专题1.9 正方形的性质（举一反三讲义）数学新教材湘教版八年级下册

本讲义聚焦正方形的性质这一核心知识点，先通过定义（邻边相等且有一个直角的平行四边形）衔接平行四边形、矩形、菱形的知识，再系统梳理边（对边平行、四边相等）、角（四个直角）、对角线（相等垂直平分、平分对角）、对称性（四条对称轴、中心对称）等性质，构建从一般到特殊的知识支架。 该资料亮点在于题型分层设计，从性质理解到折叠、最值等综合应用，融入赵爽弦图等经典模型，培养几何直观和推理能力。例题与变式题结合中考真题，课中辅助教师分层教学，课后帮助学生通过举一反三查漏补缺，提升用数学语言表达和解决问题的能力。

专题1.9 正方形的性质（举一反三讲义） 【新教材湘教版】 【题型1 正方形的性质理解】 2 【题型2 利用正方形的性质求角度】 4 【题型3 利用正方形的性质求线段长】 8 【题型4 利用正方形的性质求面积】 13 【题型5 利用正方形的性质进行证明】 19 【题型6 正方形折叠问题】 23 【题型7 求正方形重叠部分面积】 32 【题型8 正方形中的最值】 36 【题型9 正方形中的路径长】 41 知识点1 正方形的定义 1. 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． 2. 数学语言描述：如图，在ABCD中，若，且，则ABCD是正方形． 知识点2 正方形的性质 图示 性质 数学语言描述 边 对边平行 AB∥CD，AD∥BC 四条边均相等 角 四个角都是直角 对角线 对角线相等且互相垂直平分 ， 每条对角线平分一组对角 对称性 轴对称图形，对称轴是两条对角线所在直线和过每一组对边中点的直线，有四条对称轴 中心对称图形，对称中心是对角线的交点 【题型1 正方形的性质理解】 【例1】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列结论中正确的个数是（    ） ①正方形的对角线相等；②平行四边形对角线相等；③菱形对角线互相垂直；④平行四边形对边相等；⑤矩形对角线相互垂直 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了正方形、平行四边形、菱形、矩形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据正方形、平行四边形、菱形、矩形的性质逐一判断各结论是否正确即可得出答案． 【详解】解：正方形的对角线相等，故①正确； 平行四边形对角线互相平分，不一定相等，故②错误； 菱形对角线互相垂直，故③正确； 平行四边形对边相等，故④正确； 矩形对角线相互平分，不一定垂直，故⑤错误； 综上，正确的结论为①③④，共3个． 故选：C． 【变式1-1】（24-25八年级上·湖南株洲·期中）正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ） A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．四个角都是直角 D．对角线互相垂直 【答案】D 【分析】本题考查正方形与矩形的性质差异．需逐一分析选项，找出正方形具备而矩形不一定具备的性质，即可解答． 【详解】解：选项A：对角线相等 矩形和正方形的对角线均相等，因此该性质两者共有，排除A． 选项B：对角线互相平分 作为平行四边形，矩形和正方形的对角线均互相平分，因此该性质两者共有，排除B． 选项C：四个角都是直角 矩形和正方形的四个角均为直角（90°），因此该性质两者共有，排除C． 选项D：对角线互相垂直 正方形的对角线不仅相等，还互相垂直；而矩形的对角线仅相等，仅在特殊情况下（如正方形）才垂直．因此，对角线互相垂直是正方形特有而矩形不一定具备的性质． 故选D． 【变式1-2】（2025·福建厦门·二模）下列多边形中，知道一条边的长度就能确定其形状和大小的是（   ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰三角形 【答案】C 【分析】该题考查了矩形、菱形、正方形、等腰三角形的性质，根据四个图形的特征即可解答． 【详解】解：∵正方形的四个角都是直角，四个边相等， 故知道一条边的长度就能确定其形状和大小的是正方形， 故选：C． 【变式1-3】（2025·河南驻马店·三模）下面是一张正方形彩纸，现要交叉裁剪两刀，使其分成面积相等的四部分，则裁剪方案有（   ） A．1种 B．2种 C．4种 D．无数种 【答案】D 【分析】本题考查了正方形性质，它是中心对称图形，经过正方形的对称中心作互相垂直的两条线段，这两条线段把正方形分成的四部分面积相等． 【详解】解：如图，连接交于点O，则点O是正方形的对称中心； 则沿裁剪，分成面积相等的四部分； 当过点O，且时，沿裁剪，也分成面积相等的四部分； 一般地，只要沿着过正方形中心O裁剪，且裁剪的两刀相互垂直，则可以分成面积相等的四部分，因此裁剪方案有无数种； 故选：D． 【题型2 利用正方形的性质求角度】 【例2】（24-25八年级下·重庆长寿·期末）如图，正方形中，点E为边延长线上一点，点F在边上，且，连接，，交于G，若，则(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，连接，根据正方形的性质可证得，从而得出，，再证为等腰直角三角形，得出，． 【详解】如图，连接， 四边形是正方形， ，， ， 又∵， ∴， ，， ， ， 即， ∴是等腰直角三角形， ， ， 故选：C． 【变式2-1】如图，将正方形绕点A顺时针旋转，得到正方形，的延长线交于点H，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转的性质，求得∠BAE=38°，根据正方形的性质，求得∠DBA=45°，∠ABH=135°，利用四边形的内角和定理计算即可． 【详解】根据旋转的性质，得∠BAE=38°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DBA=45°，∠ABH=135°， ∵四边形AEFG是正方形， ∴∠E=90°， ∴∠DHE=360°-90°-38°-135°=97°， 故选B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，四边形的内角和定理，熟练掌握正方形的性质，旋转的性质是解题的关键． 【变式2-2】如图，点E为正方形ABCD边CB延长线上一点，点F为AB上一点，连接AE，CF，AC，若BE=BF，∠E=70°，则∠ACF= ． 【答案】25° 【分析】根据全等三角形的判定和性质得出∠BCF=∠EAB，再利用正方形的性质解答即可． 【详解】解：∵正方形ABCD， ∴AB=BC，∠ABE=∠CBF=90°， 在△ABE与△CBF中 ， ∴△ABE≌△CBF（SAS）， ∴∠BCF=∠EAB， ∵∠E=70°， ∴∠BCF=∠EAB=90°-70°=20°， ∵正方形ABCD，AC是对角线， ∴∠ACB=45°， ∴∠ACF=45°-20°=25°． 故答案为：25°． 【点睛】本题主要考查正方形的四条边都相等和四个角都是直角的性质以及三角形全等的判定和全等三角形对应边相等的性质． 【变式2-3】如图，正方形中，，，则 ．    【答案】/30度 【分析】把逆时针旋转得到，则，先证出C、A、G三点共线，得出，，由证明，得出，证出，即是等边三角形，得出，再由三角形的内角和定理求出即可． 【详解】解：把逆时针旋转得到，连接；如图所示：    则， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点C、A、G三点共线， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线、等边三角形的判定与性质、三角形的外角性质；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键． 【题型3 利用正方形的性质求线段长】 【例3】（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．在正方形两边、分别取点、，使，与交于点，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图所示，过点O作交于点P，连接，求出，设，则，得到，证明出，得到，，点O是正方形的中心，然后利用勾股定理求出，，进而求解即可． 【详解】如图所示，过点O作交于点P，连接 ∵ ∴ ∵ ∴设，则 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵四边形是正方形 ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴点O是正方形的中心 ∴垂直平分， ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 故选：A． 【点睛】此题考查了正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【变式3-1】（24-25八年级下·江西宜春·期末）如图，清代数学家梅文鼎在《勾股举隅》一书中，用四个全等的直角三角形拼出正方形的方法证明了勾股定理，连结，若正方形的面积为29，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的性质． 先由正方形的面积为29，得到，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图， ∵正方形的面积为29， ∴， ∵四个全等的直角三角形， ∴， ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 【变式3-2】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，在正方形中，是上任意一点，连接与关于对称，延长线与延长线交于点，连接交于点． （1）度数为 ； （2）若点是中点，，则的长为 ． 【答案】 【分析】（1）如图所示，由三角形内角和定理得到，，结合对顶角相等、等腰三角形的判定与性质确定、、，代入得到关于的方程，求解即可得到，再由对称性质，在中，由两锐角互余求解即可得到答案； （2）连接，如图所示，由对称性得到,，，进而确定,，在中、中和中，由勾股定理列式求解即可得到答案． 【详解】解：（1）如图所示： 则，，， 由与关于对称，得到，则， 在正方形中，，则， ， ，即， 解得， 由与关于对称，得到， 在中，，，则； 故答案为：； （2）连接，如图所示： 由与关于对称，得到,，， 则,， 在中，由勾股定理可得, 点是中点， 设,则， 在中，由勾股定理可得,即， 解得， , 在等腰中，,,由勾股定理可得, 解得, 故答案为：． 【点睛】本题考查几何综合，涉及三角形内角和定理、正方形性质、直角三角形两锐角互余、对顶角相等、等腰三角形的判定与性质、对称性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关几何性质，准确构造辅助线求解是解决问题的关键． 【变式3-3】（24-25八年级下·江苏南京·期末）如图，点在正方形的边上，延长至点，使，连接和，取的中点，连接并延长，与交于点．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，先证明，得到是的垂直平分线，则，设，则，，在中，由勾股定理得，解方程即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵的中点为， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， 设，则，， ∴在中，由勾股定理得 ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 【题型4 利用正方形的性质求面积】 【例4】如图，在正方形中，点、分别在边、上，，交点为，，交于点．若，，那么正方形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，利用同角的余角相等得出，再根据即可证出，得，设，算出，设为，分别在和中使用勾股定理得，再由得，即可求出正方形的面积． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ，， ，， ， ， ， 在与中， ， ， ， 设，则， ， ， 设为， ， 在中，， 在中，， ， 解得：， ， （舍负）， 正方形的面积为． 故选：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，分别在和中使用勾股定理是本题的关键． 【变式4-1】如图，小志同学将边长为3的正方形塑料模板与一块足够大的直角三角板叠放在一起，其中直角三角板的直角顶点落在点处，两条直角边分别与交于点，与延长线交于点，则四边形的面积是 ． 【答案】9 【分析】首先判定△ABE≌△ADF，然后即可得出四边形的面积即为正方形塑料模板的面积，即可得解. 【详解】由已知得，∠EAF=90°，∠BAD=90°，AB=AD ∴∠EAB=∠FAD ∴△ABE≌△ADF（ASA）， ∴ 故答案为9. 【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质和正方形的性质，熟练掌握，即可解题. 【变式4-2】（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）如图，正方形和正方形，点F，B，C在同一直线上，连接，M是的中点，连接，若，，则正方形的边长为（　　） A．1 B． C．1.5 D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键． 延长交于点H，证明和全等得， ，则，在中，由勾股定理得，则，然后在中，由勾股定理求出即可得出答案． 【详解】解：延长交于点H，如图所示： ∵四边形是正方形，， ∴，，， ∴， ∵点M是的中点， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ， ∴， 在中， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， 在中，由勾股定理得： ， ∴． ∴正方形的边长为． 故选：B． 【变式4-3】（24-25八年级下·重庆黔江·期末）如图，在边长为8的正方形中，点E是边的中点，在对角线上任取一点M，连接、，当时，的面积为（   ） A．16 B．12 C． D． 【答案】B 【分析】连接，过M作交于F，交于G，作交于H，证明，根据勾股定理得到，设，由等面积法求出，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：如图，连接，过M作交于F，交于G，作交于H， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵在边长为8的正方形中，点E是边的中点， ∴， 解得：， 设， ∵， ∴ 解得： ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 【题型5 利用正方形的性质进行证明】 【例5】（24-25八年级下·湖北黄石·阶段练习）如图，为正方形内一点，，为对角线的交点，连接，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）要证明，考虑利用正方形的性质构造辅助线．正方形对角线互相垂直且平分，为对角线交点，可通过构造全等三角形，将与特殊角建立联系． （2）要证明，根据（1）中得到的全等关系，将转化为，再结合等腰直角三角形的边的关系进行推导． 【详解】（1）解：过点作交于点，连接， ∴， ∵四边形是正方形，为对角线交点， ∴，． 又∵， ∴， ∴． ∵，， ∴，， ∴． 在和中， ∴． ∴． ∵，， ∴是等腰直角三角形． ∴． （2）证明：由（1）知，． ∴． ∵是等腰直角三角形，． ∴． 又∵， ∴． 【点睛】本题主要考查正方形的性质（对角线互相垂直平分且相等、四个角为直角）、勾股定理、全等三角形的判定（ASA）和性质以及等腰直角三角形的判定和性质．解题的关键在于利用正方形对角线交点的性质构造全等三角形，将所求角和线段关系转化到熟悉的特殊三角形（等腰直角三角形）中进行求解． 【变式5-1】如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】根据正方形的性质，得AB=BC，∠ABE=∠BCF=90˚，利用SAS证明△ABE≌△BCF便可得结论． 【详解】证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90˚， 在△ABE和△BCF中， ， ∴△ABE≌△BCF（SAS）， ∴AE=BF． 【点睛】本题考查正方形的性质全等三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 【变式5-2】（24-25八年级下·重庆渝北·期中）如图，点是正方形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个正方形，线段和相交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． （1）由四边形和四边形是正方形，可得，，，从而得到，然后利用即可证明结论； （2）如图所示，连接交于点，计算出、，根据勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）解：由四边形和四边形是正方形， ，，， ， ， 在和中： ， ， ． （2）解：如图，连接交于点， ， ， ， ． 【变式5-3】如图所示，在正方形中，点在边上，射线交于点，交的延长线于点．求证： （1） ： （2）若点是上的中点，连接和，求证：． 【答案】（1）见解析（2）见解析 【分析】（1）首先根据正方形的性质可得AD＝CD，∠ADB＝∠CDB＝45°，再有DE是公共边，可以利用SAS判定△ADE和△CDE全等； （2）根据全等三角形的性质可以证出∠1＝∠2，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以证出CH＝HG，进而根据等边对等角证出∠G＝∠4，再利用ADBG可以得到∠1＝∠G，再利用等量代换可得到∠2＝∠4，然后由∠4＋∠3＝90°，可得∠2＋∠3＝90°，即可以证出EC⊥CH． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝CD，∠ADB＝∠CDB＝45°， 在△ADE和△CDE中， ， ∴△ADE≌△CDE（SAS）； （2）证明：∵△ADE≌△CDE， ∴∠1＝∠2， ∵在Rt△FCG中，点H是FG上的中点， ∴CH＝FG＝GH， ∴∠4＝∠G， ∵ADBG， ∴∠1＝∠G， ∴∠4＝∠1， ∵∠2＝∠1， ∴∠4＝∠2， ∵∠4＋∠3＝90°， ∴∠2＋∠3＝90°， ∴EC⊥CH． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，此题的难点是证明EC⊥CH，解决问题的突破口是证明∠2＝∠4． 【题型6 正方形折叠问题】 【例6】（24-25八年级下·江苏苏州·期中）【模型呈现】在正方形学习过程中，我们发现下面的结论：如图1，正方形中，点P为线段上一个动点，若线段垂直于点E，交线段于点M，交线段于点N，则． （1）如图②，将边长为40的正方形折叠，使得点B落在上的点处．若折痕，则______． 【继续探索】 （2）如图③，正方形中，点P为线段上一动点，若垂直平分线段，分别交， 于点M，E，F，N，求证：． （3）如图④，在正方形中，E、F分别为上的点，作于M，在上截取，连接，G为中点，连接．请依题意补全图形，若，则______． 【答案】（1）9；（2）见解析；（3）补全图形见解析， 【分析】（1）利用证明，得，再利用勾股定理可得答案． （2）根据垂直平分线的性质和正方形的性质求得，然后根据等边对等角和等量代换求得，根据直角三角形斜边中线的性质证出，由模型呈现知，，则可得出结论； （3）连接并延长使得，利用可证，再结合全等三角形的性质和正方形的性质证明，进而可证明，是等腰直角三角形，即可得出答案． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ，， 过点F作于P，连接， 则四边形是矩形， ，， 由翻折知，，则， ∴， ∵， ， ∴， 在中，由勾股定理得， 故答案为：9； （2）证明：如图，连接， 正方形是轴对称图形，F为对角线上一点， ，， 又垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由模型呈现知，， ， ； （3）解：根据题意补全图形如图所示： 连接并延长使得， ∵点为的中点， ∴， 又∵， ， ，，，则， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由正方形的性质可知，， ， ，，， 则， 是等腰直角三角形， ∵， ∴，则也是等腰直角三角形，则， ． 故答案为：． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【变式6-1】如图，正方形中，是边上的一点，将沿折叠，使点落在点处，延长交于点，连接． (1)求证：； (2)连接，若，求证：为的中点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，翻折的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质等．借助进而通过中位线的判定可以快速证明结论． （1）根据题意易得和，然后由即可证明结论； （2）由（1）的结论，得，,由，得，进而可得，得，，即可证明结论． 【详解】（1）证明：根据翻折的性质，，， 又，，， ，， 在和中，， ． （2）证明：如图，连接，交于点． 由（1）知， ，, 又， ， ， ， ， 点为中点． 【变式6-2】在正方形纸片ABCD中，点M、N分别是BC、AD上的点，连接MN． 问题探究：如图1，作DD′⊥MN，交AB于点D′，求证：MN ＝DD′； 问题解决：如图2，将正方形纸片ABCD沿过点M、N的直线折叠，点D的对应点D′恰好落在AB上，点C的对应点为点C′，若B D′＝6， CM＝2，求线段MN的长. 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）过点N作NH⊥BC于H，利用ASA证明△ADD'≌△HNM，得DD'=MN； （2）连接MD'，设正方形的边长为x，由勾股定理得，BD'2+BM2=D'C'2+C'M2，解方程可得x的值，利用勾股定理求出DD'，再根据（1）知，DD'=MN，从而解决问题． 【详解】解：（1）证明：过点N作NH⊥BC于H， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=AB，∠DAB=∠ABM=90°， ∵∠NHB=90°， ∴四边形ABHN是矩形， ∴AB=HN， ∵DD′⊥MN， ∴∠DON=90°， ∴∠OND+∠ODN=90°， ∵∠OND+∠MNH=90°， ∴∠ODN=∠MNH， ∵∠DAD'=∠NHM，AD=NH， ∴△ADD'≌△HNM（ASA）， ∴MN=DD'； （2）连接MD'，DD'， 设正方形的边长为x，由勾股定理得， BD'2+BM2=D'C'2+C'M2， ∴62+（x-2）2=x2+22， 解得x=9， ∴AB=AD=9， ∴AD'=3， 由勾股定理得，DD'=， ∵MN是DD'的垂直平分线， 由（1）知，DD'=MN， ∴MN=． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，翻折的性质，勾股定理等知识，熟练掌握正方形中的十字架模型是解题的关键． 【变式6-3】（24-25八年级下·山西运城·期中）综合与实践 如图，在边长为的正方形中（即，），连接，，，将三角形沿直线折叠，得到，延长交于点M． (1)连接，线段可以看做线段沿着的方向平移______后得到； (2)连接，猜想是否为直角三角形，并加以说明； (3)直接写出与的数量关系． 【答案】(1)4 (2)是，见解析 (3) 【分析】（1）证明四边形是矩形，根据平移的定义即可得到答案； （2）由折叠可知，证明，则，即可得到，得到结论； （3）设，则，，，在中，，列方程并解得，则，得到，即可得到结论． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是矩形， ∴ ∴线段可以看做线段沿着的方向平移后得到； 故答案为；4 （2）是，理由如下： ∵，， ∴， 由折叠可知，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3）设，则，， 由折叠可知，， ∴ 在中，， ∴， 解得， 即， ∴， ∴ 【点睛】此题考查了正方形的折叠问题、全等三角形的判定和性质、勾股定理、矩形的判定和性质等知识，熟练掌握折叠的性质和全等三角形的判定和性质是关键． 【题型7 求正方形重叠部分面积】 【例7】如图，正方形的对角线相交于点，以为顶点的正方形的两边，分别变正方形的边，于点，．记的面积为，的面积为，若正方形的边长，则的大小为 ． 【答案】 【分析】本题考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定等知识，根据正方形的性质得出，，，推出，证出可得答案，证明是解此题的关键． 【详解】∵四边形和四边形都是正方形， ∴，，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式7-1】如图，将边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AEFG的位置，则图中阴影部分的面积为(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：作MH⊥DE于H，如图， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=AD=1，∠B=∠BAD=∠ADC=90°， ∵正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AEFG的位置， ∴AE=AB=1，∠1=30°，∠AEF=∠B=90°， ∴∠2=60°， ∴△AED为等边三角形， ∴∠3=∠4=60°，DE=AD=1， ∴∠5=∠6=30°， ∴△MDE为等腰三角形， ∴DH=EH=， 在Rt△MDH中，MH=DH=×=， ∴S△MDE=×1×=． 故选D． 【变式7-2】用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖的面积为a，小正方形地砖的面积为b，依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形ABCD．则正方形ABCD的面积为 （用含a，b的代数式表示）． 【答案】 【分析】如图，连接AE、AF，先证明△GAE≌△HAF，由此可证得，进而同理可得，根据正方形ABCD的面积等于四个相同四边形的面积之和及小正方形的面积即可求得答案． 【详解】解：如图，连接AE、AF， ∵点A为大正方形的中心， ∴AE=AF，∠EAF=90°， ∴∠AEF=∠AFE=45°， ∵∠GEF=90°， ∴∠AEG=∠GEF－∠AEF=45°， ∴∠AEG=∠AFE， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠DAB=∠EAF=90°， ∴∠GAE=∠HAF， 在△GAE与△HAF 中， ∴△GAE≌△HAF（ASA）， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴同理可得：， 即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质和全等三角形的判定及性质，熟练掌握正方形的性质并能作出正确的辅助线是解决本题的关键． 【变式7-3】（24-25九年级上·广东惠州·期中）如图，把边长为4的正方形绕顶点逆时针旋转到正方形，则它们的公共部分的面积等于 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了旋转的性质、正方形的性质、直角三角形的性质、一元二次方程，作辅助线构造出全等三角形并求出三角形的锐角是解题的关键．设与的交点为，连接，利用正方形和旋转的性质证出，得到，利用直角三角形的性质得到，设，在中利用勾股定理建立方程求出的值，再利用面积公式求出的面积，即可得出答案． 【详解】解：如图，设与的交点为，连接， 边长为4的正方形绕顶点逆时针旋转到正方形， ，，， ， 又， ， ， ， 设，则， 在中，，即， 解得：或（负值舍去）， ， 公共部分的面积． 故答案为：． 【题型8 正方形中的最值】 【例8】（24-25八年级下·湖北·期末）如图，正方形的边长为3，E为与点D不重合的动点，以为一边作正方形．设，点F，G与点C的距离分别为，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，连接、、，证明可得，则可证明，则当四点共线时，最小，最小值为的长，据此利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图，连接、、， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴当四点共线时，最小，最小值为的长， ∵正方形的边长为3， ∴， ∴ ∴的最小值为， 故答案为：． 【变式8-1】（24-25八年级下·河南许昌·期中）如图，在正方形中，点是的中点，点在上运动，以为边向外作正方形，连接，，若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，勾股定理，熟悉掌握轴对称的性质，找到最短路径是解题的关键． 根据轴对称的性质作出最短路径，结合勾股定理运算求解即可． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴点关于线段的对称点为点，连接，则与的交点为，如图所示： 此时，可取最小值，， ∵，为中点， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴在中，， 故答案为：． 【变式8-2】（2025·湖南永州·模拟预测）如图，正方形的边长为为对角线上一动点，以为斜边向右作等腰，连接，则周长的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】延长到点M，使，连接，，，利用正方形性质和旋转全等模型证明，从而可得和是直角三角形，从而由直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得，再由．即可得出结论． 【详解】解：延长到点M，使，连接，，，如图， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵是以为斜边作等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴的最小值为， ∴周长的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半，准确找到点的运动轨迹，证明是解题的关键． 【变式8-3】（24-25九年级下·辽宁铁岭·阶段练习）如图，正方形的边长为2，将绕点顺时针旋转一定角度得到线段，平分交射线于．在旋转过程中，线段的最大值为 ． 【答案】 【分析】先结合旋转性质，正方形的性质得出，根据角平分线的定义，得，证明，再得出，然后得出是的垂直平分线，即，当时，，此时面积最大，运用勾股定理算出线段的值，即可作答． 【详解】解：依题意，连接，过点作的延长线一点，如图所示： ∵正方形的边长为2，将绕点顺时针旋转一定角度得到线段， ∴， ∵平分交射线于． ∴， ∵， ∴， ∴， 则， 在中，， ∵，， ∴是的垂直平分线， 当时，，此时面积最大， 则点E与点A重合，点F与点D重合， ∴， 此时有最大值，且． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转性质，正方形的性质，全等三角形的性质，垂直平分线的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【题型9 正方形中的路径长】 【例9】已知，在平面直角坐标系中，正方形的顶点B，A，分别在x轴和y轴的正半轴上，顶点C的坐标为，且a，b满足：，点D为边上的一个动点，将沿翻折，得到． (1)直接写出正方形的边长； (2)如图1，若点D为中点，延长交于点H． ①求的长； ②连并延长交于点F，求的长； (3)如图2，若点G为上一点，且，点M为中点，连接．当点D从点O开始沿y轴负半轴运动，到取得最大值时停止，请直接写出点D运动的路径长． 【答案】(1)6 (2)①2；② (3) 【分析】（1）根据根据二次根式被开方数的非负性即可作答； （2）①由翻折得，，进而推出，设，根据勾股定理即可求得； ②同角的余有相等，进而推出，，作答即可； （3）由翻折，由，当、、共线时，最大，，，即可作答． 【详解】（1）解： ， ，， ， ， ，即， 正方形的边长为6； （2）由（1）知正方形达长为6， ∵是的中点，∴， ①由翻折得，， ， 连接， 则， ， ， ， 设， 则， 在中， 由， 即， 解得， 的长为2； ②由，， 得垂直平分， ， 又， （同角的余有相等）， 又，， ， ， ， 即的长为； （3）由翻折知， 又是的中点， ， 由， 当、、共线时，最大， 如图所示， ， ， ， ， ， ， ， 点运动的路径长为． 【点睛】本题考查四边形综合题，涉及正方形的性质，三角形全等的判定与性质，折叠性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握折叠的性质，全等三角形的判定和性质． 【变式9-1】（2025·河北唐山·二模）如图，在正方形中，是边上的一个动点，由点开始运动，运动到停止．连接，以为直角边向右侧作等腰直角三角形，另一个顶点为．则点从运动到的过程中，点的运动路径长为 ． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，勾股定理．如图，延长到M，使得，连接，则点Q运动轨迹是线段，证明，利用点Q的运动轨迹是线段，结合勾股定理，即可解决问题． 【详解】解：如图，延长到M，使得，连接，则点Q运动轨迹是线段， ∵在正方形中，， ∴， 作于N， ∵，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴点Q在线段上， 且点Q的运动轨迹是线段，，， ∵． 故答案为：． 【变式9-2】（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在矩形中，，动点E从点A运动到点D，以为边在的右侧构造正方形，连接，则的最小值为 ，点F运动的路径长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是矩形及正方形的性质、全等三角形的判定与性质，延长到点P，使，连接，过点F作的垂线，垂足为H，先证，证出，得出点在以P为顶点，为一边的的的另一边上运动，求出最小值；证明 ，得出当动点E从点A运动到点D时，的长从变化到0，进而求出结论． 【详解】解：延长到点P，使，连接，过点F作的垂线，垂足为H．      在矩形中，， 在正方形中，， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 点在以P为顶点，为一边的的的另一边上运动， 当时最小，最小值 ． ∵， ∴ ． 当动点E从点A运动到点D时，的长从变化到0， ∴点F运动的路径长为 ． 【变式9-3】如图，正方形的边长为4，点从点出发沿线段运动，到达点时运动停止，以点为中心，将线段绕着点顺时针旋转，得到线段．     (1)过点作于点G，求证：； (2)连接交于点，连接，的周长是否随点的运动而变化，如不变，求的周长，如变，请说明理由； (3)试求在整个运动过程中，点的运动路径长． 【答案】(1)见解析 (2)的周长不变， (3) 【分析】本题主要老相正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识： （1）证明，根据证明即可得出结论； （2）将绕点顺时针旋转得到，分别证明和，进一步得出的周长等于； （3）连接，在上截取，证明，得出，得出运动路径长为 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵旋转得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：的周长不变 理由如下：将绕点顺时针旋转得到， ∵四边形是正方形， ∴ 由旋转得， ∴，，， ∴， ∴点、、共线 ∵， ∴ ∴， ∴ 即 ∴， ∴ ∴ ∵ ∴的周长等于 ∴的周长不随点的位置而发生改变． （3）解：连接，在上截取，如图， 由（1）知， ∴ ∴ ∵，， ∴, ∵， ∴， ∴， 又， ∴， 由此可知，点从到，点在线段上运动，如图， 所以，当从到时，点的运动路径长为 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.9 正方形的性质（举一反三讲义） 【新教材湘教版】 【题型1 正方形的性质理解】 2 【题型2 利用正方形的性质求角度】 2 【题型3 利用正方形的性质求线段长】 3 【题型4 利用正方形的性质求面积】 5 【题型5 利用正方形的性质进行证明】 6 【题型6 正方形折叠问题】 7 【题型7 求正方形重叠部分面积】 9 【题型8 正方形中的最值】 10 【题型9 正方形中的路径长】 11 知识点1 正方形的定义 1. 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． 2. 数学语言描述：如图，在ABCD中，若，且，则ABCD是正方形． 知识点2 正方形的性质 图示 性质 数学语言描述 边 对边平行 AB∥CD，AD∥BC 四条边均相等 角 四个角都是直角 对角线 对角线相等且互相垂直平分 ， 每条对角线平分一组对角 对称性 轴对称图形，对称轴是两条对角线所在直线和过每一组对边中点的直线，有四条对称轴 中心对称图形，对称中心是对角线的交点 【题型1 正方形的性质理解】 【例1】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列结论中正确的个数是（    ） ①正方形的对角线相等；②平行四边形对角线相等；③菱形对角线互相垂直；④平行四边形对边相等；⑤矩形对角线相互垂直 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-1】（24-25八年级上·湖南株洲·期中）正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ） A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．四个角都是直角 D．对角线互相垂直 【变式1-2】（2025·福建厦门·二模）下列多边形中，知道一条边的长度就能确定其形状和大小的是（   ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰三角形 【变式1-3】（2025·河南驻马店·三模）下面是一张正方形彩纸，现要交叉裁剪两刀，使其分成面积相等的四部分，则裁剪方案有（   ） A．1种 B．2种 C．4种 D．无数种 【题型2 利用正方形的性质求角度】 【例2】（24-25八年级下·重庆长寿·期末）如图，正方形中，点E为边延长线上一点，点F在边上，且，连接，，交于G，若，则(　　) A． B． C． D． 【变式2-1】如图，将正方形绕点A顺时针旋转，得到正方形，的延长线交于点H，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，点E为正方形ABCD边CB延长线上一点，点F为AB上一点，连接AE，CF，AC，若BE=BF，∠E=70°，则∠ACF= ． 【变式2-3】如图，正方形中，，，则 ．    【题型3 利用正方形的性质求线段长】 【例3】（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．在正方形两边、分别取点、，使，与交于点，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25八年级下·江西宜春·期末）如图，清代数学家梅文鼎在《勾股举隅》一书中，用四个全等的直角三角形拼出正方形的方法证明了勾股定理，连结，若正方形的面积为29，，则的长为 ． 【变式3-2】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，在正方形中，是上任意一点，连接与关于对称，延长线与延长线交于点，连接交于点． （1）度数为 ； （2）若点是中点，，则的长为 ． 【变式3-3】（24-25八年级下·江苏南京·期末）如图，点在正方形的边上，延长至点，使，连接和，取的中点，连接并延长，与交于点．若，，则的长为 ． 【题型4 利用正方形的性质求面积】 【例4】如图，在正方形中，点、分别在边、上，，交点为，，交于点．若，，那么正方形的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，小志同学将边长为3的正方形塑料模板与一块足够大的直角三角板叠放在一起，其中直角三角板的直角顶点落在点处，两条直角边分别与交于点，与延长线交于点，则四边形的面积是 ． 【变式4-2】（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）如图，正方形和正方形，点F，B，C在同一直线上，连接，M是的中点，连接，若，，则正方形的边长为（　　） A．1 B． C．1.5 D． 【变式4-3】（24-25八年级下·重庆黔江·期末）如图，在边长为8的正方形中，点E是边的中点，在对角线上任取一点M，连接、，当时，的面积为（   ） A．16 B．12 C． D． 【题型5 利用正方形的性质进行证明】 【例5】（24-25八年级下·湖北黄石·阶段练习）如图，为正方形内一点，，为对角线的交点，连接，． (1)求证：； (2)求证：． 【变式5-1】如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且，求证：． 【变式5-2】（24-25八年级下·重庆渝北·期中）如图，点是正方形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个正方形，线段和相交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式5-3】如图所示，在正方形中，点在边上，射线交于点，交的延长线于点．求证： （1） ： （2）若点是上的中点，连接和，求证：． 【题型6 正方形折叠问题】 【例6】（24-25八年级下·江苏苏州·期中）【模型呈现】在正方形学习过程中，我们发现下面的结论：如图1，正方形中，点P为线段上一个动点，若线段垂直于点E，交线段于点M，交线段于点N，则． （1）如图②，将边长为40的正方形折叠，使得点B落在上的点处．若折痕，则______． 【继续探索】 （2）如图③，正方形中，点P为线段上一动点，若垂直平分线段，分别交， 于点M，E，F，N，求证：． （3）如图④，在正方形中，E、F分别为上的点，作于M，在上截取，连接，G为中点，连接．请依题意补全图形，若，则______． 【变式6-1】如图，正方形中，是边上的一点，将沿折叠，使点落在点处，延长交于点，连接． (1)求证：； (2)连接，若，求证：为的中点． 【变式6-2】在正方形纸片ABCD中，点M、N分别是BC、AD上的点，连接MN． 问题探究：如图1，作DD′⊥MN，交AB于点D′，求证：MN ＝DD′； 问题解决：如图2，将正方形纸片ABCD沿过点M、N的直线折叠，点D的对应点D′恰好落在AB上，点C的对应点为点C′，若B D′＝6， CM＝2，求线段MN的长. 【变式6-3】（24-25八年级下·山西运城·期中）综合与实践 如图，在边长为的正方形中（即，），连接，，，将三角形沿直线折叠，得到，延长交于点M． (1)连接，线段可以看做线段沿着的方向平移______后得到； (2)连接，猜想是否为直角三角形，并加以说明； (3)直接写出与的数量关系． 【题型7 求正方形重叠部分面积】 【例7】如图，正方形的对角线相交于点，以为顶点的正方形的两边，分别变正方形的边，于点，．记的面积为，的面积为，若正方形的边长，则的大小为 ． 【变式7-1】如图，将边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AEFG的位置，则图中阴影部分的面积为(   ) A． B． C． D． 【变式7-2】用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖的面积为a，小正方形地砖的面积为b，依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形ABCD．则正方形ABCD的面积为 （用含a，b的代数式表示）． 【变式7-3】（24-25九年级上·广东惠州·期中）如图，把边长为4的正方形绕顶点逆时针旋转到正方形，则它们的公共部分的面积等于 ． 【题型8 正方形中的最值】 【例8】（24-25八年级下·湖北·期末）如图，正方形的边长为3，E为与点D不重合的动点，以为一边作正方形．设，点F，G与点C的距离分别为，，则的最小值为 ． 【变式8-1】（24-25八年级下·河南许昌·期中）如图，在正方形中，点是的中点，点在上运动，以为边向外作正方形，连接，，若，则的最小值为 ． 【变式8-2】（2025·湖南永州·模拟预测）如图，正方形的边长为为对角线上一动点，以为斜边向右作等腰，连接，则周长的最小值为 ． 【变式8-3】（24-25九年级下·辽宁铁岭·阶段练习）如图，正方形的边长为2，将绕点顺时针旋转一定角度得到线段，平分交射线于．在旋转过程中，线段的最大值为 ． 【题型9 正方形中的路径长】 【例9】已知，在平面直角坐标系中，正方形的顶点B，A，分别在x轴和y轴的正半轴上，顶点C的坐标为，且a，b满足：，点D为边上的一个动点，将沿翻折，得到． (1)直接写出正方形的边长； (2)如图1，若点D为中点，延长交于点H． ①求的长； ②连并延长交于点F，求的长； (3)如图2，若点G为上一点，且，点M为中点，连接．当点D从点O开始沿y轴负半轴运动，到取得最大值时停止，请直接写出点D运动的路径长． 【变式9-1】（2025·河北唐山·二模）如图，在正方形中，是边上的一个动点，由点开始运动，运动到停止．连接，以为直角边向右侧作等腰直角三角形，另一个顶点为．则点从运动到的过程中，点的运动路径长为 ． 【变式9-2】（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在矩形中，，动点E从点A运动到点D，以为边在的右侧构造正方形，连接，则的最小值为 ，点F运动的路径长为 ． 【变式9-3】如图，正方形的边长为4，点从点出发沿线段运动，到达点时运动停止，以点为中心，将线段绕着点顺时针旋转，得到线段．     (1)过点作于点G，求证：； (2)连接交于点，连接，的周长是否随点的运动而变化，如不变，求的周长，如变，请说明理由； (3)试求在整个运动过程中，点的运动路径长． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $