第十五章 分式（举一反三讲义）数学新教材华东师大版八年级下册

该初中数学分式单元复习讲义通过系统梳理13个核心知识点，以框架图呈现从分式概念、基本性质到分式方程解法及应用的完整知识脉络，突出分式有意义条件、方程无解问题等重难点，清晰展现知识内在逻辑联系。 讲义亮点在于分层题型设计，培优篇聚焦基础应用如分式值的计算，拔尖篇突破探究性问题如分式方程整数解，培养运算能力与推理意识。每个题型配例题及变式训练，助力不同层次学生提升，为教师精准教学和学生自主复习提供有力支持。

第十五章 分式（举一反三讲义）全章题型归纳 【新教材华东师大版】 【培优篇】 4 【题型1 分式有意义的条件】 4 【题型2 分式的基本性质的运用】 4 【题型3 比较分式的大小】 5 【题型4 解分式方程】 5 【题型5 分式的值】 6 【拔尖篇】 6 【题型6 分式值为整数】 6 【题型7 探究分式方程的整数解问题】 7 【题型8 探究分式方程的无解问题】 7 【题型9 探究分式方程的解的取值范围】 8 【题型10 分式方程的应用】 8 知识点1 分式的概念 1. 一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子，B叫做分式．分式中，A叫做分子，B叫做分母． 2. 一个式子是分式需要满足的三个条件 （1）是形如的式子； （2）A，B为整式； （3）分母B中含有字母． 知识点2 分式有、无意义的条件 1. 分式有意义的条件：分式的分母不等于0． 2. 分式无意义的条件：分式的分母等于0． 知识点3 分式的值为0的条件 1. 当分式的分子为0，分母不为0时，分式的值为0． 2. 分式的值是在分式有意义的前提下才可以考虑的，所以使分式的值为0的条件是且，两者缺一不可． 知识点4 分式的基本性质 1. 分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变． 2. 用式子表示为，，其中A，B，C是整式． 知识点5 约分、最简分式 1. 根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分． 2. 分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式． 知识点6 分式的通分 1. 根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分． 2. 几个分式通分时，通常取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，它叫做最简公分母． 3. 通分的步骤 （1）求各分式的最简公分母； （2）用这个最简公分母除以分式的分母； （3）用所得的商去乘原各分式的分子、分母． 知识点7 分式的乘除 1. 乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．用式子表示为． 2. 除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．用式子表示为． 知识点8 分式的乘方 一般地，当n是正整数时，，即．这就是说，分式乘方要把分子、分母分别乘方． 知识点9 分式的加减 1. 同分母分式的加减 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减．用式子表示为． 2. 异分母分式的加减 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减．用式子表示为． 知识点10 分式的混合运算 式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，有括号要先算括号里面的． 知识点11 分式方程 1. 分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 2. 分式方程的重要特征 （1）是方程； （2）分母中含有未知数． 知识点12 解分式方程 1. 解分式方程的基本思路 将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边乘最简公分母．这也是解分式方程的一般方法． 2. 解分式方程的一般步骤 知识点13 分式方程的应用 1. 列分式方程常用的等量关系 （1）工程问题：工作效率×工作时间＝工作量，总工作量＝各工作量之和． （2）利润问题：利润＝售价－进价，，总利润=单件的利润×销售的数量． （3）行程问题：速度×时间＝路程． （4）储蓄问题：本息和＝本金＋利息． 2. 列分式方程解应用题的一般步骤 （1）审：审清题意，弄清已知量和未知量； （2）设：设未知数（可以直接设未知数，也可以间接设未知数）； （3）列：列出分式方程； （4）解：解分式方程； （5）验：既要检验求得的解是否为分式方程的解，又要检验是否符合实际意义； （6）答：写出答案． 【培优篇】 【题型1 分式有意义的条件】 【例1】（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）当时，分式没有意义，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25八年级下·贵州毕节·期末）当满足 时，分式有意义． 【变式1-2】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）若分式的值等于0，则的值为 ． 【变式1-3】（24-25八年级下·江苏泰州·期末）若分式的值为0，则a，b满足的条件是（   ） A． B． C．或 D．且 【题型2 分式的基本性质的运用】 【例2】将分式的分子分母中，各项系数都化为整数后为 ． 【变式2-1】（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）下列等式中，从左向右的变形不正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）下列分式中，把的值同时扩大3倍后，结果也扩大为原来的3倍的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】把分式的分子、分母的最高次项的系数都化为正数的结果为（　　） A．﹣ B． C． D． 【题型3 比较分式的大小】 【例3】（24-25八年级下·河南郑州·期末）我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或两个式子的大小，解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．“作差法”就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小，如要比较式子，的大小，只要求出的值即可．若，则；若，则；若，则． (1)若，试判断： （填“”“”或“”）． (2)已知，，当时，比较与的大小，并说明理由． 【变式3-1】由值的正负可以比较与的大小，下列正确的是（　　） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【变式3-2】（24-25八年级下·江苏南京·期中）已知，． (1)当时，比较A与B的大小，并说明理由： (2)设，若m为整数，则正整数y的值为______． 【变式3-3】（24-25八年级下·江苏南京·期中）已知． (1)若，求证：； (2)若，，判断与的大小并证明． 【题型4 解分式方程】 【例4】（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）对于两个不相等的实数m、n，我们规定符号表示m，n中的较小值．例，按照这个规定，方程的解为（    ） A．5 B．6 C．5或6 D．无解 【变式4-1】（24-25八年级上·福建厦门·期末）将分式方程化为整式方程时，方程两边可以同时乘（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25八年级下·甘肃张掖·阶段练习）解分式方程： (1)； (2)． 【变式4-3】（24-25八年级上·贵州贵阳·阶段练习）规定一种新运算“★”：，已知，则的值为（  ） A．－ B． C．或－ D． 【题型5 分式的值】 【例5】（24-25七年级下·浙江金华·阶段练习）若，则（    ） A． B． C．或 D．或 【变式5-1】（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）若，则分式的值为 ． 【变式5-2】已知分式的值是非负数，那么x的取值范围是（    ） A．且 B． C． D．且 【变式5-3】（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）对于正数，规定，例如：，则的值为（    ） A．2024 B．2023 C．2023.5 D．2022.5 【拔尖篇】 【题型6 分式值为整数】 【例6】已知为整数，且为正整数，则满足条件的的值有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式6-1】已知：是整数，．设．则符合要求的的正整数值共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式6-2】（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）若为整数，则能使分式的值为整数的为 ． 【变式6-3】（24-25八年级下·河南新乡·阶段练习）解决分式问题时，常常采用逆向思维的方法，如：在讨论分式时，若将其转化为，则该分式值的变化只与分母有关．已知，，设． （1）当时，的值为 ； （2）若均为非零整数，则的值为 ． 【题型7 探究分式方程的整数解问题】 【例7】（24-25九年级下·四川内江·阶段练习）若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解均为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（     ） A．12 B．18 C．30 D．42 【变式7-1】已知关于的方程有整数解，且，则所有满足条件的整数的和是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】若整数使得关于的不等式组有解，且使得关于的分式方程有正整数解，则符合条件的所有整数的和为 ． 【变式7-3】（24-25八年级下·江苏宿迁·阶段练习）已知，关于x的方程：． (1)若方程无解，求m的取值； (2)若方程的解为整数，求整数m的取值． 【题型8 探究分式方程的无解问题】 【例8】（24-25七年级下·湖南株洲·期末）若关于x的分式方程无解，则m的值是 ． 【变式8-1】分式方程有解，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．且 【变式8-2】（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如果两个分式M与N的和为常数k，且k正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如分式，，，则M与N互为“和整分式”，“和整值”． (1)已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k； (2)已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”，若x为正整数，分式D的值为正整数t． ①求G所代表的代数式； ②求t的值； (3)已知分式，，P与Q互为“和整分式”，且“和整值”为4，若此时关于x的方程无解，求实数m的值． 【变式8-3】（24-25九年级上·重庆九龙坡·期末）若关于x的不等式组有且只有三个偶数解，且关于y的分式方程有解，则所有满足条件的整数a的和为 ． 【题型9 探究分式方程的解的取值范围】 【例9】（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）若整数a使关于x的不等式组有且只有3个整数解，且使关于y的分式方程 的解满足，则所有满足条件的整数a的值之和为（  ） A．6 B．7 C．8 D．10 【变式9-1】（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）若关于的分式方程的解为负数，则的最小整数值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【变式9-2】（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是 ． 【变式9-3】（24-25七年级下·安徽合肥·阶段练习）已知关于的分式方程． （1）若此方程无解，则的值为 ． （2）若此方程的解为正数，则的取值范围为 ． 【题型10 分式方程的应用】 【例10】（24-25七年级下·浙江金华·期末）小明在长为的跑道上训练机器人，机器人匀速行走1分钟后，提速度到原速的倍后继续匀速行走，结果比原计划提前40秒到达终点． (1)求该机器人走完全程所花的时间． (2)若A机器人一半路程以a米/分的速度行驶，另一半路程以b米/分的速度行驶；B机器人用一半时间以a米/分的速度行驶，另一半时间以b米/分的速度行驶．试比较A，B两机器人行走的时间大小，并说明理由． 【变式10-1】（24-25八年级下·四川成都·期末）成都市域铁路S5线，又称成都地铁眉山线，是连接成都天府新区与眉山市东坡区的重要轨道交通线路，其中某标段路基工程长度为米，由甲，乙两个工程队施工，已知甲队每天铺设路基长度比乙队多10米，甲队单独完成该标段需要的时间是乙队单独完成所需时间的 (1)求甲、乙两队每天各铺设路基多少米？ (2)为加快进度，甲乙两队决定先合作施工一段时间，剩下的由甲队单独完成，若工期要求不超过160天，求两队至少需合作多少天才能确保完成该标段． 【变式10-2】（24-25七年级下·浙江杭州·期末）某商家推出三款纪念品，，，其中的单价比贵2元/件．如果买10件，件，件，总价格为520元；如果买15件，件，件，总价格为505元．设纪念品的单价为元/件，纪念品的单价为元/件． (1)求和的值； (2)商家将，各取1件组成套装，将，各取1件组成套装，均以两种相应纪念品的单价之和作为套装定价．为促进销售，对两款套装实施优惠政策，套装定价都下调元．此时用200元购买到的套数，与240元购买到的套数一样多，且钱均无剩余，求的值． 【变式10-3】（24-25七年级下·浙江湖州·期末）某工厂需制作如图1的竖式与横式两种无盖木箱（单位：），制作木首需要如图2的的正方形木板和的长方形木板．现工厂采购这两种木板，采购清单如下表．设正方形木板的单价为m元/块，已知购买的长方形木板的数量正好是正方形木板的2倍． 采购清单 单价（元/块） 数量（块） 总价（元） 正方形木板 m 120 长方形木板 300 (1)请将表格填写完整（用含m的代数式表示），并求m的值． (2)现将购买的木板制作这两种无盖木箱，求两种木箱各做多少个，恰好将木板用完？ (3)该工厂发现有一批尺寸为的废旧木板，若用这批废旧木板切割成木箱所需的上述两种木板． ①请问如何切割才能将每块废旧木板恰好用完（不计损耗）． ②因工厂生产需要，还需制作竖式无盖木箱60个、横式无盖木箱50个，所有废旧木板恰好用完，则这批废旧木板共多少块？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十五章 分式（举一反三讲义）全章题型归纳 【新教材华东师大版】 【培优篇】 4 【题型1 分式有意义的条件】 4 【题型2 分式的基本性质的运用】 5 【题型3 比较分式的大小】 7 【题型4 解分式方程】 11 【题型5 分式的值】 13 【拔尖篇】 15 【题型6 分式值为整数】 15 【题型7 探究分式方程的整数解问题】 18 【题型8 探究分式方程的无解问题】 22 【题型9 探究分式方程的解的取值范围】 26 【题型10 分式方程的应用】 28 知识点1 分式的概念 1. 一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子，B叫做分式．分式中，A叫做分子，B叫做分母． 2. 一个式子是分式需要满足的三个条件 （1）是形如的式子； （2）A，B为整式； （3）分母B中含有字母． 知识点2 分式有、无意义的条件 1. 分式有意义的条件：分式的分母不等于0． 2. 分式无意义的条件：分式的分母等于0． 知识点3 分式的值为0的条件 1. 当分式的分子为0，分母不为0时，分式的值为0． 2. 分式的值是在分式有意义的前提下才可以考虑的，所以使分式的值为0的条件是且，两者缺一不可． 知识点4 分式的基本性质 1. 分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变． 2. 用式子表示为，，其中A，B，C是整式． 知识点5 约分、最简分式 1. 根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分． 2. 分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式． 知识点6 分式的通分 1. 根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分． 2. 几个分式通分时，通常取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，它叫做最简公分母． 3. 通分的步骤 （1）求各分式的最简公分母； （2）用这个最简公分母除以分式的分母； （3）用所得的商去乘原各分式的分子、分母． 知识点7 分式的乘除 1. 乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．用式子表示为． 2. 除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．用式子表示为． 知识点8 分式的乘方 一般地，当n是正整数时，，即．这就是说，分式乘方要把分子、分母分别乘方． 知识点9 分式的加减 1. 同分母分式的加减 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减．用式子表示为． 2. 异分母分式的加减 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减．用式子表示为． 知识点10 分式的混合运算 式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，有括号要先算括号里面的． 知识点11 分式方程 1. 分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 2. 分式方程的重要特征 （1）是方程； （2）分母中含有未知数． 知识点12 解分式方程 1. 解分式方程的基本思路 将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边乘最简公分母．这也是解分式方程的一般方法． 2. 解分式方程的一般步骤 知识点13 分式方程的应用 1. 列分式方程常用的等量关系 （1）工程问题：工作效率×工作时间＝工作量，总工作量＝各工作量之和． （2）利润问题：利润＝售价－进价，，总利润=单件的利润×销售的数量． （3）行程问题：速度×时间＝路程． （4）储蓄问题：本息和＝本金＋利息． 2. 列分式方程解应用题的一般步骤 （1）审：审清题意，弄清已知量和未知量； （2）设：设未知数（可以直接设未知数，也可以间接设未知数）； （3）列：列出分式方程； （4）解：解分式方程； （5）验：既要检验求得的解是否为分式方程的解，又要检验是否符合实际意义； （6）答：写出答案． 【培优篇】 【题型1 分式有意义的条件】 【例1】（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）当时，分式没有意义，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式没有意义的条件，熟知当分母为零时分式没有意义是解题的关键． 根据分母等于0时分式没有意义即可得到答案． 【详解】解：∵当时，分式没有意义， ∴， 解得：． 故选：D． 【变式1-1】（24-25八年级下·贵州毕节·期末）当满足 时，分式有意义． 【答案】 【分析】根据，计算即可． 本题考查了分式有意义条件，熟练掌握条件是解题的关键． 【详解】解：分式有意义． 故， 解得， 故答案为：． 【变式1-2】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）若分式的值等于0，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题可根据分式值为的条件来求解的值．分式值为的条件是分子为且分母不为，所以需要分别考虑分子等于时的取值以及该取值下分母是否为．本题主要考查了分式值为的条件，熟练掌握分式值为时分子为且分母不为这一条件是解题的关键． 【详解】解：∵分式的值为， ∴，即，解得． 又∵分母，即． ∴． 故答案为：． 【变式1-3】（24-25八年级下·江苏泰州·期末）若分式的值为0，则a，b满足的条件是（   ） A． B． C．或 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了分式值为0的条件．根据分式分式值为0的条件：分母不等于及分式的值为列出不等式，解之可得． 【详解】解：因为分式的值为0，所以且， 所以且， 所以，且， 故选：D． 【题型2 分式的基本性质的运用】 【例2】将分式的分子分母中，各项系数都化为整数后为 ． 【答案】 【分析】将0.5化为分数是，根据四个分母：5、2、3、4的最小公倍数是60故分式的分子和分母都乘以60，由此将各项系数都化为整数. 【详解】将分式的分子和分母都乘以60，得=， 故答案为：. 【点睛】此题考查分式的性质：在分式的分子和分母中乘以同一个不为0的数，分式的值不变. 【变式2-1】（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）下列等式中，从左向右的变形不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式的基本性质进行求解判断即可． 本题主要考查了分式的变形，熟知分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：因为，所以A正确； 因为，所以B正确； 因为，所以C正确； 因为，不能化简，所以D不正确． 故选：D． 【变式2-2】（24-25八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）下列分式中，把的值同时扩大3倍后，结果也扩大为原来的3倍的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的化简，解决本题的关键是熟练掌握分式的基本性质将分式化成最简分式． 根据题意将每个选项中同时扩大3倍，然后对式子进行化简计算，看最后结果与选项的关系判断即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，符合题意； D、，不符合题意 故选：C． 【变式2-3】把分式的分子、分母的最高次项的系数都化为正数的结果为（　　） A．﹣ B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的基本性质，把分子分母都乘﹣1即可. 【详解】分子分母都乘﹣1，得， 原式=， 故选C． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，把分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变. 【题型3 比较分式的大小】 【例3】（24-25八年级下·河南郑州·期末）我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或两个式子的大小，解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．“作差法”就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小，如要比较式子，的大小，只要求出的值即可．若，则；若，则；若，则． (1)若，试判断： （填“”“”或“”）． (2)已知，，当时，比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查分式的基本性质，解题关键是掌握分式的基本性质，通过题干方法作差求解． （1）计算两式之差 ，根据差值的符号进行判断； （2）化简 ，由 可得 ，进而求解． 【详解】（1）解： ， ， ， 则， ∴， ， 故答案为：； （2）解：，理由如下： ， ， ∴， ． 【变式3-1】由值的正负可以比较与的大小，下列正确的是（　　） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】A 【分析】根据不同选项的条件分别进行分析即可求解． 【详解】A∵.，∴当时，，，∴，∵∴，故本选项正确． B.当时,，∴，故本选项不符合题意． C.当时，分式无意义，故本选项不符合题意． D.当时，正负无法确定，故本选项不符合题意． 故答案为：A． 【点睛】本题主要考查了分式的求值，分式的加减法，通过作差法比较大小是解题关键． 【变式3-2】（24-25八年级下·江苏南京·期中）已知，． (1)当时，比较A与B的大小，并说明理由： (2)设，若m为整数，则正整数y的值为______． 【答案】(1)，理由见详解 (2)y的值为4或3或1 【分析】本题考查了分式的求值，分式的加减计算： （1）利用作差法得到，由，可得出； （2）先求出，再由y为正整数，得到或或，解之即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， ， 又， ， 即， （2）， m为整数，y为正整数， 或或， 或或， y的值为4或3或1． 【变式3-3】（24-25八年级下·江苏南京·期中）已知． (1)若，求证：； (2)若，，判断与的大小并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查了分式的加减计算，不等式的性质，证明是解题的关键． （1）利用作差法得到，再判断出的符号即可证明结论； （2）利用分式的加法计算法则得到，根据（1）可证明，据此可得结论． 【详解】（1）证明： ， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 【题型4 解分式方程】 【例4】（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）对于两个不相等的实数m、n，我们规定符号表示m，n中的较小值．例，按照这个规定，方程的解为（    ） A．5 B．6 C．5或6 D．无解 【答案】B 【分析】本题主要考查了新定义下的运算，解题的关键是根据题意转化为解分式方程，注意转化的过程中进行分类讨论．根据新定义可得：若 ，则， 若，则，分别求出，即可． 【详解】解：根据新定义可得： 若 ，即，则， ∴， 解得 ， ∵ ， ∴不符合题意，舍去； 若，即，则， ∴， 解得， 经检验为分式方程的解， ∵ ， ∴符合题意； 故选：B． 【变式4-1】（24-25八年级上·福建厦门·期末）将分式方程化为整式方程时，方程两边可以同时乘（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解分式方程，找出分式方程的最简公分母即可解答． 【详解】解：将分式方程化为整式方程时， 方程两边可以同时乘． 故选：D． 【变式4-2】（24-25八年级下·甘肃张掖·阶段练习）解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】此题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤尤其不要忘记检验是解题的关键． （1）去分母化为整式方程，解整式方程，检验后即可得到答案； （2）去分母化为整式方程，解整式方程，检验后即可得到答案； 【详解】（1）解： 去分母得， 解得， 经检验是分式方程的解． （2）解： 去分母得，， 整理得， 解得， 当时，， 是增根， 原分式方程无解． 【变式4-3】（24-25八年级上·贵州贵阳·阶段练习）规定一种新运算“★”：，已知，则的值为（  ） A．－ B． C．或－ D． 【答案】D 【分析】本题考查了新定义运算及解分式方程和求分式的值．根据，时，，求出a的值，再由，代入求解即可． 【详解】解：，即当，时， ∴， 解得， 经检验，是方程的解． 所以． 当，时， 故选：D． 【题型5 分式的值】 【例5】（24-25七年级下·浙江金华·阶段练习）若，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了分式的性质，求代数式的值，掌握分式的性质是解题的关键； 设，分与两种情况考虑，利用分式的知识即可求解． 【详解】解：设， 则， 以上三式相加得：； 当时，则； 此时， 解得：， ∴； 当时，则， ∴， ∴； 综上，的值为或； 故选：C． 【变式5-1】（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）若，则分式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式基本性质运用．熟练运用分式基本性质是关键．根据分式基本性质，分子和分母同时除以可得，再把代入计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：． 【变式5-2】已知分式的值是非负数，那么x的取值范围是（    ） A．且 B． C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查分式值的正负性问题，也考查了解一元一次不等式．根据的值是非负数得到且，进而能求出x的取值范围． 【详解】解：∵， ∴且， ∴且． 故选：D． 【变式5-3】（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）对于正数，规定，例如：，则的值为（    ） A．2024 B．2023 C．2023.5 D．2022.5 【答案】C 【分析】本题考查规律探究，分式的加法，通过观察函数的性质，发现与的和为1，利用这一规律将求和问题转化为简单计算． 【详解】解：∵ ∴，， ∴ ， 故选：C． 【拔尖篇】 【题型6 分式值为整数】 【例6】已知为整数，且为正整数，则满足条件的的值有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了分式的加减，先根据分式的加减运算法则将原式化简为，结合题意得出或或，求解即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ， ∵为整数，且为正整数， ∴或或， 解得：或或， ∴则满足条件的的值有个， 故选：C． 【变式6-1】已知：是整数，．设．则符合要求的的正整数值共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】先求出y的值，再根据x，y是整数，得出x＋1的取值，然后进行讨论，即可得出y的正整数值． 【详解】解：∵ ∴． ∵x，y是整数， ∴是整数， ∴x＋1可以取±1，±2． 当x＋1＝1，即x＝0时＞0； 当x＋1＝−1时，即x＝−2时，（舍去）； 当x＋1＝2时，即x＝1时，＞0； 当x＋1＝−2时，即x＝−3时，＞0； 综上所述，当x为整数时，y的正整数值是4或3或1． 故选：C． 【点睛】此题考查了分式的加减法，熟练掌握分式的加减运算法则，求出y的值是解题的关键． 【变式6-2】（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）若为整数，则能使分式的值为整数的为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的除法，分式的值，根据分式的除法进行计算，进而根据分式的值以及为整数，即可求解． 【详解】解： ∵分式的值为整数即为整数，为整数， 又∵， ∴，， ∴． 故答案为：． 【变式6-3】（24-25八年级下·河南新乡·阶段练习）解决分式问题时，常常采用逆向思维的方法，如：在讨论分式时，若将其转化为，则该分式值的变化只与分母有关．已知，，设． （1）当时，的值为 ； （2）若均为非零整数，则的值为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了解分式方程，求使分式值为整数时未知数的整数值，求代数式的值； （1）解方程，即可求解； （2）化简得，根据均为非零整数进行分类讨论，即可求解． 【详解】解：（1）由题意得 ， 去分母得， ， 解得：， 经检验：是此方程的解， 故答案为：； （2）由题意得 ， 均为非零整数， 当时，即，，此时； 当时，即，，此时； 当时，即，，此时； 当时，即，，此时； 故答案为：或． 【题型7 探究分式方程的整数解问题】 【例7】（24-25九年级下·四川内江·阶段练习）若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解均为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（     ） A．12 B．18 C．30 D．42 【答案】A 【分析】此题考查了一元一次不等式组和分式方程的求解能力，先通过解一元一次不等式组和分式方程确定所有满足条件的整数的值，再进行相加求解． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 由题意得， 解得； 解方程得，，且， ∵关于y的分式方程的解均为负整数， ∴，解得， ∴， 当时，； 当时，（不合题意，舍去）； 当时，， ∴符合条件的有 8，4 ， ∴， 即所有满足条件的整数的值之和是 12 ． 故选：A． 【变式7-1】已知关于的方程有整数解，且，则所有满足条件的整数的和是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数，先求出分式方程的解，根据分式方程有整数解及，可得整数，，，又根据可得，进而得到满足条件的整数的值为，，据此即可求解，根据题意求出满足条件的整数的值是解题的关键． 【详解】解：方程两边同时乘以得，， 解得， ∵方程有整数解，且， ∴整数，，， 又∵， ∴， ∴， ∴满足条件的整数的值为，， ∴所有满足条件的整数的和为， 故选：． 【变式7-2】若整数使得关于的不等式组有解，且使得关于的分式方程有正整数解，则符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】36 【分析】本题主要考查了分式方程的解、解一元一次不等式（组）等知识，正确掌握解分式方程的方法和解一元一次不等式（组）的方法是解题的关键．根据不等式组有解，得到关于的一元一次不等式，求出的取值范围；解分式方程可且，根据“为整数，且分式方程有正整数解”，找出符合条件的的值，相加后即可得到答案． 【详解】解：解不等式组， 可得 ， ∵该不等式组有解， ∴，解得， 解分式方程， 可得，且， ∵为整数，且分式方程有正整数解， ∴的值为9，12，15， ∵， ∴满足条件的所有整数的和为36． 故答案为：36． 【变式7-3】（24-25八年级下·江苏宿迁·阶段练习）已知，关于x的方程：． (1)若方程无解，求m的取值； (2)若方程的解为整数，求整数m的取值． 【答案】(1)或或 (2)或 【分析】本题考查了分式方程的增根，解分式方程． （）根据分式方程的解法得出，分当时方程有增根，当时原分式方程无解，从而求解； （）由，得，然后根据方程的解为整数得出，，最后求解并检验即可． 【详解】（1）解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 当时，得， 解得； 当时，得， 解得， ∴若方程有增根，的取值为或； ∵， ∴当时原分式方程无解， ∴， ∵当或时方程有增根， ∴若方程无解，的取值为或或； （2）解：∵， ∴， ∵方程的解为整数， ∴，， 当时，（舍去）； 当时，（舍去）； 当时，； 当时，； ∴或． 【题型8 探究分式方程的无解问题】 【例8】（24-25七年级下·湖南株洲·期末）若关于x的分式方程无解，则m的值是 ． 【答案】或0 【分析】本题主要考查分式方程无解的问题，熟练掌握分式方程无解的问题是解题的关键． 先去分母，然后根据分式方程无解的问题可直接进行求解． 【详解】解： 当时方程无解，此时，解得； 当时方程无解，此时，解得； ∴m的值是或0， 故答案为：或0． 【变式8-1】分式方程有解，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．且 【答案】D 【分析】先求出m与x的关系，再根据分式方程有解的条件判断即可． 【详解】解： 方程两边同时乘以得：， ∴， ∵分式方程有解， ∴， ∴． ∵， ∴ ∵分式方程有解， ∴且 ∴且 ∴， ∴， 综上可知，且， 故选D 【点睛】本题考查了根据分式方程解的情况求参数，解题的关键是找出增根． 【变式8-2】（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如果两个分式M与N的和为常数k，且k正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如分式，，，则M与N互为“和整分式”，“和整值”． (1)已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k； (2)已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”，若x为正整数，分式D的值为正整数t． ①求G所代表的代数式； ②求t的值； (3)已知分式，，P与Q互为“和整分式”，且“和整值”为4，若此时关于x的方程无解，求实数m的值． 【答案】(1)A与B是互为“和整分式”，“和整值” (2)①；② (3)或 【分析】（1）先计算，再根据结果可得结果； （2）①先求解，结合新定义可得，从而可得答案； ②由，且分式D的值为正整数t．x为正整数，可得或，从而可得答案； （3）由题意可得，整理得：，由方程无解，可得或方程有增根，再分两种情况求解即可． 【详解】（1）解：A与B是互为“和整分式”，理由如下： ∵，， ∴ ． ∴A与B是互为“和整分式”，“和整值”； （2）解：①∵，， ∴ ∵C与D互为“和整分式”，且“和整值”， ∴， ∴； ②∵，且分式D的值为正整数t．x为正整数， ∴或， ∴或（舍去） ∴； （3）解：， ∴， ∴， 整理得：， ∵方程无解， ∴当时 解得：， ∴当，即时，方程有增根， ∴， 解得：， 综上，的值为：或． 【点睛】本题考查的是新定义运算的理解，分式的加减运算，分式方程的解法，分式方程无解问题，理解题意是解本题的关键． 【变式8-3】（24-25九年级上·重庆九龙坡·期末）若关于x的不等式组有且只有三个偶数解，且关于y的分式方程有解，则所有满足条件的整数a的和为 ． 【答案】14 【分析】本题考查的知识点是由不等式组解集的情况求参数、根据分式方程解的情况求值．先根据不等式组“有且只有三个偶数解”求出的取值范围，再解分式方程，并由该方程有解得到且，综合后即可得到所有满足条件的整数的和． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 原不等式组的解集为：， 原不等式有且只有三个偶数解， ， ， 解分式方程得：， 原分式方程有解， ∴且 ∴且， 综上，且，为整数， 或8， 所有满足条件的整数的和是． 故答案为：14． 【题型9 探究分式方程的解的取值范围】 【例9】（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）若整数a使关于x的不等式组有且只有3个整数解，且使关于y的分式方程 的解满足，则所有满足条件的整数a的值之和为（  ） A．6 B．7 C．8 D．10 【答案】A 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，根据分式方程的解的情况求参数，先解不等式组的两个不等式，再根据不等式组只有3个整数解得到，则，再解分式方程得到，根据，且，求出，且，由此确定整数a的值，最后求和即可． 【详解】解：解不等式组 ， 解得 该不等式组有且只有个整数解，即三个整数解为，，1， 解得． 解分式方程 得． ，且， ，，解得且． 综上，且． 为整数， 或，即满足条件的整数的值之和为． 故选：A． 【变式9-1】（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）若关于的分式方程的解为负数，则的最小整数值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的解，分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，由分式方程的解为负数确定出a的范围即可解答． 【详解】解：解分式方程， 两边同乘得：， 展开化简得：， 移项合并同类项得：． 因为方程的解为负数， 所以， 解得． 又因为分母不能为，即，， 所以且， 解得且． 所以的取值范围是且， 则的最小整数值是． 故选：C． 【变式9-2】（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查的是分式方程的解法，分式方程的解，不等式组的解法．先解分式方程可得，再根据分式方程的解为非负数建立不等式组即可得到答案． 【详解】解：， 去分母得：， 整理得：， ∵关于x的分式方程的解为非负数， ∴， 解得：且． 故答案为：且． 【变式9-3】（24-25七年级下·安徽合肥·阶段练习）已知关于的分式方程． （1）若此方程无解，则的值为 ． （2）若此方程的解为正数，则的取值范围为 ． 【答案】 且 【分析】本题考查了解分式方程，以及根据分式方程解的情况求参数． （1）将分式方程化为整式方程，根据此方程无解，建立等式求解，即可解题； （2）根据此方程的解为正数，建立不等式求解，并考虑无解的情况，即可解题． 【详解】解：（1） ， 若此方程无解，则，解得； （2）若此方程的解为正数，则，解得； ∵时，方程无解， ∴且． 故答案为：，且． 【题型10 分式方程的应用】 【例10】（24-25七年级下·浙江金华·期末）小明在长为的跑道上训练机器人，机器人匀速行走1分钟后，提速度到原速的倍后继续匀速行走，结果比原计划提前40秒到达终点． (1)求该机器人走完全程所花的时间． (2)若A机器人一半路程以a米/分的速度行驶，另一半路程以b米/分的速度行驶；B机器人用一半时间以a米/分的速度行驶，另一半时间以b米/分的速度行驶．试比较A，B两机器人行走的时间大小，并说明理由． 【答案】(1)机器人走完全程所花的时间为分钟 (2)当时，两机器人行走的时间相同，当时，A机器人行走的时间多，理由见解析 【分析】本题考查分式方程的应用、分式的加减运算的应用、列代数式，理解题意，正确列出方程和代数式是解答的关键． （1）设原行走的速度为分，根据“结果比原计划提前40秒到达终点”列分式方程求解即可； （2）先根据题意求得两个机器人所需时间，然后作差，利用分式加减法计算后比较大小，进而可得结论． 【详解】（1）解：设原行走的速度为分， 根据题意得：， 解得， 经检验，为原方程的解， ， 机器人走完全程所花的时间分钟； （2）解：机器人所需时间， B机器人所需时间， ， 当时，， ∴，则，即两机器人行走的时间相同． 当时，，， ∴，则，即A机器人行走的时间多． 【变式10-1】（24-25八年级下·四川成都·期末）成都市域铁路S5线，又称成都地铁眉山线，是连接成都天府新区与眉山市东坡区的重要轨道交通线路，其中某标段路基工程长度为米，由甲，乙两个工程队施工，已知甲队每天铺设路基长度比乙队多10米，甲队单独完成该标段需要的时间是乙队单独完成所需时间的 (1)求甲、乙两队每天各铺设路基多少米？ (2)为加快进度，甲乙两队决定先合作施工一段时间，剩下的由甲队单独完成，若工期要求不超过160天，求两队至少需合作多少天才能确保完成该标段． 【答案】(1)甲队每天铺设路基50米，乙队每天铺设路基40米 (2)两队至少需合作50天才能确保完成该标段 【分析】设甲队每天铺设路基x米，则乙队每天铺设路基米，根据某标段路基工程长度为米，甲队单独完成该标段需要的时间是乙队单独完成所需时间的，列出分式方程，解分式方程即可； 设两队需合作y天才能确保完成该标段，甲乙两队决定先合作施工一段时间，剩下的由甲队单独完成，工期要求不超过160天，结合的结论，列出一元一次不等式，解不等式即可． 本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，正确列出相应的分式方程和不等式． 【详解】（1）解：设甲队每天铺设路基x米，则乙队每天铺设路基米， 由题意得：， 解得：， ， 答：甲队每天铺设路基50米，乙队每天铺设路基40米； （2）设两队需合作y天才能确保完成该标段， 由题意得：， 解得：， 答：两队至少需合作50天才能确保完成该标段． 【变式10-2】（24-25七年级下·浙江杭州·期末）某商家推出三款纪念品，，，其中的单价比贵2元/件．如果买10件，件，件，总价格为520元；如果买15件，件，件，总价格为505元．设纪念品的单价为元/件，纪念品的单价为元/件． (1)求和的值； (2)商家将，各取1件组成套装，将，各取1件组成套装，均以两种相应纪念品的单价之和作为套装定价．为促进销售，对两款套装实施优惠政策，套装定价都下调元．此时用200元购买到的套数，与240元购买到的套数一样多，且钱均无剩余，求的值． 【答案】(1)的值为15，的值为18 (2)的值为8 【分析】本题考查二元一次方程组与分式方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组与分式方程是解题的关键． （1）根据买10件，件，件，总价格为520元；买15件，件，件，总价格为505元，列出关于和的二元一次方程组即可得到答案； （2）根据用200元购买到的套数，与240元购买到的套数一样多的等量关系列出分式方程即可得到答案； 【详解】（1）解：由题知：纪念品的单价为元/件，纪念品的单价为元/件，纪念品的单价为元/件， ∴， 解得：， ∴的值为15，的值为18； （2）由题可知：套装的定价为33元/套，套装的定价为38元/套， ∴可得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解且符合题意， ∴的值为8． 【变式10-3】（24-25七年级下·浙江湖州·期末）某工厂需制作如图1的竖式与横式两种无盖木箱（单位：），制作木首需要如图2的的正方形木板和的长方形木板．现工厂采购这两种木板，采购清单如下表．设正方形木板的单价为m元/块，已知购买的长方形木板的数量正好是正方形木板的2倍． 采购清单 单价（元/块） 数量（块） 总价（元） 正方形木板 m 120 长方形木板 300 (1)请将表格填写完整（用含m的代数式表示），并求m的值． (2)现将购买的木板制作这两种无盖木箱，求两种木箱各做多少个，恰好将木板用完？ (3)该工厂发现有一批尺寸为的废旧木板，若用这批废旧木板切割成木箱所需的上述两种木板． ①请问如何切割才能将每块废旧木板恰好用完（不计损耗）． ②因工厂生产需要，还需制作竖式无盖木箱60个、横式无盖木箱50个，所有废旧木板恰好用完，则这批废旧木板共多少块？ 【答案】(1)，，； (2)竖式无盖木箱做2个，横式无盖木箱4个； (3)①有两种切割方式，第一种切割方式为长方形木板7块，第二种为正方形木板8块和长方形木板2块；②这批废旧木板共70块． 【分析】本题考查分式方程的应用，二元一次方程组的应用．读懂题意，正确的识图，找准等量关系，列出方程组，是解题的关键． （1）根据题意列出分式方程进行求解即可； （2）设竖式无盖木箱做个，横式无盖木箱个，根据题意列出方程组进行求解即可； （3）①设每块废旧木板切割正方形木板块，长方形木板块，根据题意，列出二元一次方程，利用都是非负整数，求解即可； ②根据题意，进行求解即可． 【详解】（1）解：填写表格如下： 采购清单 单价（元/块） 数量（块） 总价（元） 正方形木板 120 长方形木板 300 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：； （2）解：当时，正方形木块的数量块，长方形木块的数量块． 设竖式无盖木箱做个，横式无盖木箱个， 根据题意，得， 解得， 答：竖式无盖木箱做2个，横式无盖木箱4个； （3）解：①设每块废旧木板切割正方形木板块，长方形木板块，根据题意， 得， ， 因为都是非负整数， 所以或． 答：有两种切割方式，第一种切割方式为长方形木板7块，第二种为正方形木板8块和长方形木板2块； ②所需正方形木板块，长方形块． 所以第二种切割方式的木板为块，第一种切割方式的木板为块， 所以废旧木板共块． 答：这批废旧木板共70块． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $