专题08 计数原理与概率统计专项训练-【备战2026年高中数学竞赛+强基计划】（竞赛+强基考前专用）

专题08 计数原理与概率统计（真题专项训练） 强基计划真题专项训练 一、单选题 1．（23-24高三下·福建厦门·强基计划）用九种颜色给一个正四面体涂色，使相邻两个面颜色不同（若两种涂色方法可以通过旋转使得每个面的颜色一对应，则算作一种涂色方法）共有（    ）种涂色情况. A．121 B．454 C．621 D．以上答案均不对 【答案】D 【分析】先求出不考虑旋转的条件下的涂色情况；再求出四面体旋转方式的总数，即可求解. 【详解】若不考虑旋转的情况，共有，而四面体共有种旋转方式，故共有. 故选：D 2．（23-24高三下·全国·强基计划）圆周上，，…，七个点两两相连，任选两条线段，则这两条线段无公共点的概率是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用组合计算种类，再应用古典概型计算概率即可. 【详解】共条线段，选出两条有种方法， 任意四个点对应两组不相交的线段，有组， 因此，任选两条线段，它们无公共点的概率为． 故选：D. 3．（23-24高三下·全国·强基计划）从棱长为1个单位长度的正方体的底面一顶点出发，每次均随机沿一条棱行走一个单位长度，下列选项中正确的有（    ）． A．进行4次这样的操作回到A的概率为 B．进行2次这样的操作回到A的概率为 C．进行4次这样的操作回到A的概率为 D．进行2次这样的操作回到A的概率为 【答案】D 【分析】每次操作有3种不同的路线, 2次操作，有种路线, 4次操作，有种路线,分类讨论能回到点的概率即可. 【详解】每次操作有3种不同的路线，2次操作，有种路线，其中有3条可以回到A点，因此进行2次这样的操作回到A点的概率为，B错D对； 4次操作，有种路线，如下图所示，设第次操作后恰好走到点的方法数为，由对称性可知第次操作后恰好走到三点的方法数相同，设为，恰好走到三点的方法数也相同，设为，设第次操作后恰好走到点的方法数为， 则，，由此算出， ∴，∴进行4次这样的操作回到点的概率为，AC选项都错． 故选：D 二、多选题 4．（23-24高三下·全国·强基计划）某城市内有若干街道，所有街道都是正东西或南北向，某人站在某段正中央开始走，每个点至多经过一次，最终回到出发点．已知向左转了100次，则可能向右转了（    ）次． A．96 B．98 C．104 D．102 【答案】AC 【分析】分情况讨论不同情况即可. 【详解】总体的路线形成一个多边形， 如果出发点在多边形的边上，左转、右转的次数差一定是4的倍数， 如果出发点在多边形的顶点上，左转、右转的次数差一定奇数，因此只有AC有可能． 下面两图的路线分别对应右转96次和104次的情形： 故选：AC. 5．（22-23高三·北京·强基计划）已知是完全平方数，则（    ） A．的取值有无数个 B．的最小值小于15 C．为奇数 D． 【答案】ABD 【分析】根据特例可判断BC的正误，根据同余的性质可判断D的正误，根据二项式定理及特例可判断A的正误. 【详解】由题意可知， 当时，，故B正确； 当时，，故C错误. 又可整理可得， 对于任意整数，，故， 故， 而对任意的整数，设 则，而， 所以，故， 若，则， 整理得到：，故为3的倍数，设， 则，故， 但，故， 而，故不成立， 所以即，故D成立. 取，， 下证：均为正整数. 证明：由二项式定理可得， ， 所以 ， 因为，故， 故，故为4的倍数， 故为4的倍数，故为正整数. 又 ， 故为正整数即为正整数. 下面回到问题本身， 此时 ， 由的任意性可得有无穷多个， 故选：ABD 【点睛】方法点睛：对于二次不定方程的整数的处理测量有如下几种： （1）利用同余确定满足方程的解的特征； （2）利用二项式定理判断方程的解的性质； （3）利用因式分解确定方程解的特征. 三、填空题 6．（23-24高三下·福建厦门·强基计划）在30以内的所有素数中，随机选取若干个，使得它们的和为30的概率是 . 【答案】 【分析】首先列举出30以内的所有素数，利用二项式定理求出总数，求解出结果. 【详解】30以内的所有正素数为2，3，5，7，11，13，17，19，23，29， 随机选取共有个，和为30的情况为，，，，，故所求概率. 7．（24-25高三下·全国·强基计划）将长度为的线段分成3段，则分成的段恰好能拼成三角形的概率为 ． 【答案】/ 【分析】设段的长度分别为，段构成三角形的约束条件，利用面积测度即可求出构成三角形的概率．． 【详解】设三段长分别为， 则总样本空间为，化简可得， 若段恰好拼成三角形， 则，所以， 作图如下： 其中满足不等式组的点在内，不含边界， 满足不等式组的点在内，不含边界， 则，. 则分成的段恰好能拼成三角形的概率为. 故答案为：. 8．（23-24高三下·江苏南京·强基计划）已知，的最大项是 . 【答案】 【分析】写出二项展开式通项，假设第项最大，建立不等式求解即可. 【详解】二项式展开式通项为：， 设第项最大，则， 解得，所以，有最大项是. 故答案为： 9．（23-24高三下·江苏南京·强基计划）已知，，x为的个位数，求 . 【答案】3 【分析】利用列举法求出的所有可能取值，并求出对应概率，再根据期望公式即可得解. 【详解】当时，，个位数为，有个， 当时，，个位数为， 当时，，个位数为， 当时，，个位数为， 当时，，个位数为， 当时，，个位数为， 当时，，个位数为， 当时，，个位数为， 当时，，个位数为， 当时，，个位数为， 当时，，个位数为， 当时，，个位数为， 当时，，个位数为， 综上所述，可取， 且， 所以. 故答案为：. 10．（23-24高三下·全国·强基计划）点集，则由S中的点可组成 个不同的三角形． 【答案】1056 【分析】先计算出随意的三个点的情况，然后减去三点共线的情况即可. 【详解】随意选三个点，总共有种，如图： 三点共线（图中虚线）有8组， 四点共线有9组（图中粗线加上5条竖线）， 五点共线有4组， 于是一共能组成． 故答案为：1056. 11．（23-24高三下·全国·强基计划），，…是一个1，2，3，…，10的排列，要求和一定有一个大于（），则满足的排列的总数为 ． 【答案】512 【分析】先应用数列的新定义分析得出三种情况，再列根据情况得出组合数的和，最后应用二项式系数和公式计算即可. 【详解】若，考虑（），必有可知从第i项开始，数列开始递增； 再考虑前面的项，若，说明此情况下数列在第1项到第i项递减． 若，则将原来的i改为同理考虑即可． 由以上分析可知，该数列只有三种情况，单调递减，单调递增，先减后增 故排列总数为． 故答案为：512. 12．（24-25高三下·全国·强基计划）个球装进个盒，则装有球的盒子的个数的期望是 ． 【答案】 【分析】引入随机变量，定义时，表示第个盒子中有球，时，表示第个盒子中没有球，其中，求得，根据期望的加法性质即可得解》 【详解】引入随机变量，定义时，表示第个盒子中有球，时，表示第个盒子中没有球，其中， 则， 又， 故， 所以， 即装有球的盒子的个数的期望是. 故答案为：. 13．（23-24高三下·全国·强基计划）的小数点后第100位数字是 ． 【答案】9 【分析】首先设，由特征方程得递推关系式为，并易知是整数，则根据的小数点后100位的数字，可确定的小数点后100位的数字. 【详解】设．则由特征方程可知其递推式为． 但注意到，都是整数，由数学归纳法可知是整数， 但显然有，因此所求小数点后第100位数字是9． 故答案为：9 14．（23-24高三下·江苏南京·强基计划）存在集合的一族子集两两交集非空，那么这族子集最多有 个. 【答案】/ 【分析】设是含有个元素的子集且对应有个，且，即可得结果. 【详解】显然，这族子集不含有空集，按所含元素的多少可把这族子集分为10类， 不妨设是含有个元素的子集，对应有个， 显然，一元子集至多只有一个，若不止一个，则它们的交集都是空集，不合题意， 所以，故最多有个. 故答案为： 15．（24-25高三下·全国·强基计划）将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数字进行重新排列，得到新排列，若对于，，则新排列的个数为 ． 【答案】 【分析】记的有效新排列的个数为，考虑数字在排列中的位置，根据递推法确定，进而可得新排列的个数. 【详解】由于对于，，则每个数字可以是或 记的排列的个数为，考虑数字在排列中的位置： （1）如果，则剩下的排列个数为； （2）如果，则；因此剩下的排列个数为， 故， 由于，故. 故这10个数的新排列的个数为. 故答案为：. 四、解答题 16．（22-23高三·北京·强基计划）有六面旗，两面蓝，两面红，两面黄，除颜色外完全相同，从这些旗子中去除若干面（至少一面），从上到下悬挂在同一个旗杆上，可以组成一个信号序列，则不同的信号序列共有多少种？ 【答案】 【分析】 先就信号序列中颜色的种数分类讨论，再就旗子的个数分类计算即可. 【详解】如果信号序列中有一种颜色，则有不同的信号序列种数为， 如果信号序列中有两种颜色， （1）若有两面旗子，则有不同的信号序列种数为， （2）若有三面旗子，则有不同的信号序列种数为， （3）若有四面旗子，则有不同的信号序列种数为， 故信号序列中有两种颜色时有不同的信号序列个数为， 如果信号序列中有三种颜色， （1）若有三面旗子，则有不同的信号序列种数为， （2）若有四面旗子，则有不同的信号序列种数为， （3）若有五面旗子，则有不同的信号序列种数为， 故信号序列中有三种颜色是不同的信号序列个数为， 故共有不同的信号序列的种数为种. 【点睛】方法点睛：本题中使用的排列组合的计数策略为： （1）先选后排； （2）分类与分步的合理使用； （3）有限制元素采取“优先法”； 17．（22-23高三·北京·强基计划）11个黑球，9个红球，依次取出，剩下全是一种颜色就结束，求最后只剩下红球的概率？ 【答案】 【分析】 利用事件的转化可求最后只剩下红球的概率. 【详解】设为“依次取出，最后只剩红球”，为“依次取出，最后一只为红球”， 下证：中含有的基本事件与含有的基本事件一样多. 设为中的基本事件，则至少余有一个红球且没有黑球， 故为中的基本事件， 设为中的基本事件，则的最后一球为红球， 则也为中基本事件， 故中含有的基本事件与含有的基本事件一样多. 故问题转化为求，由古典概型的概率公式可得， 故最后只剩下红球的概率为. 18．（23-24高三下·北京·强基计划）求四元组 的个数，使得 ，且 . 【答案】25 【分析】根据，可得可能的取值，再利用排列组合求得四元组的个数. 【详解】因为，且， 所以的取值有三种不同的组合：或或， 即， 当时，四元组有个， 当时，四元组有1个 当时，四元组有个， 故满足题意的四元组的个数为个. 19．（23-24高三下·北京·强基计划）已知数列 ，求第 2024 项模 5 的余数. 【答案】4 【分析】设，可得，从而得到，即可求解 【详解】设数列满足：，，，，，，，，，，， 设， 所以，， 则，故 所以64模5余数为4 20．（23-24高三下·全国·强基计划）圆上7点所成线段中任取两条，这两条线段无公共点的概率为？ 【答案】 【分析】根据题意，先求出形成多少条线段，然后求出任取两条线段的种数，再从中求出两条线段无公共点的种数，结合古典概型求概率即可. 【详解】圆上7点形成条线段，从中任取两条线段有种方法， 任意四个点对应两组不相交的线段，故两条线段无公共点的有种方法， 所以任取两条线段，它们无公共点的概率为. 21．（23-24高三下·全国·强基计划）点集且，则由中的点可以组成多少个不同的三角形？ 【答案】1056 【分析】利用组合数的知识结合图象分析即可. 【详解】总共有种, 如图，三点共线（粗虚线）有8组， 四点共线有9组（图中实线加上5条竖线）， 五点共线有4组， 于是一共能组成种. 故答案为：1056. 22．（24-25高三下·山东·强基计划）将10个不同的球放入编号1，2，3的3个盒子，要求每个盒子内的球数不少于盒的编号，求放法总数. 【答案】34800 【分析】方法一：利用不定方程结合隔板法得到解的个数，然后利用排列数消序计算即可； 方法二：利用容斥原理来求解计算； 方法三：利用构造多项式展开式来研究对应项系数来求解计算 【详解】法一（不定方程）：设盒子1放个球，盒子2放个球，盒子3放个球， 由已知得，，，且， 令，，， 则原方程变为，即， 其非负整数解为.但因球是不同的， 故对每个解的放法种数又为， 其中，（，，），枚举如下15种： ，，，，，，，，，，，，，，， 计算15次并求和，可得放法总数为34800. 法二（容斥）：总放法有，盒子1的球数0个时有，盒子2的球数是0、1个有，盒子3的球数是0、1、2个时有， 盒子1球数是0且盒子2球数时，有，盒子1球数是0且盒子3球数时， 有，盒子2球数且盒子3球数时，有，三个盒子球数都小于编号时，有0个， 由容斥公式可得总放法种数为 . 法三（指数型生成函数）：展开式的系数 由得，展开化简得 ， 其中的系数为 得的系数为 【点睛】方法点睛：这类问题不好用分类或分步方法能解决的，需要构造多项式展开式，需要用到容斥原理，需要用到隔板法. 数学竞赛真题专项训练 五、单选题 23．（2024高三下·全国·竞赛）数据7，8，9，2，5，9，0，3，6，0的第60百分位数是（   ） A． B．5 C． D．7 【答案】C 【分析】将这组数据从小到大排列，根据百分位数的定义计算即得. 【详解】将这组数据从小到大排列为0，0，2，3，5，6，7，8，9，9， 由，故这组数据的第60百分位数是. 故选：C. 24．（2023高三下·全国·竞赛）已知两个连续型随机变量X，Y满足条件，且服从标准正态分布．设函数，则的图像大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】计算，可判断函数的对称性，再计算，即可排除选项. 【详解】或，因为， 所以或，即或， 或或 因为服从标准正态分布，所以根据对称性可知，所以函数关于对称，故排除AC； 当时，，，所以或,因为，其中，，，根据原则可知，，所以排除B； 故选：D 25．（2024高三上·全国·竞赛）一次铁人三项比赛中，每名参赛选手须在指定的游泳池里游个来回，然后骑车10公里，最后跑3公里.已知共有n名选手参赛，由于场地条件限制，游泳池内只能同时容纳一名选手(即上一名选手上岸时下一名选手方可下水)，骑车与跑步则无限制.记序号为的选手游泳、骑车、跑步所用时长的期望分别为,，,为了使得总完赛时间(即从1号选手下水到号选手跑完的总时长)尽可能短，应采取的策略是（    ） A．让越大的选手越早出发 B．让越小的选手越早出发 C．让越大的选手越早出发 D．让越小的选手越早出发 【答案】C 【分析】根据题目进行先进行假设求解数学期望的应用和策略选择的问题. 【详解】不妨设出发顺序为 ，若, 使得， 交换与 的出发顺序，显然 会比交换前更早完成比赛, 交换前 和 的完赛总时长为交换后和的完赛总时长为 又   故交换后和 的完赛总时长减少，而其他人不变， 从而全体完赛总时长减少. 由此可反复交换在此过程中完赛总时长均减小，直到按 降序排列，此时达到最优. 故选：C 26．（2024高三上·全国·竞赛）Enigma机是二战时用来加密和解密的设备，其中插线板是整套密码系统的一环，原理如下：有26根接线柱对应26个英文字母，另有k条导线，每条导线的两端接在某两根不同的接线柱上，每根接线柱上至多连一条导线，以此交换输入的文字中有导线相连的接线柱处的字母.例如，时，设O与P相连，G与S相连，输入文字BIGOCTOPUS，则交换O与P，交换G与S，故输出BISPCTPOUG.设不同的接线方法数为ak，若ak越大则这套密码系统越安全.要使安全性最高，k应该取（    ） A．7 B．9 C．11 D．13 【答案】C 【分析】设接条线，，第条线的接法数为 总的接法数为，求的最大值即可. 【详解】设接条线，，第条线的接法数为 又因为平均分成组，故总的接法数为， 设时最大, 其中， 若，则， 设 则， 解得， 若, 同理可得，矛盾， 综上，接 11 条线最安全. 故选：C 27．（2024高三上·全国·竞赛）随机事件A，B，C满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据概率性质结合条件概率以及互斥事件的定义分析判断. 【详解】由题意可知：，， 因为, 所以，当且仅当时等号成立，此时显然不合题意， 所以， 又， 所以， 又， 即的取值范围包含，结合选项可知D正确. 故选：D. 28．（2024高三下·全国·竞赛）第六届章鱼杯开启了全新赛制，我们邀请到最强外援命题，共76道题，采用团体赛的形式，每队四人，限时4小时．若ldl，lnx，skc，wzy四人组成一队，现在面临73，74，75，76四道题，每人负责作答这四道题中的一道，每道题都要有人做，已知ldl和lnx不会做74题，lnx和skc不会做75题，skc和wzy不会做76题（未被提及的默认都会做），那么在这四道题中不同的安排方案数是（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】根据题意分别求出每道题只能由哪些人员完成，分74题由skc完成和74题由wzy完成两种情况讨论即可求解. 【详解】因为ldl和ln x不会做74题，因此74题只能由skc或wzy完成， 因为ln x和skc不会做75题，因此75题只能由ldl或wzy完成， 因为skc和wzy不会做76题，因此76题只能由ldl或ln x完成， 73题无限制，四人皆可完成， 情况1：74题由skc完成， 剩余题目：73、75、76，需分配给ldl、lnx、wzy， 75题可选人员ldl或wzy， 子情况1a：75题由ldl完成， 76题必须由lnx完成（因ldl已分配）， 73题由wzy完成，分配方案：74: skc，75: ldl，76: lnx，73: wzy， 子情况1b：75题由wzy完成， 76题可选人员：ldl 或lnx， 子情况1b1：76题由ldl完成，73题由lnx完成， 分配方案：74: skc，75: wzy，76: ldl，73: ln x， 子情况1b2：76题由lnx完成，73题由ldl完成， 分配方案：74: skc，75: wzy，76: ln x，73: ldl， 情况1总计：3种方案， 情况2：74题由wzy完成， 剩余题目：73、75、76，需分配给ldl、lnx、skc， 75题必须由ldl完成（因wzy已分配）， 76题必须由ln x完成（因ldl已分配）， 73题 由skc完成，分配方案：74: wzy，75: ldl，76: lnx，73: skc， 情况2总计：1种方案， 总方案数：情况1 + 情况2：3 + 1 = 4种. 故选：A. 六、多选题 29．（2023高三下·全国·竞赛）某学习小组（共18位同学）在一次数学周测中的成绩（单位：分）如下：    87  101  109  112  115  116  118  119 119  121  122  126  127  129  130  135  142 若是这组数据的上四分位数，则可能为（    ） A．126 B．127 C．128 D．129 【答案】BCD 【分析】根据上四分位数的定义计算即可求解. 【详解】将所给的数据除外按从小到大的顺序排列为：87  101  109  112  115  116  118  119 119  121  122  126  127  129  130  135  142 由上四分位数的定义可得：该组数据的上四分位数位于第个， 即该组数据的上四分位数位于第13个和第14个数之间， 而该组数据从小到大的顺序排列后第13个和第14个数分别为127 ，129， 所以，结合选项可能为127，128，129， 故选：BCD. 30．（2024高三上·全国·竞赛）对于一个随机试验，设是样本空间，是随机事件，是样本点，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据样本空间、样本点、随机事件的定义即可得到答案. 【详解】对于一个随机试验，其所有可能的结果的集合称为样本空间，样本空间的元素称为样本点或基本事件，随机事件是样本空间的一个子集. 所以有和. 故选：BC 31．（2024高三上·全国·竞赛）已知随机变量服从正态分布，．记的密度函数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】依题意，作出正态分布曲线，结合题设条件判断，分别就选项要求，结合正态曲线对称性进行判断，对于C,D项，还需结合概率的几何意义与对应函数值进行比较即得. 【详解】    如图，作出随机变量服从的正态分布曲线.因，故由图知. 对于A项，由图可知，必有，故A项错误； 对于B项，因，由图知，，故B项正确； 对于C项，因，不妨取， 则可理解为由直线和曲线及轴围成的近似直角梯形的面积，高为， 则即为梯形的中位线长，此时显然大于，即有成立，故C项错误； 对于D项，因，则可理解为由直线和曲线及轴围成的近似直角梯形的面积，高为， 则即为梯形的中位线长，此时显然小于，即有成立，故D项正确. 故选：BD. 32．（2024高三上·全国·竞赛）记集合正n边形可用尺规作出}，熟知3，4，5，7，9，11，则以下角中能被尺规作出的是（    ） A．21° B．25° C．48° D．62° 【答案】AC 【分析】根据正多边形对应的圆心角以及圆周角结合集合的特点即可得结果. 【详解】由5知72°角（正五边形对应的圆心角）可用尺规作出， 由3知60°（正三角形对应的圆周角）可用尺规作出， 于是可用尺规作出，可用尺规作出， 可用尺规作出，从而所有3°的整数倍都可用尺规作出. 由知20°（正九边形对应的圆周角）不可用尺规作出， 于是不可用尺规作出，也不可用尺规作出， 从而有且仅有3°的整数倍能用尺规作出， 故 21°和 48°可以，25°和 62°不行. 故选：AC. 33．（2024高三上·全国·竞赛）有n个进程，，···，要访问一个数据库，不同进程之间、同一进程在不同时刻是否尝试访问数据库是相互独立的，且每一秒每个进程尝试访问数据库的概率均为.若某一秒恰有一个进程访问数据库，则访问成功，否则访问失败.以下是一个的样例： 序号/时刻 第1秒 第2秒 第3秒 第4秒 第5秒 第6秒 第7秒 ✔ ✔ ✔ ✔ ✔ ✔ ✔ ✔ ✔ 访问结果 失败 失败 失败 记为在前t秒成功访问数据库的次数，为自然对数的底，[x]表示不小于实数x的最小整数，下列说法正确的是（    ） A．若n=4，则 B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据题意求得每一秒某个固定的进程访问成功的概率，从而可对A判断；根据期望的线性性，可知等价于，从而可对B判断；由B结论及事件的独立性可对C判断；记事件为至少存在一个进程，它在前秒中全部失败得，再取，从而可对D判断. 【详解】由题意得每一秒某个固定的进程访问成功的概率为， 对A 项： 这表明第一秒每个固定的进程访问失败的概率都是， 即    从而  故A 错误； 对B项：由期望的线性性，等价于，   即，  此式显然成立，故 B 正确； 对C 项：记事件为进程在前秒都失败了，根据独立性和 B 的结果， 得 ，从而，故 C 正确； D项：记事件 为至少存在一个进程，它在前秒中全部失败，则 取，得， 所以在前秒每个进程都成功至少一次的概率不小于，故 D 正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题主要是先求得每一秒某个固定的进程访问成功的概率，再根据期望的线性性质分别对各项求解判断即可. 七、填空题 34．（2023高三上·全国·竞赛）一组数据为3，5，1，6，8，2，记这组数据的上四分位数为，则二项式展开式的常数项为 ． 【答案】 【分析】根据百分位数的计算方法，求得，求得二项展开式的通项为，即可求解. 【详解】将这组数据从小到大排成一列为：， 由，所以这组数据的四分位数为，所以二项式为， 则二项展开式的通项为， 令，解得，所以展开式的常数项为. 故答案为：. 35．（2024高三上·全国·竞赛）小鱼和A，B，C，D，E共六个好友在圆桌上用餐，则A坐在小鱼对面且B和C不相对的坐法的种数是 .如果圆桌可以旋转后重合，则记为同一种排列方式. 【答案】16 【分析】先固定小鱼和的位置，再安排B的位置，继而安排C，最后安排剩余两人的位置，由分步乘法计数原理，即可得答案. 【详解】A坐在小鱼对面，先固定两人位置，在小鱼和的相对位置确定后， 有四种选择，的每种选择确定下有两种选择， 确定的情况下剩余两人有两种排列方式，故总坐法有种. 故答案为：16 36．（2024高三下·上海·竞赛）现有甲､乙两人进行羽毛球比赛，已知每局比赛甲胜的概率为，乙胜的概率为，规定谁先胜3局谁赢得胜利，则甲赢得胜利的概率为 .（用最简分数表示答案） 【答案】 【分析】按照比赛局数进行分类讨论即可求解. 【详解】显然比赛3局甲赢得胜利的概率; 比赛4局甲赢得胜利的概率; 比赛5局甲赢得胜利的概率, 所以甲赢得胜利的概率为. 故答案为：. 37．（2024高三下·上海·竞赛）计算 . 【答案】 【分析】构造采用二项式定理合并即可求解. 【详解】由于 , 于是，. 综上可得. 故答案为：. 38．（2023高三下·全国·竞赛）袋中装有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6从中一次性随机取出两个球，设两球标号为和，并记，．将球放回袋中，重复上述操作，得到和．设平面向量，，则与能构成基底的概率为 ． 【答案】 【分析】首先列举向量和的所有情况，并结合排列数公式，得到不能构成基底的情况，最后利用对立事件求概率. 【详解】由条件可知，向量和为，，共15种情况， 当，共15种情况； 当时，满足，有，共种情况；，共种情况；以及，共种情况； 综上可知，时，与不能构成基底，共有种情况， 所以与能构成基底的概率. 故答案为： 39．（2023高三上·全国·竞赛）预制菜指以农、畜、禽、水产品为原辅料，配以调味料等经预选、调制等工艺加工而成的半成品．近几年预制菜市场快速增长．某城市调查近4个月的预制菜市场规模y（万元）得到如表所示的数据，根据数据得到y关于x的非线性回归方程 1 2 3 4 按照这样的速度，预估第8个月的预制菜市场规模是 万元．（结果用e表示） 【答案】 【分析】令，由样本中心在回归方程上求得，再将代入求值即可. 【详解】由题设，令，则，， 所以，则， 所以代入回归方程，则，可得万元. 故答案为： 40．（2023高三上·全国·竞赛）某班一天上午有语文、数学、政治、英语、历史5节课，现要安排该班上午的课程表，要求历史课不排在第一节，语文课和数学课相邻，不同的排法总数是 ． 【答案】 【分析】应用排列、组合数，结合捆绑、插空法及分步原理求不同的排法总数. 【详解】将语文课和数学课作排列有种， 再把语文课和数学课作为整体，与除历史课外的其它2节课作全排列有种， 由上得到4个空，最后把历史课插入后3个空有种， 综上，共有种. 故答案为： 41．（2024高三上·北京·竞赛）设，，则= 【答案】14 【分析】记，根据二项展开式得到，，，求得，，，的表达式，再结合极限运算即可. 【详解】由二项式定理可得， 因此对应，均为偶数的情形；对应为奇数偶数的情形；对应为偶数奇数的情形；对应，均为奇数的情形． 记，，，， 则 解得，，，， 因此. 故答案为：14. 42．（2024高三上·全国·竞赛）设，且，则满足要求的数列的个数是 . 【答案】7936 【分析】由组合数公式结合递归的方式发现规律，逐步代入即可求解. 【详解】设共有 n个数时符合要求的数列个数是 ，本题要求 ，注意到 ， ， ， ， ， 由此可从下往上计算得 故答案为：7936. 43．（2024高三上·全国·竞赛）在的展开式中，若的系数为，则 ；若展开式中有且仅有项的系数最大，则的取值范围是 ． 【答案】 －1 【分析】第一空，根据二项式展开式中的系数，列式求解，可得a的值；第二空，讨论a的取值范围，结合题意，列出不等式组，求解即可得答案. 【详解】由题意知在的展开式中，的系数为， 即， 若展开式中有且仅有项的系数最大，不合题意， 当时，所以项的系数均为正数，则需满足， 即得； 当时，奇数项的系数均为正数，偶数项的系数均为负数， 则此时需满足，解得， 综合可得的取值范围是， 故答案为：-1； 【点睛】关键点点睛：本题第二空解决的关键是，注意时，二项展开式中系数的正负情况，从而列式得解. 44．（2024高三上·全国·竞赛）如果是离散型随机变量，则在事件下的期望满足其中是所有可能取值的集合.已知某独立重复试验的成功概率为，进行次试验，求第次试验恰好是第二次成功的条件下，第一次成功的试验次数的数学期望是 . 【答案】/ 【分析】先求得再利用条件概率得到，求解. 【详解】设随机变量分别代表第一､第二次成功对应的试验次数， 则，以及， 所以， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是理解题意，利用独立重复试验的概率公式分别求得与，从而得解. 45．（2025高三下·重庆·竞赛）从面积为的正六边形的个顶点中随机选个不同的点，它们构成的三角形的面积大于的概率为 . 【答案】/ 【分析】先确定三角形的形状与面积，然后计算组合总数，再根据对立事件和古典概型概率计算公式求得正确答案. 【详解】因为梯形的面积为六边形的面积的一半，所以梯形的面积为， 又的面积为的面积的一半， 所以的面积为，的面积为，的面积为， 记正六边形的个顶点顺时针依次为， 易知从中选个不同的点构成的三角形只有三种不同的形状， 分别为（其中下标按模理解）， 其面积依次为，而形如的三角形共有个， 故构成的三角形的面积大于的概率为. 故答案为： 46．（2025高三下·重庆·竞赛）小明在注册账号时想到一个问题. 他将这个问题简化如下：可以使用字符来组成五位密码，要求必须包含数字、小写字母和大写字母，且不可以出现两个相同的字符相邻. 例如密码可以设置为或，但不能设置为或，则可以设置不同的密码的个数为 . 【答案】 【分析】先求出相邻字符不同的密码种数，然后减去仅包含单一字符类型的密码种数，再减去仅包含两种字符类型的密码种数，即是最后所求结果. 【详解】我们先只考虑相邻字符不同的密码，共有种. 这里面不满足要求的有两类： 第一类是仅包含单一字符类型（如全数字），这类共有种； 第二类是仅包含两种字符类型（如数字和小写字母），共有个不同的字符可选， 只满足相邻不同的密码有种，其中单一字符类型的有种， 故第二类共有种. 所以不同密码的总个数为. 故答案为：25758. 八、解答题 47．（2024高三上·北京·竞赛）首项是整数的等差数列，公差，前n项和，求所有n值的和 【答案】4320 【分析】由等差数列的通项公式和前项和公式，得到，再根据，结合计数原理，即可求解. 【详解】设首项为，由题意，则， ，(的取值没有限制)， 根据题意可知可以取遍， 则所求之和为. 48．（2024高三上·北京·竞赛）用6种不同颜色染正方体的6个面，不同面颜色不同，正方体旋转后颜色相同认为是同种染色，则染色的种数有多少? 【答案】30 【分析】设6种颜色分别是A，B，C，D，E，F，先考虑A色的对面颜色，不妨设A和B是对面色，则可得C的对面色的情况，进而可得出答案. 【详解】设6种颜色分别是A，B，C，D，E，F， 那么只需要先考虑A色的对面颜色，这有5种情况；不妨设A和B是对面色， 则C的对面色有3种情况；不妨设是D色， 则E和F两色的位置还有2种情况， 因此总的染色种数是种. 49．（2024高三上·北京·竞赛）从1，2，⋯，2024中任取两数(可以相同)，则个位为的概率 【答案】 【分析】先研究和的个位数字的规律，确定它们的周期均为，再借助古典概型知识，即可求解. 【详解】从1，2，⋯，2024中任取两数a，b(可以相同)，共有种取法， 因为的个位数字随着从1开始，依次是，周期变化， 的个位数字随着从1开始，则依次是，周期变化，故它们的周期均为， 所以，中，共有种数型，且每种数型的个数是均等的，都是个， 和的尾数中只有三种情形中个位数字是， 即时，的个位数字是，， 所以满足的个位数字是的取法有种取法， 所以所求概率为. 即个位为的概率为. 50．（2024高三下·全国·竞赛）是从中随机抽取3个不同的数排列出的最大的三位数，是从中随机抽取3个不同的数排列出的最大的三位数.求的概率. 【答案】 【分析】利用互斥事件的概率加法公式及条件概率公式，结合全概率公式即可求解. 【详解】可分为两类：中有时和中无时， 由题意可得：中有，中无. 若中含9，则； 若中无9的情况下：， 此时； 所以. 51．（2024高三上·北京·竞赛）设，求的值 【答案】 【分析】取三次单位根，设，，在原式中，令，代入计算取式子的实部即可得出答案. 【详解】取三次单位根，设，，易证， ，……， ， 在原式中，令，则有， 对上式取实部可得：， 所以. 因此所求多项式的值为. 52．（2024高三下·全国·竞赛）两随机变量的协方差定义为：． (1)证明：． (2)若，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用期望和方差的运算性质结合给定的协方差公式求解即可. （2）设，记，则,利用求解即可. 【详解】（1）由方差公式得， 化简得， ， ， ， 由方差公式得，， 由题意得， 故， ， 即得证. （2）由二项分布知：， 此时有， 设, 则 由知： 对每个，置，此时保持不变， 故不妨设，记, 则， 由知， ， 取等条件：, 故的最小值为. 53．（2023高三上·全国·竞赛）给定一个正99边形，将1，2，，99放入99边形的99个顶点处，若两种放置方法在旋转之后可以重合，则称这两种方法是同一个.称交换某两个相邻顶点上的数为一次操作，求最小的使得至多次操作可以将一种放置方法变为任意另外一种放置方法. 【答案】 【分析】先利用图论模型证明，再结合数学归纳法证明至多次操作一定可以完成转化. 【详解】的最小可能值为. 先证明，考虑从1，2，，99变换为99，98，，1的操作次数， 对于任意的三个数a,b,c，若两两之间均为操作过，则三者之间的顺序不发生改变，不可能变为后者， 故任意三个数中，必存在两个数进行过操作，可转换为图论模型：将99个数转化为99个点， 若两个数未进行过操作，则在两点间连一条边，由上述可知图中不存在三角形， 故由托兰定理知图中至多含条边，因此至少操作次，所以. 再证明，即证明至多次操作一定可以完成转化.将正99边形的99个顶点放置在圆周上， 设相邻两顶点间的弧长为1，对于和两种不同的放置方法， 定义表示在两个放置方法中所处位置间的劣弧长，称使的为不动数， 使的为动数，称不动数所处的顶点为不动点，并记所有动数的数目为， 运用数学归纳法证明对状态，可用不超过次操作及旋转使重合， 对进行归纳.当时，显然成立， 假设对小于时，命题成立，对于， 从在所在位置沿劣弧到在中所在位置连一条有向边，称之为有向边， （1）若存在两个动数，在中所在位置为（不妨从顺时针方向来看，到为一段劣弧） 使得劣弧上（不含）的点均为不动点，且为顺时针方向，为逆时针方向， 设之间顶点分别为，则依次交换上的数，共计次后得到， 则可知与之间仅交换了两个位置上的数，故， 而， 对，用归纳假设，至多次操作可将变为， 进而至多次操作可将变为， 不存在满足（1）的，我们先证明此时所有有向边均同向（不妨设均为顺时针）， 不妨为顺时针，其从点指向，若存在起点在上（包含点）为逆时针， 则取其中起点最靠近的，记其起点为， 则起点在逆时针方向且最靠近的有向边为顺时针，此时满足（1），矛盾， 故起点在上的有向边均为顺时针（），特殊地，起点为的有向边为顺时针， 依次类推，得到为首尾衔接的顺时针有向边，直至使得这些有向边覆盖了圆周， 进而由（）知所有有向边均为顺时针， ①若不存在不动点，将顺时针旋转，得到，且， 且，由归纳假设易知结论成立， ②若存在不动点我们称连续的不动点为一段不动点，设共有段不动点， 分别有个不动点，则， 对每一段不动点的前一个点不为不动点， 依次交换（这操作了步），共操作了次，再顺时针旋转，得到，此时相较，个不动点位置不变， 位于的点顺时针移动了（共t个这样的点），其余个点顺时针移动了1， 则， 而，对用归纳假设，至多次操作可将变为， 故至多次操作可将变为成立， 回到原题，记为逆时针旋转， 则， 知存在，使得， 故可用至多2401次操作将变为，进而旋转得到，命题得证， 综上所述，的最小可能值为. 54．（2024高三上·全国·竞赛）春节将至，又是一年万家灯火的团圆之时．方方正正的小城里，住着户人家，恰好构成了坐标平面上集合的所有点．夜里，小城的人家挂上大红灯笼，交相辉映，将小城的夜晚编织成发光的大网．在坐标平面上看，A中的每个点均独立地以概率p被点亮，或以的概率保持暗灭．若A中两个点的距离为1，则这两个点被称为是相邻的．若A中的n个被点亮的点构成一依次相邻的点列，则称这n个点组成的集合是长度为n的“相邻灯笼串”．规定空集是长度为0的“相邻灯笼串”． (1)给定A中3个依次相邻的点，记随机变量X为集合包含的“相邻灯笼串”的长度的最大值，试直接写出随机变量X的分布列（用p表示）； (2)若，证明：存在长度为1000的“相邻灯笼串”的概率小于0.01； (3)若，证明：存在长度为1000的“相邻灯笼串”的概率大于0.99． 【答案】(1)分布列见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由题干可知，随机变量X的可能取值为：0、1、2、3，并计算出对应的概率，列出分布列即可； （2）先计算出长度为1000的“相邻灯笼串”的所有点的选法可能情况，再乘以对应的概率即可判断对应的概率范围； （3）从对立面出发，找到长度为1000的“暗灭灯笼串”的所有点的选法，乘以对应的概率，再用1减去即可验证. 【详解】（1）A中3个依次相邻的点，则随机变量X为集合包含的“相邻灯笼串”的长度的最大值， 随机变量X的可能取值为：0、1、2、3.则X的分布列为： X 0 1 2 3 P （2）长度为1000的“相邻灯笼串”的所有点的选法小于种． 因此，P(存在长度为1000的“相邻灯笼串”)． （3）现定义，若A中两个点的距离不大于，则这两个点被称为是相接的； 若A中的m个暗灭的点构成一依次相接的点列，则称这m个点组成的集合是长度为m的“暗灭灯笼串”． 若不存在长度为1000的“相邻灯笼串”，则不存在“相邻灯笼串”同时包含横坐标为1和1000的被点亮的点， 那么一定存在“暗灭灯笼串”同时包含纵坐标为1和1000的点，于是一定存在长度为1000的“暗灭灯笼串”． 长度为1000的“暗灭灯笼串”的所有点的选法小于种，故P(存在长度为1000的“暗灭灯笼串”)． 因此，存在长度为1000的“相邻灯笼串”的概率大于0.99． 55．（2024高三上·全国·竞赛）校乒乓球锦标赛共有位运动员参加.第一轮，运动员们随机配对，共有场比赛，胜者进入第二轮，负者淘汰.第二轮在同样的过程中产生名胜者.如此下去，直到第n轮决出总冠军.实际上，在运动员之间有一个不为比赛组织者所知的水平排序，在这个排序中最好，次之，…，最差.假设任意两场比赛的结果相互独立，不存在平局，且，当与比赛时，获胜的概率为p，其中 (1)求最后一轮比赛在水平最高的两名运动员与之间进行的概率. (2)证明：，为总冠军的概率大于为总冠军的概率. 【答案】(1) (2)证明见解析. 【分析】（1）考虑一般情形：设倒数第轮开始前剩下的选手恰好为，只需这名选手在前面的比赛中两两不能相遇，而且必须在其全部场比赛中获胜即可. （2）为总冠军的概率是为总冠军的所有种可能的比赛结果的概率之和，所有这些结果中将与交换即可进一步求解. 【详解】（1）我们考虑更一般的情形: 求倒数第轮开始前剩下的选手恰好为的概率. 要实现这一点，这名选手是种子选手，即在前面的比赛中两两不能相遇，而且必须在其全部场比赛中获胜.    锦标赛树形的片树叶的填写方式有种，为使其称为种子， 我们有种方式放置最上面的2个选手，且有种方式放置其他选手， 因此其概率为， 特别地，本题为的情形，故所求概率为 （2）为总冠军的概率是为总冠军的所有种可能的比赛结果的概率之和. 所有这些结果中将与交换. 对于某一特定的比赛结果，若与从未在比赛中相遇，则无影响， 否则改变后的这一特定比赛结果的概率等于用乘以改变前这一结果发生的概率.                                                       注意到 因此求和后总概率变小，这表明为总冠军的概率大于为总冠军的概率. 56．（2023高三下·全国·竞赛）为弘扬中华优秀传统文化，迎接即将到来的癸卯兔年，某校组织各年级同学参加了“金虎辞旧岁，玉兔迎新春”主题系列趣味比赛活动．活动包含两个环节，分别是“知识竞答”和“陀螺角逐赛”．每个环节中，同学们都以个人身份参赛． I—知识竞答环节：已知答题系统会从甲和乙两个题库中为选手抽取题目．答题时，系统每次随机选择甲与乙之一，并从中抽取一道题目发放给选手．选手提交答案后，系统自动抽取、发放下一题．只要甲与乙之中有一个题库发放满4题，此时即停止继续抽题，待选手提交完最后一题，答题结束，系统自动统计该选手的正确率与平均作答时长． II—陀螺角逐赛环节：每位选手在赛中进行一系列角逐，最后根据表现，依据比赛规则获得一个对应的分数．已知高一、高二和高三年级的参赛人数分别为460，200，140． (1)小明参与知识竞答环节时，已知他已经作答4题，且答题还将继续．记为小明答题结束时总共作答的题目数，求的分布列； (2)为了解各年级的同学在陀螺角逐赛中的比赛情况，现将总体成绩（单位：分）分为第1层（高一）、第2层（高二）和第3层（高三）并进行分层抽样．设总样本量为，总样本均值为，总样本方差为，各层样本量分别为，各层样本均值分别为，各层样本方差分别为．已知，，，，，，，． （i）求和的值； （ii）试推导高三年级成绩样本方差的表达式，并求出其值． 【答案】(1)详见解析 (2)（ⅰ），，，； （ⅱ）； 【分析】（1）首先确定，再根据随机变量的意义，利用数公式求概率，即可得到分布列； （2）（ⅰ）首先利用分层抽样求，根据平均数公式求，根据每层的方差公式，变形可求，即可求. 【详解】（1）由条件可知，， 当时，表示第5次时停止答题，则, 当时，表示第6次时停止答题，， 当时，表示第7次时停止答题，， 则的分布列 5 6 7 （2）（ⅰ）因为高一、高二和高三年级的参赛人数分别为460，200，140，高三年级抽取7人，则高一抽取人，高二年级抽取人， 所以高一、高二、高三年级分别抽取23，10，7人， 即，，， 则样本平均数 （ⅱ）设样本分为三层，第一层为，第二层为，第三层为，记样本为， 因为 ， 所以，同理，， 所以 ， 即     所以 其中，，，且，，，，，， 代入公式 解得：. 57．（2024高三上·全国·竞赛）为考查一种新的治疗方案是否优于标准治疗方案，现从一批患者中随机抽取100名患者，均分为两组，分别采用新治疗方案与标准治疗方案治疗，记其中采用新治疗方案与标准治疗方案治疗受益的患者数分别为和．在治疗过程中，用指标衡量患者是否受益：若，则认为指标正常；若，则认为指标偏高；若，则认为指标偏低．若治疗后患者的指标正常，则认为患者受益于治疗方案，否则认为患者未受益于治疗方案．根据历史数据，受益于标准治疗方案的患者比例为0.6． (1)求和； (2)统计量是关于样本的函数，选取合适的统计量可以有效地反映样本信息．设采用新治疗方案治疗第位的患者治疗后指标的值为，，2，，50，定义函数： （ⅰ）简述以下统计量所反映的样本信息，并说明理由． ①； ②； （ⅱ）为确定新的治疗方案是否优于标准治疗方案，请在（ⅰ）中的统计量中选择一个合适的统计量，并根据统计量的取值作出统计决策． 【答案】(1)， (2)（ⅰ）答案见解析；（ⅱ）答案见解析 【分析】（1）根据二项分布的公式可求得； （2）（ⅰ）（ⅱ）根据题意分析可知两个量的意义，进而利用数学期望的意义找出更合适的统计量，并作出决策. 【详解】（1）由题设知服从二项分布， 所以，． （2）（ⅰ）统计量反映了未受益于新治疗方案的患者数，理由如下： 若患者受益于新治疗方案，则其指标的值满足， 否则，会被统计量计入，且每位未受益于新治疗方案的患者恰使得统计量的数值加1． 统计量反映了未受益于新治疗方案且指标偏高的患者数量，理由如下： 若患者接受新治疗方案后指标偏低或正常，则其指标的值满足 若指标偏高，则，，会被统计量计入， 且每位未受益于新治疗方案且指标偏高的患者恰使得统计量的数值加1． （ⅱ）由题设知新治疗方案优于标准治疗方案等价于一次试验中的观测值大于的数学期望， 由（ⅰ）知的观测值， 因此当，即时，认为新治疗方案优于标准治疗方案； 当，即时，认为新治疗方案与标准治疗方案相当； 当，即时，认为新治疗方案劣于标准治疗方案． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 计数原理与概率统计（真题专项训练） 强基计划真题专项训练 一、单选题 1．（23-24高三下·福建厦门·强基计划）用九种颜色给一个正四面体涂色，使相邻两个面颜色不同（若两种涂色方法可以通过旋转使得每个面的颜色一对应，则算作一种涂色方法）共有（    ）种涂色情况. A．121 B．454 C．621 D．以上答案均不对 2．（23-24高三下·全国·强基计划）圆周上，，…，七个点两两相连，任选两条线段，则这两条线段无公共点的概率是（    ）． A． B． C． D． 3．（23-24高三下·全国·强基计划）从棱长为1个单位长度的正方体的底面一顶点出发，每次均随机沿一条棱行走一个单位长度，下列选项中正确的有（    ）． A．进行4次这样的操作回到A的概率为 B．进行2次这样的操作回到A的概率为 C．进行4次这样的操作回到A的概率为 D．进行2次这样的操作回到A的概率为 二、多选题 4．（23-24高三下·全国·强基计划）某城市内有若干街道，所有街道都是正东西或南北向，某人站在某段正中央开始走，每个点至多经过一次，最终回到出发点．已知向左转了100次，则可能向右转了（    ）次． A．96 B．98 C．104 D．102 5．（22-23高三·北京·强基计划）已知是完全平方数，则（    ） A．的取值有无数个 B．的最小值小于15 C．为奇数 D． 三、填空题 6．（23-24高三下·福建厦门·强基计划）在30以内的所有素数中，随机选取若干个，使得它们的和为30的概率是 . 7．（24-25高三下·全国·强基计划）将长度为的线段分成3段，则分成的段恰好能拼成三角形的概率为 ． 8．（23-24高三下·江苏南京·强基计划）已知，的最大项是 . 9．（23-24高三下·江苏南京·强基计划）已知，，x为的个位数，求 . 10．（23-24高三下·全国·强基计划）点集，则由S中的点可组成 个不同的三角形． 11．（23-24高三下·全国·强基计划），，…是一个1，2，3，…，10的排列，要求和一定有一个大于（），则满足的排列的总数为 ． 12．（24-25高三下·全国·强基计划）个球装进个盒，则装有球的盒子的个数的期望是 ． 13．（23-24高三下·全国·强基计划）的小数点后第100位数字是 ． 14．（23-24高三下·江苏南京·强基计划）存在集合的一族子集两两交集非空，那么这族子集最多有 个. 15．（24-25高三下·全国·强基计划）将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数字进行重新排列，得到新排列，若对于，，则新排列的个数为 ． 四、解答题 16．（22-23高三·北京·强基计划）有六面旗，两面蓝，两面红，两面黄，除颜色外完全相同，从这些旗子中去除若干面（至少一面），从上到下悬挂在同一个旗杆上，可以组成一个信号序列，则不同的信号序列共有多少种？ 17．（22-23高三·北京·强基计划）11个黑球，9个红球，依次取出，剩下全是一种颜色就结束，求最后只剩下红球的概率？ 18．（23-24高三下·北京·强基计划）求四元组 的个数，使得 ，且 . 19．（23-24高三下·北京·强基计划）已知数列 ，求第 2024 项模 5 的余数. 20．（23-24高三下·全国·强基计划）圆上7点所成线段中任取两条，这两条线段无公共点的概率为？ 21．（23-24高三下·全国·强基计划）点集且，则由中的点可以组成多少个不同的三角形？ 22．（24-25高三下·山东·强基计划）将10个不同的球放入编号1，2，3的3个盒子，要求每个盒子内的球数不少于盒的编号，求放法总数. 数学竞赛真题专项训练 五、单选题 23．（2024高三下·全国·竞赛）数据7，8，9，2，5，9，0，3，6，0的第60百分位数是（   ） A． B．5 C． D．7 24．（2023高三下·全国·竞赛）已知两个连续型随机变量X，Y满足条件，且服从标准正态分布．设函数，则的图像大致为（    ） A． B． C． D． 25．（2024高三上·全国·竞赛）一次铁人三项比赛中，每名参赛选手须在指定的游泳池里游个来回，然后骑车10公里，最后跑3公里.已知共有n名选手参赛，由于场地条件限制，游泳池内只能同时容纳一名选手(即上一名选手上岸时下一名选手方可下水)，骑车与跑步则无限制.记序号为的选手游泳、骑车、跑步所用时长的期望分别为,，,为了使得总完赛时间(即从1号选手下水到号选手跑完的总时长)尽可能短，应采取的策略是（    ） A．让越大的选手越早出发 B．让越小的选手越早出发 C．让越大的选手越早出发 D．让越小的选手越早出发 26．（2024高三上·全国·竞赛）Enigma机是二战时用来加密和解密的设备，其中插线板是整套密码系统的一环，原理如下：有26根接线柱对应26个英文字母，另有k条导线，每条导线的两端接在某两根不同的接线柱上，每根接线柱上至多连一条导线，以此交换输入的文字中有导线相连的接线柱处的字母.例如，时，设O与P相连，G与S相连，输入文字BIGOCTOPUS，则交换O与P，交换G与S，故输出BISPCTPOUG.设不同的接线方法数为ak，若ak越大则这套密码系统越安全.要使安全性最高，k应该取（    ） A．7 B．9 C．11 D．13 27．（2024高三上·全国·竞赛）随机事件A，B，C满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 28．（2024高三下·全国·竞赛）第六届章鱼杯开启了全新赛制，我们邀请到最强外援命题，共76道题，采用团体赛的形式，每队四人，限时4小时．若ldl，lnx，skc，wzy四人组成一队，现在面临73，74，75，76四道题，每人负责作答这四道题中的一道，每道题都要有人做，已知ldl和lnx不会做74题，lnx和skc不会做75题，skc和wzy不会做76题（未被提及的默认都会做），那么在这四道题中不同的安排方案数是（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 六、多选题 29．（2023高三下·全国·竞赛）某学习小组（共18位同学）在一次数学周测中的成绩（单位：分）如下：    87  101  109  112  115  116  118  119 119  121  122  126  127  129  130  135  142 若是这组数据的上四分位数，则可能为（    ） A．126 B．127 C．128 D．129 30．（2024高三上·全国·竞赛）对于一个随机试验，设是样本空间，是随机事件，是样本点，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 31．（2024高三上·全国·竞赛）已知随机变量服从正态分布，．记的密度函数为，则（    ） A． B． C． D． 32．（2024高三上·全国·竞赛）记集合正n边形可用尺规作出}，熟知3，4，5，7，9，11，则以下角中能被尺规作出的是（    ） A．21° B．25° C．48° D．62° 33．（2024高三上·全国·竞赛）有n个进程，，···，要访问一个数据库，不同进程之间、同一进程在不同时刻是否尝试访问数据库是相互独立的，且每一秒每个进程尝试访问数据库的概率均为.若某一秒恰有一个进程访问数据库，则访问成功，否则访问失败.以下是一个的样例： 记为在前t秒成功访问数据库的次数，为自然对数的底，[x]表示不小于实数x的最小整数，下列说法正确的是（    ） A．若n=4，则 B． C． D． 七、填空题 34．（2023高三上·全国·竞赛）一组数据为3，5，1，6，8，2，记这组数据的上四分位数为，则二项式展开式的常数项为 ． 35．（2024高三上·全国·竞赛）小鱼和A，B，C，D，E共六个好友在圆桌上用餐，则A坐在小鱼对面且B和C不相对的坐法的种数是 .如果圆桌可以旋转后重合，则记为同一种排列方式. 36．（2024高三下·上海·竞赛）现有甲､乙两人进行羽毛球比赛，已知每局比赛甲胜的概率为，乙胜的概率为，规定谁先胜3局谁赢得胜利，则甲赢得胜利的概率为 .（用最简分数表示答案） 37．（2024高三下·上海·竞赛）计算 . 38．（2023高三下·全国·竞赛）袋中装有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6从中一次性随机取出两个球，设两球标号为和，并记，．将球放回袋中，重复上述操作，得到和．设平面向量，，则与能构成基底的概率为 ． 39．（2023高三上·全国·竞赛）预制菜指以农、畜、禽、水产品为原辅料，配以调味料等经预选、调制等工艺加工而成的半成品．近几年预制菜市场快速增长．某城市调查近4个月的预制菜市场规模y（万元）得到如表所示的数据，根据数据得到y关于x的非线性回归方程 1 2 3 4 按照这样的速度，预估第8个月的预制菜市场规模是 万元．（结果用e表示） 40．（2023高三上·全国·竞赛）某班一天上午有语文、数学、政治、英语、历史5节课，现要安排该班上午的课程表，要求历史课不排在第一节，语文课和数学课相邻，不同的排法总数是 ． 41．（2024高三上·北京·竞赛）设，，则= 42．（2024高三上·全国·竞赛）设，且，则满足要求的数列的个数是 . 43．（2024高三上·全国·竞赛）在的展开式中，若的系数为，则 ；若展开式中有且仅有项的系数最大，则的取值范围是 ． 44．（2024高三上·全国·竞赛）如果是离散型随机变量，则在事件下的期望满足其中是所有可能取值的集合.已知某独立重复试验的成功概率为，进行次试验，求第次试验恰好是第二次成功的条件下，第一次成功的试验次数的数学期望是 . 45．（2025高三下·重庆·竞赛）从面积为的正六边形的个顶点中随机选个不同的点，它们构成的三角形的面积大于的概率为 . 46．（2025高三下·重庆·竞赛）小明在注册账号时想到一个问题. 他将这个问题简化如下：可以使用字符来组成五位密码，要求必须包含数字、小写字母和大写字母，且不可以出现两个相同的字符相邻. 例如密码可以设置为或，但不能设置为或，则可以设置不同的密码的个数为 . 八、解答题 47．（2024高三上·北京·竞赛）首项是整数的等差数列，公差，前n项和，求所有n值的和 48．（2024高三上·北京·竞赛）用6种不同颜色染正方体的6个面，不同面颜色不同，正方体旋转后颜色相同认为是同种染色，则染色的种数有多少? 49．（2024高三上·北京·竞赛）从1，2，⋯，2024中任取两数(可以相同)，则个位为的概率 50．（2024高三下·全国·竞赛）是从中随机抽取3个不同的数排列出的最大的三位数，是从中随机抽取3个不同的数排列出的最大的三位数.求的概率. 51．（2024高三上·北京·竞赛）设，求的值 52．（2024高三下·全国·竞赛）两随机变量的协方差定义为：． (1)证明：． (2)若，求的最小值． 53．（2023高三上·全国·竞赛）给定一个正99边形，将1，2，，99放入99边形的99个顶点处，若两种放置方法在旋转之后可以重合，则称这两种方法是同一个.称交换某两个相邻顶点上的数为一次操作，求最小的使得至多次操作可以将一种放置方法变为任意另外一种放置方法. 54．（2024高三上·全国·竞赛）春节将至，又是一年万家灯火的团圆之时．方方正正的小城里，住着户人家，恰好构成了坐标平面上集合的所有点．夜里，小城的人家挂上大红灯笼，交相辉映，将小城的夜晚编织成发光的大网．在坐标平面上看，A中的每个点均独立地以概率p被点亮，或以的概率保持暗灭．若A中两个点的距离为1，则这两个点被称为是相邻的．若A中的n个被点亮的点构成一依次相邻的点列，则称这n个点组成的集合是长度为n的“相邻灯笼串”．规定空集是长度为0的“相邻灯笼串”． (1)给定A中3个依次相邻的点，记随机变量X为集合包含的“相邻灯笼串”的长度的最大值，试直接写出随机变量X的分布列（用p表示）； (2)若，证明：存在长度为1000的“相邻灯笼串”的概率小于0.01； (3)若，证明：存在长度为1000的“相邻灯笼串”的概率大于0.99． 55．（2024高三上·全国·竞赛）校乒乓球锦标赛共有位运动员参加.第一轮，运动员们随机配对，共有场比赛，胜者进入第二轮，负者淘汰.第二轮在同样的过程中产生名胜者.如此下去，直到第n轮决出总冠军.实际上，在运动员之间有一个不为比赛组织者所知的水平排序，在这个排序中最好，次之，…，最差.假设任意两场比赛的结果相互独立，不存在平局，且，当与比赛时，获胜的概率为p，其中 (1)求最后一轮比赛在水平最高的两名运动员与之间进行的概率. (2)证明：，为总冠军的概率大于为总冠军的概率. 56．（2023高三下·全国·竞赛）为弘扬中华优秀传统文化，迎接即将到来的癸卯兔年，某校组织各年级同学参加了“金虎辞旧岁，玉兔迎新春”主题系列趣味比赛活动．活动包含两个环节，分别是“知识竞答”和“陀螺角逐赛”．每个环节中，同学们都以个人身份参赛． I—知识竞答环节：已知答题系统会从甲和乙两个题库中为选手抽取题目．答题时，系统每次随机选择甲与乙之一，并从中抽取一道题目发放给选手．选手提交答案后，系统自动抽取、发放下一题．只要甲与乙之中有一个题库发放满4题，此时即停止继续抽题，待选手提交完最后一题，答题结束，系统自动统计该选手的正确率与平均作答时长． II—陀螺角逐赛环节：每位选手在赛中进行一系列角逐，最后根据表现，依据比赛规则获得一个对应的分数．已知高一、高二和高三年级的参赛人数分别为460，200，140． (1)小明参与知识竞答环节时，已知他已经作答4题，且答题还将继续．记为小明答题结束时总共作答的题目数，求的分布列； (2)为了解各年级的同学在陀螺角逐赛中的比赛情况，现将总体成绩（单位：分）分为第1层（高一）、第2层（高二）和第3层（高三）并进行分层抽样．设总样本量为，总样本均值为，总样本方差为，各层样本量分别为，各层样本均值分别为，各层样本方差分别为．已知，，，，，，，． （i）求和的值； （ii）试推导高三年级成绩样本方差的表达式，并求出其值． 57．（2024高三上·全国·竞赛）为考查一种新的治疗方案是否优于标准治疗方案，现从一批患者中随机抽取100名患者，均分为两组，分别采用新治疗方案与标准治疗方案治疗，记其中采用新治疗方案与标准治疗方案治疗受益的患者数分别为和．在治疗过程中，用指标衡量患者是否受益：若，则认为指标正常；若，则认为指标偏高；若，则认为指标偏低．若治疗后患者的指标正常，则认为患者受益于治疗方案，否则认为患者未受益于治疗方案．根据历史数据，受益于标准治疗方案的患者比例为0.6． (1)求和； (2)统计量是关于样本的函数，选取合适的统计量可以有效地反映样本信息．设采用新治疗方案治疗第位的患者治疗后指标的值为，，2，，50，定义函数： （ⅰ）简述以下统计量所反映的样本信息，并说明理由． ①； ②； （ⅱ）为确定新的治疗方案是否优于标准治疗方案，请在（ⅰ）中的统计量中选择一个合适的统计量，并根据统计量的取值作出统计决策． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $