专题09 复数专项训练-【备战2026年高中数学竞赛+强基计划】（竞赛+强基考前专用）

专题09 复数（真题专项训练） 强基计划真题专项训练 一、填空题 1．（23-24高三下·全国·强基计划）已知，是方程的两个复数根，则 ． 2．（23-24高三下·全国·强基计划）已知复数，，则n的最小值为 ． 3．（23-24高三下·全国·强基计划）复数列，且，则的最大值是 ． 4．（23-24高三下·江苏南京·强基计划）已知的三条边长，复数，满足，，，则为 数. 二、解答题 5．（23-24高三下·全国·强基计划）已知复数满足，，则的最小值为？ 6．（24-25高三下·北京·强基计划）已知在与的线段上，，求在复平面上扫过的面积. 7．（22-23高三·北京·强基计划）已知，求的值． 8．（24-25高三下·全国·强基计划）求集合的元素个数． 数学竞赛真题专项训练 三、单选题 9．（2024高三上·全国·竞赛）设复数，则的虚部是（    ） A．-3 B．3 C． D． 10．（2022高三·湖南湘西·竞赛）已知复数满足，则复数在复平面内对应的点所在区域的面积为（    ） A． B． C． D． 11．（2024高三上·全国·竞赛）记为虚数单位，为正整数，若位于复平面的第四象限，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 四、填空题 12．（2024高三上·全国·竞赛）设，则 ． 13．（2025高三下·重庆·竞赛）若实数使得关于的方程有模为的虚根，则的取值范围为 . 14．（2024高三下·上海·竞赛）若关于的方程存在一个模为1的虚根，则正整数的最小值为 . 15．（2022高三·浙江丽水·竞赛）已知复数满足，若为实数（i为虚数单位），则为 . 16．（2023高三下·全国·竞赛）复数，且，则实数 . 17．（2022高三·浙江宁波·竞赛）已知，关于z的方程有四个复数根．若这四个复数根在复平面内对应的点是一个正方形的四个顶点，则实数m的值为 ． 五、解答题 18．（2024高三上·北京·竞赛）复平面与交点个数 19．（2022高三·浙江金华·竞赛）设复数满足，使得关于的方程有实根，求所有满足条件的复数的和. 20．（2024高三上·北京·竞赛）设，求的值 21．（2024高三下·全国·竞赛），求的值. 22．（2024高三上·全国·竞赛）设M是由复数组成的集合，对M的一个子集A，若存在复平面上的一个圆，使得A的所有数在复平面上对应的点都在圆内或圆周上，且中的数对应的点都在圆外，则称A是一个M的“可分离子集”． (1)判断是否是的“可分离子集”，并说明理由； (2)设复数z满足，其中分别表示z的实部和虚部．证明：是的“可分离子集”当且仅当． 23．（2024高三下·全国·竞赛）记表示不小于实数的最小整数，设． (1)证明：为定值． (2)对，令，其中为虚数单位，又设为数列的前项积．若对任意的，都有，求的最小值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 复数（真题专项训练） 强基计划真题专项训练 一、填空题 1．（23-24高三下·全国·强基计划）已知，是方程的两个复数根，则 ． 【答案】 【分析】根据二次函数的韦达定理，结合完全平方公式可得答案. 【详解】将方程整理得，因此，因此， 进而，，因此． 故答案为：. 2．（23-24高三下·全国·强基计划）已知复数，，则n的最小值为 ． 【答案】3 【分析】设，利用乘方和复数相等列方程解方程即可. 【详解】不妨设，， 由题可知， ①，可知满足条件即n最小值为3（验证可知小于3不满足）． ②，验证可知满足（验证可知小于3不满足）． 综上可知． 故答案为：3. 3．（23-24高三下·全国·强基计划）复数列，且，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】对递推式进行处理，求出的表达式，然后使用几何意义及圆的方程求解最大值. 【详解】由已知有， 且. 故，得. 设，则. 解得. 由于对，有. 而由可知，复数在复平面上位于区域内，即圆内部或其边界上. 从而. 故. 所以 . 而当，且复数位于圆上，且在圆心与的连线上时，等号成立. 所以的最大值是. 故答案为：. 4．（23-24高三下·江苏南京·强基计划）已知的三条边长，复数，满足，，，则为 数. 【答案】虚 【分析】利用，化简转化为实系数一元二次方程，根据根的判别式得到为虚数. 【详解】 ， 故， 方程两边同乘以得，， 这是一个关于的实系数一元二次方程， 又三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边， 且 ， 故为虚数（当且仅当，即为直角三角形时，为纯虚数） 故答案为：虚 【点睛】关键点点睛，将两边平方，转化为实系数一元二次方程，结合根的判别式进行求解 二、解答题 5．（23-24高三下·全国·强基计划）已知复数满足，，则的最小值为？ 【答案】 【分析】先对和证明不存在满足条件的，再对证明满足条件，即可得到的最小值为. 【详解】若，则，得，矛盾； 若，则，解得. 故是实数，从而由知，代入得或，矛盾； 以上讨论表明，必有. 而当时，对，有，且有 ， 故满足条件. 所以的最小值为. 6．（24-25高三下·北京·强基计划）已知在与的线段上，，求在复平面上扫过的面积. 【答案】 【分析】设、、对应的点分别为P、Q、M，由题意知、，且，即可分析出点M的轨迹，最后利用矩形和圆的面积公式求面积即可. 【详解】在复平面内，设对应的点为P，点P在线段AB上运动， 其中，， 设对应的点为Q，点Q在以坐标原点为圆心的单位圆上运动，， 设对应的点为M，则， 所以，则， 即点M在以P点为圆心、2为半径的圆上运动，当点P在线段AB上运动时， 点M在复平面上扫过的图形为一个矩形（长宽分别为4和）和两个半圆（半径为2）， 面积为. 7．（22-23高三·北京·强基计划）已知，求的值． 【答案】 【分析】 设，则可用表示，利用放缩法和换元法可求模的最小值. 【详解】 解：设， 此时 又 于是 令， 此时， 当时，； 当时，，当且仅当等号成立， 故 ，当时，等号成立， 所以. 【点睛】 思路点睛：复数中模的最值的计算，可以借助复数的三角形式进行转化，注意在模的范围的讨论中，可结合多变量代数式的特征合理放缩. 8．（24-25高三下·全国·强基计划）求集合的元素个数． 【答案】无穷多个 【分析】令，将已知条件转化为，结合导数即可求解. 【详解】令，由得（1）， 若，满足的数对，可以看成平面直角坐标系xOy内在直线上除去点外的两条射线上的点，因此有无数多对， 若取，则， 记， 不妨考虑在时，令，解得， 当时，， 对两边作5次方得，， 变形得 对两边开75次根得 所以，当时，在单调递增， 因为在内有无穷多个x可取.由单调性知，对应的也有无穷多个值可取，且不相同. 所以集合中的元素为无穷多个. 数学竞赛真题专项训练 三、单选题 9．（2024高三上·全国·竞赛）设复数，则的虚部是（    ） A．-3 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】直接利用复数的加法运算结合共轭复数的定义求解. 【详解】依题意：， 则，所以其虚部为. 故选：A. 10．（2022高三·湖南湘西·竞赛）已知复数满足，则复数在复平面内对应的点所在区域的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令且，可得，然后根据复数模的几何意义结合条件即得. 【详解】令且，则， 所以， 所以复数在复平面内对应的点所在区域是圆和圆围成的圆环， 所以点所在区域的面积为. 故选：C. 11．（2024高三上·全国·竞赛）记为虚数单位，为正整数，若位于复平面的第四象限，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】逐个计算，结合复数的几何意义可得出结论. 【详解】因为， 即复数在复平面内对应的点位于第二象限， ， 即复数在复平面内对应的点位于第二象限， ， 即复数在复平面内对应的点位于第三象限， ， 即复数在复平面内对应的点位于第三象限， ， 即复数在复平面内对应的点位于第四象限， 故的最小值为. 故选：C. 四、填空题 12．（2024高三上·全国·竞赛）设，则 ． 【答案】10 【分析】 由复数四则运算以及模的运算公式即可求解. 【详解】由题意，所以. 故答案为：10. 13．（2025高三下·重庆·竞赛）若实数使得关于的方程有模为的虚根，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】法一：设出方程的根并代入方程求解，再根据复数相等列出方程，利用参数表示，再结合二次函数性质，可得答案；法二：根据三次方程的韦达定律，表示出参数，其余步骤同法一. 【详解】法一：设方程有模为的虚根，其中满足. 代入有，从而有且. 注意，所以. 注意，所以. 另一方面，对每一个，可找到一个， 使得，，，且使方程有模为的虚根. 故的取值范围为. 法二：由实系数多项式方程虚根成对原理，可设方程的两虚根为， 其中满足，由韦达定理知此三次方程三根之和为0，从而其唯一实根为. 再由韦达定理知，. . 注意，所以. 另一方面，对每一个，可找到一个， 使得，，，且使方程有模为的虚根. 故的取值范围为. 故答案为：. 14．（2024高三下·上海·竞赛）若关于的方程存在一个模为1的虚根，则正整数的最小值为 . 【答案】5 【分析】复数方程采取未知先设的方法即可求解. 【详解】设为方程的模为1的虚根， 则. 因此， 所以，代回原式得. （1）当， （2）当. 所以正整数的最小值为5. 故答案为：5. 15．（2022高三·浙江丽水·竞赛）已知复数满足，若为实数（i为虚数单位），则为 . 【答案】 【分析】由得Z的轨迹方程为，由为实数可设，即可代入方程求m，进而求模 【详解】由得点Z是以，为焦点，长半轴长是5的椭圆，则，所以点Z的轨迹方程为. 又为实数，可设，代入轨迹方程得，故. 故答案为： 16．（2023高三下·全国·竞赛）复数，且，则实数 . 【答案】 【分析】展开，依据题意计算的值，再根据确定最终解果即可. 【详解】 由题意得或或 若，则，不满足，舍去； 若，则，不满足，舍去； 若，则，满足题意，故 故答案为： 17．（2022高三·浙江宁波·竞赛）已知，关于z的方程有四个复数根．若这四个复数根在复平面内对应的点是一个正方形的四个顶点，则实数m的值为 ． 【答案】 【分析】先判断判别式中至少有一个为负，若判别式一正一负，则可根据可求，当判别式均为负时，可根据实系数方程的虚数根为共轭复数可判断此时不合题设条件. 【详解】设根为的根为， 由题意，即且． ①当时，均为实数，则四个实数根均在实轴上，矛盾； ②当时，为实数且为虚数，且， 所以； 此时，故或， 且或， 这四个点为以为中心，且对角线的方程分别为，，对角线的长度为的正方形的顶点. ③当时，均为虚数， 因为为实数，故为共轭复数且，故的实部为， 同理的实部为，，即四个对应点均在直线，这与题设矛盾． 综上：． 故答案为：. 五、解答题 18．（2024高三上·北京·竞赛）复平面与交点个数 【答案】0个 【分析】利用复数的三角形式和已知条件建立方程求解，解的个数即为交点个数. 【详解】当，可设， 进而，因为， 因此． 根据复数的性质可得 因为，因此，所以，， 但无论k取哪个整数，对应的均使，故无解， 所以复平面与交点个数为0个. 19．（2022高三·浙江金华·竞赛）设复数满足，使得关于的方程有实根，求所有满足条件的复数的和. 【答案】满足条件的复数之和为. 【分析】设，则由题设条件可得关于的方程组，求出其值后可求诸复数的和. 【详解】设 则原方程变为，所以 若，则，但当时，①无实数解，从而， 此时存在实数满足①②，故满足条件. 若，则由②知，但显然不满足①，故只能是， 代入①解得，进而，相应有. 综上所述，满足条件的复数之和为. 20．（2024高三上·北京·竞赛）设，求的值 【答案】 【分析】取三次单位根，设，，在原式中，令，代入计算取式子的实部即可得出答案. 【详解】取三次单位根，设，，易证， ，……， ， 在原式中，令，则有， 对上式取实部可得：， 所以. 因此所求多项式的值为. 21．（2024高三下·全国·竞赛），求的值. 【答案】 【分析】令，，得到，，利用柯西不等式得到，结合，求出. 【详解】令，，则，， 有， 柯西不等式：， 相加得，（一个圆盘），同时，（一个圆环）， 令， 即， 两边平方得， 解得：， 数形结合得. 【点睛】方法点睛：复数模长为载体的轨迹问题，相比复数计算难度要大，通常要设出复数，利用复数的实部，虚部及题目条件得到方程，化简后得到轨迹，数形结合进行求解. 22．（2024高三上·全国·竞赛）设M是由复数组成的集合，对M的一个子集A，若存在复平面上的一个圆，使得A的所有数在复平面上对应的点都在圆内或圆周上，且中的数对应的点都在圆外，则称A是一个M的“可分离子集”． (1)判断是否是的“可分离子集”，并说明理由； (2)设复数z满足，其中分别表示z的实部和虚部．证明：是的“可分离子集”当且仅当． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）取复平面上的圆，得到复数1，2，3在复平面上对应的点都在圆内，复数i在复平面上对应的点在圆外，得到结论； （2）先证明必要性，令复数，取复平面上的圆，得到是的“可分离子集”；再证明充分性，只需证当时，不是的“可分离子集”，得到结论. 【详解】（1）是，理由如下： 取复平面上的圆， 则复数1，2，3在复平面上对应的点都在圆内． 而， 故复数i在复平面上对应的点在圆外． 因此，是的“可分离子集”． （2）必要性：当时，令复数， 取复平面上的圆， 则在复平面上对应的点在圆周上， 又， 故1在复平面上对应的点在圆外． 由， ， 知． 故在复平面上对应的点在圆外． 因此，当时，是的“可分离子集”． 充分性：只需证当时，不是的“可分离子集”． 假设存在复平面上的一个圆，使得在复平面上对应的点在圆内或圆周上，且1，在复平面上对应的点在圆外． 设圆心表示的复数为．再设． 由知 ， 故． 由知 ， 故． 进而，， 由知， 故， 进而． 这与矛盾，故所假设的圆在复平面上不存在． 即当时，不是的“可分离子集”，充分性证毕， 综上，是的“可分离子集”当且仅当. 【点睛】集合新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 23．（2024高三下·全国·竞赛）记表示不小于实数的最小整数，设． (1)证明：为定值． (2)对，令，其中为虚数单位，又设为数列的前项积．若对任意的，都有，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先定义数列，然后证明，即可得到相应结论； （2）补充定义，设，通过归纳出的表达式，再用类似（1）的方法证明，推导得到，将表示为三角形式，研究为实数，结合复数除法的几何意义得，进而知辐角和为，再计算并放缩即可得解. 【详解】（1）设， 则， 故，从而， 又有，，故为整数， 进而依次归纳可知：是整数， 由于， 故，而是整数，所以， 而，所以. （2）补充定义，显然，设，则 ， 由（1）可知， 所以， 用与（1）的证明类似的方法可证，从而有， 整理得， 记，，其中，， 令，，由共轭复数的性质可知， 则， 先计算， 记为，其中实部，虚部， 此时， 其中虚部， 所以的虚部为，即是实数，所以是实数， 对于分子辐角为，分母辐角为， 根据复数除法的几何意义及是实数有，即， ， 而，故根据复数乘法的几何意义，有， 又， 注意到，所以，， 故，从而符合， 另一方面，时，，此时，故不符合， 综上的最小值是. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $