨 第一次操作前：乙仓库有140÷2=70吨，甲仓库有40+70=110吨，丙仓库有60吨 验证：甲给乙70吨后：40、140、60 乙给丙60吨后：40、80、120 丙给甲40吨后：80、80、80，符合题意。 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $