3.2图形的旋转（题型专练）数学新教材北师大版八年级下册

3.2图形的旋转 题型一   旋转图形和中心对称图形的识别 1．【答案】B 2．【答案】B 3．【答案】D 4．【答案】C 5．【答案】C 6．【答案】D 7．【答案】C 8．【答案】C 9．【答案】C 10．【答案】C 11．【答案】B 12．【答案】 逆时针 90 题型二   找旋转中心、旋转角、对应点 1．【答案】D 2．【答案】B 3．【答案】B 4．【答案】C 5．【答案】B 6．【答案】D 7．【答案】 8．【答案】/90度 9．【答案】 题型三   求旋转中心的个数 1．【答案】C 2．【答案】C 题型四   成中心对称 1．【答案】B 2．【答案】B 3．【答案】C 4．【答案】D 5．【答案】D 6．【答案】 7． 【答案】见解析 【分析】本题考查了中心对称，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．证明得，，即可得证． 【详解】证明：点与点关于点中心对称， 是线段的中点，即， ， ， 在与中， ， ， ，， 点A与点F关于点E成中心对称． 题型五   确定两个图形的对称中心 1．【答案】 2．【答案】 3． 【答案】见解析 【分析】此题考查对称中心的确定方法，成中心对称图形的性质：成中心对称的两个图形的对应点连线经过对称中心，并且被对称中心平分，掌握成中心对称的图形的性质是解题的关键． 连接两对对应点，交点即为所求的对称中心． 【详解】解：连接，交点O即为所求的对称中心． 如图所示： 4． 【答案】见解析，15 【分析】本题主要考查了中心对称，正确掌握中心对称图形的性质是解题关键． 连接，，其交点就是对称中心；依据和关于点成中心对称，即可得到，进而得出的周长． 【详解】解：如图所示，点即为所求；   和关于点成中心对称， ， ，，， 的周长； 答：的周长为15． 5． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查中心对称图形的概念，即图形绕某一点旋转后能与原图形重合．理解中心对称图形的概念是解题的关键．根据中心对称图形的定义回答即可． 【详解】解：第1张和第3张能找到一个点，使图形绕某一点旋转后和原图形重合，所以是中心对称图形，它们的对称中心在对角线的交点． 如图，点即为所求的点． 题型六   求关于原点对称点的坐标 1．【答案】C 2．【答案】B 3．【答案】C 4．【答案】 5．【答案】 6．【答案】四 题型七   已知两点关于原点对称求参数 1．【答案】A 2．【答案】2026 3．【答案】 4．【答案】1 5． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征，熟记关于原点对称、关于轴对称的两个点的坐标特征是解决问题的关键． （1）由关于原点对称的两点的横坐标、纵坐标均互为相反数，列方程求解即可得到答案； （2）由关于轴对称的两点的横坐标相等、纵坐标互为相反数，列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：，两点关于原点对称， ，， ，； （2）解：，两点关于轴对称， ，， ，． 题型八   根据中心对称的性质求面积、长度、角度 1．【答案】A 2．【答案】B 3．【答案】B 4．【答案】B 5．【答案】 6．【答案】 7．【答案】 8． 【答案】见解析 【分析】本题考查了中心对称的性质，平行四边形的判定． 根据中心对称的性质得出，，进而证明，即可证明四边形是平行四边形． 【详解】证明：和关于点O对称， ， 四边形是平行四边形． 9． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查中心对称图形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理的综合，掌握以上知识的运用是关键． （1）根据中心对称的特点得到，结合一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可求证； （2）由勾股定理，平行四边形的性质得到，由此即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示， ∵与关于点成中心对称， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵，，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 题型一   旋转的性质运用 1．【答案】D 2．【答案】B 3．【答案】C 4．【答案】315 5． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】本题考查三角形综合，涉及旋转性质、等边三角形的判定与性质等知识，熟记旋转性质及等边三角形判定与性质是解决问题的关键． （1）由旋转性质得到，，即可由等边三角形的判定定理得到为等边三角形； （2）先由旋转性质得到，再等量代换有，最后结合等边三角形性质即可得证． 【详解】（1）证明：将绕点顺时针旋转得到， ，， 为等边三角形； （2）证明：将绕点顺时针旋转得到， ， ， ， 在等边中，， ． 6． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）证明即可求证； （）由全等三角形的性质得，由等腰三角形的性质得，即得，再根据三角形的外角性质即可求解； 本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 由旋转可得，， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 7． 【答案】是等边三角形，理由见详解 【分析】本题主要考查旋转的性质及等边三角形的判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键；由旋转的性质可得，然后根据等边三角形的判定定理可进行求解． 【详解】解：是等边三角形，理由如下： ∵将绕点顺时针旋转到的位置， ∴， ∴是等边三角形． 8． 【答案】(1)，证明见解析 (2)，证明见解析 【分析】（）证明即可求证； （）证明即可求证； 本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：，证明如下： 由旋转可得，， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： 由旋转可得，， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； 9． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了角的和差，线段的和差，旋转的性质， 对于（1），根据旋转可知，，再表示，然后根据的度数，可得答案； 对于（2），设旋转时间是ts，并表示，即可得出，最后代入可得结论； 对于（3），根据题意可得，再根据，可得，然后代入得出答案． 【详解】（1）∵线段分别以每秒，的速度绕点O旋转2s， ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴； （2）设旋转时间是ts，则， ∵， ∴， 则， ∴； （3）∵M，N两点的速度之比是， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 10． 【答案】（）①；②证明见解析；（） 【分析】（）①由勾股定理可得，即得，得到，再利用勾股定理解答即可求解；②由旋转的性质可得，，，，进而可证，得到，再根据得到，即可求证； （）作于，由勾股定理得，进而得，又由等腰三角形的判定可得，即得，再利用勾股定理解答即可求解． 【详解】解：（）①∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：； ②证明：∵，， ∴， ∵绕点逆时针旋转得到，连接，如图所示， 则，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，’ ∴； （）作于，如图所示， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得或， ∵， ∴或， 在中，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 题型二   画旋转图形 1． 【答案】(1)图见解析， (2)图见解析， 【分析】本题考查了画中心对称图形，画旋转图形． （1）根据中心对称的性质，找到A，B的对应点，顺次连接即可得出，并写出点的坐标； （2）根据旋转的性质，找到A，B的对应点，顺次连接即可得出，并写出点的坐标 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求；． 2． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了作图-旋转变换，熟练掌握旋转变换的性质是解题的关键． 先利用旋转变换的性质，分别画出A、B、C的对应点、、，然后顺次连接即可解答． 【详解】解：如图：即为所求． 3． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了画轴对称图形，旋转作图，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据轴对称的性质画出点的对应点分别为，即可画出 （2）根据旋转的性质找出每个顶点绕点逆时针旋转后得到的对应点，再连线得到． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求： （2）解：如图所示：即为所求． 4． 【答案】(1)见解析 (2)见解析； 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移和旋转，正确找到对应点的位置是解题的关键． （1）根据平移方式可得、、的坐标，描出、、，并顺次连接、、即可； （2）根据所给旋转方式和网格的特点可得、、的位置， 描出、、，并顺次连接、、即可． 【详解】（1）如图所示，即为所求． （2）解：如图所示，即为所求，点的坐标为， 5． 【答案】(1)见解析 (2)作图见解析， 【分析】本题主要考查了坐标与图形—旋转变换以及中心对称变换． （1）利用网格特点和关于原点对称的特点，画出点A、B、C的对应点即可； （2）利用网格特点和旋转的性质，画出点A、B、C的对应点即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图，即为所求．点的坐标为. 6． 【答案】见解析 【分析】本题考查了旋转作图，确定各顶点的对应点是作图关键．根据旋转性质分别确定各顶点绕点O顺时针旋转和后的对应点，再顺次连接即可． 【详解】解：如图，和即为所求： 7． 【答案】(1)画图见解析； (2)． 【分析】（）根据旋转变换的性质找出对应点即可求解； （）利用正方形面积减去三个直角三角形面积即可； 本题考查了作图－旋转变换，三角形面积，解题的关键是根据旋转变换的性质画出图形． 【详解】（1）解：如图，以点O为旋转中心，顺时针旋转后得到； ∴即为所求； （2）解：的面积 ． 题型三   旋转中的规律性问题 1．【答案】B 2．【答案】C 3．【答案】D 4．【答案】 5．【答案】 6．【答案】 题型四   坐标系中的旋转 1．【答案】 2． 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4)或或或 【分析】本题考查了轴对称变换，点的坐标，三角形的面积，旋转变换，掌握相关知识点并正确作图是解题的关键． （1）根据轴对称的性质，做出点，再连线，即可求解； （2）根据图形，即可求解； （3）利用割补法求三角形的面积即可； （4）分别将线段绕点A顺时针旋转、逆时针旋转，将线段绕点B顺时针旋转、逆时针旋转，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示． （2）解：由图可知，点坐标为． （3）解：由图可知，． （4）解：如图，将线段绕点A逆时针旋转，得到， 根据旋转可知，此时是以为直角边的等腰直角三角形， 由图可知点坐标为； 同理，将线段绕点A顺时针旋转，得到，点坐标为； 将线段绕点B顺时针旋转，得到，点坐标为； 将线段绕点B逆时针旋转，得到，点坐标为； 综上可知，点P坐标为或或或． 3． 【答案】(1) (2)的面积为 (3)不变，的面积为2 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，坐标与图形，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质． （1）过点作轴于点，证明，根据全等三角形的性质以及坐标系，即可得出点C的坐标； （2）过点作轴于点，，同（1）得出，根据点C的坐标即可求出面积； （3）根据（1）（2）得方法，得出C的纵坐标为2，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作轴于点， ∴， ∵， ∴， 根据旋转得， ∴， ∴根据点的坐标可得，， ∴点C的坐标为， 故答案为：； （2）解：如图，过点作轴于点， ∴， ∵， ∴， 根据旋转得， ∴， ∴根据全等可能，， ∴ ∴点C的坐标为， ∴的面积为； （3）解：的面积不发生变化，理由如下： ①如（2）得，当点位于纵轴负半轴时，设B点坐标为， 则， ∴ ∴点C的坐标为， ∴的面积为； ②当点位于纵轴正半轴时，B点坐标为，如图，过点作轴于点， 同理（1）可证， ∴， ∴点的纵坐标为2， ∴； 综上，的面积不发生变化． 4． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)作图见解析，或 【分析】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中找出全等三角形并证明是解题的关键． （1）根据题目可知是的中点，即可得解； （2）过点作，垂足为，证明和，即可得证； （3）当点在轴负半轴且时，点不可能在射线上；当点与点重合时，点与点重合时，此时，；当点与点重合时，此时点与点重合，此时，，再分两种情况讨论：当点在点与点之间时，当点在点的右边时讨论即可． 【详解】（1）由题可知：， ， ，， ． （2）过点作，垂足为， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ，是的中点， ，， 在和中， ， ， ， ， ； （3）， 当点在轴负半轴且时，点不可能在射线上；当点与点重合时，点与点重合时，此时，；当点与点重合时，此时点与点重合，此时，． ①当点在点与点之间时，过点作交的延长线于点，如图（1）， ，， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ； ②当点在点的右边时，作，如图（2）， 由题可得：，， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ． 题型五   线段旋转问题 1．【答案】B 2．【答案】A 3．【答案】D 4．【答案】８ 5．【答案】2 6．【答案】 7． 【答案】(1) (2) (3)3 【分析】（1）由题意可知，，那么，，从而得到，然后利用平角，得到； （2）结合（1）可知，，，从而得到，然后利用勾股定理求得即可； （3）过点作于点，然后利用勾股定理求得，接着利用求得面积即可． 【详解】（1）解：正方形， ， 将绕点顺时针旋转至处， ，且旋转角度为， ，， 是等腰直角三角形， ， 点、、三点正好在同一直线上， ； （2）解：，，， ，， ， ， 是等腰直角三角形，， ， ； （3）解：是等腰直角三角形，， ， ， ， 过点作于点，如图所示： ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的面积，正方形的性质，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． 题型六   面积旋转问题 1．【答案】或 2．【答案】或12 3． 【答案】(1)是等边三角形，理由见解析 (2)，的面积为 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的性质． （1）根据旋转的性质得到，可知，即可证明是等边三角形； （2）根据等边三角形的性质得到，根据勾股定理求出，将绕点顺时针旋转至的位置，连接，将绕点顺时针旋转至的位置，连接，可知，，，最后根据计算即可． 【详解】（1）解：是等边三角形．理由如下： 由旋转可知：． ， 是等边三角形． （2）解：是等边三角形， ， ． ． 如图2，将绕点顺时针旋转至的位置，连接，将绕点顺时针旋转至的位置，连接． ； 同理可得：． ． 4． 【答案】(1)作图见解析，； (2)见解析； (3). 【分析】本题考查了画中心对称图形、旋转图形，解决本题的关键是根据中心对称的性质以及旋转的性质作图． 分别作出点、、关于原点成中心对称的点、、，连接点、、，得到，借助网格写出点的坐标； 分别作出点、、绕原点顺时针旋转的对应点、、，连接点、、，得到即可； 把补充成一个的矩形，借助矩形的面积公式和三角形的面积公式求出的面积即可． 【详解】（1）解：如下图所示，分别作出点、、关于原点成中心对称的点、、， 连接点、、，得到， 即为所求， 点的坐标为； （2）解：如下图所示，分别作出点、、绕原点顺时针旋转的对应点、、， 连接点、、，得到， 即为所求； （3）解：如下图所示，把补充成一个的矩形， 则． 5． 【答案】(1)等边三角形 (2) (3) 【分析】（1）由旋转的性质可得，则，，即可判断的形状； （2）由（1）知等边三角形的边长为，过点作于点，结合等腰三角形三线合一性质及勾股定理求出，再求出即可； （3）连接，由于，所以可将绕点顺时针方向旋转，得到，连接，过点作交的延长线于点，过点作交于点，证明是等腰直角三角形，利用勾股定理求出，，再求出和的面积和即可． 【详解】（1）解：∵将绕点顺时针方向旋转得到， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， 即的形状是等边三角形， 故答案为：等边三角形； （2）如图，过点作于点， ∵，，， ∴，，， ∵四边形中，，， ∴， ∴， ∴点、、共线， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴四边形的面积为； （3）连接，由于，所以可将绕点顺时针方向旋转，得到，连接，过点作交的延长线于点，过点作交于点， ∵将绕点顺时针方向旋转得到， ∴，，， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）知：是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，腰直角三角形的判定和性质，等积代换思想，类比思想等知识点，构造直角三角形，求出三角形的高是解题的关键． 6． 【答案】（1）25（2）（3）24 【分析】（1）根据四边形的面积等于正方形的面积计算即可； （2）如图乙中，延长至，取，连接．只要证明，即可推出四边形的面积等于的面积； （3）如图丙中，延长至，连接、、．只要证明五边形的面积等于四边形的面积即可． 【详解】解（1）由题可知． 故答案为25． （2）如图，延长至，取，连接．   等边中，，， ， 四边形中，， ， 又，， ， ，． ， ， 为等边三角形且， ． （3）如图，延长至，连接、、．   ，，， ， ． ，， ， ， ． 【点睛】本题考查四边形综合题、旋转变换、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 题型七   角度旋转问题 1．【答案】6或9或18 2． 【答案】(1)； (2)； (3)或 【分析】本题考查了角度的和差，旋转的性质，一元一次方程的应用，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． （1）用除以射线的旋转速度求解即可； （2）用除以射线和的旋转速度和求解即可； （3）分两种情况讨论：①射线与重合前；②射线与重合后，根据角度的和差关系列方程求解即可． 【详解】（1）解：（秒）； （2）解：（秒）； （3）解：由题意可知，，，， ， ， ①如图，射线与重合前， ， ， 解得：； ②如图，射线与重合后， ， ， 解得：，此时射线和重合， 综上可知，当时，的值为或． 3． 【答案】(1)； (2)或 【分析】本题主要考查角的计算，掌握角的和差计算是关键．情况不确定时，要注意考虑分类讨论． （1）根据旋转角的性质求解即可； （2）设旋转时间为秒，当与相遇时，求出，分时，与相遇前和时，与相遇后两种情况计算即可； 【详解】（1），， ， ； 故答案是：；． （2）设旋转时间为秒，则，， ，解得， ①时，与相遇前，，所以； ②时，与相遇后，，所以． 4． 【答案】(1) (2)存在，或 (3)或 【分析】本题考查了角的动态旋转问题，角的和差关系，角平分线的性质以及一元一次方程的应用．结合具体的角度关系，分情况建立一元一次方程是解题的关键． （1）根据射线、的旋转速度和时间，分别计算出与的度数，再利用点、、在直线上这一条件，通过角的和差关系求出的度数； （2）分情况讨论：一是旋转位置后，平分；二是另一种平分．在每种情况下，根据射线旋转速度和时间表示出相关角的度数，再利用角平分线性质（角平分线将角分成相等的两部分）建立关于的一元一次方程，求解并验证是否符合条件． （3）分三种情况讨论的情况：第一次比多转；第二次比多转；第三次比多转．在每种情况下，根据射线旋转速度和时间表示出角的度数，再根据建立关于的一元一次方程，求解后根据的条件，舍去不符合的解． 【详解】（1）解：当时，，， 点，，依次在直线上， ． 故答案为：． （2）解：存在，理由如下： ①旋转一周的时间为（秒）， ，即已经旋转的位置， 若平分且，位置如图1： 此时， ， ， 平分， ， ， 解得； ②若平分且，位置如图2： 此时， ，超过的部分就是， ， 平分， ， ， 解得； （3）解：①如图3， 当第一次达到时，比多转了， 得：，解得， ②如图4， 当第二次达到时，比多转了， 得：，解得， ③如图5， 当第三次达到时，比多转了， 得：，解得，不符合题意． 综上所述，当时，或． 题型八   画中心对称图形 1． 【答案】(1)见解析 (2)对应边为和，和，和；对应角为和，和，和 【分析】本题考查了利用旋转变换作图，中心对称的性质，找出点、、关于点的对称点是解题的关键． （1）连接并延长至，使，连接并延长至，使，连接并延长至，使，然后顺次连接即可； （2）根据中心对称的性质写出对应边与对应角即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：对应边为：和，和，和． 对应角为：和，和，和． 2． 【答案】(1)见解析， (2)见解析 (3) 【分析】此题考查旋转画图，中心对称作图，旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，根据旋转的性质是解题的关键． （1）根据旋转的性质确定，然后顺次连接即可画出图形，最后写出的坐标； （2）根据中心对称的性质确定，然后顺次连接即可画出图形．掌握中心对称的性质是解题的关键； （3）由旋转的性质易证是等腰直角三角形，进而即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求， 由图可得， 故答案为：； （2）解：如图，即为所求； （3）解：由旋转的性质可得，， ∴是等腰直角三角形， ∴． 3． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作旋转图形，作中心对称图形． （1）根据旋转的性质分别作出A、B的对应点，再顺次连接即可； （2）根据中心对称的性质分别作出A、B、C的对应点，再顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图所示，为所作图形； （2）解：如图所示，为所作图形． 4． 【答案】（1）见详解；（2）见详解 【分析】本题考查了画轴对称图形，画中心对称的图形． （1）根据轴对称作图方法作图即可； （2）根据中心对称图形的作图方法作图即可； 【详解】解：（1）如图所示，即为所求； （2）如图所示，四边形即为所求． 题型九   说出一个图形到另一个图形的变换过程 1．【答案】B 2．【答案】②③④ 3． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查图形的对称、平移、旋转等变换．对称有轴对称和中心对称，轴对称的特点是一个图形绕着一条直线对折，直线两旁的图形能够完全重合；中心对称的特点是一个图形绕着一点旋转180度后与另一个图形完全重合，它是旋转变换的一种特殊情况．平移是将一个图形沿某一直线方向移动，得到的新图形与原图形的形状、大小和方向完全相同．旋转是指将一个图形绕着一点转动一个角度的变换． （1）观察本题中图案的特点，根据轴对称、平移的特征进行判断作答； （2）观察本题中图案的特点，根据轴对称、旋转的特征进行判断作答． 【详解】（1）解：作图如图，图形依次经过两条平行直线作两次轴对称变换相当于作一次平移变换； （2）解：作图如图，图形依次以某两条互相垂直的直线作两次轴对称变换相当于以垂足为旋转中心，顺时针（或逆时针）旋转（中心对称变换）． 4． 【答案】(1)见解析 (2)是轴对称图形，对称轴见解析 (3)见解析 (4)见解析，答案不唯一． 【分析】本题主要考查作图—平移变换、轴对称变换和旋转变换，解题的关键是掌握平移变换、轴对称变换和旋转变换的定义和性质． （1）分别作出三个顶点关于直线x的对称点，再首尾顺次连接即可； （2）分别作出三个顶点关于原点O的对称点，再首尾顺次连接即可； （3）由图形可得其对称轴； （4）结合图形，对照平移变换、轴对称变换和旋转变换的概念求解即可． 【详解】（1）如图所示，即为所求 （2）如图所示，即为所求， （3）与是轴对称图形，对称轴如图所示 （4）将以点B为旋转中心，逆时针旋转后，再向右平移6个单位得到． 题型一   旋转的综合运用 1．【答案】D 2． 【答案】(1) (2)①或 ②或或 【分析】本题考查了角的倍分计算，一元一次方程的应用，角的平分线，熟练掌握解方程，角的关系是解题的关键． （1）设，则，从而得，又由射线平分，得,结合，构造一元一次方程求解得，进而求出的度数； （2）①设运动时间为，则，，， 故，当时，；当时，解答即可； ②设运动时间为，则，，，分类计算即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 不妨设，则， ∴， ∵射线平分， ∴, ∵，且， ∴， 解得， ∴． （2）①设运动时间为，则，，， 故， ∵射线为的平分线， ∴， 当时，如图所示， 根据题意，得, 此时， ∴ ∴， ∴； 当时，如图所示， 根据题意，得, 设运动时间为，则，，， 此时， 故， ∵射线为的平分线， ∴， 此时 ∴ ∴ ∴， ∴； ②解：设运动时间为，则，，， 当时，如图所示， 则， ∴，， ∴， ∵， ∴ 整理，得， 解得； 当时，如图所示， 则，，， ∴∴， ∵， ∴ 整理，得， 解得； 如图所示， 则，， ∴， ∴， ∵， ∴ 解得； 综上所述，当运动时间为或或成立． 3． 【答案】(1)10 (2) (3) 【分析】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，关键是作垂线构造全等三角形． （1）根据勾股定理求解即可； （2）过点D作轴于点E，可证明，得，再证明，得，在中由勾股定理可求出的值． （3）过点作轴于点，可证明，可证得，点在平行于轴，且到轴的距离为的直线上，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，得，由勾股定理可求出的值． 【详解】（1）解：∵ ∴， 故答案为：． （2） 由已知可得，， 过点D作轴于点E， ∵将绕点逆时针旋转至， ∴， 又∵ ∴ ∴ ∴， ∴， ∴ 又∵， ∴， ∴， 在中， ∴ ∴ ∴（负值舍去）． 答：当时，运动时间为． （3） ∵为的中点， ∴． 作轴于点， ∵，且 又∵ ∴ ∴ ∴， ∴ ∴点在平行于轴，且到轴的距离为的直线上 作点关于直线的对称点 则有， ∴ ∴连接，与直线的交点时最小 在中 ∴ ∴（负值舍去） 答：若达到最小，且最小值为时，此时的值为2． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2图形的旋转 题型一   旋转图形和中心对称图形的识别 1．（25-26七年级上·上海宝山·月考）下列生活中的现象是旋转的是（   ） A．飞驰的汽车 B．匀速转动的摩天轮 C．运动员投掷标枪 D．乘坐升降电梯 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转的定义， 旋转是指物体围绕一个固定点或轴做圆周运动，而摩天轮的运动是围绕中心轴旋转，符合旋转的定义． 【详解】解：∵旋转的定义是物体绕一个固定点或轴转动， ∴选项B中摩天轮匀速转动是典型的旋转现象； 选项A中汽车飞驰主要是平移运动； 选项C中标枪投掷可能涉及旋转但整体以平移为主； 选项D中升降电梯是垂直平移运动． 故选：B． 2．（25-26九年级上·河北邢台·月考）下列运动形式属于旋转的是（） A．火箭升空 B．钟摆的摆动 C．传送带移动 D．电梯的运行 【答案】B 【分析】本题考查生活中的旋转现象，掌握知识点是解题的关键． 旋转是指物体围绕一个固定点或轴做圆周运动．钟摆的摆动围绕固定点旋转，属于旋转运动；其他选项均为直线运动，不属于旋转． 【详解】解：旋转需绕固定点或轴转动， A．火箭升空为直线运动，不符合题意； B．钟摆的摆动绕支点旋转，符合题意； C．传送带移动为直线运动，不符合题意； D．电梯的运行为直线运动，不符合题意． 故选：B． 3．（25-26八年级上·山东烟台·期中）下列选项中属于旋转运动的是（    ） A．小华向西走10米再向北走10米 B．传送带传送货物 C．电梯从1楼到11楼再回到1楼 D．小亮正在荡秋千 【答案】D 【分析】本题主要考查旋转运动；旋转运动是指物体围绕一个固定点或轴做圆周运动．选项A、B、C均为平移运动，只有选项D的荡秋千是围绕固定点旋转． 【详解】解：∵ 旋转运动需围绕固定点转动， A项为平移运动，无旋转中心； B项传送带为平移运动； C项电梯为上下平移运动； D项荡秋千是围绕悬挂点做圆弧运动，属于旋转运动． 故选：D． 4．（25-26七年级上·浙江杭州·开学考试）如图，将立方体绕它的对角线旋转，应该形成（    ）种立体图形． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查立体图形中的旋转体，也就是把一个图形绕一条直线旋转得到的图形，要掌握基本的图形特征，是解答本题的关键． 【详解】根据正方体的特征，正方体沿对角线旋转一周，得到的是一个上、下端为圆锥，中间是两个有公共小底面的两个圆台． 故选：C 5．（25-26七年级上·江苏常州·月考）2025年苏超联赛火爆全网，图①是苏超联赛标志图，经过一次运动得到图②，这次运动可以是（   ） A．平移 B．翻折 C．旋转 D．以上都可以 【答案】C 【分析】本题考查了几何变换的类型，熟记各种变换的定义并准确识图是解题的关键．根据翻折、旋转、平移的定义进行判断即可． 【详解】解：由图可知，图绕图案中心点旋转后可得到图，通过平移或者翻折不可以得到， 这次运动可以是旋转， 故选：C． 6．（2025九年级上·全国·专题练习）北京冬奥会于年2月4日在北京和张家口联合举行．下图是冬奥会的吉祥物“冰墩墩”，将该图片按顺时针方向旋转后得到的图片是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了生活中的旋转现象，熟知旋转的概念和性质是解题的关键．根据旋转的性质解答即可． 【详解】解：根据题意得：将该图片按顺时针方向旋转后得到的图片是： 故选：D． 7．（2026·山东临沂·模拟预测）2024年巴黎奥运会是第33届夏季奥林匹克运动会，于2024年7月26日至8月12日在法国巴黎举行，以下为巴黎奥运会项目图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的定义是解题的关键． 根据轴对称图形与中心对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项不符合题意； C、是轴对称图形，是中心对称图形，故选项符合题意； D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意； 故选：C． 8．（四川省凉山彝族自治州2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题）2025年12月2日是第14个“全国交通安全日”，学习交通标志是学校安全教育的重要组成部分，下列交通标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、图形既是轴对称图形也是中心对称图形，故本选项符合题意； D、图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意， 故选：C． 9．（25-26九年级上·甘肃陇南·期末）围棋是中华民族发明的迄今最久远、最复杂的智力博弈活动之一，下列用棋子摆放的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，中心对称图形是指把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形是指如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； B．该图形不是轴对称图形，但是中心对称图形，不符合题意； C．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； D．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； 故选：C． 10．（25-26九年级上·内蒙古呼伦贝尔·月考）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】解：A．选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B．选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C．选项中的图形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； D．选项中的图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意． 故选：C． 11．（25-26九年级上·山东滨州·月考）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 轴对称图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，中心对称图形绕着某点旋转180度后，能够与原图形重合，据此逐项判断即可． 【详解】解：选项A、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； 选项B、该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； 选项C、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； 选项D、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； 故选：B． 12．（25-26七年级上·江苏南京·月考）在体育课上，当老师下达口令“向左转”时，你正确的动作应是以左脚跟为旋转中心，沿着 （填“顺时针”或“逆时针”）方向旋转 度． 【答案】 逆时针 90 【分析】本题考查旋转的基本概念，解题的关键是结合生活实际理解“向左转”这一旋转动作的旋转方向和旋转角度． 根据生活中“向左转”的动作实际情况，确定旋转方向和角度． 【详解】解：在体育课上，“向左转”的动作是以左脚跟为旋转中心，沿着逆时针方向旋转90度． 故答案为：逆时针，90． 题型二   找旋转中心、旋转角、对应点 1．（北京市大兴区2025-2026学年上学期九年级期末考试数学试卷）如图，在正方形网格中，点，和，的顶点均在格点上，将绕旋转中心旋转得到，则旋转中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，根据旋转的性质，对应点的连线的垂直平分线必过旋转中心，根据网格结构作、的垂直平分线，交点即为旋转中心． 【详解】解：如图，、的垂直平分线相交于点Q， 则旋转中心点Q． 故选：D． 2．（25-26九年级上·全国·假期作业）如图，在正方形网格中，△绕某一点旋转某一角度得到△，则旋转中心可能是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【分析】本题考查了学生的理解能力和观察图形的能力，注意：旋转时，对应顶点到旋转中心的距离应相等且旋转角也相等，旋转中心在连接对应点线段的垂直平分线上．连接、、，作的垂直平分线，作的垂直平分线，作的垂直平分线，交点为旋转中心． 【详解】解：如图， △绕某点旋转一定的角度，得到△， 连接、、， 作的垂直平分线，作的垂直平分线，作的垂直平分线， 三条线段的垂直平分线正好都过， 即旋转中心是． 故选：． 3．（24-25七年级下·陕西汉中·期末）如图，绕点逆时针旋转后得到（点B、C的对应点分别为点、），则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质，根据旋转的性质求解即可． 【详解】解：由题意可得是旋转角， ∴． 故选：B． 4．（25-26九年级上·安徽芜湖·月考）如图，在的正方形网格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，熟练掌握确定旋转中心的方法：分别作两组对应点所连线段的垂直平分线，其交点就为旋转中心是解题的关键．如图根据题意，可知点绕某点旋转后的对应点为点，点绕某点旋转后的对应点为点，点绕某点旋转后的对应点为点，连接，，借助网格，画出线段，的垂直平分线，找到其垂直平分线的交点，即可所求． 【详解】解：如图所示，点即为所求， 故选：C． 5．（25-26九年级上·湖北孝感·月考）如图，将绕O逆时针旋转一定的角度后得到，若，，则旋转角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转角的求解，解题的关键是正确找出旋转角． 先确定旋转角，再由角的和差计算求解即可． 【详解】解：∵将绕点按逆时针方向旋转一定角度后得到，，， ∴旋转角的度数是， 故选：B． 6．（25-26七年级上·上海·月考）如图，将三角形绕点按逆时针方向旋转一定的角度得到三角形，则旋转中心和旋转角是（   ） A．点B， B．点O， C．点B， D．点O， 【答案】D 【分析】本题主要考查了旋转的概念，熟练掌握“旋转中心是旋转过程中不动的点，旋转角是对应点与旋转中心连线的夹角”是解题的关键．根据旋转的定义，确定旋转中心，再找出对应点与旋转中心连线的夹角作为旋转角． 【详解】解：∵三角形绕点旋转得到三角形， ∴旋转中心是点， ∵点的对应点是点， ∴旋转角是， 故选：D． 7．（25-26八年级上·山东泰安·月考）如图，在的正方形网格中，绕某点旋转，得到，则其旋转中心可以是点 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的定义，掌握对应点到旋转中心的距离相等是解题的关键，观察图象，由旋转的性质找到旋转中心即可得到答案． 【详解】解：由图可知，与各对应点到点的距离相等， ∴点为旋转中心， 故答案为：． 8．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，的顶点都在方格纸的格点上，将绕点按顺时针方向旋转得到，使各顶点仍在格点上，则旋转角的度数是 ． 【答案】/90度 【分析】本题考查了旋转的性质，对应点B，与旋转中心O连线的夹角是旋转角，据此解答． 【详解】解：根据旋转角的概念：对应点与旋转中心连线的夹角，可知是旋转角，且， 故答案为：． 9．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，点D的坐标为，线段绕某点经过旋转后得到（点A与点C对应），则旋转角为 ． 【答案】 【分析】本题考查图形的旋转，熟练掌握旋转的三要素（旋转中心、旋转角、对应点）是解题的关键．根据旋转前后对应点连线的垂直平分线经过旋转中心，找出旋转中心，据此得出旋转角的度数． 【详解】解：线段绕某点经过旋转后得到， 则如图所示，连接、，分别作线段、的垂直平分线， 设线段、的垂直平分线交于点，点即为旋转中心， ， 旋转角为， 故答案为：． 题型三   求旋转中心的个数 1．（23-24七年级上·上海宝山·期末）如图，正方形旋转后能与正方形重合，那么图形所在的平面内可以作为旋转中心的点的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【答案】C 【分析】本题主要考查了找旋转中心，旋转的性质，旋转前后的两个图形大小形状完全相同，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等； 分别以C、D、的中点为旋转中心进行旋转，都能使正方形旋转后能与正方形重合，即可求解． 【详解】以点C为旋转中心，把正方形逆时针旋转，可得到正方形； 以点D为旋转中心，把正方形顺时针旋转，可得到正方形； 以的中点为旋转中心，把正方形旋转，可得到正方形； 所以旋转中心有3个． 故选：C． 2．（20-21九年级上·四川南充·期末）如图，如果将正方形甲旋转到正方形乙的位置，可以作为旋转中心的点有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据旋转的性质，即可得出，分别以A,B,C为旋转中心即可从正方形甲旋转到正方形乙的位置． 【详解】解：如图， 绕A点逆时针旋转90°，可到正方乙的位置； 绕C点顺时针旋转90°，可到正方乙的位置； 绕AC的中点B旋转180°，可到正方乙的位置； 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等；特别注意容易忽略点B． 题型四   成中心对称 1．（25-26八年级上·黑龙江大庆·期中）已知点与点B关于点成中心对称，则点B的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是关于某点成中心对称的点的坐标规律，解题关键是利用中心对称点的坐标性质（中点为对称中心），通过中点坐标公式列方程求解． 利用中心对称的性质：点 C 是 A、B 的中点，根据中点坐标公式，设 B 的坐标为，列方程、，求解得 B 的坐标． 【详解】设点B坐标为， 点与点B关于点成中心对称， ，， 解得， ． 故选B． 2．（25-26九年级上·河南安阳·月考）下列图形中，与成中心对称的是（   ） A． B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查两个图形成中心对称，成中心对称‌是指把一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称；这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点．据此逐项判断即可． 【详解】解：选项A中与不成中心对称，不符合题意； 选项B中与成中心对称，符合题意； 选项C中与不成中心对称，不符合题意； 选项D中与不成中心对称，不符合题意， 故选：B． 3．（18-19九年级上·全国·单元测试）将绕点旋转得到，则下列作图正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的定义，掌握旋转的定义是解题的关键． 把一个图形绕某一点O旋转的图形变换叫做中心对称，据此进行判断即可． 【详解】解：观察选项中的图形，只有C选项是绕点旋转得到， 故选：C． 4．（25-26九年级上·广西钦州·期中）如图，若与关于点成中心对称，则下列结论不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查中心对称，根据中心对称的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ∴，，，； 故只有选项D不成立； 故选D． 5．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，与成中心对称，点O是对称中心，则下列结论不正确的是（   ）    A．点A与点D是对应点 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 根据中心对称的性质“成中心对称的两个图形，对应点的连线被对称中心平分，对应角相等，对应线段相等”逐项判断即可得解． 【详解】解：∵与成中心对称，点O是对称中心， ∴点与点是对应点，，， 故选项A、B、C不合题意； 不能说明，故选项D符合题意． 故选：D． 6．（23-24八年级下·江苏南京·期中）在平面直角坐标系中，点与点B关于点成中心对称，则点B的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了中心对称的性质，点P是点A和点B的中点，应用中点公式进行列式计算，求解点B的坐标，即可作答． 【详解】解：设点B的坐标为， ∵点与点B关于点成中心对称， ∴点是的中点 ∵点，点， ∴横坐标：，纵坐标： ∴，． ∴点B的坐标为， 故答案为：． 7．（24-25八年级下·陕西延安·期中）如图，在四边形中，，点E是上一点，点D与点C关于点E成中心对称，连接并延长，与的延长线交于点F．证明：点A与点F关于点E成中心对称． 【答案】见解析 【分析】本题考查了中心对称，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．证明得，，即可得证． 【详解】证明：点与点关于点中心对称， 是线段的中点，即， ， ， 在与中， ， ， ，， 点A与点F关于点E成中心对称． 题型五   确定两个图形的对称中心 1．（25-26七年级上·全国·期末）如图，已知与成中心对称，则对称中心是点 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了中心对称的性质，掌握好中心对称的概念是关键． 根据中心对称的性质，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分．连接和，交点即为对称中心． 【详解】解：如图所示： 故答案为：． 2．（25-26九年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，和关于点P成中心对称，则点P的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查中心对称，掌握相关知识是解决问题的关键．根据中心对称的性质，旋转中心是各组对应点连线的交点，据此解答即可． 【详解】解：根据中心对称的性质，旋转中心是各组对应点连线的交点，如图，． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，四边形与四边形是成中心对称的两个图形．请试着确定其对称中心的位置． 【答案】见解析 【分析】此题考查对称中心的确定方法，成中心对称图形的性质：成中心对称的两个图形的对应点连线经过对称中心，并且被对称中心平分，掌握成中心对称的图形的性质是解题的关键． 连接两对对应点，交点即为所求的对称中心． 【详解】解：连接，交点O即为所求的对称中心． 如图所示： 4．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，和关于点成中心对称，若，，，请在图中画出它们的对称中心，并求出的周长．    【答案】见解析，15 【分析】本题主要考查了中心对称，正确掌握中心对称图形的性质是解题关键． 连接，，其交点就是对称中心；依据和关于点成中心对称，即可得到，进而得出的周长． 【详解】解：如图所示，点即为所求；   和关于点成中心对称， ， ，，， 的周长； 答：的周长为15． 5．（25-26八年级上·全国·课后作业）在如图所示的四张扑克牌中，哪一张的牌面是中心对称图形？是中心对称图形的，请画出它的对称中心． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查中心对称图形的概念，即图形绕某一点旋转后能与原图形重合．理解中心对称图形的概念是解题的关键．根据中心对称图形的定义回答即可． 【详解】解：第1张和第3张能找到一个点，使图形绕某一点旋转后和原图形重合，所以是中心对称图形，它们的对称中心在对角线的交点． 如图，点即为所求的点． 题型六   求关于原点对称点的坐标 1．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）点关于原点对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求关于原点对称的点的坐标，利用了关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标为， 故选：C． 2．（25-26九年级上·黑龙江绥化·期末）平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，掌握“横纵坐标都互为相反数”是关键．根据关于原点对称的点，横纵坐标均互为相反数，直接作答即可． 【详解】解：根据关于原点对称的点的坐标特征为：横纵坐标都互为相反数， 可得：点关于原点的对称点的坐标是． 故选：B． 3．（25-26九年级上·河南信阳·月考）平面直角坐标系内与点关于原点对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标变化规律，解题的关键是熟练掌握关于原点对称点的横纵坐标均互为相反数．根据关于原点对称的点的坐标性质，点的横坐标和纵坐标都变为相反数，进行求解即可． 【详解】解：∵点P的坐标为， ∴关于原点对称的点的坐标为． 故选：C． 4．（25-26九年级上·天津·月考）在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标，熟记关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数是解题的关键； 根据关于原点对称的点的坐标特征，横坐标和纵坐标都互为相反数即可求解． 【详解】解：点关于原点的对称点坐标为， 故答案为：． 5．（25-26八年级上·四川成都·月考）与点关于轴对称的点的坐标为 ，关于原点对称的点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查关于y轴和原点对称的点的坐标特点，掌握相关知识是解题关键． 关于y轴对称的点的坐标特征是：纵坐标不变，横坐标变为原数的相反数；关于原点对称的点的坐标特征是：横纵坐标互为相反数，据此求解即可． 【详解】解：与点关于轴对称的点的坐标为，关于原点对称的点的坐标为． 故答案为：，． 6．（25-26九年级上·甘肃甘南·期末）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点位于第 象限． 【答案】四 【分析】本题主要考查点关于原点对称的坐标特点，根据点坐标的特点判定所在象限，理解并掌握点的对称性质是解题的关键． 根据点关于原点对称的点的横坐标、纵坐标均变为相反数，再根据点坐标的符号即可求解． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标为， ∴点在第四象限， 故答案为：四． 题型七   已知两点关于原点对称求参数 1．（25-26九年级上·四川德阳·期中）在平面直角坐标系中，若点关于原点对称的点的坐标是，则坐标关于x轴对称的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 根据关于原点对称的点的坐标特征求出a和b的值，得到点A的坐标，再根据关于x轴对称的点的坐标特征求解． 【详解】解：∵点关于原点对称的点的坐标是， ∴， 解得， ∴点A的坐标为， 点A关于x轴对称的点的坐标：横坐标不变，纵坐标互为相反数， ∴对称点的坐标为． 故选：A． 2．（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如果点关于原点的对称点为，则 ． 【答案】2026 【分析】本题考查了关于原点对称的点的特点，代数式求值，解题的关键是熟练掌握根据关于原点对称的点的特点求出和的值．根据关于原点对称的点的特点，可求出和的值，即可进一步得到答案． 【详解】解：∵点关于原点的对称点为， ， ， 故答案为：2026． 3．（25-26九年级上·甘肃定西·期末）已知点，关于原点中心对称，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了关于原点中心对称的点的坐标特征，熟练掌握“关于原点中心对称的点，横、纵坐标分别互为相反数”是解题的关键．根据关于原点中心对称的点的坐标特征，求出和的值，再计算． 【详解】解：∵ 点，关于原点中心对称， ∴ ，， ∴ ， 故答案为：． 4．（宁夏吴忠三中、四中、六中、九中2025-2026学年九年级上学期期末考试数学试卷）已知点和点关于原点对称，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查坐标与中心对称，根据关于原点对称的点的横纵坐标均互为相反数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得， ∴； 故答案为：1． 5．（25-26九年级上·安徽·期末）已知点，． (1)若，两点关于原点对称，求，的值； (2)若，两点关于轴对称，求，的值． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征，熟记关于原点对称、关于轴对称的两个点的坐标特征是解决问题的关键． （1）由关于原点对称的两点的横坐标、纵坐标均互为相反数，列方程求解即可得到答案； （2）由关于轴对称的两点的横坐标相等、纵坐标互为相反数，列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：，两点关于原点对称， ，， ，； （2）解：，两点关于轴对称， ，， ，． 题型八   根据中心对称的性质求面积、长度、角度 1．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查中心对称的性质，中心对称的性质： 1．对称中心是连接对称点的线段的中点； 2．两个中心对称图形全等； 3．对应线段平行（或共线）且相等； 4．对称点的连线必过对称中心且被对称中心平分．掌握中心对称的性质是求解本题的关键． 根据中心对称的性质判断即可． 【详解】解：与关于点O成中心对称， ∴，，故C选项成立，不符合题意， ，，故B， D选项成立，不符合题意， 不一定成立，故A选项结论不一定成立．符合题意 故选：A． 2．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，与关于点D中心对称，连接，以下结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了中心对称图形的性质，即对应点在同一条直线上，且到对称中心的距离相等． 根据中心对称图形的性质可得结论． 【详解】解：∵与关于点D中心对称， ∴，，，， ∴，， ∴选项A、C、D正确； 无法证明， ∴选项B错误； 故选：B． 3．（25-26九年级上·河南周口·期中）如图，，曲线和曲线关于点成中心对称，曲线和曲线关于点成中心对称，曲线和曲线关于点成中心对称如果，那么图中所示的封闭图形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题主要考查了中心对称的应用，求不规则图形的面积， 先连接，可得封闭图形的面积等于三角形的面积，再根据三角形面积公式求出结果即可. 【详解】解：如图所示，连接，由曲线和曲线关于点D成中心对称，曲线和曲线关于点E成中心对称，曲线和曲线关于点O成中心对称， ∴经过点D，O，E，且弧形的面积相等， ∴封闭图形的面积等于. 故选：B. 4．（24-25九年级上·河南许昌·期中）如图，直线于点O，曲线c关于点O中心对称，点A的对应点是点于点于点D．若，则阴影部分的面积为（    ） A．5 B．6 C．12 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，理解中心对称的概念是解题的关键． 根据中心对称图形的概念，以及长方形的面积公式即可解答． 【详解】解：如图，过点A作轴于点E， ∵直线于点O，曲线c关于点O中心对称，点A的对应点是点于点于点D，， ∴， ∴图形①与图形②面积相等， ∴阴影部分的面积之和长方形的面积． 故选：B 5．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，在等边三角形中，O为的中点，，与关于点B中心对称，连接，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了中心对称及等边三角形的性质，熟知等边三角形的性质及中心对称的性质是解题的关键． 先求出及的长，进一步得出及的长，据此求出的长，最后用三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵是等边三角形，O为的中点，， ∴，． 在中， ． ∵与关于点B中心对称， ∴，， ∴， ∴的面积为． 故答案为：． 6．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，和关于点C中心对称，连接．若，，，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了中心对称的性质，全等三角形的性质，勾股定理等知识，掌握相关知识是解决问题的关键．根据中心对称的性质及，由勾股定理即可求得的长． 【详解】解：由中心对称图形可知， ，，， ， ， ． 故答案为：． 7．（25-26九年级上·陕西商洛·期中）如图，在等腰三角形中，是底边的中线，与关于点 C 成中心对称，连接，若则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，中心对称图形．根据等腰三角形的性质可得，再由中心对称图形的性质可得，，，然后根据勾股定理解答即可． 【详解】解：在等腰三角形中，∵是底边的中线，， ∴， ∵与关于点 C 成中心对称， ∴，，， ∴， ∴． 故答案为： 8．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，是上一点，和关于点对称，连接，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了中心对称的性质，平行四边形的判定． 根据中心对称的性质得出，，进而证明，即可证明四边形是平行四边形． 【详解】证明：和关于点O对称， ， 四边形是平行四边形． 9．（25-26九年级上·云南玉溪·期中）如图，与关于点成中心对称． (1)连接，证明四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查中心对称图形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理的综合，掌握以上知识的运用是关键． （1）根据中心对称的特点得到，结合一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可求证； （2）由勾股定理，平行四边形的性质得到，由此即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示， ∵与关于点成中心对称， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵，，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 题型一   旋转的性质运用 1．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）平移、轴对称、旋转所具有的共同性质不包括（    ） A．变换前后两个图形重合 B．对应线段相等 C．对应角相等 D．对应线段平行或在一条直线上 【答案】D 【分析】本题考查几何变换的类型，平行线的性质，利用平移，轴对称，旋转的性质一一判断即可． 【详解】解：平移、轴对称、旋转所具有的共同性质：变换前后两个图形重合，对应线段相等，对应角相等， 故选：D． 2．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图，将绕点顺时针旋转得到，若、、三点共线，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，由旋转的性质可得，，，再由等边对等角并结合三角形内角和定理即可得出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由旋转的性质可得：，，， ∴， ∴， 故选：B． 3．（24-25八年级下·山西运城·期末）如图，中，，在边的同侧作等边三角形，，，连接．以下结论中正确的有（    ） ①四边形是平行四边形； ②； ③； ④可以看成是绕点C顺时针旋转得到的． A．②③ B．①②④ C．①②③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定以及旋转等知识，分别证明和可得，由等边三角形的性质得，得四边形是平行四边形；；可以看成是绕点C顺时针旋转得到的，故可得结论． 【详解】解：∵，，是等边三角形， ∴， ∴， ∴, ∴， ∴，，故②正确； ∴，故③正确； 同理可证， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； ∵，且， ∴可以看成是绕点C顺时针旋转得到的，故④正确； ∴正确的结论是①②③④， 故选：C． 4．（25-26九年级上·黑龙江绥化·期末）如图，在矩形中，，将矩形绕着点D逆时针旋转得到矩形，与相交于点M，当点落在延长线上时，若，则四边形的面积为 ． 【答案】315 【分析】先连接、，由旋转性质得，再由等腰三角形三线合一得，进而通过求证，得的长，并表示出的三边，根据勾股定理列出等量关系式，求出、的长，最后根据梯形面积公式求解． 【详解】解：如图，连接、， 设，由得， 四边形是矩形， ，，， 矩形绕着点D逆时针旋转得到矩形， ，，，，，， ，， ， 在和中， ， ， ， 在中， ， ，，， ， 解得：（舍去）或， ，， 四边形是直角梯形， ， 故答案为：315． 【点睛】本题考查旋转的性质，等腰三角形的三线合一，全等三角形的判定和性质，勾股定理和梯形面积的计算，关键是做出恰当的辅助线，综合应用旋转的性质，等腰三角形的三线合一，全等三角形的判定和性质，勾股定理和梯形面积的计算求解． 5．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图，将绕点顺时针旋转得到，点落在的延长线上． (1)求证：为等边三角形； (2)求证：． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】本题考查三角形综合，涉及旋转性质、等边三角形的判定与性质等知识，熟记旋转性质及等边三角形判定与性质是解决问题的关键． （1）由旋转性质得到，，即可由等边三角形的判定定理得到为等边三角形； （2）先由旋转性质得到，再等量代换有，最后结合等边三角形性质即可得证． 【详解】（1）证明：将绕点顺时针旋转得到， ，， 为等边三角形； （2）证明：将绕点顺时针旋转得到， ， ， ， 在等边中，， ． 6．（25-26九年级上·全国·月考）如图，在中，点在边上，，将边绕点旋转到的位置，使得，连接与交于点，且，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）证明即可求证； （）由全等三角形的性质得，由等腰三角形的性质得，即得，再根据三角形的外角性质即可求解； 本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 由旋转可得，， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 7．（25-26九年级上·广东广州·月考）如图，是等边内的任意一点，将绕点顺时针旋转到的位置，连接．请判断的形状，并说明理由． 【答案】是等边三角形，理由见详解 【分析】本题主要考查旋转的性质及等边三角形的判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键；由旋转的性质可得，然后根据等边三角形的判定定理可进行求解． 【详解】解：是等边三角形，理由如下： ∵将绕点顺时针旋转到的位置， ∴， ∴是等边三角形． 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）在中，．是任意一点，连接，再将绕点顺时针旋转至，使，连接，． (1)如图（），若点在的内部，则与相等吗？若相等，请给出证明． (2)如图（），若点在的外部，则与相等吗？若相等，请给出证明． 【答案】(1)，证明见解析 (2)，证明见解析 【分析】（）证明即可求证； （）证明即可求证； 本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：，证明如下： 由旋转可得，， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： 由旋转可得，， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； 9．（23-24七年级上·江苏宿迁·期末）已知是内部的一条射线，M，N分别是边，上的点，线段，分别以，的速度同时绕点O逆时针旋转． (1)如图①若，当、逆时针旋转2s时，分别到、处，求的值； (2)如图②，若分别在内部旋转时，总有，求的值 (3)如图③，C是线段上一点，点M从点A出发沿线段向点C运动，同时点N从点C出发沿线段向点B运动，M，N两点的速度比是．若运动过程中始终有，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了角的和差，线段的和差，旋转的性质， 对于（1），根据旋转可知，，再表示，然后根据的度数，可得答案； 对于（2），设旋转时间是ts，并表示，即可得出，最后代入可得结论； 对于（3），根据题意可得，再根据，可得，然后代入得出答案． 【详解】（1）∵线段分别以每秒，的速度绕点O旋转2s， ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴； （2）设旋转时间是ts，则， ∵， ∴， 则， ∴； （3）∵M，N两点的速度之比是， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 10．（24-25九年级上·湖北十堰·期末）【情境知识技能】学校数学兴趣小组活动时，小红给小波出了一道题： （）如图，在等腰中，，，点在边上，且，小红对小波说：“图中线段、和有一定的数量关系，你知道吗？” 小波毫不思索的回答道：“太简单了，把绕点逆时针转得到，连接，就能证出”．小红微笑着点了点头，并给小波竖起了大拇指． 【解决问题】 ①若，，则______； ②请你帮助小波证明他的结论． 【情境理解应用】 （）小波接着对小红说：“如图，在四边形中，度，，，若，，你知道的长吗？”，小红会意点了头．请帮小红求出的长度． 【答案】（）①；②证明见解析；（） 【分析】（）①由勾股定理可得，即得，得到，再利用勾股定理解答即可求解；②由旋转的性质可得，，，，进而可证，得到，再根据得到，即可求证； （）作于，由勾股定理得，进而得，又由等腰三角形的判定可得，即得，再利用勾股定理解答即可求解． 【详解】解：（）①∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：； ②证明：∵，， ∴， ∵绕点逆时针旋转得到，连接，如图所示， 则，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，’ ∴； （）作于，如图所示， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得或， ∵， ∴或， 在中，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 题型二   画旋转图形 1．（宁夏吴忠三中、四中、六中、九中2025-2026学年九年级上学期期末考试数学试卷）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点均在格点上． (1)画出以原点为中心的中心对称图形，并写出点的坐标； (2)画出将绕原点顺时针旋转得到的，并写出点的坐标． 【答案】(1)图见解析， (2)图见解析， 【分析】本题考查了画中心对称图形，画旋转图形． （1）根据中心对称的性质，找到A，B的对应点，顺次连接即可得出，并写出点的坐标； （2）根据旋转的性质，找到A，B的对应点，顺次连接即可得出，并写出点的坐标 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求；． 2．（25-26九年级上·甘肃平凉·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，．将绕原点O顺时针旋转后得到，画出．（点A、B、C的对应点分别为点、、） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了作图-旋转变换，熟练掌握旋转变换的性质是解题的关键． 先利用旋转变换的性质，分别画出A、B、C的对应点、、，然后顺次连接即可解答． 【详解】解：如图：即为所求． 3．（25-26九年级上·山西大同·月考）如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，ABC的顶点均在格点（网格线的交点）上，直线经过小正方形的边． (1)画出关于直线成轴对称的； (2)将（1）中的绕点逆时针旋转得到，画出． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了画轴对称图形，旋转作图，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据轴对称的性质画出点的对应点分别为，即可画出 （2）根据旋转的性质找出每个顶点绕点逆时针旋转后得到的对应点，再连线得到． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求： （2）解：如图所示：即为所求． 4．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为点，，． (1)画出将先向左平移4个单位，再向下平移3个单位得到的，其中点A、B、C的对应点分别为点、、； (2)画出将绕原点O顺时针旋转得到的，其中点A、B、C的对应点分别为点、、，并直接写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析； 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移和旋转，正确找到对应点的位置是解题的关键． （1）根据平移方式可得、、的坐标，描出、、，并顺次连接、、即可； （2）根据所给旋转方式和网格的特点可得、、的位置， 描出、、，并顺次连接、、即可． 【详解】（1）如图所示，即为所求． （2）解：如图所示，即为所求，点的坐标为， 5．（25-26九年级上·甘肃天水·期末）已知在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出与关于原点对称的； (2)将绕点C顺时针旋转得到，画出，并写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)作图见解析， 【分析】本题主要考查了坐标与图形—旋转变换以及中心对称变换． （1）利用网格特点和关于原点对称的特点，画出点A、B、C的对应点即可； （2）利用网格特点和旋转的性质，画出点A、B、C的对应点即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图，即为所求．点的坐标为. 6．（25-26九年级上·青海海西·期末）在图中分别画出绕点O顺时针旋转的和后的． 【答案】见解析 【分析】本题考查了旋转作图，确定各顶点的对应点是作图关键．根据旋转性质分别确定各顶点绕点O顺时针旋转和后的对应点，再顺次连接即可． 【详解】解：如图，和即为所求： 7．（24-25九年级上·云南红河·期末）如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请画出以点O为旋转中心，顺时针旋转后得到的图形（A的对应点为，B的对应点为，C的对应点为）； (2)求的面积． 【答案】(1)画图见解析； (2)． 【分析】（）根据旋转变换的性质找出对应点即可求解； （）利用正方形面积减去三个直角三角形面积即可； 本题考查了作图－旋转变换，三角形面积，解题的关键是根据旋转变换的性质画出图形． 【详解】（1）解：如图，以点O为旋转中心，顺时针旋转后得到； ∴即为所求； （2）解：的面积 ． 题型三   旋转中的规律性问题 1．（25-26九年级上·河南开封·期中）如图所示，把正方形铁片置于平面直角坐标系中，顶点的坐标为，点，在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置……则正方形铁片连续旋转2025次后，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形的变化、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法，属于中考常考题型．首先求出的坐标，探究规律后，利用规律解决问题． 【详解】解：第一次， 第二次， 第三次， 第四次， 第五次， … 发现点P的位置4次一个循环， ∵， 的纵坐标与相同为2，横坐标为， ∴， 故选：B． 2．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，将等边绕点A旋转，得到，再将绕点旋转，得到，再将绕点旋转，得到，…，按此规律进行下去，若点且等边的高为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意先求得的坐标，进而求得的坐标，发现规律，即可求得的坐标． 【详解】解：∵是等边三角形，，将等边绕点A旋转，得到， ∴， ， ， ， ， ， ， 则， 同理可得，， ……，， 即． 故选C． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，坐标与图形，找到规律是解题的关键． 3．（2025·广东广州·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，，，，，，……都是平行四边形的顶点，点，，……在轴正半轴上，，，，，，，……，平行四边形按照此规律依次排列，则第6个平行四边形的对称中心的坐标是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是点的坐标变化规律，中心对称和平行四边形的性质，熟练掌握上述知识点是解题的关键．根据题意，先求出前几个点的坐标，即可找出规律：第个平行四边形的对称中心坐标为，即可求解． 【详解】解：如图所示，作轴于点， ，， ， ， ，重合， ， 则的中点即为第1个平行四边形的对称中点，其坐标为； 同理可得：，，， 则的中点即为第2个平行四边形的对称中点，其坐标为； 同理可得：第3个平行四边形的对称中心的坐标是； 同理可得：第个平行四边形的对称中心的坐标是； 第6个平行四边形的对称中心的坐标是，即，，， 故选：D． 4．（25-26九年级上·甘肃临夏·期末）如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点连续旋转2026次得到正方形，如果点的坐标为，那么点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查点的坐标变化规律，依次求出每次旋转后点对应点的坐标，发现规律是解题的关键． 根据旋转的性质可得点的坐标与点的坐标相同，利用已知条件求出即可得解． 【详解】正方形绕点逆时针旋转， ，每旋转次回到原来位置， 余， 点的坐标与点的坐标相同， 已知点，则点，旋转后点，再旋转后点， 点的坐标为． 故答案是． 5．（24-25八年级上·山东威海·期末）如图，在直角坐标系中，已知点，，对连续作旋转变换，依次得到，，，，…，那么的直角顶点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系及图形的旋转变换、勾股定理，通过分析几次旋转得到旋转规律是解题的关键． 过点作轴于点，根据勾股定理列式求出，利用等积法求出，根据勾股定理列式求出，得出，可得坐标，再根据第四个三角形与第一个三角形的位置相同可知每三个三角形为一个循环组依次循环，然后求出一个循环组旋转前进的长度，再用除以，根据商为，余数为，可知第个三角形的直角顶点为第个循环组后第二个三角形的直角顶点，求出即可． 【详解】解：如图，过点作轴于点， ∵，， ∴，， ∴， 由旋转得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵第一次旋转变换后直角顶点坐标为， ∴第二次旋转变换后直角顶点坐标为， 第三次旋转变换后直角顶点坐标为， 第四次旋转变换后直角顶点坐标为， 第五次旋转变换后直角顶点坐标为， ∴由图可知，每三个三角形为一个循环组依次循环， ∵， ∴的直角顶点是第个循环组后第二个三角形的直角顶点， ∵一个循环组横坐标前进的长度为：， ∴， ∴的直角顶点的坐标为． 故答案为：． 6．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为2的正方形，A，C分别在y轴正半轴与x轴正半轴上，P点坐标为，将P点关于A对称得到，将关于O点对称得到，将关于C点对称得到，将关于B点对称得到，将关于A点对称得到，……，按照顺序以此类推，则的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标变化规律，中心对称．根据题意，探究规律，得出四次一个循环，利用规律求解即可． 【详解】解：如图，由题意， ∴与P重合，四次一个循环， ∵， ∴与重合， ∴． 故答案为：． 题型四   坐标系中的旋转 1．（25-26八年级上·江苏徐州·月考）如图，在平面直角坐标系中，，，连接．将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则线段的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转，勾股定理，通过全等三角形求出点C的坐标是解题的关键．过点C作x轴的垂线，求出点C的坐标，然后根据待定系数法求解即可． 【详解】解：过点C作x轴的垂线，垂足为M， ∵， ∴， ∵将线段绕点A顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵，， ∴，， ∴， ∴， 设直线的函数表达式为， 则， 解得 ∴ ∴线段的函数表达式为， 故答案为：． 2．（25-26八年级上·辽宁阜新·期末）如图，三个顶点的坐标分别为． (1)画出关于轴对称的； (2)点坐标为____________； (3)计算的面积； (4)若为平面内一点，使是以为直角边的等腰直角三角形，直接写出点坐标． 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4)或或或 【分析】本题考查了轴对称变换，点的坐标，三角形的面积，旋转变换，掌握相关知识点并正确作图是解题的关键． （1）根据轴对称的性质，做出点，再连线，即可求解； （2）根据图形，即可求解； （3）利用割补法求三角形的面积即可； （4）分别将线段绕点A顺时针旋转、逆时针旋转，将线段绕点B顺时针旋转、逆时针旋转，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示． （2）解：由图可知，点坐标为． （3）解：由图可知，． （4）解：如图，将线段绕点A逆时针旋转，得到， 根据旋转可知，此时是以为直角边的等腰直角三角形， 由图可知点坐标为； 同理，将线段绕点A顺时针旋转，得到，点坐标为； 将线段绕点B顺时针旋转，得到，点坐标为； 将线段绕点B逆时针旋转，得到，点坐标为； 综上可知，点P坐标为或或或． 3．（25-26八年级上·江西萍乡·期中）美国总统伽菲尔德利用图1验证了勾股定理，过等腰的直角顶点A作直线l，过点C作于点D，过点B作于点E，研究图形，不难发现：．如图2，图3，在平面直角坐标系中，点为x轴正半轴上一点，点B为y轴上一点，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接． (1)如图2，若点B在y轴正半轴上且B点坐标为，则点C的坐标为_______． (2)如图3，若点B在y轴负半轴上且B点坐标为，请求出的面积． (3)点B在y轴上运动过程中（点B不与点O重合），的面积是否发生变化？若不变，请直接写出的面积；若变化，请说明理由． 【答案】(1) (2)的面积为 (3)不变，的面积为2 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，坐标与图形，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质． （1）过点作轴于点，证明，根据全等三角形的性质以及坐标系，即可得出点C的坐标； （2）过点作轴于点，，同（1）得出，根据点C的坐标即可求出面积； （3）根据（1）（2）得方法，得出C的纵坐标为2，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作轴于点， ∴， ∵， ∴， 根据旋转得， ∴， ∴根据点的坐标可得，， ∴点C的坐标为， 故答案为：； （2）解：如图，过点作轴于点， ∴， ∵， ∴， 根据旋转得， ∴， ∴根据全等可能，， ∴ ∴点C的坐标为， ∴的面积为； （3）解：的面积不发生变化，理由如下： ①如（2）得，当点位于纵轴负半轴时，设B点坐标为， 则， ∴ ∴点C的坐标为， ∴的面积为； ②当点位于纵轴正半轴时，B点坐标为，如图，过点作轴于点， 同理（1）可证， ∴， ∴点的纵坐标为2， ∴； 综上，的面积不发生变化． 4．（25-26八年级上·广东广州·期中）在平面直角坐标系中，，，点为轴上的动点，连接，将绕点逆时针方向旋转到，连接交于点． (1)如图1，当点与点重合时，请直接写出点的坐标； (2)如图2，当点运动到中点处时，求证：； (3)已知点F（0，4），当点在轴上运动时，连接、，在射线上取一点，连接、，使得．请补充完图形并直接写出、、三者的数量关系． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)作图见解析，或 【分析】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中找出全等三角形并证明是解题的关键． （1）根据题目可知是的中点，即可得解； （2）过点作，垂足为，证明和，即可得证； （3）当点在轴负半轴且时，点不可能在射线上；当点与点重合时，点与点重合时，此时，；当点与点重合时，此时点与点重合，此时，，再分两种情况讨论：当点在点与点之间时，当点在点的右边时讨论即可． 【详解】（1）由题可知：， ， ，， ． （2）过点作，垂足为， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ，是的中点， ，， 在和中， ， ， ， ， ； （3）， 当点在轴负半轴且时，点不可能在射线上；当点与点重合时，点与点重合时，此时，；当点与点重合时，此时点与点重合，此时，． ①当点在点与点之间时，过点作交的延长线于点，如图（1）， ，， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ； ②当点在点的右边时，作，如图（2）， 由题可得：，， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ． 题型五   线段旋转问题 1．（25-26八年级上·福建泉州·月考）在中，，，点在边上，．若，，则的长为（    ） A．9 B． C．10 D． 【答案】B 【分析】解题的核心思路是旋转构造．将绕点顺时针旋转至，连接、．首先利用证明，从而得到，并推导出．再证明，得到．这样，在中，由勾股定理得，即．最后代入已知数值，即可求出的长度． 【详解】解：如图， 将绕点顺时针旋转得到，连接． 由旋转可知，，且． ∴． 在与中， ∵，，， ∴． ∴，． ∵中，，， ∴． ∴． ∴． 在中，由勾股定理得：． 又∵， ∴． 在与中， ∵，，， ∴． ∴． ∴，即． 已知，， 代入得：． 解得：． 故选：B． 【点睛】本题考查旋转法构造全等三角形、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理．解题的关键是成功构造旋转全等，并利用角证明第二次全等，从而将转移到． 2．（25-26九年级上·湖北荆州·期中）如图，平面直角坐标系中，已知，，为轴正半轴上一个动点，将线段绕点逆时针旋转，点的对应点为，则线段的最小值是（   ） A． B．12 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形变换−旋转，三角形全等的判定和性质，勾股定理的应用以及二次函数的性质，表示出点Q的坐标是解题的关键．设，则，证明，由全等三角形的性质可得，，可确定点Q的坐标，然后根据勾股定理得到，即可求得当时，有最小值，即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴， 设，则， 作轴于点，如下图， ∵将线段绕点逆时针旋转，点的对应点为， ∴，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴当时，BQ有最小值，最小值为． 故选：A． 3．（24-25九年级上·安徽芜湖·月考）如图，是等边内一点，，，．将线段以点为旋转中心按逆时针方向旋转得到线段，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据旋转的性质得，，推出是等边三角形，证明得，由得，由可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵，将线段以点为旋转中心按逆时针方向旋转得到线段， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形，，， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 即的度数为． 故选：D． 【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理等知识点，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 4．（25-26九年级上·北京·期中）如图，平面直角坐标系中，点，，，连接，并将线段绕点A顺时针旋转，点B旋转到点，连接．则周长的最小值为 ． 【答案】８ 【分析】过点B作轴于点C，过点作轴于点D，证明，得出，根据A、B两点的坐标，得出，说明点在直线上运动，根据为定值，得出当最小时，的周长最小，作点O关于直线的对称点，连接交直线于点E，连接，根据两点之间线段最短，得出当在点E处时，最小，且最小值为的长度，根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：过点B作轴于点C，过点作轴于点D，如图， 则， 由旋转知：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点在直线上运动， 当最小时，的周长最小， 作点O关于直线的对称点，连接交直线于点E，连接， 则， ∴， 当点与点E重合时，最小，且最小值为的长度， ∵， ∴由勾股定理得， 即的最小值为5， ∴周长的最小值为， 故答案为：８． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，坐标与图形，两点之间线段最短，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定和性质． 5．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，边长为8的等边三角形中，M是高所在直线上的一个动点，连接，将线段绕点B逆时针旋转得到，连接．则在点M运动过程中，线段长度的最小值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，作辅助线构造全等三角形是解题关键．取的中点，连接，根据等边三角形的性质和旋转的性质，可证，得到，由垂线段最短可知，当时，有最小值，此时有最小值，再结合30度角所对的直角边等于斜边一半求解即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接， 等边三角形的边长为8， ， ， ，， 是的中点， ， ， 线段绕点B逆时针旋转得到， ，， ， ，即， 在和中， ， ， 由垂线段最短可知，当时，有最小值，此时有最小值， ，， ， 线段长度的最小值是2， 故答案为：2． 6．（24-25八年级上·重庆·期末）如图，在四边形中，，，，且，的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，把绕点A逆时针旋转，得到，连接，过点E作，交延长线于点G，则，，，证明，设，，求出，， 则，则，，利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图，把绕点A逆时针旋转，得到，连接，过点E作，交延长线于点G，过点作于点， 则，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 设，， ∵，， ∴，， 则， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 7．（25-26九年级上·湖南长沙·月考）如图，已知正方形，是正方形内一点．若，，将绕点顺时针旋转至处，此时点、、三点正好在同一直线上． (1)求的度数； (2)求的长； (3)求的面积． 【答案】(1) (2) (3)3 【分析】（1）由题意可知，，那么，，从而得到，然后利用平角，得到； （2）结合（1）可知，，，从而得到，然后利用勾股定理求得即可； （3）过点作于点，然后利用勾股定理求得，接着利用求得面积即可． 【详解】（1）解：正方形， ， 将绕点顺时针旋转至处， ，且旋转角度为， ，， 是等腰直角三角形， ， 点、、三点正好在同一直线上， ； （2）解：，，， ，， ， ， 是等腰直角三角形，， ， ； （3）解：是等腰直角三角形，， ， ， ， 过点作于点，如图所示： ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的面积，正方形的性质，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． 题型六   面积旋转问题 1．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，已知长方形，，，是的中点，连接，将绕点旋转（其中、分别与、对应）使得落在直线上，得，连接，那么的面积是 ． 【答案】或 【分析】本题考查图形的旋转，画出将绕点顺时针或逆时针旋转后的图形，然后根据三角形面积公式计算即可．解题的关键是掌握旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前后的图形的形状相同． 【详解】解：如图，将绕点顺时针旋转得到， ∵长方形中，，，是的中点， ∴， ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∴； 如图，将绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴； 综上所述，的面积是或． 故答案为：或． 2．（23-24八年级下·四川成都·月考）已知两块相同的三角板如图所示摆放，点B、C、E在同一直线上，，，，将绕点C顺时针旋转一定角度，如果在旋转的过程中有一边与平行，那么此时的面积是 ． 【答案】或12 【分析】分两种情况画图讨论：如图1，当时，过点B作延长线于点F；当时，过点B作延长线于点G，利用30度角 直角三角形即可解答． 【详解】如图1，当时，过点B作延长线于点F， 根据题意可知：，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积； 如图2，当时，过点B作延长线于点G， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴的面积 综上所述：的面积是或12． 故答案为：或12． 【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，直角三角形，勾股定理，解题关键是利用分类讨论思想解答． 3．（25-26九年级上·四川绵阳·期中）如图，为等边内一点；将绕点顺时针旋转至的位置，连接． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)若，求的长与的面积． 【答案】(1)是等边三角形，理由见解析 (2)，的面积为 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的性质． （1）根据旋转的性质得到，可知，即可证明是等边三角形； （2）根据等边三角形的性质得到，根据勾股定理求出，将绕点顺时针旋转至的位置，连接，将绕点顺时针旋转至的位置，连接，可知，，，最后根据计算即可． 【详解】（1）解：是等边三角形．理由如下： 由旋转可知：． ， 是等边三角形． （2）解：是等边三角形， ， ． ． 如图2，将绕点顺时针旋转至的位置，连接，将绕点顺时针旋转至的位置，连接． ； 同理可得：． ． 4．（24-25九年级上·湖南长沙·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，． (1)画出关于原点成中心对称的，并写出点的对应点的坐标_______； (2)画出将绕原点顺时针旋转后得到的； (3)求的面积． 【答案】(1)作图见解析，； (2)见解析； (3). 【分析】本题考查了画中心对称图形、旋转图形，解决本题的关键是根据中心对称的性质以及旋转的性质作图． 分别作出点、、关于原点成中心对称的点、、，连接点、、，得到，借助网格写出点的坐标； 分别作出点、、绕原点顺时针旋转的对应点、、，连接点、、，得到即可； 把补充成一个的矩形，借助矩形的面积公式和三角形的面积公式求出的面积即可． 【详解】（1）解：如下图所示，分别作出点、、关于原点成中心对称的点、、， 连接点、、，得到， 即为所求， 点的坐标为； （2）解：如下图所示，分别作出点、、绕原点顺时针旋转的对应点、、， 连接点、、，得到， 即为所求； （3）解：如下图所示，把补充成一个的矩形， 则． 5．（24-25八年级下·江苏南京·期中）已知：如图1，四边形中，，，． (1)如图2，连接，由于，所以可将绕点顺时针方向旋转，得到，则的形状是_______． (2)若，，在（1）的基础上，求四边形的面积． (3)如图3，四边形中，，，，，，则四边形的面积为_______． 【答案】(1)等边三角形 (2) (3) 【分析】（1）由旋转的性质可得，则，，即可判断的形状； （2）由（1）知等边三角形的边长为，过点作于点，结合等腰三角形三线合一性质及勾股定理求出，再求出即可； （3）连接，由于，所以可将绕点顺时针方向旋转，得到，连接，过点作交的延长线于点，过点作交于点，证明是等腰直角三角形，利用勾股定理求出，，再求出和的面积和即可． 【详解】（1）解：∵将绕点顺时针方向旋转得到， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， 即的形状是等边三角形， 故答案为：等边三角形； （2）如图，过点作于点， ∵，，， ∴，，， ∵四边形中，，， ∴， ∴， ∴点、、共线， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴四边形的面积为； （3）连接，由于，所以可将绕点顺时针方向旋转，得到，连接，过点作交的延长线于点，过点作交于点， ∵将绕点顺时针方向旋转得到， ∴，，， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）知：是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，腰直角三角形的判定和性质，等积代换思想，类比思想等知识点，构造直角三角形，求出三角形的高是解题的关键． 6．（22-23八年级下·江苏南京·月考）（1）问题背景 如图甲，，，垂足为，且，，求四边形的面积．    小明发现四边形的一组邻边，这就为旋转作了铺垫．于是，小明同学有如下思考过程： 第一步：将绕点逆时针旋转； 第二步：利用与互补， 证明三点共线， 从而得到正方形； 进而求得四边形的面积．    请直接写出四边形的面积为　 　． （2）类比迁移如图乙，为等边外一点，，，且，求四边形的面积． （3）拓展延伸 如图丙，在五边形中，，，，，，求五边形的面积． 【答案】（1）25（2）（3）24 【分析】（1）根据四边形的面积等于正方形的面积计算即可； （2）如图乙中，延长至，取，连接．只要证明，即可推出四边形的面积等于的面积； （3）如图丙中，延长至，连接、、．只要证明五边形的面积等于四边形的面积即可． 【详解】解（1）由题可知． 故答案为25． （2）如图，延长至，取，连接．   等边中，，， ， 四边形中，， ， 又，， ， ，． ， ， 为等边三角形且， ． （3）如图，延长至，连接、、．   ，，， ， ． ，， ， ， ． 【点睛】本题考查四边形综合题、旋转变换、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 题型七   角度旋转问题 1．（24-25七年级下·辽宁鞍山·月考）将一副直角三角板和如图放置，此时，，，四点在同一条直线上，点在边上，其中，，．将图中的三角板绕点以每秒的速度，按顺时针方向旋转一定的角度后，记为三角板，设旋转的时间为秒．若在旋转过程中，三角板的某一边恰好与所在的直线平行，则的值为 【答案】6或9或18 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角度的计算等知识，分三种情况讨论：第一种情况当时，a为，第二种情况当时，a为，第三种情况，当时，a为，根据角度转动速度分别求解t即可． 【详解】解：I．如图，当时，   ，， ， ， ， a为 （秒）， II．如图，当时，   ， ， a为， （秒）， III． 如图，当时，    此时与在同一条直线上， a为， （秒）， 综上所述：三角板的某一边恰好与所在的直线平行， t的值为：6或9或18 故答案为：6或9或18 2．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）如图，已知，射线从开始，绕点逆时针旋转，旋转的速度为每秒，射线从开始，绕点顺时针旋转，旋转的速度为每秒，和同时开始旋转，当射线第一次与射线重合时，射线和同时停止旋转，设旋转的时间为秒． (1)射线和重合时，求的值． (2)射线与重合时，求的值． (3)求为何值时，． 【答案】(1)； (2)； (3)或 【分析】本题考查了角度的和差，旋转的性质，一元一次方程的应用，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． （1）用除以射线的旋转速度求解即可； （2）用除以射线和的旋转速度和求解即可； （3）分两种情况讨论：①射线与重合前；②射线与重合后，根据角度的和差关系列方程求解即可． 【详解】（1）解：（秒）； （2）解：（秒）； （3）解：由题意可知，，，， ， ， ①如图，射线与重合前， ， ， 解得：； ②如图，射线与重合后， ， ， 解得：，此时射线和重合， 综上可知，当时，的值为或． 3．（2025七年级上·全国·专题练习）已知，，按如图①所示摆放，将，边重合在直线上，，边在直线的两侧． (1)保持不动，将绕点旋转至如图②所示的位置，则________，________； (2)若按每分钟5°的速度绕点逆时针方向旋转，按每分钟2°的速度也绕点逆时针方向旋转，旋转到射线上时都停止运动，设旋转时间为分钟．求的大小（用含的整式表示）． 【答案】(1)； (2)或 【分析】本题主要考查角的计算，掌握角的和差计算是关键．情况不确定时，要注意考虑分类讨论． （1）根据旋转角的性质求解即可； （2）设旋转时间为秒，当与相遇时，求出，分时，与相遇前和时，与相遇后两种情况计算即可； 【详解】（1），， ， ； 故答案是：；． （2）设旋转时间为秒，则，， ，解得， ①时，与相遇前，，所以； ②时，与相遇后，，所以． 4．（23-24七年级下·四川资阳·开学考试）如图1，点，，依次在直线上，将射线绕点沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点沿顺时针方向以每秒的速度旋转（如图2），设旋转时间为（，单位秒）． (1)当时，______°． (2)在旋转过程中是否存在这样的，使得射线是由射线、射线组成的角（指大于而不超过的角）的平分线？如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由． (3)在运动过程中，当时，求的值． 【答案】(1) (2)存在，或 (3)或 【分析】本题考查了角的动态旋转问题，角的和差关系，角平分线的性质以及一元一次方程的应用．结合具体的角度关系，分情况建立一元一次方程是解题的关键． （1）根据射线、的旋转速度和时间，分别计算出与的度数，再利用点、、在直线上这一条件，通过角的和差关系求出的度数； （2）分情况讨论：一是旋转位置后，平分；二是另一种平分．在每种情况下，根据射线旋转速度和时间表示出相关角的度数，再利用角平分线性质（角平分线将角分成相等的两部分）建立关于的一元一次方程，求解并验证是否符合条件． （3）分三种情况讨论的情况：第一次比多转；第二次比多转；第三次比多转．在每种情况下，根据射线旋转速度和时间表示出角的度数，再根据建立关于的一元一次方程，求解后根据的条件，舍去不符合的解． 【详解】（1）解：当时，，， 点，，依次在直线上， ． 故答案为：． （2）解：存在，理由如下： ①旋转一周的时间为（秒）， ，即已经旋转的位置， 若平分且，位置如图1： 此时， ， ， 平分， ， ， 解得； ②若平分且，位置如图2： 此时， ，超过的部分就是， ， 平分， ， ， 解得； （3）解：①如图3， 当第一次达到时，比多转了， 得：，解得， ②如图4， 当第二次达到时，比多转了， 得：，解得， ③如图5， 当第三次达到时，比多转了， 得：，解得，不符合题意． 综上所述，当时，或． 题型八   画中心对称图形 1．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·月考）如图，已知和其内一点． (1)求作，使与关于点成中心对称； (2)指出各对应边以及各对应角． 【答案】(1)见解析 (2)对应边为和，和，和；对应角为和，和，和 【分析】本题考查了利用旋转变换作图，中心对称的性质，找出点、、关于点的对称点是解题的关键． （1）连接并延长至，使，连接并延长至，使，连接并延长至，使，然后顺次连接即可； （2）根据中心对称的性质写出对应边与对应角即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：对应边为：和，和，和． 对应角为：和，和，和． 2．（25-26九年级上·内蒙古通辽·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，．将绕点A逆时针旋转后得到． (1)画出，点的坐标为______； (2)画出关于点O对称的图形； (3)连接，求的度数． 【答案】(1)见解析， (2)见解析 (3) 【分析】此题考查旋转画图，中心对称作图，旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，根据旋转的性质是解题的关键． （1）根据旋转的性质确定，然后顺次连接即可画出图形，最后写出的坐标； （2）根据中心对称的性质确定，然后顺次连接即可画出图形．掌握中心对称的性质是解题的关键； （3）由旋转的性质易证是等腰直角三角形，进而即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求， 由图可得， 故答案为：； （2）解：如图，即为所求； （3）解：由旋转的性质可得，， ∴是等腰直角三角形， ∴． 3．（25-26九年级上·甘肃甘南·期末）如图，已知的顶点在格点上，在网格中按下列要求作图： (1)将绕点逆时针旋转得到； (2)作出与关于点成中心对称的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作旋转图形，作中心对称图形． （1）根据旋转的性质分别作出A、B的对应点，再顺次连接即可； （2）根据中心对称的性质分别作出A、B、C的对应点，再顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图所示，为所作图形； （2）解：如图所示，为所作图形． 4．（25-26七年级上·上海普陀·月考）（1）画出关于直线成轴对称的图形； （2）画出四边形关于点O成中心对称的图形． 【答案】（1）见详解；（2）见详解 【分析】本题考查了画轴对称图形，画中心对称的图形． （1）根据轴对称作图方法作图即可； （2）根据中心对称图形的作图方法作图即可； 【详解】解：（1）如图所示，即为所求； （2）如图所示，四边形即为所求． 题型九   说出一个图形到另一个图形的变换过程 1．（2022·河北石家庄·一模）在平面内，由图1经过两次图形变换后得到图2，下列说法错误的是（    ） A．只需经过两次轴对称变换 B．只需经过两次中心对称变换 C．先经过轴对称变换，再进行中心对称变换 D．先经过中心对称变换，再进行轴对称变换 【答案】B 【分析】利用轴对称与中心对称的定义进行分析判断即可． 【详解】解：由轴对称与中心对称的概念可知，两次轴对称，先轴对称后中心对称，先中心对称后轴对称均可由图1变换为图2；两次中心对称不能使图1变换为图2． 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称与中心对称的概念，轴对称即沿着某条直线翻折，中心对称即绕某个点旋转，明确两者的概念是解题的关键． 2．（18-19九年级上·全国·单元测试）以如图（1）（以为圆心，半径为1的半圆）作为“基本图形”，分别经历如下变换能得到图（2）的有 （只填序号，多填或错填得0分，少填个酌情给分）． ①只要向右平移1个单位； ②先以直线为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位； ③先绕着点旋转，再向右平移一个单位； ④绕着的中点旋转即可． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了几何变换的类型，根据轴对称变换，平移变换，旋转变换的定义结合图形解答即可． 【详解】解：由图可知，图（1）先以直线为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位， 或先绕着点旋转，再向右平移一个单位， 或绕着的中点旋转即可得到图（2）． 故答案为：②③④． 3．（24-25七年级下·河南洛阳·期末）轴对称、平移和旋转是三种重要的图形变换方式，它们的共同点就是图形的大小和形状都不变，只是改变了图形的位置．这三种图形变换之间是否存在一定的联系，小明做了如下探索： (1)如图①在方格纸上作，作关于直线m对称的，再作，关于直线n对称的，，发现，通过作图小明发现轴对称变换与平移变换之间的关系是什么？请你画图并写出小明发现的结论． (2)如图②在方格纸上作，作关于直线m对称的，再作关于直线n对称的，，发现，通过作图小明发现轴对称变换与旋转变换之间的关系是什么？请你画图并写出小明发现的结论． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查图形的对称、平移、旋转等变换．对称有轴对称和中心对称，轴对称的特点是一个图形绕着一条直线对折，直线两旁的图形能够完全重合；中心对称的特点是一个图形绕着一点旋转180度后与另一个图形完全重合，它是旋转变换的一种特殊情况．平移是将一个图形沿某一直线方向移动，得到的新图形与原图形的形状、大小和方向完全相同．旋转是指将一个图形绕着一点转动一个角度的变换． （1）观察本题中图案的特点，根据轴对称、平移的特征进行判断作答； （2）观察本题中图案的特点，根据轴对称、旋转的特征进行判断作答． 【详解】（1）解：作图如图，图形依次经过两条平行直线作两次轴对称变换相当于作一次平移变换； （2）解：作图如图，图形依次以某两条互相垂直的直线作两次轴对称变换相当于以垂足为旋转中心，顺时针（或逆时针）旋转（中心对称变换）． 4．（24-25七年级下·河南洛阳·期末）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，和的顶点均在格点上，且． (1)画出关于直线对称的． (2)画出，使与关于点成中心对称． (3)与是否对称？若对称，请在图中画出对称轴或对称中心． (4)写出一种由经过轴对称、平移和旋转变换得到的过程． 【答案】(1)见解析 (2)是轴对称图形，对称轴见解析 (3)见解析 (4)见解析，答案不唯一． 【分析】本题主要考查作图—平移变换、轴对称变换和旋转变换，解题的关键是掌握平移变换、轴对称变换和旋转变换的定义和性质． （1）分别作出三个顶点关于直线x的对称点，再首尾顺次连接即可； （2）分别作出三个顶点关于原点O的对称点，再首尾顺次连接即可； （3）由图形可得其对称轴； （4）结合图形，对照平移变换、轴对称变换和旋转变换的概念求解即可． 【详解】（1）如图所示，即为所求 （2）如图所示，即为所求， （3）与是轴对称图形，对称轴如图所示 （4）将以点B为旋转中心，逆时针旋转后，再向右平移6个单位得到． 题型一   旋转的综合运用 1．（25-26九年级上·江苏·假期作业） 如图，在平面直角坐标系中，已知，，点在以为圆心，为半径的圆上，关于的对称点为．连接，将绕点逆时针旋转得到．连接．则的最小值是（　　） A．14 B．15 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称、中心对称、旋转的性质、勾股定理、圆的性质、平行四边形的性质等，掌握点的运动规律，建立合理的数量关系，数形结合分析问题是关键． 根据题意，轴对称，旋转的性质得到点关于点的对称点坐标为，点在以点为圆心，为半径的圆上，点在以点为圆心，为半径的圆上，找到与的关系，由此得到的最小值是的最大值，最后数形结合分析即可求解． 【详解】解：∵点，， ∴点关于点的对称点的横坐标为，纵坐标为，即， ∵点在以为圆心，为半径的圆上，关于的对称点为， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上， 如图，连接， ∵， ∴点到轴的距离为，到轴的距离为， ∴， 将绕点逆时针旋转得，则， ∴与轴的负半轴的夹角为， ∴， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上， ∴当点在上顺时针运动时，根据轴对称的性质可得： 点在上逆时针运动，点在上顺时针运动， 连接， ∴， ∵点，的运动方向不同， ∴线段与线段的关系是：相交（如图）与平行（如图）， ∴如图，当时，延长交于点，过点作于点， 当，时，， ∴最大时，的值最小， ∴当时，的值在四边形是平行四边形时最大， ∴， ∴． 故选：D． 2．（25-26七年级上·重庆·月考）如图1，点在直线上，，射线平分，若． (1)求的度数； (2)如图2，的两边，分别与射线，重合，现将绕点以每秒的速度顺时针方向旋转，当射线与射线重合时，停止运动，设运动时间为秒． ①在运动过程中，若射线为的平分线，请猜想与的数量关系，并说明理由； ②如图3，在运动的同时，射线从射线开始，绕着点以每秒的速度逆时针方向旋转，当射线与射线重合时，立即以原速反方向顺时针方向旋转，当停止运动时，射线也停止运动．当时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)①或 ②或或 【分析】本题考查了角的倍分计算，一元一次方程的应用，角的平分线，熟练掌握解方程，角的关系是解题的关键． （1）设，则，从而得，又由射线平分，得,结合，构造一元一次方程求解得，进而求出的度数； （2）①设运动时间为，则，，， 故，当时，；当时，解答即可； ②设运动时间为，则，，，分类计算即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 不妨设，则， ∴， ∵射线平分， ∴, ∵，且， ∴， 解得， ∴． （2）①设运动时间为，则，，， 故， ∵射线为的平分线， ∴， 当时，如图所示， 根据题意，得, 此时， ∴ ∴， ∴； 当时，如图所示， 根据题意，得, 设运动时间为，则，，， 此时， 故， ∵射线为的平分线， ∴， 此时 ∴ ∴ ∴， ∴； ②解：设运动时间为，则，，， 当时，如图所示， 则， ∴，， ∴， ∵， ∴ 整理，得， 解得； 当时，如图所示， 则，，， ∴∴， ∵， ∴ 整理，得， 解得； 如图所示， 则，， ∴， ∴， ∵， ∴ 解得； 综上所述，当运动时间为或或成立． 3．（25-26八年级上·广东广州·期中）汉代数学家赵爽在《周髀算经》利用弦图最早严谨证明了勾股定理：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．即在如图1所示的直角三角形中，其三边关系满足： (1)如图1，已知，，则______； (2)如图2，点从点出发，以每秒1个单位长度沿轴正半轴运动；与此同时，点从点出发，以每秒2个单位长度沿轴正半轴运动；点从点出发，以每秒2个单位长度沿轴负半轴运动．连接，将绕点逆时针旋转至，连接交轴于点．当时，求运动时间． (3)如图3，已知，点是中点，过点作直线轴，点是直线上的动点，连接，作，且，若达到最小，且最小值为时，求此时的值． 【答案】(1)10 (2) (3) 【分析】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，关键是作垂线构造全等三角形． （1）根据勾股定理求解即可； （2）过点D作轴于点E，可证明，得，再证明，得，在中由勾股定理可求出的值． （3）过点作轴于点，可证明，可证得，点在平行于轴，且到轴的距离为的直线上，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，得，由勾股定理可求出的值． 【详解】（1）解：∵ ∴， 故答案为：． （2） 由已知可得，， 过点D作轴于点E， ∵将绕点逆时针旋转至， ∴， 又∵ ∴ ∴ ∴， ∴， ∴ 又∵， ∴， ∴， 在中， ∴ ∴ ∴（负值舍去）． 答：当时，运动时间为． （3） ∵为的中点， ∴． 作轴于点， ∵，且 又∵ ∴ ∴ ∴， ∴ ∴点在平行于轴，且到轴的距离为的直线上 作点关于直线的对称点 则有， ∴ ∴连接，与直线的交点时最小 在中 ∴ ∴（负值舍去） 答：若达到最小，且最小值为时，此时的值为2． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2图形的旋转 题型一   旋转图形和中心对称图形的识别 1．（25-26七年级上·上海宝山·月考）下列生活中的现象是旋转的是（   ） A．飞驰的汽车 B．匀速转动的摩天轮 C．运动员投掷标枪 D．乘坐升降电梯 2．（25-26九年级上·河北邢台·月考）下列运动形式属于旋转的是（） A．火箭升空 B．钟摆的摆动 C．传送带移动 D．电梯的运行 3．（25-26八年级上·山东烟台·期中）下列选项中属于旋转运动的是（    ） A．小华向西走10米再向北走10米 B．传送带传送货物 C．电梯从1楼到11楼再回到1楼 D．小亮正在荡秋千 4．（25-26七年级上·浙江杭州·开学考试）如图，将立方体绕它的对角线旋转，应该形成（    ）种立体图形． A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·江苏常州·月考）2025年苏超联赛火爆全网，图①是苏超联赛标志图，经过一次运动得到图②，这次运动可以是（   ） A．平移 B．翻折 C．旋转 D．以上都可以 6．（2025九年级上·全国·专题练习）北京冬奥会于年2月4日在北京和张家口联合举行．下图是冬奥会的吉祥物“冰墩墩”，将该图片按顺时针方向旋转后得到的图片是（   ） A． B． C． D． 7．（2026·山东临沂·模拟预测）2024年巴黎奥运会是第33届夏季奥林匹克运动会，于2024年7月26日至8月12日在法国巴黎举行，以下为巴黎奥运会项目图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 8．（四川省凉山彝族自治州2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题）2025年12月2日是第14个“全国交通安全日”，学习交通标志是学校安全教育的重要组成部分，下列交通标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 9．（25-26九年级上·甘肃陇南·期末）围棋是中华民族发明的迄今最久远、最复杂的智力博弈活动之一，下列用棋子摆放的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A．B．C．D． 10．（25-26九年级上·内蒙古呼伦贝尔·月考）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 11．（25-26九年级上·山东滨州·月考）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 12．（25-26七年级上·江苏南京·月考）在体育课上，当老师下达口令“向左转”时，你正确的动作应是以左脚跟为旋转中心，沿着 （填“顺时针”或“逆时针”）方向旋转 度． 题型二   找旋转中心、旋转角、对应点 1．（北京市大兴区2025-2026学年上学期九年级期末考试数学试卷）如图，在正方形网格中，点，和，的顶点均在格点上，将绕旋转中心旋转得到，则旋转中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 2．（25-26九年级上·全国·假期作业）如图，在正方形网格中，△绕某一点旋转某一角度得到△，则旋转中心可能是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 3．（24-25七年级下·陕西汉中·期末）如图，绕点逆时针旋转后得到（点B、C的对应点分别为点、），则等于（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·安徽芜湖·月考）如图，在的正方形网格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 5．（25-26九年级上·湖北孝感·月考）如图，将绕O逆时针旋转一定的角度后得到，若，，则旋转角的度数是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级上·上海·月考）如图，将三角形绕点按逆时针方向旋转一定的角度得到三角形，则旋转中心和旋转角是（   ） A．点B， B．点O， C．点B， D．点O， 7．（25-26八年级上·山东泰安·月考）如图，在的正方形网格中，绕某点旋转，得到，则其旋转中心可以是点 ． 8．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，的顶点都在方格纸的格点上，将绕点按顺时针方向旋转得到，使各顶点仍在格点上，则旋转角的度数是 ． 9．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，点D的坐标为，线段绕某点经过旋转后得到（点A与点C对应），则旋转角为 ． 题型三   求旋转中心的个数 1．（23-24七年级上·上海宝山·期末）如图，正方形旋转后能与正方形重合，那么图形所在的平面内可以作为旋转中心的点的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 2．（20-21九年级上·四川南充·期末）如图，如果将正方形甲旋转到正方形乙的位置，可以作为旋转中心的点有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型四   成中心对称 1．（25-26八年级上·黑龙江大庆·期中）已知点与点B关于点成中心对称，则点B的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·河南安阳·月考）下列图形中，与成中心对称的是（   ） A． B．C． D． 3．（18-19九年级上·全国·单元测试）将绕点旋转得到，则下列作图正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·广西钦州·期中）如图，若与关于点成中心对称，则下列结论不成立的是（    ） A． B． C． D． 5．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，与成中心对称，点O是对称中心，则下列结论不正确的是（   ）    A．点A与点D是对应点 B． C． D． 6．（23-24八年级下·江苏南京·期中）在平面直角坐标系中，点与点B关于点成中心对称，则点B的坐标是 ． 7．（24-25八年级下·陕西延安·期中）如图，在四边形中，，点E是上一点，点D与点C关于点E成中心对称，连接并延长，与的延长线交于点F．证明：点A与点F关于点E成中心对称． 题型五   确定两个图形的对称中心 1．（25-26七年级上·全国·期末）如图，已知与成中心对称，则对称中心是点 ． 2．（25-26九年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，和关于点P成中心对称，则点P的坐标是 ． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，四边形与四边形是成中心对称的两个图形．请试着确定其对称中心的位置． 4．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，和关于点成中心对称，若，，，请在图中画出它们的对称中心，并求出的周长．    5．（25-26八年级上·全国·课后作业）在如图所示的四张扑克牌中，哪一张的牌面是中心对称图形？是中心对称图形的，请画出它的对称中心． 题型六   求关于原点对称点的坐标 1．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）点关于原点对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·黑龙江绥化·期末）平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·河南信阳·月考）平面直角坐标系内与点关于原点对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·天津·月考）在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点坐标为 ． 5．（25-26八年级上·四川成都·月考）与点关于轴对称的点的坐标为 ，关于原点对称的点的坐标为 ． 6．（25-26九年级上·甘肃甘南·期末）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点位于第 象限． 题型七   已知两点关于原点对称求参数 1．（25-26九年级上·四川德阳·期中）在平面直角坐标系中，若点关于原点对称的点的坐标是，则坐标关于x轴对称的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如果点关于原点的对称点为，则 ． 3．（25-26九年级上·甘肃定西·期末）已知点，关于原点中心对称，则 ． 4．（宁夏吴忠三中、四中、六中、九中2025-2026学年九年级上学期期末考试数学试卷）已知点和点关于原点对称，则 ． 5．（25-26九年级上·安徽·期末）已知点，． (1)若，两点关于原点对称，求，的值； (2)若，两点关于轴对称，求，的值． 题型八   根据中心对称的性质求面积、长度、角度 1．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，与关于点D中心对称，连接，以下结论错误的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·河南周口·期中）如图，，曲线和曲线关于点成中心对称，曲线和曲线关于点成中心对称，曲线和曲线关于点成中心对称如果，那么图中所示的封闭图形的面积是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·河南许昌·期中）如图，直线于点O，曲线c关于点O中心对称，点A的对应点是点于点于点D．若，则阴影部分的面积为（    ） A．5 B．6 C．12 D．无法确定 5．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，在等边三角形中，O为的中点，，与关于点B中心对称，连接，则的面积为 ． 6．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，和关于点C中心对称，连接．若，，，则的长是 ． 7．（25-26九年级上·陕西商洛·期中）如图，在等腰三角形中，是底边的中线，与关于点 C 成中心对称，连接，若则的长为 ． 8．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，是上一点，和关于点对称，连接，求证：四边形是平行四边形． 9．（25-26九年级上·云南玉溪·期中）如图，与关于点成中心对称． (1)连接，证明四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 题型一   旋转的性质运用 1．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）平移、轴对称、旋转所具有的共同性质不包括（    ） A．变换前后两个图形重合 B．对应线段相等 C．对应角相等 D．对应线段平行或在一条直线上 2．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图，将绕点顺时针旋转得到，若、、三点共线，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·山西运城·期末）如图，中，，在边的同侧作等边三角形，，，连接．以下结论中正确的有（    ） ①四边形是平行四边形； ②； ③； ④可以看成是绕点C顺时针旋转得到的． A．②③ B．①②④ C．①②③④ D．②③④ 4．（25-26九年级上·黑龙江绥化·期末）如图，在矩形中，，将矩形绕着点D逆时针旋转得到矩形，与相交于点M，当点落在延长线上时，若，则四边形的面积为 ． 5．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图，将绕点顺时针旋转得到，点落在的延长线上． (1)求证：为等边三角形； (2)求证：． 6．（25-26九年级上·全国·月考）如图，在中，点在边上，，将边绕点旋转到的位置，使得，连接与交于点，且，． (1)求证：； (2)求的度数． 7．（25-26九年级上·广东广州·月考）如图，是等边内的任意一点，将绕点顺时针旋转到的位置，连接．请判断的形状，并说明理由． 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）在中，．是任意一点，连接，再将绕点顺时针旋转至，使，连接，． (1)如图（），若点在的内部，则与相等吗？若相等，请给出证明． (2)如图（），若点在的外部，则与相等吗？若相等，请给出证明． 9．（23-24七年级上·江苏宿迁·期末）已知是内部的一条射线，M，N分别是边，上的点，线段，分别以，的速度同时绕点O逆时针旋转． (1)如图①若，当、逆时针旋转2s时，分别到、处，求的值； (2)如图②，若分别在内部旋转时，总有，求的值 (3)如图③，C是线段上一点，点M从点A出发沿线段向点C运动，同时点N从点C出发沿线段向点B运动，M，N两点的速度比是．若运动过程中始终有，求的值． 10．（24-25九年级上·湖北十堰·期末）【情境知识技能】学校数学兴趣小组活动时，小红给小波出了一道题： （）如图，在等腰中，，，点在边上，且，小红对小波说：“图中线段、和有一定的数量关系，你知道吗？” 小波毫不思索的回答道：“太简单了，把绕点逆时针转得到，连接，就能证出”．小红微笑着点了点头，并给小波竖起了大拇指． 【解决问题】 ①若，，则______； ②请你帮助小波证明他的结论． 【情境理解应用】 （）小波接着对小红说：“如图，在四边形中，度，，，若，，你知道的长吗？”，小红会意点了头．请帮小红求出的长度． 题型二   画旋转图形 1．（宁夏吴忠三中、四中、六中、九中2025-2026学年九年级上学期期末考试数学试卷）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点均在格点上． (1)画出以原点为中心的中心对称图形，并写出点的坐标； (2)画出将绕原点顺时针旋转得到的，并写出点的坐标． 2．（25-26九年级上·甘肃平凉·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，．将绕原点O顺时针旋转后得到，画出．（点A、B、C的对应点分别为点、、） 3．（25-26九年级上·山西大同·月考）如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，ABC的顶点均在格点（网格线的交点）上，直线经过小正方形的边． (1)画出关于直线成轴对称的； (2)将（1）中的绕点逆时针旋转得到，画出． 4．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为点，，． (1)画出将先向左平移4个单位，再向下平移3个单位得到的，其中点A、B、C的对应点分别为点、、； (2)画出将绕原点O顺时针旋转得到的，其中点A、B、C的对应点分别为点、、，并直接写出点的坐标． 5．（25-26九年级上·甘肃天水·期末）已知在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出与关于原点对称的； (2)将绕点C顺时针旋转得到，画出，并写出点的坐标． 6．（25-26九年级上·青海海西·期末）在图中分别画出绕点O顺时针旋转的和后的． 7．（24-25九年级上·云南红河·期末）如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请画出以点O为旋转中心，顺时针旋转后得到的图形（A的对应点为，B的对应点为，C的对应点为）； (2)求的面积． 题型三   旋转中的规律性问题 1．（25-26九年级上·河南开封·期中）如图所示，把正方形铁片置于平面直角坐标系中，顶点的坐标为，点，在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置……则正方形铁片连续旋转2025次后，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，将等边绕点A旋转，得到，再将绕点旋转，得到，再将绕点旋转，得到，…，按此规律进行下去，若点且等边的高为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·广东广州·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，，，，，，……都是平行四边形的顶点，点，，……在轴正半轴上，，，，，，，……，平行四边形按照此规律依次排列，则第6个平行四边形的对称中心的坐标是(   ) A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·甘肃临夏·期末）如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点连续旋转2026次得到正方形，如果点的坐标为，那么点的坐标为 ． 5．（24-25八年级上·山东威海·期末）如图，在直角坐标系中，已知点，，对连续作旋转变换，依次得到，，，，…，那么的直角顶点的坐标为 ． 6．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为2的正方形，A，C分别在y轴正半轴与x轴正半轴上，P点坐标为，将P点关于A对称得到，将关于O点对称得到，将关于C点对称得到，将关于B点对称得到，将关于A点对称得到，……，按照顺序以此类推，则的坐标为 ． 题型四   坐标系中的旋转 1．（25-26八年级上·江苏徐州·月考）如图，在平面直角坐标系中，，，连接．将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则线段的函数表达式为 ． 2．（25-26八年级上·辽宁阜新·期末）如图，三个顶点的坐标分别为． (1)画出关于轴对称的； (2)点坐标为____________； (3)计算的面积； (4)若为平面内一点，使是以为直角边的等腰直角三角形，直接写出点坐标． 3．（25-26八年级上·江西萍乡·期中）美国总统伽菲尔德利用图1验证了勾股定理，过等腰的直角顶点A作直线l，过点C作于点D，过点B作于点E，研究图形，不难发现：．如图2，图3，在平面直角坐标系中，点为x轴正半轴上一点，点B为y轴上一点，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接． (1)如图2，若点B在y轴正半轴上且B点坐标为，则点C的坐标为_______． (2)如图3，若点B在y轴负半轴上且B点坐标为，请求出的面积． (3)点B在y轴上运动过程中（点B不与点O重合），的面积是否发生变化？若不变，请直接写出的面积；若变化，请说明理由． 4．（25-26八年级上·广东广州·期中）在平面直角坐标系中，，，点为轴上的动点，连接，将绕点逆时针方向旋转到，连接交于点． (1)如图1，当点与点重合时，请直接写出点的坐标； (2)如图2，当点运动到中点处时，求证：； (3)已知点F（0，4），当点在轴上运动时，连接、，在射线上取一点，连接、，使得．请补充完图形并直接写出、、三者的数量关系． 题型五   线段旋转问题 1．（25-26八年级上·福建泉州·月考）在中，，，点在边上，．若，，则的长为（    ） A．9 B． C．10 D． 2．（25-26九年级上·湖北荆州·期中）如图，平面直角坐标系中，已知，，为轴正半轴上一个动点，将线段绕点逆时针旋转，点的对应点为，则线段的最小值是（   ） A． B．12 C． D． 3．（24-25九年级上·安徽芜湖·月考）如图，是等边内一点，，，．将线段以点为旋转中心按逆时针方向旋转得到线段，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·北京·期中）如图，平面直角坐标系中，点，，，连接，并将线段绕点A顺时针旋转，点B旋转到点，连接．则周长的最小值为 ． 5．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，边长为8的等边三角形中，M是高所在直线上的一个动点，连接，将线段绕点B逆时针旋转得到，连接．则在点M运动过程中，线段长度的最小值是 ． 6．（24-25八年级上·重庆·期末）如图，在四边形中，，，，且，的值为 ． 7．（25-26九年级上·湖南长沙·月考）如图，已知正方形，是正方形内一点．若，，将绕点顺时针旋转至处，此时点、、三点正好在同一直线上． (1)求的度数； (2)求的长； (3)求的面积． 题型六   面积旋转问题 1．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，已知长方形，，，是的中点，连接，将绕点旋转（其中、分别与、对应）使得落在直线上，得，连接，那么的面积是 ． 2．（23-24八年级下·四川成都·月考）已知两块相同的三角板如图所示摆放，点B、C、E在同一直线上，，，，将绕点C顺时针旋转一定角度，如果在旋转的过程中有一边与平行，那么此时的面积是 ． 3．（25-26九年级上·四川绵阳·期中）如图，为等边内一点；将绕点顺时针旋转至的位置，连接． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)若，求的长与的面积． 4．（24-25九年级上·湖南长沙·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，． (1)画出关于原点成中心对称的，并写出点的对应点的坐标_______； (2)画出将绕原点顺时针旋转后得到的； (3)求的面积． 5．（24-25八年级下·江苏南京·期中）已知：如图1，四边形中，，，． (1)如图2，连接，由于，所以可将绕点顺时针方向旋转，得到，则的形状是_______． (2)若，，在（1）的基础上，求四边形的面积． (3)如图3，四边形中，，，，，，则四边形的面积为_______． 6．（22-23八年级下·江苏南京·月考）（1）问题背景 如图甲，，，垂足为，且，，求四边形的面积．    小明发现四边形的一组邻边，这就为旋转作了铺垫．于是，小明同学有如下思考过程： 第一步：将绕点逆时针旋转； 第二步：利用与互补， 证明三点共线， 从而得到正方形； 进而求得四边形的面积．    请直接写出四边形的面积为　 　． （2）类比迁移如图乙，为等边外一点，，，且，求四边形的面积． （3）拓展延伸 如图丙，在五边形中，，，，，，求五边形的面积． 题型七   角度旋转问题 1．（24-25七年级下·辽宁鞍山·月考）将一副直角三角板和如图放置，此时，，，四点在同一条直线上，点在边上，其中，，．将图中的三角板绕点以每秒的速度，按顺时针方向旋转一定的角度后，记为三角板，设旋转的时间为秒．若在旋转过程中，三角板的某一边恰好与所在的直线平行，则的值为 2．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）如图，已知，射线从开始，绕点逆时针旋转，旋转的速度为每秒，射线从开始，绕点顺时针旋转，旋转的速度为每秒，和同时开始旋转，当射线第一次与射线重合时，射线和同时停止旋转，设旋转的时间为秒． (1)射线和重合时，求的值． (2)射线与重合时，求的值． (3)求为何值时，． 3．（2025七年级上·全国·专题练习）已知，，按如图①所示摆放，将，边重合在直线上，，边在直线的两侧． (1)保持不动，将绕点旋转至如图②所示的位置，则________，________； (2)若按每分钟5°的速度绕点逆时针方向旋转，按每分钟2°的速度也绕点逆时针方向旋转，旋转到射线上时都停止运动，设旋转时间为分钟．求的大小（用含的整式表示）． 4．（23-24七年级下·四川资阳·开学考试）如图1，点，，依次在直线上，将射线绕点沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点沿顺时针方向以每秒的速度旋转（如图2），设旋转时间为（，单位秒）． (1)当时，______°． (2)在旋转过程中是否存在这样的，使得射线是由射线、射线组成的角（指大于而不超过的角）的平分线？如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由． (3)在运动过程中，当时，求的值． 题型八   画中心对称图形 1．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·月考）如图，已知和其内一点． (1)求作，使与关于点成中心对称； (2)指出各对应边以及各对应角． 2．（25-26九年级上·内蒙古通辽·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，．将绕点A逆时针旋转后得到． (1)画出，点的坐标为______； (2)画出关于点O对称的图形； (3)连接，求的度数． 3．（25-26九年级上·甘肃甘南·期末）如图，已知的顶点在格点上，在网格中按下列要求作图： (1)将绕点逆时针旋转得到； (2)作出与关于点成中心对称的． 4．（25-26七年级上·上海普陀·月考）（1）画出关于直线成轴对称的图形； （2）画出四边形关于点O成中心对称的图形． 题型九   说出一个图形到另一个图形的变换过程 1．（2022·河北石家庄·一模）在平面内，由图1经过两次图形变换后得到图2，下列说法错误的是（    ） A．只需经过两次轴对称变换 B．只需经过两次中心对称变换 C．先经过轴对称变换，再进行中心对称变换 D．先经过中心对称变换，再进行轴对称变换 2．（18-19九年级上·全国·单元测试）以如图（1）（以为圆心，半径为1的半圆）作为“基本图形”，分别经历如下变换能得到图（2）的有 （只填序号，多填或错填得0分，少填个酌情给分）． ①只要向右平移1个单位； ②先以直线为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位； ③先绕着点旋转，再向右平移一个单位； ④绕着的中点旋转即可． 3．（24-25七年级下·河南洛阳·期末）轴对称、平移和旋转是三种重要的图形变换方式，它们的共同点就是图形的大小和形状都不变，只是改变了图形的位置．这三种图形变换之间是否存在一定的联系，小明做了如下探索： (1)如图①在方格纸上作，作关于直线m对称的，再作，关于直线n对称的，，发现，通过作图小明发现轴对称变换与平移变换之间的关系是什么？请你画图并写出小明发现的结论． (2)如图②在方格纸上作，作关于直线m对称的，再作关于直线n对称的，，发现，通过作图小明发现轴对称变换与旋转变换之间的关系是什么？请你画图并写出小明发现的结论． 4．（24-25七年级下·河南洛阳·期末）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，和的顶点均在格点上，且． (1)画出关于直线对称的． (2)画出，使与关于点成中心对称． (3)与是否对称？若对称，请在图中画出对称轴或对称中心． (4)写出一种由经过轴对称、平移和旋转变换得到的过程． 题型一   旋转的综合运用 1．（25-26九年级上·江苏·假期作业） 如图，在平面直角坐标系中，已知，，点在以为圆心，为半径的圆上，关于的对称点为．连接，将绕点逆时针旋转得到．连接．则的最小值是（　　） A．14 B．15 C． D． 2．（25-26七年级上·重庆·月考）如图1，点在直线上，，射线平分，若． (1)求的度数； (2)如图2，的两边，分别与射线，重合，现将绕点以每秒的速度顺时针方向旋转，当射线与射线重合时，停止运动，设运动时间为秒． ①在运动过程中，若射线为的平分线，请猜想与的数量关系，并说明理由； ②如图3，在运动的同时，射线从射线开始，绕着点以每秒的速度逆时针方向旋转，当射线与射线重合时，立即以原速反方向顺时针方向旋转，当停止运动时，射线也停止运动．当时，请直接写出的值． 3．（25-26八年级上·广东广州·期中）汉代数学家赵爽在《周髀算经》利用弦图最早严谨证明了勾股定理：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．即在如图1所示的直角三角形中，其三边关系满足： (1)如图1，已知，，则______； (2)如图2，点从点出发，以每秒1个单位长度沿轴正半轴运动；与此同时，点从点出发，以每秒2个单位长度沿轴正半轴运动；点从点出发，以每秒2个单位长度沿轴负半轴运动．连接，将绕点逆时针旋转至，连接交轴于点．当时，求运动时间． (3)如图3，已知，点是中点，过点作直线轴，点是直线上的动点，连接，作，且，若达到最小，且最小值为时，求此时的值． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $