第30讲 趣味数学与思维挑战（知识梳理+例题讲解+考点练习）-六年级奥数培优讲义

第30讲 趣味数学与思维挑战 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.掌握观察、归纳数字、图形、周期等规律的方法。 2.理解最大值、最小值问题的基本求解思路（极端原则、不等式分析、几何最值）。 3.熟悉最佳策略问题中的关键思想（动态规划、对称策略、逆向优化）。 4.掌握网格图、对称转化、立体展开等最短路线问题的核心解法。 5.提升观察能力、归纳推理能力和类比迁移能力。 6.熟练运用假设法、排除法、画图法等解决复杂、动态场景问题。 知识梳理 知识点一、有趣的找规律 1.核心知识： (1)数字规律： ①　等差数列：相邻两数差相等（如 2, 5, 8, 11...）。 ②　等比数列：相邻两数比相等（如 2, 6, 18, 54...）。 ③　斐波那契数列：前两项之和等于后一项（如 1, 1, 2, 3, 5, 8...）。 ④　隔项规律：奇数位、偶数位各自成规律（如 1, 3, 2, 6, 3, 9...）。 ⑤　数阵规律：观察行、列、对角线的和或积的规律。 (2)图形规律： ①　位置变换：平移、旋转、对称、翻转。 ②　数量增减：点、线、面（三角形、正方形等）数量的规律变化。 ③　周期性循环：图形序列按固定模式重复出现。 ④　组合叠加：多个简单规律叠加形成复杂图形序列。 (3)操作规律： 对数字或图形进行重复操作（如“乘3加1”、“交换位置”），预测多次操作后的结果。 2.解题技巧： (1)标序法： 给序列中的每个元素编号，仔细观察编号与元素变化的关系，用箭头等符号标注移动或变换方向。 (2)差值分析法： 计算相邻项的差（一级差），若一级差不规律，再计算一级差的差（二级差），以此类推。若二级差相等，可能是二次函数规律。 (3)分组法： 对隔项规律或复杂序列，将其按位置或特性分组，分别寻找各组规律。 (4)寻找周期： 对于循环规律，找出最小重复单元（周期）。 知识点二、最值问题 1.核心知识： (1)极端原则（最不利原则/最有利原则）： 考虑问题的边界条件（最大、最小、最多、最少），这些极端情况往往能确定取值范围或直接得到最值。 (2)不等式分析： ①　和一定，差小积大（两个数越接近，乘积越大）。 ②　积一定，差小和小（两个数越接近，和越小）。 ③　利用平均值不等式（六年级可初步感知）。 (3)几何最值： ①　两点之间线段最短。 ②　点到直线垂线段最短。 ③　利用对称性求最短路径（如将军饮马问题）。 2.解题技巧： (1)固定变量法： 固定部分变量不变，调整剩余变量，寻找最优解（如组合大数乘积问题）。 (2)枚举边界值： 列出可能的极端值进行尝试和比较。 (3)构造不等式： 根据题目条件列出不等式或约束关系。 知识点三、最佳策略问题 1.核心知识： (1)动态规划思想（简化）： 将问题分解为多个阶段，每个阶段做决策，并记录当前最优状态，逐步推进到最终目标（如最短时间完成多个任务）。 (2)对称策略： 利用对称性简化操作步骤，保证公平或找到关键点（如取石子游戏）。 (3)逆向优化： 从最终目标或结果倒推，确定每一步的最佳选择（如最少步骤完成特定状态）。 2.解题技巧： (1)决策树法： 画出树状图，列出所有可能的决策路径及其结果，比较选择最优路径。 (2)流程图/时间线法： 对于时间优化问题（如沏茶、烙饼），用箭头表示任务顺序，标注时间，找出能同时进行的任务。 (3)寻找关键点/倍数： 在轮流操作游戏中，找到能控制局势的“制高点”或“关键倍数”。 知识点四、最短路线问题 1.核心知识： (1)网格图最短路径： 在方格网中，只能向右或向上（或规定方向）移动，求两点间最短路径条数或最短距离（本质是排列组合）。 (2)对称点转化： 求直线上一点到直线同侧两点距离之和最小，利用轴对称找对称点，转化为两点间直线最短（将军饮马模型）。 (3)立体展开： 将立体图形表面展开成平面图形，把立体表面的最短路径问题转化为平面上的两点间直线距离问题。 2.解题技巧： (1)标数法： 在网格交点处标注从起点到该点的最短路径条数（小学通常只要求条数），递推至终点。 (2)展开图法： 对立体表面最短路径，画出所有可能的展开图（通常有几种展开方式），分别计算起点到终点的直线距离，取最小值。 (3)利用对称性： 在将军饮马问题中，作对称点，连接对称点与另一点，交直线于某点，该点即为所求。 例题讲解 一、有趣的找规律 【例题1】50枚棋子围成一个圆圈，依次按顺时针方向在棋子上编上号码1、2、3、50，然后按顺时针方向每隔一枚拿掉一枚，直到剩下一枚棋子为止。如果剩下的棋子的号码是42，那么第一个被取走的棋子是( )号棋子。 【答案】7 【分析】此题剩下的号码是偶数，所以，要从奇数开始拿起，假设先从1开始拿起，可以进行讨论找出规律解决问题。 【详解】假设第一枚拿走1则：第一圈剩下：2，4，6，8，…50， 第二圈剩下：4，8，12，16，20，24，28，32，36，40，44，48， 第三圈剩下：4，12，20，28，36，44， 第四圈剩下：4，20，36， 第五圈剩下：4，36， 最后剩下：36， 要想剩下42顺推一下即可：1＋42－36＝7， 第一个拿走7即可。 答：应该从第7个棋子开始取。 故答案为：7 【例题2】小美每天都会去同一间餐厅，逐天点A餐、B餐、C餐、D餐，如此类推；这个月的第5天是星期一，小美点的是A餐，那么这个月最后一个星期一小美点的是哪个餐？ 【答案】B餐 【分析】由题意可知，点餐是按照A、B、C、D为一个循环周期，即循环周期是4，这个月的第5天是星期一，由此可知，这个月的最后一个星期一是21天后，用21除以4求出商和余数，根据余数判断即可。 【详解】第五天是星期一，最后一个星期一是21天后， （5＋28＝33，一个月没有33天） 21÷4＝5……1 由于第二天开始是B餐，所以B、C、D、A、B、C、D、A⋯重复出现。 答：这个月最后一个星期一小美点的是B餐。 二、最值问题 【例题1】计算1＋2＋3＋…＋n的和，如果所求的和是111的倍数，n最小是( )。 【答案】36 【分析】根据高斯求和公式可得n（n＋1）÷2＝111k，然后根据111＝3×37是三位数讨论n的最小值。 【详解】根据高斯求和公式可得n（n＋1）÷2＝111k， n（n＋1）＝111k×2＝2×3×37×k 要使n最小，两个因数37与（2×3×k）要尽量接近， 即2×3×k＝37－1＝36，则k＝6，符合题意， 则n最小是36 故答案为：36 【例题2】《火星救援》中，马克不幸没有跟上其他5名航天员飞回地球，独自留在了火星，马克必须想办法生存，等待救援。马克的居住舱内留有每名航天员的5天食品和50千克非饮用水，还有一个足够大的菜园，马克计划用来种植土豆，30天后每平方米可以收获2.5千克，但是需要浇灌4千克的水，马克每天需要吃1.875千克土豆，才可以维持生存，则食品和土豆可供马克最多可以支撑多少天？ 【答案】130天 【分析】首先根据没有土豆的时候能够生存多少天，然后根据水的存储量计算出共能够有多少土豆，除以每天的吃的土豆就是天数。 【详解】6人的食物储备一个人可以生活5×6＝30天。非饮用水储存50×6＝300千克。 共可以收获的土豆300÷4×2.5＝187.5（千克）。 共可以生存187.5÷1.875＝100（天） 100＋30＝130（天） 答：可以供马克生活130天。 三、最佳策略问题 【例题1】黑板上写有1993个数：2，3，4，…，1994.甲、乙二人轮流擦去黑板上的一个数（甲先擦，乙后擦），如果最后剩下的两个数互质，则甲胜，否则乙胜。问：谁必获胜？必胜的对策是什么？ 【答案】甲必胜；甲先擦去1994 【分析】依据题意，甲先擦去1994，剩下（1993－1）个数，有[（1993－1）÷2]对，相邻两个数组成一对，每对数都是互质的，无论乙擦去哪个数，甲都擦去与之互质的另一个数，由此解答本题。 【详解】1993－1＝1992（个） 1992÷2＝996（对），甲先擦去1994，剩下1992个数，有996对：（2，3），（4，5）……（1992，1993），相邻两个数组成一对，每对数都是互质的，无论乙擦去某对中的一个数，甲都擦去这对数中的另一个，这样反复轮流擦，总是一对一对的擦，最后剩下的一对必互质，因此甲胜。 答：甲必胜，甲先擦去1994。 【例题2】下图是一个的方格盘。先将其中的个方格染黑，然后按以下规则继续染色：如果某个格与两个黑格都有公共边，就将这个格染黑。这样操作下去，能否将整个方格盘都染成黑色？ 【答案】不能 【分析】先将其中的4个方格染黑，这4个黑格彼此没有公共边的时候，它们的周长之和是最大的，也就是16厘米，然后根据染色规则进行染色。 【详解】开始时染黑个方格，这个方格的总周长不会超过，以后每染一个格，因为这个格至少与两个黑格有公共边，所以染黑后，所有黑格的总周长不会增加； 也就是说，所有黑格的总周长永远不会超过，而方格盘的周长是，所以不能将整个方格盘都染成黑色。 答：不能将整个方格盘都染成黑色。 【点睛】本题考查的是染色问题，并且在求解过程中，用到了平面图形的拼接问题。 四、最短路线问题 【例题1】小君家到学校的道路如图所示。从小君家到学校有( )种不同的走法。（只能沿图中向右向下的方向走） 【答案】10 【分析】只能沿图中向右、向下的方向走，也就是找出从小君家到学校的最短路线的条数，从小君家开始标数。 【详解】如图所示： 所以从小君家到学校有10种不同的走法。 【点睛】本题考查的是不规则图形的标数法，第一步也是先确定标数的方向，然后注意这个点都可以从哪些点过来。 【例题2】如图，27个单位正方体拼成大正方体，沿着面上的格线，从A到B的最短路线共有( )条。 【答案】384 【分析】从A到B的最短路线，典型的标数法问题，但这里是在立体图形中，与平面图形的标数法略有不同。 【详解】如图所示： 128＋ 128＋128＝384（条） 所以最短路线有384条。 【点睛】立体图形的标数问题与平面图形的标数问题类似，同样要考虑哪些方向是允许的，哪些方向是不允许的。 考点练习 一、有趣的找规律 1．2003名学生按编号1，2，3，…，2003从小到大顺次排成一列，令奇数号位上的同学离队，余下的同学顺序不变，依次重复上面的要求，那么最后留下的同学一开始是排在( )号位上的。 【答案】1024 【分析】根据题意，可知一圈后留下的同学是2的倍数的号；两圈后留下的同学分别是4的倍数的号；三圈后留下的是8的倍数的号；四圈后留下的是16的倍数的号，…即经过n轮后（n为正整数），剩下同学的编号为2n。 【详解】由题意，知：经过n轮后（n为正整数），剩下同学的编号为2n； 因为2n≤2003，即n≤9， 所以当圆圈只剩一个人时，n＝9，这个同学的编号为2n＝29＝1024 答：它一开始是站在第1024号位置上的。 故答案为：1024 2．先写出一个两位数62，接着在62右端写这两个数字的和8，得到628，再写末两位数字2和8的和10，得到62810，用上述方法得到一个有2006位的整数：628101123…，则这个整数的数字之和是( )。 【答案】7018 【分析】我们不可能把2006位的数写出来，对于此类问题，肯定是设法找出周期，然后按照周期问题求解。 【详解】该整数位6281011235813471123581347…从第6位开始，10个一循环； （2006－5）÷10＝200……1 这个整数的数字之和为： 6＋2＋8＋1＋0＋200×（1＋1＋2＋3＋5＋8＋1＋3＋4＋7）＋1＝7018 所以这个整数的数字之和是7018。 【点睛】本题实质上考查的是周期问题，找出周期，是求解问题的关键。 3．在纸上写着一列自然数1，2，…，98，99。一次操作是指将这列数中最前面的三个数划去，然后把这三个数的和写在数列的最后面。例如第一次操作后得到4，5，…，98，99，6；而第二次操作后得到7，8，…，98，99，6，15。这样不断进行下去，最后将只剩下一个数，则最后剩下的数是( )。 【答案】 【分析】99个数这样操作是比较麻烦的，可以先考虑比较少的数，比如3个、6个、9个等，找出规律，然后应用规律求解问题。 【详解】如果是1，2，3这3个数： 只需要操作1次，，最后剩下6； 如果是1，2，3，4，5，6这6个数： 操作2次，得到15，6，再操作一次得到21； 如果是1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数： 操作3次，得到6，15，24，再操作1次得到45； 6恰好是1，2，3的和； 21恰好是1，2，3，4，5，6的和； 45恰好是1，2，3，4，5，6，7，8，9的和； 所以如果是1~99，按照这样的方法操作，最后剩下的数是1~99的和； 所以最后剩下的数是4950。 【点睛】本题考查的是实际操作找规律的问题，可以采用归纳递推的方法求解。 4．观察下列图形的规律，然后填空： 【答案】21；18；22 【分析】先看第一行，四个〇的和是24，所以〇＝24÷4＝6，再看第二行，〇＋〇＝12，所以2个☆的和就是22－12＝10，所以☆＝10÷2＝5，再根据第三行可得：△＋□＝18－5－6＝7，根据第四行可得2□＋△＝16－5＝11，据此再求出△和□的值，即可解答问题。 【详解】根据题干分析可得：〇＝24÷4＝6， ☆＝（22－6－6）÷2＝10÷2＝5 又因为：△＋□＝18－5－6＝7，即可得△＝7－□，① 2□＋△＝16－5＝11，② 把①代入②可得：2□＋7－□＝11，则可得出□＝4 则△＝7－4＝3， 所以第一列中：6＋6＋5＋4＝21 第三列中：6＋5＋4＋3＝18 第四列中：6＋5＋6＋5＝22 故答案为：21，18，22 5．观察下列正方形数表：表1中的各数之和为1，表2中的各数之和为17，表3中的各数之和为65，……（每个正方形数表比前一个正方形数表多一层方格，增加的一层方格中所填的数比前一数表的最外层方格的数大1）。如果表中的各数之和等于15505，那么等于 。 【答案】18 【分析】观察发现，第n个表的最里面一层还是1个1，然后是8个2，16个3，20个4，最外面一层是个n，把这些数加起来等于15505，然后求出 n的值。 【详解】表比表多个，也就是表的数字总和比表的数字总和大。表的数字和是。 因为， 所以，所以。 【点睛】本题考查的是数表找规律的问题，如何归纳出第n个表中所有数的和的表达式是解题的关键。 6．数学家泽林斯基在一次国际性的数学会议上提出树生长的问题：如果一棵树苗在一年以后长出一条新枝，然后休息一年。再在下一年又长出一条新枝，并且每一条树枝都按照这个规律长出新枝。那么，第1年它只有主干，第2年有两枝，问12年后这棵树有多少分枝（假设没有任何死亡）？ 【答案】233枝 【分析】第一年，只有1枝主干；第二年，长出1条新枝，所以是2枝；第三年，原来的主干休息，新枝变成老枝并长出1条新枝，所以共有3枝；第四年，1枝休息，另外2枝各长出1条新枝，所以共有5枝第五年，2枝休息，另外3枝各长出1条新枝，共有8枝；⋯这个特点的说明每年的老枝数为去年的总数，每年的新枝数等于去年的老枝数，即前年的总数，所以每年的总数为去年的总数与前年的总数相加，依次类推可以列出下表 【详解】 年份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 老枝数 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 新枝数 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 总数 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 所以12年后总共有233枝。 7．中，第1992个数是什么？ 【答案】 【分析】根据数列可分组；；…可得出一个规律：分母为n的有n个，分子均为奇数且不超过分母； 分子：①：1 ②：1，1③：1、3、④：1、3、3、1⑤：1、3、5、3、1⑥：1、3、5、5、3、1…可推出：第1992个数的分母为63据此规律推出即可。 【详解】因分母1、2、…、62的共有（1＋62）×62÷2＝1953个数， 分子为63的为第1953＋（63＋1）÷2＝1985个数， 1986个数分子为61； 1987个数分子为59； 1988个数分子为57； 1989个数分子为55； 1990个数分子为53； 1991个数分子为51； 1992个数分子为49； 所以第1992个数为。 8．如图，小刚在圆周上放了1枚黑子和2010枚白子，从黑子开始，按顺时针方向，每隔1枚，取走1枚，即留下奇数号棋子，取走偶数号棋子，若黑子初始位置是第2011号，则最后剩下的棋子最初是第几号？ 【答案】1975号 【分析】本题可从简单的问题开始，通过实验寻找规律。如果圆圈上只有1、2号两枚棋子，最后剩下的是1号；如果圆圈上只有1～4号这4枚棋子，通过实验发现：最后剩下的也是1号；如果圆圈上只有1～8号这8枚棋子后剩下的也是1号；而2＝21，4＝22，8＝23，…，由此可以得出一个规律：当圆圈上有2n个号码时，按题目中的取法最后剩下的一定是1号。但2011不是2的n次方，须设法使圆圈上的数是2的若干次方。因为1024是2的10次方，而2048是2的11次方，2011－1024＝987.所以从2011枚棋子中去掉987枚棋子后就只剩下1024枚棋子。又因为987×2＝1974，即从1开始，取走2，4，6，8，…，1974共987枚棋子后，从1974开始数：1975，1976，1977，…，2011，1，3，5，…，1971，1973，共有1024枚棋子，1024等于2的10次方。这一来，问题就变成：将这剩下的1024枚棋子按顺时针方向，依次排成一个圆圈，从1975开始，留下1975，取走1976，…，正好符合上面规律的要求。所以最后剩下的一枚棋子为开始的那枚棋子，即最初的1975号棋子。 【详解】通过实验发现，当圆圈上有2n个号码时，按题目中的取法最后剩下的一定是1号。 因为1024是2的10次方，而2048是2的11次方，2011－1024＝987. 所以从2011枚棋子中去掉987枚棋子后就只剩下1024枚棋子。又987×2＝1974， 即从1开始，取走2，4，6，8，…，1974共987枚棋子后，从1974开始数： 1975，1976，1977，…，2011，1，3，5，…，1971，1973，共有1024枚棋子，1024等于2的10次方。将这剩下的1024枚棋子按顺时针方向，依次排成一个圆圈，从1975开始，留下1975，取走1976，…， 正好符合上面规律的要求。所以最后剩下的一枚棋子为开始的那枚棋子， 即最初的1975号棋子。 答：最后剩下的棋子最初是1975号。 9．有甲乙两个水桶，甲水桶里有1千克水，乙桶是空的，第一次将甲桶水里的二分之一倒入乙桶，第二次将乙桶里的三分之一倒入甲桶，第三次将甲桶的四分之一倒入乙桶，第四次又将乙桶的五分之一倒入甲桶. 照这样来回倒下去，一直倒了2000次后，乙桶里有水多少千克？ 【答案】千克 【详解】第一次倒后：乙桶有：（千克）； 第二次倒后，乙桶有：（千克）； 第三次倒后，乙桶有：（千克）； 第四次倒后，乙桶有：（千克）； 据此发现：奇数次乙桶里的剩下的水是千克，则1999次时乙剩下千克，甲有千克； 第2000次应该将乙桶的倒入甲桶，那么乙还剩下：（千克）． 答：一直倒了2000次后，乙桶里有水千克． 【点睛】解决本题的关键是根据题意写出几个算式，找出规律，再根据规律解答． 10．如图，有1、2、3、4这4个数字，进行以下两种变换操作（用字母回答） （1）按照先南北方向对换，再东西方向对换，然后南北方向对换，再东西方向对换…… 第2019次交换位置后，数字1在下图中哪个位置？ （2）按图中箭头方向，顺时针依次循环 则第2018次交换位置后，数字1在下图中哪个位置？ 【答案】（1）B位置；（2）D位置 【详解】（1）根据对换的规律可知，从左往右第五个图是，即周期为4． 变换1次，会得到2个图， 变换2次，会得到3个图 变换3次，会得到4个图 …… 变换2019次，会得到2019+1=2020个图 2020÷4=505，即恰好是505个周期． 所以第2019次交换位置后，数字1在下图中B位置． （2）根据对换的规律可知，第4次交换位置后，得到第5个图形中数的位置，和第一个图形中数的位置一样，然后循环，因此周期为4． 根据（1）中类似的方法可得，2018+1=2019，2019÷4=504……3 即会有504个完整周期，余数为3，所以数字出现在D位置． 二、最值问题 1．2□7×8的积不到2000，□里最大填( )。 【答案】4 【分析】现根据2000÷8＝250可知，2□7一定小于250，因此□里最大填4。 【详解】2000÷8＝250 所以2□7＜250 因此□里最大填4。 2．用0、1、2、3、4、6、7、8组成两个四位数，这两个四位数的差（大的数减小的数）最小是 。 【答案】 136 【分析】要使两个四位数的差最小，应使较大的数尽可能小，较小的数尽可能大。首先确定千位差最小为1（如4和3），然后较大的数后三位取剩余最小数字（0、1、2），较小的数后三位取剩余最大数字（8、7、6），确保所有数字不重复使用。 【详解】4012－3876＝136 这两个四位数的差（大的数减小的数）最小是136。 3．如果3个自然数之和为23，则这3个自然数之积的最大值为( )。 【答案】448 【分析】根据三个自然数之和为23，知道和一定时，三个数越接近，乘积越大，由此将23尽量写成三个数比较接近的数的和，由此即可得出答案。 【详解】因为23＝8＋8＋7， 所以三个自然数之积的最大值是：8×8×7＝448， 故答案为：448 4．已知从大到小排列的六个自然数依次是100，a，b，c，d，78.若这六个数的平均数是93，则b的最小值是( )。 【答案】95 【分析】先求出六个数的总和，要使b的值最小，那么要使a、c、d的值尽量大；据此解答即可。 【详解】六个数的总和为：93×6＝558 要使b为最小值，则第二个数应尽量大，则a＝99，则b、c、d三个数的和为558－100－99－78＝281. 要使b尽可能小，则c，d这两个数尽可能大，假设b比c、d分别大1和2； 则（281＋1＋2）－3＝94……2，281＝95＋94＋92，因此b的最小值是95 故答案为：95 5．学校举办歌唱比赛满分是100分，10名同学在这次比赛中的平均得分是86分，这10名同学的得分互不相同，其中有一名同学只得66分，那么，得分排在第五名的同学至少得多少分？（这几名同学得分均为整数） 【答案】82分 【分析】要使第五名同学的得分尽可能少，就要使其他9个人的得分尽可能高，则第一名100分，第二名99分，第三名98分，第四名97分；第六名、第七名、第八名和第九名的分数尽可能与第五名相近；据此进一步解答即可。 【详解】（86×10－100－99－98－97－66）÷5＝80（分） 平均分是80且又最接近的互不相等的5个数为78、79、80、81和82.所以，排在第五名的同学至少得82分。 答：排在第五名的同学至少得82分。 6．将1、2、3、4、5、6、7、8分为两组，使得第一组数的乘积恰为第二组数乘积的倍数，该倍数最小为多少？ 【答案】70 【分析】使得第一组数的乘积恰为第二组数乘积的倍数，要使倍数最小，那么两组因数的乘积越接近；据此解答即可。 【详解】1×2×3×4×5×6×7×8＝27×32×5×7＝26×32×2×5×7 所以该倍数最小为：2×5×7＝70 答：该倍数最小为70。 7．丁一路公共汽车，包括起点和终点共有10个车站，有一辆车除终点外，每一站上车的乘客中，恰好有一位乘客到以后的每一站下车，为了使每位乘客都有座位，问这辆公共汽车最少要有多少个乘客座位？（不含司机座位） 【答案】25个 【分析】由于起点和终点共有10个车站，有一辆车除终点外，每一站上车的乘客中，恰好有一位乘客到以后的每一站下车，所以从1 到10站，每站上车的乘客个数为：9、8、7、6、5、4、3、2、1、0； 从1 到10站，每站下车的乘客个数为：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9； 当上车的乘客比下车的乘客少的时候，车上的乘客数量减少，反之，当上车的乘客比下车的乘客多的时候，车上的乘客数量增加，我们可以看出：从第六站开始，下车的人比上车的人多，第六站以前，上车的人比下车的人多，所以第五站至第六站之间的一段路上，车上乘客最多，据此进行计算。 【详解】由题意可知， 从1 到10 站，每站上车的乘客个数为： 9、8、7、6、5、4、3、2、1、0； 从1 到10 站，每站下车的乘客个数为： 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9； 可以发现：当上车的乘客比下车的乘客少的时候，车上的乘客数量减少， 反之，当上车的乘客比下车的乘客多的时候，车上的乘客数量增加． 由于：从第六站开始，下车的人比上车的人多， 第六站以前，上车的人比下车的人多， 所以第五站至第六站之间的一段路上，车上乘客最多． 第五站有乘客： （9－0）＋（8－1）＋（7－2）＋（6－3）＋（5－4） ＝9＋7＋5＋3＋1 ＝25 答：所以车上至少应有25个座位。 8．15个互不相同的非零自然数相加，和是2001；将这15个数从小到大排列，要求第十个数尽可能大，第十个数最大是多少？ 【答案】323 【分析】按题意，即要求第1到9个数尽可能小，为1到9，第1到9个数的和＝1＋2＋3＋……＋9＝45；则剩余6个数的和＝2001－45＝1956，设第10个数最大为x，则剩余6个数的和至少为（x＋x＋5）×6÷2≤1956，解得x≤323.5，x最大为323，则第十个数尽可能大，第十个数是323；据此解答即可。 【详解】根据题意得出第1到9个数尽可能小，为1到9，第1到9个数的和＝1＋2＋3＋…＋9＝45； 则剩余6个数的和＝2001－45＝1956； 设第10个数最大为x，则剩余6个数的和至少为（x＋x＋5）×6÷2≤1956； 解得x≤323.5，x最大为323 答：第十个数最大是323。 9．用0、0、1、1、2、2、3、3、4、4、5、5、6、6、7、7、8、8、9、9组成五个四位数，要求这五个数的和的各位数字都是奇数，这个和最大值是多少？ 【答案】39159 【分析】要求这五个数的和最大，首先选最大的数字放在最高位，依次按顺序把从大到小的数字按数位排放；要考虑各位数字都是奇数，所以从个位考虑，个位数字最小依次为0、0、1、2、2或0、0、1、1、3；不进位，十位数字为1、3、3、4、4或2、2、3、4、4（和为15），向百位进1；百位数字为5、5、6、7、7或5、5、6、6、8（和为30），向千位进3；最后确定千位数字为6、8、8、9、9或7、7、8、9、9（和为40），不合题意，适当调整，把6与个位的数字2交换或7与个位的数字3交换，加上进的3和为39，符合题意，由此得出和为39159即可。 【详解】由题意得个位数字最小依次为0、0、1、2、6或0、0、1、1、7，不进位（和为9）； 十位数字为1、3、3、4、4或2、2、3、4、4（和为15），向百位进1； 百位数字为5、5、6、7、7或5、5、6、6、8（和为30＋1＝31），向千位进3； 最后确定千位数字为2、8、8、9、9或3、7、8、9、9（和为36＋3＝39）； 所以这个和最大值是39159 10．小光、小明、小强和小华四人参加数学竞赛，四人的分数是互不相同的整数，四人的平均分是80分。小光得分最少，比小明少得6分；小华得分最多，比小强多得8分。得分最多的小华最少得多少分？ 【答案】87分 【分析】先根据，四人的平均分是80分，求出总分80×4＝320分，假设小光是x，那么小明是x＋6，假设小华是y，那么小强是y－8，则x＋x＋5＋y－9＋y＝320，得出x＋y＝162，即小光＋小华＝161， 又因为分数为不相同的整数有：得分最多小华和得分最少的小光之间差最小为16即：y－x＝16，解出以上方程组即可求出。 【详解】先求出总分：80×4＝320（分）， 假设小光是x，那么小明是x＋6，假设小华是y，那么小强是y－8， 则x＋x＋6＋y－8＋y＝320， 得出x＋y＝161，即小光＋小华＝161①， 又因为分数为不相同的整数有： 得分最多小华和得分最少的小光之间差最小为14，即：y－x＝14，即小华－小光＝14②， 由①、②解出：y＝87， 即小华得分最少是87， 答：得分最多的小华最少得87分； 故答案为：87 三、最佳策略问题 1．下图是常见的正方体，我们可以看到三面共有39＝27个变成为1的正方体，在这三面上有三条蛇。每条有5个连续的正方形（每两个连续正方形有一条公共边）组成，不全在一个面上，每两条蛇互不接触（两条蛇的方格不能有公共点），请将这三条蛇画出来。（用阴影将蛇所在的正方形画出来） 【答案】见详解 【分析】如图，这5个连续的正方形不在同一个面上，那么只能是一个面上有3个正方形，另一个面上有2个正方形，并且有合理的布局，保证每两条蛇互不接触。 【详解】如图所示： 【点睛】本题主要考查的是立体几何问题，主要锻炼的是学生的空间思维能力。 2．桌子上放着2堆火柴，一堆12根，另一堆24根。两人轮流在其中任一堆中拿取，取的根数不限，但不能不取。规定取得最后一根者为胜者。如果都采用最佳方法，那么谁将获胜？ 【答案】先取者胜 【分析】既然都采用最佳方法，那就要考虑对自己最有利的情况，首先要判断先手还是后手，然后分析具体如何操作。 【详解】先取者在24根一堆的火柴中取12根火柴，使得取后剩下两堆的火柴数相同以后无轮对手在某一堆取几根火柴，你只需在另一堆也取同样多根的火柴只要对手有火柴可取，你也有火柴可取，也就是说，最后一根火柴总会被你拿到，这样先取者胜。 【点睛】本题考查的是必胜策略的问题，首先要判断是否存在必胜策略，然后确定如何操作，才能取胜。 3．有1997根火柴，甲、乙两人轮流取火柴，每人每次可取1至10根，谁能取到最后一根谁为胜利者，甲先取，乙后取。甲有获胜的可能吗？获胜的策略是什么？ 【答案】甲有获胜的可能；要想获胜，甲先拿6根，然后再拿与乙所拿火柴根数的和是11，定能获胜。 【分析】因为甲、乙两人轮流去取，每次取1～10根，所以将11根火柴作为1组，1997÷11＝181……6，为了取到最后一根火柴，甲可先拿6根火柴，然后甲再拿时，都要与乙所拿火柴根数的和是11，如此拿下去，甲将取到最后一根火柴，而获胜。 【详解】1997÷（10＋1）＝181……6， 因为余数是6，所以甲要先拿6根火柴，然后甲再拿时，都要与乙所拿火柴根数的和是11，如此拿下去，甲将取到最后一根火柴，而获胜。 答：甲有获胜的可能；要想获胜，甲先拿6根，然后再拿与乙所拿火柴根数的和是11，定能获胜。 4．甲、乙两名同学轮流拿桌子上的80枚硬币，规定最多拿10枚，最少拿1枚，拿到最后一枚的为胜者。甲先开始拿，甲第一次拿几枚硬币，可以保证自己能拿到最后一枚？ 【答案】甲第一次拿3枚硬币，可以保证自己能拿到最后一枚 【分析】将1枚与10枚的和看作一组，想80里有几个11，余数是甲先取的数量。据此解答即可。 【详解】80÷（1＋10）＝7（组）……3（枚） 甲先取3枚，接下来不管乙取几枚，甲取的枚数与乙取的枚数之和是11时，最后取的是甲，即甲取胜。 答：甲第一次拿3枚硬币，可以保证自己能拿到最后一枚。 5．桌子上有15个排成一排的硬币，正面朝上。甲、乙两人轮流进行操作，每次操作可以选择翻转连续的1个、2个、3个或4个硬币（翻转是指将正面朝上的硬币变为反面朝上，或将反面朝上的硬币变为正面朝上）。规定：谁操作后使得所有硬币都变为反面朝上，谁就获胜。甲先手，问：甲是否有必胜策略？如果有，请说明理由。 【答案】有；见详解 【分析】：甲有必胜策略。甲先翻转中间的3个硬币，此时硬币的状态为：正面、正面、正面、正面、正面、正面、反面、反面、反面、正面、正面、正面、正面、正面、正面。乙进行操作后，甲再翻转与乙翻转硬币数量相同的硬币，且翻转的硬币与乙翻转的硬币关于中间的3个硬币对称。由于硬币总数为15个，是奇数，且每次操作可以选择翻转连续的1个、2个、3个或4个硬币，所以甲可以通过对称操作，保证每次操作后，硬币的状态都是关于中间的3个硬币对称的。最后，当所有硬币都变为反面朝上时，甲获胜。 【详解】答：甲有必胜策略。把15个硬币看成一组。甲先翻中间3个硬币，这时候硬币就有了“对称”的样子（以这3个为中心，两边能对应上）。之后乙翻几个（1个、2个、3个或者4个）连续的硬币，甲就翻和乙翻的硬币“对称”位置的同样个数的硬币。因为硬币一共15个，是奇数，中间位置固定，这样对称着翻，每一次甲都能跟着乙的操作，把硬币往全是反面的方向变。最后肯定是甲能把所有硬币都翻成反面，甲就赢了。 【点睛】解题关键在于利用硬币总数的奇偶性，通过先操作中间硬币构建对称结构。以中间操作的硬币为对称轴，让后续乙的操作与甲的操作在对称位置进行，确保甲能模仿乙每次的操作个数，使整体变化保持对称，进而掌控局面，实现让所有硬币最终都变为反面朝上的目标。 6．甲、乙两人轮流往5×5的棋盘格子里放旗子，规定每个格子只能放一枚棋子，且每人每次只能放一枚，放下的棋子不能再移动，一直放到棋盘满为止，谁能最后一枚谁就赢。如果甲想赢，是先放还是后放？放哪个格？以后怎样放？ 【答案】甲想赢，先放，先占据最中间的一格，创造一个对称状态，此后每次都和乙对称着放，当放完最后一个棋子，乙已无处可放，于是获胜。 【分析】此题需用对称取胜法解决，对称取胜的关键是要能找到操作内容的对称状态，如果一开始就是对称状态，则后操作的只要每次保持对称即能获胜，但如果一开始不对称，先操作首先就要抓住机会先创造出对称状态，再在以后的操作中保持，就能获得胜利，本题中，先放的人只要先占据最中间的一格，创造一个对称状态，此后每次都和对方对称着放，当放完最后一个棋子，对手已无处可放，于是获胜。 【详解】甲想赢，先放，先占据最中间的一格，创造一个对称状态，此后每次都和乙对称着放，当放完最后一个棋子，乙已无处可放，于是获胜。 7．喜羊羊隐藏在10个排成一行的窗户后面，灰太狼要捉住喜羊羊，他只需打开喜羊羊所在的窗户就能捉住喜羊羊。灰太狼每次打开窗户后，如果没发现喜羊羊，那么喜羊羊就会向右移动一个窗户，一旦喜羊羊到了最后的窗户，就停止移动。为了确保抓住喜羊羊，灰太狼至少需要开窗几次？ 【答案】6次 【分析】每次开窗后喜羊羊会右移1个位置，那么开左1的时候，如果没发现喜羊羊，那么相当于左1、左2都不会有喜羊羊停留， 所以下次直接开左3就行。据此从左1开始开窗，然后隔一个开一次窗，即左1、左3、左5、左7、左9、左10。这样必然6次之内能抓到喜羊羊。 【详解】第1次：从左1开始开窗，如果没发现喜羊羊，那么左1、左2都不会有喜羊羊； 第2次：开左3，如果没发现喜羊羊，那么左3、左4都不会有喜羊羊； 第3次：开左5，如果没发现喜羊羊，那么左5、左6都不会有喜羊羊； 第4次：开左7，如果没发现喜羊羊，那么左7、左8都不会有喜羊羊； 第5次：开左9，如果没发现喜羊羊，那么喜羊羊一定移到了左10； 第6次：开左10，确保抓住喜羊羊。 答：灰太狼至少需要开窗6次。 8．如图，A、B、C、D、E是五个社区，正方形内的数表示各社区小升初人数，线段上的数字表示两个社区之间的距离（单位：千米）现在要在这五个社区中选一个社区，在里面建一所初中，为使这些学生到学校的总距离最短，这所初中应建在哪个社区？（计算说明） 【答案】B社区 【分析】可以分别假设校区设在A、B、C、D、E处，分别求出这些学生到学校的总距离，比较得出最短的距离，选出最佳方案。 【详解】设在A处： （千米） 设在B处： （千米） 设在C处： （千米） 设在D处： （千米） 设在E处： （千米） 答：这所初中应建在B社区。 【点睛】本题考查的是距离优化的问题，一般遵循支线往主线靠拢的原则。 四、最短路线问题 1．如图，五边形是一片荒地的示意图，陈家承包后想将其中的小路改成直路，然后在直路，然后在直路两旁分别种植不同的蔬菜，并使改道前后路两旁的面积，保持不变，请你图中画出这条直路。（图中体现画法） 【答案】 见详解 【分析】根据两条平行线之间的垂线段相等和同底等高的三角形的面积相等，可得三角形ENG面积与三角形EMN面积相等。 【详解】画法如图所示，连接EN，过点M作MG平行EN，交CB与点G，连接EG，EG就是所求直路的位置。 三角形ENG面积＝三角形EMN面积 【点睛】此题利用两条平行线之间的垂线段相等和同底等高的三角形的面积相等的知识作图。 2．如图，沿着“北京欢迎你”的顺序走（要求只能沿着水平或竖直方向走），一共有多少种不同的走法？ 【答案】11种 【分析】沿着“北京欢迎你”的顺序沿水平或竖直方向走，北以后的每一个字都只能选择上面的或左右两边的字，从“北”开始标数。 【详解】如图所示： 答：一共有11种不同的走法。 【点睛】本题考查的是最短路径的问题，标数法是求解此类问题常用的方法。 3．如图所示，沿线段从A到B有多少条最短路线？ 【答案】10条 【分析】图中B在A的右上方，因此从A出发，只能向上或者向右才能使路线最短，那么反过来想，如果到达了某一个点，也只有两种可能：要么是从这个点左边的点来的，要么是从这个点下边的点来的。从A开始，依次标数，然后确定从A到B的最短路径的条数。 【详解】如图所示： 答：沿线段从A到B有10条最短路线。 【点睛】最短路线需要5步，所以最短路线的条数相当于是从5个元素中选出2个元素的方法数。 4．一只兔子沿着方格的边从到，规定上只能往上或往右走，但是必须经过一座独木桥，这只兔子有( )种不同的走法 【答案】18 【分析】从A开始标数，先达到N，然后从N到M只能走独木桥，所以从A到M的方法数等于从A到N的方法数，然后再从M开始，依次标数，到达B处。 【详解】如图所示： 这只兔子有18种不同的走法。 【点睛】本题也可以分成三步，从A到N，6种方法，从N到M，一种方法，从M到B，3种方法，然后步步相乘即可。 5．如图所示，从A点到B点，如果要求经过C点或D点的最近路线有多少条？ 【答案】1155条 【分析】要求经过C点或D点的最近路线，那么可能是A→C→B，或者A→D→B，按照两种情况进行标数，两种的方法数相加得到总数。 【详解】如图所示： 735＋420＝1155（条） 答：要求经过C点或 D点的最近路线有1155条。 【点睛】在用标数法求解最短路径的问题时，如果必须经过那个点，可以先标数到这个点，然后在此基础上再继续标数。 6．如图，M、N是圆柱体的同一条母线上且位于上、下底面上的两点，若从M点绕圆柱体的侧面到达N，沿怎么样的路线路程最短？ 【答案】侧面展开图中长方形的一条对角线 【详解】沿圆柱体的母线MN将圆柱的侧面剪开铺平，得出圆柱的侧面展开图，从M点绕圆柱体的侧面到达N点．实际上是从侧面展开图的长方形的一个顶点M到达不相邻的另一个顶点N．而两点间以线段的长度最短．所以最短路线就是侧面展开图中长方形的一条对角线，见下图． 7．在下图的街道示意图中，有几处街区有积水不能通行，那么从A到B的最短路线有多少种？ 【答案】22种 【分析】从A到B的最短路径上，到达任何一点的走法数都等于到它左侧点的走法数与到它上侧点的走法数之和。有积水的街道不可能有路线经过，可以认为积水点的走法数是0，接下来，可以从左上角开始，依次进行标数。 【详解】如图所示： 如右图，从A到B的最短路线有22条； 答：从A到B的最短路线有22种。 【点睛】本题考查的是最短路线的问题，求解此类问题最常用的方法是标数法。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 25 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第30讲 趣味数学与思维挑战 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.掌握观察、归纳数字、图形、周期等规律的方法。 2.理解最大值、最小值问题的基本求解思路（极端原则、不等式分析、几何最值）。 3.熟悉最佳策略问题中的关键思想（动态规划、对称策略、逆向优化）。 4.掌握网格图、对称转化、立体展开等最短路线问题的核心解法。 5.提升观察能力、归纳推理能力和类比迁移能力。 6.熟练运用假设法、排除法、画图法等解决复杂、动态场景问题。 知识梳理 知识点一、有趣的找规律 1.核心知识： (1)数字规律： ①　等差数列：相邻两数差相等（如 2, 5, 8, 11...）。 ②　等比数列：相邻两数比相等（如 2, 6, 18, 54...）。 ③　斐波那契数列：前两项之和等于后一项（如 1, 1, 2, 3, 5, 8...）。 ④　隔项规律：奇数位、偶数位各自成规律（如 1, 3, 2, 6, 3, 9...）。 ⑤　数阵规律：观察行、列、对角线的和或积的规律。 (2)图形规律： ①　位置变换：平移、旋转、对称、翻转。 ②　数量增减：点、线、面（三角形、正方形等）数量的规律变化。 ③　周期性循环：图形序列按固定模式重复出现。 ④　组合叠加：多个简单规律叠加形成复杂图形序列。 (3)操作规律： 对数字或图形进行重复操作（如“乘3加1”、“交换位置”），预测多次操作后的结果。 2.解题技巧： (1)标序法： 给序列中的每个元素编号，仔细观察编号与元素变化的关系，用箭头等符号标注移动或变换方向。 (2)差值分析法： 计算相邻项的差（一级差），若一级差不规律，再计算一级差的差（二级差），以此类推。若二级差相等，可能是二次函数规律。 (3)分组法： 对隔项规律或复杂序列，将其按位置或特性分组，分别寻找各组规律。 (4)寻找周期： 对于循环规律，找出最小重复单元（周期）。 知识点二、最值问题 1.核心知识： (1)极端原则（最不利原则/最有利原则）： 考虑问题的边界条件（最大、最小、最多、最少），这些极端情况往往能确定取值范围或直接得到最值。 (2)不等式分析： ①　和一定，差小积大（两个数越接近，乘积越大）。 ②　积一定，差小和小（两个数越接近，和越小）。 ③　利用平均值不等式（六年级可初步感知）。 (3)几何最值： ①　两点之间线段最短。 ②　点到直线垂线段最短。 ③　利用对称性求最短路径（如将军饮马问题）。 2.解题技巧： (1)固定变量法： 固定部分变量不变，调整剩余变量，寻找最优解（如组合大数乘积问题）。 (2)枚举边界值： 列出可能的极端值进行尝试和比较。 (3)构造不等式： 根据题目条件列出不等式或约束关系。 知识点三、最佳策略问题 1.核心知识： (1)动态规划思想（简化）： 将问题分解为多个阶段，每个阶段做决策，并记录当前最优状态，逐步推进到最终目标（如最短时间完成多个任务）。 (2)对称策略： 利用对称性简化操作步骤，保证公平或找到关键点（如取石子游戏）。 (3)逆向优化： 从最终目标或结果倒推，确定每一步的最佳选择（如最少步骤完成特定状态）。 2.解题技巧： (1)决策树法： 画出树状图，列出所有可能的决策路径及其结果，比较选择最优路径。 (2)流程图/时间线法： 对于时间优化问题（如沏茶、烙饼），用箭头表示任务顺序，标注时间，找出能同时进行的任务。 (3)寻找关键点/倍数： 在轮流操作游戏中，找到能控制局势的“制高点”或“关键倍数”。 知识点四、最短路线问题 1.核心知识： (1)网格图最短路径： 在方格网中，只能向右或向上（或规定方向）移动，求两点间最短路径条数或最短距离（本质是排列组合）。 (2)对称点转化： 求直线上一点到直线同侧两点距离之和最小，利用轴对称找对称点，转化为两点间直线最短（将军饮马模型）。 (3)立体展开： 将立体图形表面展开成平面图形，把立体表面的最短路径问题转化为平面上的两点间直线距离问题。 2.解题技巧： (1)标数法： 在网格交点处标注从起点到该点的最短路径条数（小学通常只要求条数），递推至终点。 (2)展开图法： 对立体表面最短路径，画出所有可能的展开图（通常有几种展开方式），分别计算起点到终点的直线距离，取最小值。 (3)利用对称性： 在将军饮马问题中，作对称点，连接对称点与另一点，交直线于某点，该点即为所求。 例题讲解 一、有趣的找规律 【例题1】50枚棋子围成一个圆圈，依次按顺时针方向在棋子上编上号码1、2、3、50，然后按顺时针方向每隔一枚拿掉一枚，直到剩下一枚棋子为止。如果剩下的棋子的号码是42，那么第一个被取走的棋子是( )号棋子。 【例题2】小美每天都会去同一间餐厅，逐天点A餐、B餐、C餐、D餐，如此类推；这个月的第5天是星期一，小美点的是A餐，那么这个月最后一个星期一小美点的是哪个餐？ 二、最值问题 【例题1】计算1＋2＋3＋…＋n的和，如果所求的和是111的倍数，n最小是( )。 【例题2】《火星救援》中，马克不幸没有跟上其他5名航天员飞回地球，独自留在了火星，马克必须想办法生存，等待救援。马克的居住舱内留有每名航天员的5天食品和50千克非饮用水，还有一个足够大的菜园，马克计划用来种植土豆，30天后每平方米可以收获2.5千克，但是需要浇灌4千克的水，马克每天需要吃1.875千克土豆，才可以维持生存，则食品和土豆可供马克最多可以支撑多少天？ 三、最佳策略问题 【例题1】黑板上写有1993个数：2，3，4，…，1994.甲、乙二人轮流擦去黑板上的一个数（甲先擦，乙后擦），如果最后剩下的两个数互质，则甲胜，否则乙胜。问：谁必获胜？必胜的对策是什么？ 【例题2】下图是一个的方格盘。先将其中的个方格染黑，然后按以下规则继续染色：如果某个格与两个黑格都有公共边，就将这个格染黑。这样操作下去，能否将整个方格盘都染成黑色？ 四、最短路线问题 【例题1】小君家到学校的道路如图所示。从小君家到学校有( )种不同的走法。（只能沿图中向右向下的方向走） 【例题2】如图，27个单位正方体拼成大正方体，沿着面上的格线，从A到B的最短路线共有( )条。 考点练习 一、有趣的找规律 1．2003名学生按编号1，2，3，…，2003从小到大顺次排成一列，令奇数号位上的同学离队，余下的同学顺序不变，依次重复上面的要求，那么最后留下的同学一开始是排在( )号位上的。 2．先写出一个两位数62，接着在62右端写这两个数字的和8，得到628，再写末两位数字2和8的和10，得到62810，用上述方法得到一个有2006位的整数：628101123…，则这个整数的数字之和是( )。 3．在纸上写着一列自然数1，2，…，98，99。一次操作是指将这列数中最前面的三个数划去，然后把这三个数的和写在数列的最后面。例如第一次操作后得到4，5，…，98，99，6；而第二次操作后得到7，8，…，98，99，6，15。这样不断进行下去，最后将只剩下一个数，则最后剩下的数是( )。 4．观察下列图形的规律，然后填空： 5．观察下列正方形数表：表1中的各数之和为1，表2中的各数之和为17，表3中的各数之和为65，……（每个正方形数表比前一个正方形数表多一层方格，增加的一层方格中所填的数比前一数表的最外层方格的数大1）。如果表中的各数之和等于15505，那么等于 。 6．数学家泽林斯基在一次国际性的数学会议上提出树生长的问题：如果一棵树苗在一年以后长出一条新枝，然后休息一年。再在下一年又长出一条新枝，并且每一条树枝都按照这个规律长出新枝。那么，第1年它只有主干，第2年有两枝，问12年后这棵树有多少分枝（假设没有任何死亡）？ 7．中，第1992个数是什么？ 8．如图，小刚在圆周上放了1枚黑子和2010枚白子，从黑子开始，按顺时针方向，每隔1枚，取走1枚，即留下奇数号棋子，取走偶数号棋子，若黑子初始位置是第2011号，则最后剩下的棋子最初是第几号？ 9．有甲乙两个水桶，甲水桶里有1千克水，乙桶是空的，第一次将甲桶水里的二分之一倒入乙桶，第二次将乙桶里的三分之一倒入甲桶，第三次将甲桶的四分之一倒入乙桶，第四次又将乙桶的五分之一倒入甲桶. 照这样来回倒下去，一直倒了2000次后，乙桶里有水多少千克？ 10．如图，有1、2、3、4这4个数字，进行以下两种变换操作（用字母回答） （1）按照先南北方向对换，再东西方向对换，然后南北方向对换，再东西方向对换…… 第2019次交换位置后，数字1在下图中哪个位置？ （2）按图中箭头方向，顺时针依次循环 则第2018次交换位置后，数字1在下图中哪个位置？ 二、最值问题 1．2□7×8的积不到2000，□里最大填( )。 2．用0、1、2、3、4、6、7、8组成两个四位数，这两个四位数的差（大的数减小的数）最小是 。 3．如果3个自然数之和为23，则这3个自然数之积的最大值为( )。 4．已知从大到小排列的六个自然数依次是100，a，b，c，d，78.若这六个数的平均数是93，则b的最小值是( )。 5．学校举办歌唱比赛满分是100分，10名同学在这次比赛中的平均得分是86分，这10名同学的得分互不相同，其中有一名同学只得66分，那么，得分排在第五名的同学至少得多少分？（这几名同学得分均为整数） 6．将1、2、3、4、5、6、7、8分为两组，使得第一组数的乘积恰为第二组数乘积的倍数，该倍数最小为多少？ 7．丁一路公共汽车，包括起点和终点共有10个车站，有一辆车除终点外，每一站上车的乘客中，恰好有一位乘客到以后的每一站下车，为了使每位乘客都有座位，问这辆公共汽车最少要有多少个乘客座位？（不含司机座位） 8．15个互不相同的非零自然数相加，和是2001；将这15个数从小到大排列，要求第十个数尽可能大，第十个数最大是多少？ 9．用0、0、1、1、2、2、3、3、4、4、5、5、6、6、7、7、8、8、9、9组成五个四位数，要求这五个数的和的各位数字都是奇数，这个和最大值是多少？ 10．小光、小明、小强和小华四人参加数学竞赛，四人的分数是互不相同的整数，四人的平均分是80分。小光得分最少，比小明少得6分；小华得分最多，比小强多得8分。得分最多的小华最少得多少分？ 三、最佳策略问题 1．下图是常见的正方体，我们可以看到三面共有39＝27个变成为1的正方体，在这三面上有三条蛇。每条有5个连续的正方形（每两个连续正方形有一条公共边）组成，不全在一个面上，每两条蛇互不接触（两条蛇的方格不能有公共点），请将这三条蛇画出来。（用阴影将蛇所在的正方形画出来） 2．桌子上放着2堆火柴，一堆12根，另一堆24根。两人轮流在其中任一堆中拿取，取的根数不限，但不能不取。规定取得最后一根者为胜者。如果都采用最佳方法，那么谁将获胜？ 3．有1997根火柴，甲、乙两人轮流取火柴，每人每次可取1至10根，谁能取到最后一根谁为胜利者，甲先取，乙后取。甲有获胜的可能吗？获胜的策略是什么？ 4．甲、乙两名同学轮流拿桌子上的80枚硬币，规定最多拿10枚，最少拿1枚，拿到最后一枚的为胜者。甲先开始拿，甲第一次拿几枚硬币，可以保证自己能拿到最后一枚？ 5．桌子上有15个排成一排的硬币，正面朝上。甲、乙两人轮流进行操作，每次操作可以选择翻转连续的1个、2个、3个或4个硬币（翻转是指将正面朝上的硬币变为反面朝上，或将反面朝上的硬币变为正面朝上）。规定：谁操作后使得所有硬币都变为反面朝上，谁就获胜。甲先手，问：甲是否有必胜策略？如果有，请说明理由。 6．甲、乙两人轮流往5×5的棋盘格子里放旗子，规定每个格子只能放一枚棋子，且每人每次只能放一枚，放下的棋子不能再移动，一直放到棋盘满为止，谁能最后一枚谁就赢。如果甲想赢，是先放还是后放？放哪个格？以后怎样放？ 7．喜羊羊隐藏在10个排成一行的窗户后面，灰太狼要捉住喜羊羊，他只需打开喜羊羊所在的窗户就能捉住喜羊羊。灰太狼每次打开窗户后，如果没发现喜羊羊，那么喜羊羊就会向右移动一个窗户，一旦喜羊羊到了最后的窗户，就停止移动。为了确保抓住喜羊羊，灰太狼至少需要开窗几次？ 8．如图，A、B、C、D、E是五个社区，正方形内的数表示各社区小升初人数，线段上的数字表示两个社区之间的距离（单位：千米）现在要在这五个社区中选一个社区，在里面建一所初中，为使这些学生到学校的总距离最短，这所初中应建在哪个社区？（计算说明） 四、最短路线问题 1．如图，五边形是一片荒地的示意图，陈家承包后想将其中的小路改成直路，然后在直路，然后在直路两旁分别种植不同的蔬菜，并使改道前后路两旁的面积，保持不变，请你图中画出这条直路。（图中体现画法） 2．如图，沿着“北京欢迎你”的顺序走（要求只能沿着水平或竖直方向走），一共有多少种不同的走法？ 3．如图所示，沿线段从A到B有多少条最短路线？ 4．一只兔子沿着方格的边从到，规定上只能往上或往右走，但是必须经过一座独木桥，这只兔子有( )种不同的走法 5．如图所示，从A点到B点，如果要求经过C点或D点的最近路线有多少条？ 6．如图，M、N是圆柱体的同一条母线上且位于上、下底面上的两点，若从M点绕圆柱体的侧面到达N，沿怎么样的路线路程最短？ 7．在下图的街道示意图中，有几处街区有积水不能通行，那么从A到B的最短路线有多少种？ 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 25 页 学科网（北京）股份有限公司 $