专题03 三角函数与解三角形专项训练-【备战2026年高中数学竞赛+强基计划】（竞赛+强基考前专用）

强墨计斑 参数学党特 21 专题03三角函数与解三角形（真题专项训川练） 圆强基计划真题专项训练 一、 单选题 f(x)=tanxsinx-sinx-tanx+1 [0,2] 1.(23-24高三下·福建厦门·强基计划) 在 上的零点个数() A.1 B.2 C.3 D.4 (23-24高三下·福建厦门·强基计划)对于/0 则f(x)=sin x+-cos的值域为() A.1,2 B.1,] C.[L D.以上全错 3.(23-24高三下·福建厦门·强基计划)单位圆内接△ABC,取sinA,sinB,sinC作边长构成新 △AB'C,则() A.能构成新BC,且SC>S B.能构成新。fBC,且Se5c C,能构底新。fC·且Se<兮5 D.不能构成新△AB'C 4.(23-24高三下·全国·强基计划)在△ABC中，∠A=60°，∠BAP=∠CAP,P在△ABC内部，延长 1 BP交AC于Q,且BPl"IcPlpO,则∠BPC=(). A.140° B.130° C.110° D.120° 二、多选题 1/6 强垫计动 参数学霓赛 85/21 5. (23-24高三下·全国·强基计划已知cosa,cos2a,cos3a=sina,sin2a,sin3a,则a可以是 () A.8 三、填空题 6.(23-24高三下·全国·强基计划)已知圆锥的高为1，底面直径AB=2,则一蚂蚁从点A沿着侧面爬 到点B,爬行距离的最小值是一· 7.(23-24高三下·全国·强基计划)已知 sin0.sin 20.sin30-cos0.cos20.co0 2 2 8.(23-24高三下·全国·强基计划)tan(arctan2+arctan +…+arctan n2)= 四、解答题 ,.2425商三下·山东·强蒸计划在68C中，m4-分，mB},最长边的边长为1，求技短的 边长 10.(23-24高三下·北京·强基计划)求sin36-sin3114°+sin3126°. 1,(23-24高三下·北京·强基计划在△BC中，若a=2b=V5,c=2,D在BC上，比较 AD2与2DC×DB的大小. 12.(23-24高三下·北京·强基计划)在△ABC中，求cosAcosBcosC的最小值或下确界. 13.(23-24高三下·北京·强基计划)在△ABC中，若D在BC上，AD平分∠BAC,AB=AD=3,CD=2, 求△ABC的周长， sinc cosB cosA 14.(24-25高三下·全国·强基计划)若c=2a=6,则判断△ABC的形状. 2/6 )强垫计划 参数学党奇 85/21 +arccos 1 5 15.(24-25高三下·全国·强基计划)求值：arccos- 2 +arccos- 3 +arctan √13 34 14 16.(24-25高三下·全国·强基计划)四面体ABCD满足AC=AD=BC=BD=3,求四面体ABCD的体 积的最大值. 7.(24-25高三下·山东·强基计划)已知yER,Smr+s咖y二V2 √6 之，cosr+cosy=2,求5inlr+y 的值. 18.(24-25高三下·北京，强基计划)已知2r+少-1，求+2y最大值， 1。(b+c2 19.(23-24高三下·北京·强基计划)在△ABC中，若BC边上的高为3”，求bC的范围. 20.(24-25高三下·全国·强基计划)在任意平面凸四边形ABCD中，求P点个数的最大值，使得 SAPAB=S△PBC=S△PCD=S△PAD 21.(24-25高三下·北京·强基计划)若a,B是3c0sx+2snx=C的两解，且a-B≠(keZ,求 tan(a+B) 2。（21-25商三下·全国·强基计划若a.么，c>0且。+分=c2,求长的最大值，使得++C≥ -≥k abc 恒成立 数学竞赛真题专项训练 五、单选题 23.(2024高三上·全国·竞赛)设锐角u满足tand∈(0,1)，则数据sina,cosa,sin(π-a),cos(π+a)的极 差是() A.2sina B.2cosa c.V2sina-孕D.2sina-牙 3/6 ①强基计 参数学觉赛 85/211 24.(2024高三上·全国·竞赛)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,C.已知 C=a-=acos4,则amA=（） 2 A.2-5 B.2 C.1 D.2 b 25.(2024高三下·全国·竞赛)已知asinx+-bcosx=Va2+bsin(x+p)(其中an0=a)，在平面直角 坐标系0，中，有一个动点Pm小，且r2=1- 5,给定，：x+y-8=0,作P011垂足为点Q'则 PO的最大值为(） A.42+V5 B.45+ c.46+5 D.43+v6 AD 26 26.(2024高三上·全国·竞赛)已知凸四边形ABCD内接于圆O,∠ABD=2∠CBD,CD3,则 BD A的最大值为() VG 2v5 4W2 35 A.2 B.3 C.5 D.5 六、填空题 27.(2021商三下，全国·竞赛)如图，在61BC中，am∠B4C- 4’AC=10?∠C=750,点p是边 AB上一个动点，作PD⊥AC,PE⊥BC,连接DE,则DE的最小值为 4/6 强垫计动 参数学党奇 85/211 28. (2025商三下·重庆·竞赛)在61BC中， sim2A+sinBsinC的最小值为一 sinAsinBsinC 29.（2025高三下·重庆·竞赛)设函数=xsin2x)在区间0，则上的最大值为“，在区间L,2上 bc 的最大值为b,在区间[2,3上的最大值为c,则。=一 30.(2024高三下·全国·竞赛)在矩形ABCD中，AB=8,BC=6,E在AB上，F在AC上， AE=CF,则当DF+C 取得最小值时，V1615cos∠ECB 的值为— D C F B 七、解答题 31.(2O24高三上·北京·竞赛)钝角△1C面积为5,4B=4,4C=1,求BC的值 32.(2024高三上·北京·竞赛)△ABC中，AB=3,BC=4,AC=5分别在AC,BC上各取一点D, E,使DE平分△ABC的面积，求DE长度的最小值 33.(2024高三下·全国·竞赛)(1)计算： +tan22.5°+2sin45°-2-V5(2+tan60+(cos11°+sin22)° m(mn+n2=8 √m (2)若mn都是实数，且m+m=40，求n的值 34.《2021高三上·全国·充实)》已知直线×-后和x=行是函数内=6mlo5+po>00<g<列图 像两条相邻的对称轴. 0)求八的解析式和单调区间： 5/6 )强基计动 参数学赛 85/211 ②保持/口图像上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的。>0倍。得到函数=g川的图像。若 8在区间0 恰有两个极值点，求“的取值范围. 1 35.(2024高三上·全国·竞赛)设△ABC的外接圆半径是24，C均为锐角，且4C=ABP+BCP. (1)证明：△ABC不是锐角三角形： (2)证明：在△ABC的外接圆上存在唯一的一点D,满足对平面上任意一点P,有 PAP -PBP-PDP-PCP 36.(2024高三上·北京·竞赛)A,B,C为△ABC内角，x,y,z为实数，求以下三式中恒成立的个数. x2+y2+22-2yzsin A-2zxsin B+2xy cosC0 x2+y2 +z2-2yzsin A+2zxsin B-2xy cos C0 x2+y2+z2+2yzsin A+2zxsin B-2xy cosC0 37.(2024高三上·北京·竞赛)△ABC中，求3sinA+4sinB+18sinC的最大值 6/6 专题03 三角函数与解三角形（真题专项训练） 强基计划真题专项训练 一、单选题 1．（23-24高三下·福建厦门·强基计划）在上的零点个数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】借助因式分解的方法，结合特殊角的三角函数值求解即得. 【详解】依题意，， 而，显然且，因此， 由，得，解得或， 所以在上的零点个数是2. 故选：B 2．（23-24高三下·福建厦门·强基计划）对于，则的值域为（    ） A． B． C． D．以上全错 【答案】C 【分析】把函数先平方，利用换元法利用的取值范围和函数的单调性求值域. 【详解】因为，所以，， 设，则. 再设，因为，所以， 且. 所以，. 观察可知，在，为增函数， 又时，；时，，所以， 又，所以. 故选：C 3．（23-24高三下·福建厦门·强基计划）单位圆内接，取，，作边长构成新，则（    ） A．能构成新，且 B．能构成新，且 C．能构成新，且 D．不能构成新 【答案】C 【分析】利用正弦定理分析可知，结合比例关系可知，进而可得面积关系. 【详解】在中，设角对应的边为 由正弦定理可得：，即， 即， 可知能构成新，且， 所以. 故选：C. 4．（23-24高三下·全国·强基计划）在中，，，P在内部，延长BP交AC于Q，且，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知可得，利用角平分线以及正弦定理可推出，化简推出，即可求得答案. 【详解】如下图 由题可知AP为平分线，故；； 由，可得， 于是， 即，化简可得， 于是或（舍）， 故， 故选：D 二、多选题 5．（23-24高三下·全国·强基计划）已知，则可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】利用积化和差和辅助角公式得到，即可求解得到或，，可求答案. 【详解】， ， ， ， ， ， ， ， 或，, ，，或，， 经检验，或符合，其它都不符合. 故选：AB. 三、填空题 6．（23-24高三下·全国·强基计划）已知圆锥的高为1，底面直径，则一蚂蚁从点A沿着侧面爬到点B，爬行距离的最小值是 ． 【答案】 【分析】将其侧面展开，连接，则线段即为最短爬行距离，求出扇形半径和圆心角，由余弦定理求出答案. 【详解】考察其侧面展开图，为扇形，其中扇形半径， 弧长，解得． 连接，则线段即为最短爬行距离， 由余弦定理得，． 故答案为： 7．（23-24高三下·全国·强基计划）已知，则 ． 【答案】， 【分析】利用和差化积公式化简求解即可，注意集合的互异性. 【详解】∵ ∴ 由和差化积公式得： ∴ ∴ ∴或 当时，或，， 此时，不满足集合的互异性，故舍去， 当时，，， ∴，，满足题意 ∴， 故答案为：，. 8．（23-24高三下·全国·强基计划） ． 【答案】 【分析】先应用裂项相消得出和，再应用两角和差的正切公式计算即可. 【详解】因为 于是 于是 ． 故答案为：. 四、解答题 9．（24-25高三下·山东·强基计划）在中，，，最长边的边长为1，求最短的边长. 【答案】 【分析】利用两角和正切公式求得，根据小角对小边确定最小边长，再由正弦定理计算即可. 【详解】，， 因为，即边是最小边长， 因为，，解得， 由正弦定理得. 10．（23-24高三下·北京·强基计划）求 . 【答案】 【分析】由，化简得到，，化简得到，从而将原式化简为，利用，求出，即可求解. 【详解】因为， 从而得到：， 则 由于， ， 所以， 因为 因为 所以， 即， 解得：或(舍去) 所以 11．（23-24高三下·北京·强基计划）在 中，若 在 上，比较 与 的大小. 【答案】 【分析】由余弦定理求出三角形每个内角的余弦值，从而求出对应正弦，在和分别利用正弦定理得到：和，化简，即可求解. 【详解】在 中，若 在 上 由余弦定理可得：，同理：，， 在中，，， 所以，， 设，，则， 在，由正弦定理可得：， 同理在，， 所以， 所以 12．（23-24高三下·北京·强基计划）在 中，求 的最小值或下确界. 【答案】 【分析】要使最小，则为钝角三角形，不妨假设为钝角，可得，利用余弦值的范围可得，即可得到答案. 【详解】在中，要使最小，则为钝角三角形，不妨假设为钝角，则，， 所以，则， ，，所以 则 则， 当为等腰三角形，且无限接近于时，无限接近于， 即的下确界为 13．（23-24高三下·北京·强基计划）在中，若在上，平分，求的周长. 【答案】 【分析】设，先利用角平分线定理得出的关系，再利用双余弦定理求出，即可得解. 【详解】设， 由角平分线定理可得，则， 由余弦定理得， 即， 将代入化简得， 即解得或（舍去）， 经检验只能， 所以的周长为. 14．（24-25高三下·全国·强基计划）若，则判断的形状． 【答案】钝角三角形 【分析】根据正弦定理边换角，再联立方程组解出内角的正弦值和余弦值，最后利用两角和余弦公式求出即可判断. 【详解】由正弦定理得， 因为为三角形内角，则，则均为锐角， ②式平方得，即，将其代入①得， ，则， ，则， 则， 则为钝角三角形. 15．（24-25高三下·全国·强基计划）求值： 【答案】 【分析】由题可得通项为，然后利用反正切和、差角公式计算即可. 【详解】， 所以通项为， 故原式 . 16．（24-25高三下·全国·强基计划）四面体满足，求四面体的体积的最大值． 【答案】 【分析】由题可设中点为，，可得，，也可证平面，所以四面体的体积，又 ，四面体的体积要取最大，所以首先要最大值，即当时，则此时 ，然后利用导数求函数的最值即可. 【详解】在四面体中，设中点为，， ，， ， 又平面，所以平面， 则四面体的体积， ， 当时，， 此时， 令，，，解得或， 所以当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减，故， 即当时，取得最大值. 所以四面体的体积的最大值为. 17．（24-25高三下·山东·强基计划）已知，，，求的值. 【答案】 【分析】应用已知条件结合同角三角函数关系式化简得出， 【详解】，， 平方求和，化简得， ， 即， 综上得. 18．（24-25高三下·北京·强基计划）已知，求最大值. 【答案】 【分析】应用三角换元，再结合辅助角公式计算求解. 【详解】已知，设， 则， 其中， 当时，取最大值， 所以的最大值为. 19．（23-24高三下·北京·强基计划）在中，若边上的高为，求的范围. 【答案】 【分析】利用三角形面积公式和余弦定理得到，从而表达出，求出，结合基本不等式求出，得到结论. 【详解】由三角形面积公式得， 即， 由余弦定理得，故， ，其中， 当且仅当，即时，等号成立， 又，当且仅当时，等号成立， 故. 20．（24-25高三下·全国·强基计划）在任意平面凸四边形中，求点个数的最大值，使得． 【答案】详见解析 【分析】在任意平面凸四边形 ABCD 中，考虑满足题设条件的点 P 的个数.通过分析面积条件对应的轨迹，每个面积相等条件对应一条直线，这些直线的交点即为可能的 P 点. 【详解】设四个三角形的面积均等于.点 的位置决定了这些面积. 条件 定义了一条直线（称为等面积线），类似地， 定义了另一条直线. 点 必须同时位于这两条直线上，因此是这两条直线的交点.两条直线在平面中最多相交于一个点，但在某些四边形中，这两条直线可能重合或特殊情况，导致多个点. 对于大多数凸四边形（如平行四边形、矩形、菱形），点 的个数通常为 1（例如，在平行四边形中， 是对角线交点）. 然而，存在一些非对称或特殊凸四边形，使得两条等面积线相交于两个不同的点，且在这两点处，所有四个三角形的面积都相等.例如： 考虑四边形 , , , . 通过计算，点 可以是 和 ， 且在这两点处， 成立. 因此，点 的个数可以达到 2，且这是可能的最大值. 最大值证明： 在一般凸四边形中，点 的个数不超过 2，因为两条直线最多相交于两个点. 对于某些四边形（如梯形或不规则四边形），点 的个数可能为 0 或 1，但存在具体四边形（如上述例子）使得个数为 2. 由于问题要求“在任意平面凸四边形中”的 点个数的最大值，这表示在所有可能凸四边形中，满足条件的 点数的上确界是 2. 结论：满足条件的点 的个数最大值是 2，出现在特定凸四边形中. 21．（24-25高三下·北京·强基计划）若是的两解，且，求. 【答案】 【分析】根据和差化积公式以及倍角公式即可解出. 【详解】因为，两式作差可得，, 即，， 所以或，即或， 当时，，，与题设矛盾，舍去； 当时，. 22．（24-25高三下·全国·强基计划）若，且，求k的最大值，使得恒成立． 【答案】 【分析】法一：采用特殊值探路，再证明结论即可；法二：利用三角换元，设,，再设，求出的范围，再将转化为关于的式子，最后根据函数单调性即可求出最值. 【详解】法一：由题意知，由，对称，不妨设代入可得， 下证：． 事实上因为①，当且仅当等号成立， ②，当且仅当时等号成立， ①②得，即， 故的最大值为． 法二：因为，则设,， ，因为，则， 则，则， 则 ， 易知函数在上单调递减， 则， 则，则的最大值为. 数学竞赛真题专项训练 五、单选题 23．（2024高三上·全国·竞赛）设锐角满足，则数据的极差是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件得到，从而有，再利用极差的定义即可求出结果. 【详解】因为，并且是锐角，所以， 得到，又对应四个数据(应用诱导公式)分别可写为， 所以极差为， 故选：B. 24．（2024高三上·全国·竞赛）在中，角所对的边分别是．已知，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理及，得到，将代入，化简得到，求出答案. 【详解】，由正弦定理得， 又，故，即， 其中，所以， 故， 即， 故， 化简得， 即，， 因为，所以，. 故选：C 25．（2024高三下·全国·竞赛）已知（其中），在平面直角坐标系中，有一个动点，且.给定：，作，垂足为点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用椭圆的参数方程得到，结合点到直线的距离公式和辅助角公式求解即可. 【详解】因为，所以， 即在的椭圆上， 而由椭圆的参数方程得(是参数)， 所以，因为，所以为点到直线的距离， 由点到直线的距离公式得， 由三角函数性质得当时，最大， 此时，故A正确. 故选：A 26．（2024高三上·全国·竞赛）已知凸四边形内接于圆，，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据结合正弦定理可得，再利用三角恒等变换可得，进而利用正弦定理可得，即可得结果. 【详解】设， 在中，由正弦定理可得， 在中，由正弦定理可得， 因为，即， 且，可知， 则，即， 又因为，则， 可得， 则， 在中，由正弦定理可得， 在中，可知， 由正弦定理可得， 则，可得， 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为. 故选：D. 【点睛】方法点睛：与解三角形有关的交汇问题的关注点 （1）根据条件恰当选择正弦、余弦定理完成边角互化． （2）结合内角和定理、面积公式等，灵活运用三角恒等变换公式． 六、填空题 27．（2024高三下·全国·竞赛）如图，在中，，，，点是边上一个动点，作，，连接，则的最小值为 . 【答案】 【分析】连接，由，，可得四点共圆，且为圆的直径，而为定值，所以当圆的直径最小时，弦最短，当时，最小，由已知条件求出，再利用正弦定理可求出. 【详解】连接，因为于，于， 所以， 所以四点共圆，且为圆的直径， 因为为定值，所以当圆的直径最小时，所对的弦最短， 此时， 在中，因为，所以， 所以，得, 在中，由正弦定理得，所以， 因为， 所以， 所以的最小值为. 故答案为： 28．（2025高三下·重庆·竞赛）在中，的最小值为 . 【答案】 【分析】根据余弦定理结合基本不等式计算结合换元法计算得出最小值. 【详解】由余弦定理及均值不等式，，所以. 于是由正弦定理，原式. 令，则. 当且仅当，即时等号成立， 故原式的最小值为. 故答案为：3. 29．（2025高三下·重庆·竞赛）设函数在区间上的最大值为，在区间上的最大值为，在区间上的最大值为，则 . 【答案】 【分析】先由可得到，然后利用对应关系可以找到，的关系式，然后用导数可以得到在上的单调性，进一步可得到答案. 【详解】由且知，. 注意满足， 故在区间上的最大值即为在区间上的最大值. 又注意在区间上， 故在区间上的最大值即为在区间上的最大值，从而； 而，而当时，有， 所以在区间上单调递增，又，故在区间上单调递增， 而又注意到在区间上， 所以在区间上的最大值， 所以. 故答案为： 30．（2024高三下·全国·竞赛）在矩形中，，，E在上，F在上，，则当取得最小值时，的值为 .    【答案】 【分析】设，利用勾股定理与余弦定理可表示出，结合两点间距离公式可借助几何法得出取得最小值时的值，即可得解. 【详解】设，则， ， 则 ， 即为点到点与点的距离之和， 则当点与点、点共线， 且点位于点与点之间时，有最小值， 此时有，解得， 则. 故答案为：. 七、解答题 31．（2024高三上·北京·竞赛）钝角面积为，，，求的值 【答案】2或－2 【分析】根据三角形的面积公式和向量的数量积公式计算可得结果. 【详解】因为，解得， 若，则，可得， 角为钝角，满足题意，此时； 若，则，所以或. 32．（2024高三上·北京·竞赛）中，，，分别在，上各取一点，，使平分的面积，求长度的最小值 【答案】2 【分析】利用余弦定理和基本不等式，容易就得. 【详解】由题意知，即， 所以，， 设，，则，解得， 从而由余弦定理可得， 当且仅当时等号成立. 所以长度最小值为2. 33．（2024高三下·全国·竞赛）（1）计算： （2）若、都是实数，且，求的值. 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）由指数运算、半角公式、特殊角的三角函数值等化简计算即可； （2）由，可得，设,则， ，解得，，则，解得或，分别代入计算即可. 【详解】（1） . （2）因为，所以， 则， 设, 则，，， 将代入，得， 整理得，所以，代入得， 则，解得或， 当时， ， 当时， . 34．（2024高三上·全国·竞赛）已知直线和是函数图像两条相邻的对称轴． (1)求的解析式和单调区间； (2)保持图像上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到函数的图像．若在区间恰有两个极值点，求的取值范围． 【答案】(1)，单调递增区间为，单调递减区间为 (2) 【分析】（1）根据周期性求出，再结合对称轴处的特殊值和的范围，可求出，从而求出解析式，利用整体代换来求单调区间即可； （2）利用三角函数的伸缩平移变换，可求出的解析式，再利用整体代换和数形结合的思想来求的范围. 【详解】（1）由题设条件知的最小正周期，所以． 又因为，，所以，． 令，得的单调递增区间为， 令，得的单调递减区间为． （2）由题可知， 所以当时，． 若在区间恰有两个极值点， 则在区间恰有两个极值点， 因此，解得的取值范围是． 35．（2024高三上·全国·竞赛）设的外接圆半径是均为锐角，且. (1)证明：不是锐角三角形； (2)证明：在的外接圆上存在唯一的一点，满足对平面上任意一点，有. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）由正弦定理，根据，得到，进而得到，由的单调性证明； （2）由，得到，即，设外接圆圆心为，再利用向量运算证明. 【详解】（1）证明：记在中，所对的边分别长度为. 根据正弦定理，有，所以. 根据，有， 得到， 因为都是锐角，根据的(复合函数)单调性得到， 所以，所以，所以不是锐角三角形； （2）因为，所以， 所以，所以，得到， 设外接圆圆心为，则有， 得到对平面上所有成立，必须有， 根据是直角和平面几何知识,得到在外接圆上，并且根据平面向量基本定理得到唯一. 36．（2024高三上·北京·竞赛）A，B，C为内角，x，y，z为实数,求以下三式中恒成立的个数. 【答案】三个 【分析】选定x为主元，对三式配方即可得出答案. 【详解】不妨设三个式子依次为①②③， 选定x为主元，对①式配方可得 ， 因为 所以原式 从而①恒成立对于②类似地有 即②恒成立对于③我们有 因此当时其最小值为 即③恒成立，因此三个式子均恒成立. 【点睛】关键点睛：本题的关键点在于选定x为主元，由两角和的正弦公式、同角三角函数的基本关系将三式配方成两个完全平方和的形式即可证明三式恒成立. 37．（2024高三上·北京·竞赛）中，求的最大值 【答案】 【分析】根据题意，由正弦的和差角公式以及辅助角公式化简，然后构造函数，求导即可得到结果. 【详解】令 ，其中， 所以， 设，， 则显然有，， 因此只需考虑在上的最大值， 求导可得， 令，可得， 则其在上的解为， 于是. 所以的最大值是. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $