精品解析：吉林省实验中学2025-2026学年高一上学期1月期末考试数学试题

2025-2026学年上学期期末考试 高一年级数学 本试卷共4页．考试结束后，将答题卡交回． 注意事项： 1．答卷前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区． 2．答题时请按要求用笔． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式求解 【详解】， 故选：B 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别求解集合，，再根据交集的定义求结论即可. 【详解】， 所以， 函数有意义，则，所以， 所以， 所以. 故选：C 3. 下列有关不等式的推断中，正确的是（ ） A 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】举反例判断AD；根据不等式的性质，运用作差法判断BC． 【详解】选项A：取，有，不满足，错误； 选项B：因为，所以， 所以，正确； 选项C：若，，则，． 所以，所以，错误； 选项D：取，有，不满足，错误． 故选：B 4. 已知，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数，对数函数，正弦函数的性质判断的范围，比较的大小即可. 【详解】由指数函数性质得， 由对数函数性质得， 由正弦函数性质得，则，故D正确. 故选：D 5. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合对数函数的定义域得到，结合函数单调性，求出答案. 【详解】由题意得到，即或 故函数的定义域为 . 故选：B. 6. 一个容器装有细沙，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，后剩余的细沙量为，经过后发现容器内还有一半的沙子，若容器中的沙子只有开始时的十六分之一，则需再经过的时间为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件可得，解出的值，得到，再令，求解得到的值，然后可求出答案． 【详解】依题意有，即， 两边取对数得， 当容器中只有开始时的十六分之一，则有， 两边取对数得， 所以再经过的时间为. 故选：A. 7. 已知函数，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断出函数的奇偶性与单调性，再根据函数的单调性和奇偶性解不等式，求出的范围，再根据二倍角的余弦公式即可得解. 【详解】因为，定义域满足，解得， 因为 ， 所以，所以为奇函数， 因为函数在上单调递增， ，且设， 则 ， 又，因为，所以， 所以， 由于函数在上单调递增， 所以， 故函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 由， 得， 所以， 即，解得， 则. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：判断出函数的奇偶性与单调性是解决本题的关键. 8. 已知，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用十字相乘法解，得或；利用函数与方程之间的关系转化为两个图象的交点个数问题进行求解即可． 详解】； 函数有三个零点，即有三个实根； 即或； 当时，即，得到， 即或（舍去），解得，此时方程只有一个解； 则有两个不同的根， 作出函数的图象如图： 由图象知，则 ，即实数的取值范围是， 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 命题：“”的否定是“” B. 若扇形的圆心角为，其面积为，则该扇形的弧长为 C. 函数的值域为 D. 函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】由存在量词命题的否定确定已知命题的否定判断A；由条件根据扇形的面积公式求扇形的半径，再求扇形弧长判断B；根据指数型复合函数的单调性判断函数的单调性，再由单调性求值域判断C；由条件根据对数函数的单调性结论及复合函数的单调性判断方法列不等式求的范围判断D. 【详解】对于A，命题：“，”的否定是“，”，故A正确； 对于B，设扇形的半径为，弧长为， 因为扇形的圆心角为，其面积为， 所以，所以， 所以扇形的弧长，故B正确； 对于C，因为，又指数函数为减函数， 所以函数的值域为，故C错误； 对于D，设，，由已知当时，， 因为函数为增函数，函数在区间上单调递减， 所以在区间上单调递减，且当时，， 所以，且，故， 所以的取值范围是，故D正确； 故选：ABD. 10. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的有（ ） A. 函数最小正周期为 B. 函数的图象关于点中心对称 C. 函数在单调递减 D. 将该图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得的图象 【答案】AD 【解析】 【分析】根据正弦型函数经过的特殊点，结合正弦型的对称性、单调性、周期性、图象平移的性质逐一判断即可. 【详解】由函数的图象可知，且图象的最高点坐标为，与它相邻的零点为， 设函数的最小正周期为， 则有，故A正确； 因为，由，则. 又由， 因为，所以时，，因此. 因为， 故函数的图象不关于点中心对称，即B错误； 当时，设， 因为在上不单调， 故函数在不是单调递减函数，故C错误； 该图象向右平移个单位可得， 再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，可得的图象，故D正确. 故选：AD 11. 已知函数是定义域为的奇函数，，当时，，则 A. B. C. 当时， D. 方程恰有10个解 【答案】AC 【解析】 【分析】通过对题设等式的化简以及奇函数的性质判断A；由时的函数解析式以及函数的关系，写出时的函数解析式，判断其单调性，作商法比较的大小即可判断B；同理写出时的函数解析式，判断C；写出时的函数解析式，作出函数的图象，即可得出方程解的个数，判断D. 【详解】对于A，因函数是定义域为的奇函数，则， 又，则，故A正确； 对于B，因为当时，，且由可得， 令，则，，可知函数在上单调递减， 因，而， 则，故，故B错误； 对于C，因函数是上的奇函数，则，即当时，， 令，则，故，故C正确； 对于D，令，则，， 作出函数的图象如下： 故方程恰有9个解，故D错误. 故选：AC. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 已知，，且，的最小值为________． 【答案】5 【解析】 【分析】将利用“1”的代换变形为，再利用基本不等式求解. 【详解】将变形为，由基本不等式， 故，当且仅当时取等号． 故答案为：. 13. 的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据两角和的正弦公式计算化简可得结果. 【详解】 . 故答案为： 14. 给定函数，若在其定义域内存在使得，则称为“函数”，为该函数的一个“点”．设函数，若是的一个“点”，则实数的值为________．若为“函数”，则实数的取值范围为________． 【答案】 ①. 3 ②. 【解析】 【分析】对于第一空，由题可知，代入相应解析式可得答案； 对于第二空，为“函数”，则函数，与函数图象有交点，据此可得答案. 【详解】对于第一空，因是的一个“点”，则； 对于第二空，由题可知为“函数”，即函数在定义域内的图像中，存在中心对称的两点，即函数的图象， 与函数关于原点对称的函数的图象有交点，即方程有大于0的解. ，当且仅当， 即时取等号，故答案为：. 故答案为：3；. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合． （1）若，求，； （2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）代入，再由交集、并集以及补集的运算可得结果， （2）根据题意可知集合是集合的真子集，限定不等式关系解不等式可得结果. 【小问1详解】 若,可得， ，， 【小问2详解】 若是的必要不充分条件，则集合是集合的真子集，或， 解得或，因此， 所以实数的取值范围为. 16. 已知在平面直角坐标系中，锐角的终边与单位圆交于点，射线绕点按逆时针方向旋转角后交单位圆于点，点的纵坐标为． （1）若，求的值； （2）若，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角函数的定义得到，，再利用诱导公式化简原式代入即可求得结果. （2）因为，又为锐角，故，再利用转化以及同角三角函数的关系即可求得结果. 【小问1详解】 因为锐角的终边与单位圆交于点，所以， 所以， 又 ， 将，代入可得 【小问2详解】 由三角函数定义得，因为， 且，又为锐角，故， 所以，即， 因为， 又，所以，又，所以， 所以， 故. 17. 函数（且）是定义在上的奇函数． （1）求的值； （2）判断的单调性，并用单调性的定义进行证明； （3）若对，都有成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）2 （2）详见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）由，得到，再利用函数的奇偶性定义验证即可； （2）利用函数的单调性的定义证明； （3）将，都有成立，转化为，成立求解. 【小问1详解】 由，得或（舍去），则， 又，且定义域为R， 所以是奇函数，符合题意，故； 【小问2详解】 任取，且， 则， 因为，所以，即， 又，， 所以，即， 所以在R上是增函数； 【小问3详解】 因为，都有成立， 所以，对成立， 即，对成立， 即，对成立， 令，当时，， 则，成立， 令， 因为在上递增， 所以在上递增， 所以，故实数的取值范围是. 18. 已知函数最小正周期为． （1）若是奇函数，求的值； （2）设函数 （i）求的单调增区间及对称轴方程； （ii）求方程在区间上的实根． 【答案】（1） （2）（i）增区间为；对称轴为 （ii） 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的周期公式求出，结合为奇函数且列式求出的值. （2）（i）先将函数化简为，然后根据三角函数单调性和对称性求单调区间和对称轴；（ii）先将代入方程中，借助诱导公式化为同角，解方程即可. 【小问1详解】 由的最小正周期为，可得，解得. 因为是奇函数，所以， 即，又，所以. 【小问2详解】 （i） . 根据正弦函数的单调性，由， 得， 所以的增区间为. 根据正弦函数的对称性，由， 得，所以的对称轴方程为. （ii）由，将代入 得，根据， 方程，可化为. 令，则方程可变为， 即，所以， 即， 所以，解得或（舍去）. 因为，所以. 因为，所以，所以，解得. 因此方程在区间上的实根为. 19. 已知双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数. （1）①求式子的值；②求函数的值域； （2）求函数在时的零点； （3）求函数在上的最小值，其中． 【答案】（1）①1；②. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）①根据双曲正弦、余弦函数的定义，利用指数幂的运算法则计算即得；将双曲正切函数化简整理成，再结合指数函数的性质和不等式性质即可求得其值域； （2）整理函数，通过换元，由可推得，解得，再解方程即得函数在上的零点； （3）先将函数的表达式中的双曲函数用定义展开，通过换元，将原函数转化为关于的分式函数，再利用双勾函数的单调性求其最小值即可. 【小问1详解】 ①，； ②， 因，则，可得，则， 故函数的值域为. 【小问2详解】 ， 设，显然该函数在上是增函数，则， 由可得，解得或（舍去）， 又由可得，即，因，故，解得， 故函数在时的零点为. 【小问3详解】 由， 设，因，则，且， 则， 因， ，当，即时，； 当，即时，； 当，即时，. 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期期末考试 高一年级数学 本试卷共4页．考试结束后，将答题卡交回． 注意事项： 1．答卷前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区． 2．答题时请按要求用笔． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 的值是（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列有关不等式的推断中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 4. 已知，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D 6. 一个容器装有细沙，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，后剩余的细沙量为，经过后发现容器内还有一半的沙子，若容器中的沙子只有开始时的十六分之一，则需再经过的时间为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 8. 已知，若函数有三个零点，则实数取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 命题：“”的否定是“” B. 若扇形的圆心角为，其面积为，则该扇形的弧长为 C. 函数的值域为 D. 函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是 10. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的有（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数图象关于点中心对称 C. 函数在单调递减 D. 将该图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得的图象 11. 已知函数是定义域为的奇函数，，当时，，则 A B. C. 当时， D. 方程恰有10个解 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 已知，，且，的最小值为________． 13. 的值为___________． 14. 给定函数，若在其定义域内存在使得，则称为“函数”，为该函数的一个“点”．设函数，若是的一个“点”，则实数的值为________．若为“函数”，则实数的取值范围为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合． （1）若，求，； （2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 16. 已知在平面直角坐标系中，锐角的终边与单位圆交于点，射线绕点按逆时针方向旋转角后交单位圆于点，点的纵坐标为． （1）若，求的值； （2）若，且，求的值． 17. 函数（且）是定义在上的奇函数． （1）求的值； （2）判断的单调性，并用单调性的定义进行证明； （3）若对，都有成立，求实数的取值范围. 18. 已知函数的最小正周期为． （1）若是奇函数，求的值； （2）设函数 （i）求的单调增区间及对称轴方程； （ii）求方程在区间上的实根． 19. 已知双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数. （1）①求式子的值；②求函数的值域； （2）求函数在时的零点； （3）求函数在上的最小值，其中． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $