2026年高中数学竞赛（一试）模拟卷（三）

2026年高中数学竞赛（一试）模拟卷（三） （考试时间：80分钟 试卷满分：120分） 考生注意: 1、本试卷共二个大题(11个小题)，全卷满分120分. 2、用黑色的钢笔或签字笔作答. 3、解题书写不要超出装订线. 4、不能使用计算器. 一、填空题：本题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分. 1．已知函数分别是定义在上的偶函数和奇函数，且满足，则函数的解析式为 ；若函数有唯一零点，则实数的值为 . 【答案】 或 【分析】把方程中的换成，然后利用奇偶性可得另一方程，联立可解得；令，可得为偶函数，从而可得关于对称， 由函数有唯一零点，可得，结合函数单调性检验，从而可求得的值. 【详解】因为函数分别是定义在上的偶函数和奇函数，所以， 因为①， 所以，即②， ①②联立，可解得. 令，则，所以为偶函数， 所以图象关于直线对称， 因为有唯一的零点，所以的零点只能为， 即，解得或. 当时，若，，则， 所以在上单调递增，根据偶函数性质可知在上单调递减， 所以是唯一零点，则满足条件， 当时，若，， 则， 由于，，，则， 所以， 所以在上单调递增，根据偶函数性质可知在上单调递减， 所以是唯一零点，则满足条件， 综上实数的值为或； 故答案为：；或 2．集合，非空集合，且满足：对任意，均存在，使.记符合要求的P的个数为.则 ； . 【答案】 3 【分析】根据定义确定中元素的性质，应用列举法确定，进而分析时满足要求的元素个数，再应用组合数的性质求. 【详解】由题设，则中元素是中满足且的元素， 对于，则，则满足要求的元素有共3个，故有三种情况，即， 对于，则，则满足要求的元素有共个， 所以在不考虑顺序情况下共有对，故. 故答案为：3， 3．设a，b都是正整数，且，则的个位数字是 ． 【答案】2 【详解】因为，所以由二项式定理得， 由以上二式得，． 故． 设，则． 由于与是方程的两个根，故， 利用此递推式可得的个位数字为2，8，0，2，8，0，2，8，…， 因此，综上，的个位数字为2． 故答案为：2. 4．“四进制”是一种以为基数的计数系统，使用数字，，，来表示数值．四进制在数学和计算的世界中呈现出多个维度的特性，对于现代计算机科学和技术发展有着深远的影响．四进制数转换为十进制数的方法是通过将每一位上的数字乘以的相应次方（从开始），然后将所有乘积相加．例如：四进制数转换为十进制数为；四进制数转换为十进制数为；四进制数转换为十进制数为；现将所有由，，组成的位（如：，）四进制数转化为十进制数，在这些十进制数中任取一个，则这个数能被整除的概率为 ． 【答案】 【分析】根据四进制与十进制的转换规则，利用二项式定理将的高次方展开并求得除以之后的余数，令余数能被整除即可得出所有数字组合种类数，可求得概率. 【详解】设， 则位四进制数转换为十进制为 ， 若这个数能被3整除，则能被整除． 当这个四进制数由，，，组成时，有个； 当这个四进制数由，，，组成时，有个； 这个四进制数由，，，组成时，有个； 这个四进制数由，，，组成时，有个； 这个四进制数都由组成时，有个． 因为由，，组成的位四进制数共有个， 所以能被整除的概率． 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于将进制转化为进制之后，利用二项式定理来求解能否被整除的问题，得出所有可能的组合即可求得相应概率. 5．已知正四棱锥的高为3，侧面与底面所成角为，先在内放入一个内切球O1，然后依次放入球，使得后放入的各球均与前一个球及的四个侧面均相切，则放入所有球的体积之和为 . 【答案】 【详解】设侧面与底面所成角为.记球Oi的半径为ri，体积为Vi，i=1，2，3，…. 因为，故，即. 定义，由于，所以， 即，所以. 故， 所以. 故答案为：． 6．已知函数，若，使关于的不等式成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】判断出关于对称，在上单调递增，转化为使成立，令，即求在上的最小值，利用配方法可得答案. 【详解】对于，，定义域关于原点对称， 因为 ， 所以的图象关于对称， 因为在上单调递增， 所以在上单调递增，可得在上单调递增， 因为， 所以， 因为在上单调递增，所以， 即使成立， 令，， 即求在上的最小值， 令， 当时，，所以， 可得， 所以，即， 令，， 所以在上的最小值为2， 所以，即的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：本题解题方法是确定函数的对称性与单调性，把不等式化简变形，然后再利用换元法把问题转化为一元二次不等式能成立问题，再分离参数后变成求函数的最大值． 7．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过点作倾斜角为的直线l与C的左、右两支分别交于点P，Q，若，则C的离心率为 ． 【答案】 【分析】由，的平分线与直线PQ垂直，结合图像，根据双曲线的定义，找出各边的关系，列出等式，求解. 【详解】依题意，由， 得，即的平分线与直线PQ垂直， 如图，设的平分线与直线PQ交于点D， 则，，又， 所以，所以，． 由题得，，设，，， 在中，，，则，， 由双曲线的性质可得，解得， 则，所以在中，， 又，，所以， 即，整理得，所以． 故答案为： 8．“曼哈顿距离”是由赫尔曼闵可夫斯基所创的词汇，是一种使用在几何度量空间的几何学用语，例如在平面直角坐标系中，点、的曼哈顿距离为：．若点，点为圆上一动点，则的最大值与最小值之和为 ． 【答案】 【分析】设点，然后列出，由不同的取值，化简，然后利用辅助角公式化简，由三角函数的单调性求得最值，从而得到答案. 【详解】设， 由题意可知， ∵，∴， 取，则， ， ∴， ，当，即时，取最大值，， 当，即时，取最小值，， 当，取， ， ∴， ，当，即时，取最大值，， 当，即时，取最小值，， ∴当时，取最大值，当时，取最小值， ∴的最大值与最小值之和为， 故答案为：. 2、 解答题：本大题共3小题，满分56分.其中 9 题 16 分，10 题 20 分，11 题 20 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 9．已知复数列满足：，求． 【答案】 【分析】利用复数的乘法可求实部和虚部的递推关系，从而可求. 【详解】设，其中，则有，， 当时， 整理，，故 所以，， 因为，故，故当时，， 而，且，其中， 故从第2项开始为等比数列，且公比为2，首项为， 所以即， 所以，， 故. 10．设非负实数满足.，求的最大值和最小值. 【答案】最大值为，最小值为 【分析】利用柯西不等式可取最大值，利用放缩法结合导数可求最小值. 【详解】令， 先考虑最大值：由柯西不等式可得， 即，当时不等式取等号. 故的最大值为. 接着考虑最小值：不妨设，则， 因为对非负实数有，当且仅当时等号成立， 所以， 令， ， 当时，；当时，， 故在上为增函数，在为减函数， 所以， 而， ， 故，当时取最小值. 故的最小值为. 综上，的最小值为，最大值为. 【点睛】思路点睛：多变量的最值问题，往往需要利用基本不等式来求解，有时可利用放缩法减低变元的个数，再结合函数的思想来求最值. 11．在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为，已知椭圆上有三个点、、满足四边形为平行四边形，关于的对称点为.若、、、四点共圆，且直线过，求实数的值. 【答案】 【分析】需要排除x轴的情况，假设，坐标并根据，坐标表示出，坐标，写出直线和直线方程，由、在椭圆上可得，设出中点，结合相交弦定理和平行四边形性质或者过、、、四点的圆的方程得到，联立直线的方程和椭圆方程并根据韦达定理得到，在椭圆上，将的坐标代入椭圆方程即可解得实数的值. 【详解】若轴，则由四边形为平行四边形及椭圆的对称性知，、为椭圆长轴两端点， 故若、、、四点共圆，则圆心必为，即圆以为直径， 而、又在椭圆上，显然矛盾，故轴的情况不存在，即直线的斜率存在. 设，，则，. 设（其中），并设，. 由、在椭圆上可得，从而. 法一： 设中点为，由相交弦定理和平行四边形性质有和，，故,即， 于是可得① 及②， 由、、在椭圆上可得，，③， 于是有④， 结合①③④可得， 代入②可得，结合可得， 联立得，由韦达定理知， 进而， 注意在椭圆上，于是有，即， 即，解得. 法二： 由于、、、四点均满足和， 故过、、、四点的圆的方程为， 考察项的系数可知，结合可得. （下同法一） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高中数学竞赛（一试）模拟卷（三） （考试时间：80分钟 试卷满分：120分） 考生注意: 1、本试卷共二个大题(11个小题)，全卷满分120分. 2、用黑色的钢笔或签字笔作答. 3、解题书写不要超出装订线. 4、不能使用计算器. 一、填空题：本题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分. 1．已知函数分别是定义在上的偶函数和奇函数，且满足，则函数的解析式为 ；若函数有唯一零点，则实数的值为 . 2．集合，非空集合，且满足：对任意，均存在，使.记符合要求的P的个数为.则 ； . 3．设a，b都是正整数，且，则的个位数字是 ． 4．“四进制”是一种以为基数的计数系统，使用数字，，，来表示数值．四进制在数学和计算的世界中呈现出多个维度的特性，对于现代计算机科学和技术发展有着深远的影响．四进制数转换为十进制数的方法是通过将每一位上的数字乘以的相应次方（从开始），然后将所有乘积相加．例如：四进制数转换为十进制数为；四进制数转换为十进制数为；四进制数转换为十进制数为；现将所有由，，组成的位（如：，）四进制数转化为十进制数，在这些十进制数中任取一个，则这个数能被整除的概率为 ． 5．已知正四棱锥的高为3，侧面与底面所成角为，先在内放入一个内切球O1，然后依次放入球，使得后放入的各球均与前一个球及的四个侧面均相切，则放入所有球的体积之和为 . 6．已知函数，若，使关于的不等式成立，则实数的取值范围是 ． 7．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过点作倾斜角为的直线l与C的左、右两支分别交于点P，Q，若，则C的离心率为 ． 8．“曼哈顿距离”是由赫尔曼闵可夫斯基所创的词汇，是一种使用在几何度量空间的几何学用语，例如在平面直角坐标系中，点、的曼哈顿距离为：．若点，点为圆上一动点，则的最大值与最小值之和为 ． 二、解答题：本大题共3小题，满分56分.其中 9 题 16 分，10 题 20 分，11 题 20 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 9．已知复数列满足：，求． 10．设非负实数满足.，求的最大值和最小值. 11．在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为，已知椭圆上有三个点、、满足四边形为平行四边形，关于的对称点为.若、、、四点共圆，且直线过，求实数的值. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $