2026年高中数学竞赛二试（加试）模拟卷（一）

2026年高中数学竞赛二试（加试） 模拟卷（一） （考试时间：150分钟、分值：180分) 一、解答题（第1题40分、第2题40分、第3题50分、第4题50分） 1.(40分)在ABC中，点P、Q、R分别位于边BC、CA、AB上，O4、Og、0c分别是△AQR、 △BRP、△CPO的外接圆，线段AP与@、@、@：分别相交于点X、X、乙.证明：灯-BP XZ PC B C 1/4 2.(40分)己知A={a,42,…,a0},B={b,b2,…,boi}是两个整数集合，且对于任意整数n,存在唯一的 a,∈A,b∈B使得n三a,+b,(mod2020).记(n)4=a,(n)g=b,.证明：对任意的a∈A,b∈B,存在ak∈A,使 得a=(101ak+b)4: 2/4 3.(50分)设函数f:Z.→Z满足对于每个n∈Z,均存在一个k∈Z,使得f2*(n)=n+k,其中，fm是 ∫复合m次.设k,是满足上述条件的k中的最小值，证明：数列k,k2,…无界. 3/4 4.(50分)己知整数a、b均不为零，满足a2b2目p“qB(、B∈{0,1,2，p、9是奇质数)，且 正+nm、nEZ:P、9不是4的倍数，若存在整数xy使得口+b儿+y,求证：怎十2 表示成两个整数的平方和. 4/4 2026年高中数学竞赛二试（加试） 模拟卷（一） （考试时间：150分钟、分值：180分） 一、解答题（第1题40分、第2题40分、第3题50分、第4题50分） 1．（40分）在中，点P、Q、R分别位于边、、上，、、分别是、、的外接圆，线段与、、分别相交于点X、Y、Z.证明：． 【答案】证明见解析. 【详解】设圆与交于异于点R的点N（三角形密克点），则P、N、Q、C共圆． 设直线与直线交于点K，直线与直线交于点M， 设， 由于， ． 我们有． 另一方面由得 ． 同理由得： 因此，由此得到． 2．（40分）已知是两个整数集合，且对于任意整数，存在唯一的使得.记.证明：对任意的，存在，使得. 【答案】证明见解析 【详解】考虑满足且的所有有序数对构成的集合.要证结论等价于： “存在且.”① 对任意整数，定义映射. 引理：是双射. 设，即. 再由， 得. 由题设中唯一性得，所以是单射.是有限集， 所以是双射.引理得证. 对任何固定的，令， 由引理，存在唯一的使得， 因此. 另一方面，任取，设中包含个， 任意交换的顺序，得到的有序数对（共个）仍然是的元素，所以是一些类型的整数之和. 不是101的倍数，而为质数， 所以存在某个使得不是101的倍数， 即中有一个为101，其余为0，即 .至此，结论①得证，从而题中结论成立. 3．（50分）设函数满足对于每个，均存在一个，使得，其中，是f复合m次．设是满足上述条件的k中的最小值，证明：数列无界． 【答案】证明见解析. 【详解】设，对于每个正整数，存在正整数k，使得． 因此，集合S是无界的，且函数f将S映射到S．此外，函数f在集合S上是单射． 事实上，若，则（1）从某个值开始周期性地进行重复．于是，集合S是有界的，矛盾． 定义为．首先证明：g也是单射． 假设，则，于是，． 因为函数f在集合S上是单射，所以． 又，与的最小性矛盾． 设T是集合S中非形如的元素构成的集合． 由于对每个，均有，则．于是，T是非空集合． 对每个，记，且称为从t开始的“链”． 因为g是单射，所以，不同的链不交． 对每个，均有，其中，，． 重复上述过程，知存在，使得，从而，集合S是链的并． 若是从开始的链中的元素，则，其中， ． 故．     ① 其次证明：集合T是无限的． 假设集合T中只有有限个元素则只有有限个链． 固定N．若是链中的元素， 则由式①知：． 由于个不同的正整数1，均不超过，则． 当N足够大时，这是不可能的.因此，集合，T是无限的． 选取任意正整数k，考虑从集合T中前个数开始的个链．设t是这个数中最大的一个． 则每个链中均包含一个元素不超过t，且至少有一个链中不含中的任何一个数． 于是，在这个链中存在一个元素n，使得，即． 从而，数列，无界． 4．（50分）已知整数、均不为零，满足（，、是奇质数），且， 、不是的倍数.若存在整数、使得，求证：可以表示成两个整数的平方和. 【答案】见解析 【详解】注意到 . 设，或，于是， ，或，. 下面只需证明、有一组是整数即可.注意到 . 从而，. 易知，. 由，知. 显然，、不能同时为0. 1.当， 时，存在整数、使得，，. 这与，矛盾. 2.当时，有或. 若，因为，所以，. 此时，，均为整数. 若，同理， ，为整数.这种情况命题成立. 3.当时，有. 若，至少一个成立，根据上面同理可证、均为整数. 若，同时成立，易得，.易知，. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $