精品解析：内蒙古呼和浩特市回民区2025-2026学年八年级上学期期末考试数学试题

八年级数学 （考试时间90分钟，试卷满分100分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 甲骨文作为刻写在龟甲与兽骨上的古老文字，是中国目前已发现的最早的成熟文字体系，被誉为汉字的起源与中华优秀传统文化的根基．在以下所列的甲骨文图案中，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形：如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据这个概念判断即可． 【详解】解：选项C中的图形可以找到一条直线，使直线两旁的部分能够重合，故是轴对称图形；其它选项中的图形不能找到一条直线，使直线两旁的部分能够重合，故都不是轴对称图形； 故选：C． 2. 华为手机使用的麒麟芯片是由我国自主研发制造的，其中麒麟9000型号的芯片采用全球顶级5纳米（1纳米毫米）工艺制程，集成153亿晶体管，更小尺寸蕴藏更大能量．将数据“5纳米”换算成毫米并用科学记数法表示为（ ） A. 毫米 B. 毫米 C. 毫米 D. 毫米 【答案】D 【解析】 【详解】此题主要考查了用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的个数所决定．确定a与n的值是解题的关键．根据科学记数法的定义即可得． 故选：D． 3. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式混合运算，熟记整式加减乘除乘方运算法则是解决问题的关键． 由完全平方公式、幂的乘方、单项式除以单项式及合并同类项运算法则逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A: ，选项计算错误，不符合题意； B: ，选项计算正确，符合题意； C: ，选项计算错误，不符合题意； D: ，选项计算错误，不符合题意； 故选：B． 4. 将一副三角板按如图所示的方式放置，图中的大小等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角板的角度特征、直角三角形内角和、及三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 先根据三角板的角度确定、、的度数，再利用直角三角形内角和求出，结合邻补角的性质得到，最后通过三角形内角和定理计算． 【详解】解：由题意可得，，， ∴ ∴， ∴ 故选：． 5. 下列分式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式恒等变形，熟记分式性质及因式分解是解决问题的关键． 通过因式分解和分式的基本性质，检查每个选项的变形是否正确即可得到答案． 【详解】解：A: ，选项分式变形错误，不符合题意； B: ，选项分式变形错误，不符合题意； C: ，选项分式变形错误，不符合题意； D: （其中），选项分式变形正确，符合题意； 故选：D． 6. 如图，在中，，点是边上一点，延长至点，使，连接．若，且的面积为，则的长为( ) A. 2 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形判定与性质以及三角形的面积等知识．由三角形面积求出，再证明，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴，的面积， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故选：C． 7. 科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘、净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少，一年滞尘所需的银杏树叶的片数与一年滞尘所需的国槐树叶的片数相同．若设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为，则根据题意可得方程是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“一年滞尘所需的银杏树叶的片数与一年滞尘所需的国槐树叶的片数相同”列方程即可；本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是弄清题意，找到题目中的关键语句，从而列出方程． 【详解】解：设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为，则一片银杏树叶一年的平均滞尘量为， 根据题意得， 故选：A． 8. 物体重心是物体受力的平衡点，物体重心的位置对于物体保持平衡、运动和稳定的状态至关重要，在探究平面图形的重心时发现：把一个平面组合图形分割成甲、乙两部分，建立平面直角坐标系，若甲、乙两部分的面积分别为，重心分别为，原图形的重心坐标为，则有．如图，若，以点为坐标原点，“”为一个单位长度，建立如图所示的平面直角坐标系，则此“”形图形的重心坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查阅读理解，涉及矩形性质，读懂题意，掌握图形重心坐标的求法是解决问题的关键． 先由矩形性质得到长度，再由矩形面积公式及矩形对角线交点的性质得到，最后结合阅读材料中重心坐标公式代入计算即可得到答案． 【详解】解：在矩形和矩形中，，则， 若甲、乙两部分的面积分别为，重心分别为，原图形的重心坐标为，则有， ，，， 则， 此“”形图形的重心坐标为， 故选：B． 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 若分式有意义，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，熟记分式有意义的条件是解决问题的关键． 根据分式有意义的条件是分母不为零，列不等式求解即可得到答案． 【详解】解：分式有意义， ， 解得， 故答案为：． 10. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查代数式求值，涉及完全平方公式，熟记完全平方公式是解决问题的关键． 利用完全平方公式展开，然后通过两式相减消去平方项，得到关于等式化简即可得到答案． 【详解】解：①， ②， 由①②得， 即， 解得， 故答案为：． 11. 如图，小明同学将三角形纸片按如下方式折叠：沿过点的直线折叠该纸片，使点的对应点落在边上，折痕与边交于点，展开后连接；再沿过点的直线折叠该纸片，使点的对应点落在边上，折痕交边于点．若，，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质、角平分线的性质及三角形面积公式，熟练掌握折叠的性质与角平分线的性质是解题的关键． 先根据折叠性质证明，再通过角平分线的性质得出，结合，利用三角形面积公式计算的面积． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵过点的直线折叠该纸片，使点的对应点落在边上，折痕交边于点． ． ∵沿过点的直线折叠该纸片，使点的对应点落在边上，折痕与边交于点， ，即平分． ，， ． ，由折叠知 ． ． 故答案为：． 12. 如图，在中，，点为内一点，平分，平分，连接，过点作交于点，交于点，边上有两点，，且，．若，则的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】先证明（），得到，，证明（），得到，．根据角平分线的性质及判定证明平分，得到，进而证明（），得到，从而得到是等边三角形，因此，，进而有，再根据等角的补角相等得到，从而是等边三角形，即可求解． 详解】解：∵平分， ∴， ∵，， 在和中， ， ∴（）， ∴，． ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴，． ∵平分，平分， ∴点到，，的距离相等， ∴平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ， ∴，， ∴， ∵，， 又， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质，等角的补角相等，等边三角形的判定及性质，角平分线的性质，综合运用相关知识是解题的关键． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. 按要求完成下列各题： （1）计算：； （2）计算：； （3）解分式方程：． 【答案】（1）0 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）按照运算法则，分别计算各部分，再进行加减计算即可； （2）用平方差公式和提公因式分解因式，计算括号里的减法后化除为乘计算即可； （3）去分母，移项合并同类项，系数化为1，最后进行检验即可． 本题主要考查有理数的乘方，负整数指数幂，分式的混合运算和解分式方程，熟练掌握相应的运算法则是解题的关键． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：两边同时乘得， 移项合并同类项得， 系数化为1得． 经检验，是原方程的解． 14. 如图，，平分，交于点； （1）尺规作图：在图中过点A作CE的垂线，垂足为点F（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的基础上，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用尺规作已知直线垂线的方法，以为圆心画弧交于两点，再以这两点为圆心画弧，两弧交点与的连线即为的垂线，垂足为． （2）先由平行线性质得内错角相等，结合角平分线定义得角相等，进而推出等腰三角形；再由垂线得直角，结合等腰三角形“三线合一”或全等三角形证明角相等． 【小问1详解】 解：如图，为所求； 【小问2详解】 证明： ． 平分， ． ． ． ， ． 在和中， ． ． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，以及尺规作垂线的方法，熟练掌握平行线的性质、等腰三角形的性质是解题的关键． 15. 如图，已知的三个顶点的坐标分别为． （1）求的面积； （2）作出关于轴对称的图形，并直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查网格中求三角形面积、网格中对称作图及写出点的坐标，数形结合是解决问题的关键． （1）由网格中的，利用三角形面积公式代入计算即可得到答案； （2）分别作出三个顶点关于轴的对称点，连接点即可得到，数形结合即可得到点的坐标． 【小问1详解】 解：如图所示： 的面积为； 【小问2详解】 解：如图所示： ． 16. 呼和浩特车站是内蒙古地区重要的现代化综合交通枢纽，集高铁、普速铁路与城市轨道交通于一体．站内高峰时段客流量显著，为提升旅客通行效率，站厅配备了多组智能通道闸机，采用对称式扇形双翼设计，通过人脸识别或票卡感应实现快速验票通行，极大缩短了乘客进站等待时间．如图1是车站的一组智能通道闸机，实际运行中，闸机双翼成轴对称，旅客通过身份验证后，双翼自动收回到两侧闸机箱内，形成无障碍通道．图2是双翼展开时的截面结构，扇形和是闸机的“圆弧翼”，和均垂直于地面，双翼边缘的端点与点在同一水平线上，且它们之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机箱侧壁的夹角． （1）求当双翼完全收起时，可以通过闸机的最大宽度； （2）经实践调查，一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的倍，人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约分钟，求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数． 【答案】（1）最大宽度 （2）约为人 【解析】 【分析】本题考查了含直角三角形性质的应用，分式方程的应用，掌握直角三角形中所对的直角边是斜边的一半、分式方程解法步骤是解决问题的关键． （1）连接，并向两方延长，分别交于，根据题意得到，再根据直角三角形的性质得到，，代入计算即可； （2）设一个人工检票口平均每分钟检票通过的人数为人，根据题意列方程即可得到结论． 【小问1详解】 解：连接，并向两方延长，分别交于，如图所示： 由点在同一条水平线上，均垂直于地面，可知， 的长度就是与之间的距离， 在中，，则， 在中，，， ， ∴当双翼收起时，可以通过闸机的最大宽度； 【小问2详解】 解：设一个人工检票口平均每分钟检票通过的人数为人， 则， ， 则， 解得， 经检验，是原方程的根， 当时，， 答：一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数约为人． 17. 【综合与实践】 日常生活中经常会遇到最短路径问题，例如，在物流配送中规划最短行驶路线以节约成本，在通信网络中寻找数据传输最优路径以提升效率，在交通导航中计算实时最快方案以减少拥堵，在工业生产中优化物料搬运路线以提升效能．从数学的角度看，这类问题抽象为几何问题，常常是求线段和的最小值问题． 【问题原型】 如图1，牧民从地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到地．牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短？ 【数学模型】 作点关于直线对称点；连接，与直线交于点；点即为所求饮马点，路径最短． 【解决问题】 （1）利用轴对称变换将折线问题转化为直线问题，体现了数学中的______思想．（填选项字母） A．数形结合 B．转化与化归 C．方程 D．分类讨论 （2）如图2，在等边中，是上的动点，是的平分线，是上的动点．若，则的最小值为______． （3）如图3，某能源公司在山区有一座风力发电站，需定期对一片扇形检修区（由射线和构成，）进行无人机巡检．无人机从发电站出发，需先到地面基站边缘处进行数据采集，再到河边处取水冷却设备，最后返回站．已知． ①请在备用图中画出一条最短巡检路线（保留作图痕迹，不写画法）； ②根据所画图示计算最短巡检路线的长度． 【答案】（1）B （2） （3）①作图见解析；②最短巡检路线的长度为． 【解析】 【分析】（1）通过轴对称将折线问题转化为直线问题，属于转化与化归思想． （2）利用等边三角形对称轴的性质，将转化为点到直线的距离，结合等边三角形的高求解最小值． （3）①作点关于、的对称点，连接对称点与、的交点即为最短路径；②利用轴对称性质和等边三角形判定，计算最短路径长度． 【小问1详解】 解：利用轴对称将折线问题转化为直线问题，体现转化与化归思想， 故选：B； 【小问2详解】 解：连接，，过点作于点， ∵ 等边中，是的平分线， ∴ 点、关于直线对称， ∴ ， ∴ ， ∵ 和都是等边的高，， ∴ ， ∴ 的最小值为； 【小问3详解】 解：① 如图，分别作点关于、的对称点、，连接分别交、于点、，连接、，则为最短巡检路线． ②∵ 点关于、的对称点为、， ∴ ，，， ∵ ， ∴ ， ∴ 为等边三角形， ∴ ， ∵ ，， ∴ ， ∴ 最短巡检路线的长度为． 【点睛】本题主要考查了最短路径问题、等边三角形的性质与判定、轴对称的性质，熟练掌握“利用轴对称将折线问题转化为直线问题”是解题的关键． 18. （1）问题发现：如图①，和都是等边三角形，点、、在同一条直线上，连接．求的度数； （2）拓展探究：如图②，和都是等腰直角三角形，，点、、在同一条直线上，为中边上的高，连接，试求的度数及判断线段、、之间的数量关系，并说明理由； （）解决问题：如图③，和都是等腰三角形，，点、、在同一条直线上，试求的度数． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）． 【解析】 【分析】（1）通过证明（），利用全等三角形的性质求的度数． （2先证，结合等腰直角三角形性质求的度数；再利用是等腰直角三角形的高得到，结合全等结论推导、、的数量关系． （3先证，结合等腰三角形内角和，通过角的组合计算的度数． 【详解】解：（1）∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴−−，即， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∵等边三角形，点、、共线， ∴−， ∴， （2），理由如下： ∵和都是等腰直角三角形，， ∴，，−−，即， ∴（）， ∴， ∵是等腰直角三角形，点、、共线， ∴，−， ∴， 又∵， ∴−−， ∵是等腰直角三角形，是边上的高， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即； （3）∵和都是等腰三角形，， ∴，，−−，即， ∴（）， ∴， ∵是等腰三角形，，是等腰三角形， ∴，， ∵（点、、共线）， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定（）及利用图形性质进行角和线段的转化是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学 （考试时间90分钟，试卷满分100分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 甲骨文作为刻写在龟甲与兽骨上的古老文字，是中国目前已发现的最早的成熟文字体系，被誉为汉字的起源与中华优秀传统文化的根基．在以下所列的甲骨文图案中，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 华为手机使用的麒麟芯片是由我国自主研发制造的，其中麒麟9000型号的芯片采用全球顶级5纳米（1纳米毫米）工艺制程，集成153亿晶体管，更小尺寸蕴藏更大能量．将数据“5纳米”换算成毫米并用科学记数法表示为（ ） A. 毫米 B. 毫米 C. 毫米 D. 毫米 3. 下列各式计算正确是（ ） A. B. C. D. 4. 将一副三角板按如图所示的方式放置，图中的大小等于（ ） A. B. C. D. 5. 下列分式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，点是边上一点，延长至点，使，连接．若，且的面积为，则的长为( ) A. 2 B. C. 4 D. 7. 科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘、净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少，一年滞尘所需的银杏树叶的片数与一年滞尘所需的国槐树叶的片数相同．若设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为，则根据题意可得方程是（ ）． A. B. C. D. 8. 物体重心是物体受力的平衡点，物体重心的位置对于物体保持平衡、运动和稳定的状态至关重要，在探究平面图形的重心时发现：把一个平面组合图形分割成甲、乙两部分，建立平面直角坐标系，若甲、乙两部分的面积分别为，重心分别为，原图形的重心坐标为，则有．如图，若，以点为坐标原点，“”为一个单位长度，建立如图所示的平面直角坐标系，则此“”形图形的重心坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 若分式有意义，则实数的取值范围是______． 10. 若，则______． 11. 如图，小明同学将三角形纸片按如下方式折叠：沿过点的直线折叠该纸片，使点的对应点落在边上，折痕与边交于点，展开后连接；再沿过点的直线折叠该纸片，使点的对应点落在边上，折痕交边于点．若，，则的面积为______． 12. 如图，在中，，点为内一点，平分，平分，连接，过点作交于点，交于点，边上有两点，，且，．若，则的周长为______． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. 按要求完成下列各题： （1）计算：； （2）计算：； （3）解分式方程：． 14. 如图，，平分，交于点； （1）尺规作图：在图中过点A作CE的垂线，垂足为点F（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的基础上，求证：． 15. 如图，已知的三个顶点的坐标分别为． （1）求的面积； （2）作出关于轴对称的图形，并直接写出点的坐标． 16. 呼和浩特车站是内蒙古地区重要的现代化综合交通枢纽，集高铁、普速铁路与城市轨道交通于一体．站内高峰时段客流量显著，为提升旅客通行效率，站厅配备了多组智能通道闸机，采用对称式扇形双翼设计，通过人脸识别或票卡感应实现快速验票通行，极大缩短了乘客进站等待时间．如图1是车站的一组智能通道闸机，实际运行中，闸机双翼成轴对称，旅客通过身份验证后，双翼自动收回到两侧闸机箱内，形成无障碍通道．图2是双翼展开时的截面结构，扇形和是闸机的“圆弧翼”，和均垂直于地面，双翼边缘的端点与点在同一水平线上，且它们之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机箱侧壁的夹角． （1）求当双翼完全收起时，可以通过闸机的最大宽度； （2）经实践调查，一个智能闸机平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的倍，人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约分钟，求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数． 17. 【综合与实践】 日常生活中经常会遇到最短路径问题，例如，在物流配送中规划最短行驶路线以节约成本，在通信网络中寻找数据传输最优路径以提升效率，在交通导航中计算实时最快方案以减少拥堵，在工业生产中优化物料搬运路线以提升效能．从数学的角度看，这类问题抽象为几何问题，常常是求线段和的最小值问题． 【问题原型】 如图1，牧民从地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到地．牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短？ 【数学模型】 作点关于直线的对称点；连接，与直线交于点；点即为所求饮马点，路径最短． 解决问题】 （1）利用轴对称变换将折线问题转化为直线问题，体现了数学中______思想．（填选项字母） A．数形结合 B．转化与化归 C．方程 D．分类讨论 （2）如图2，在等边中，是上的动点，是的平分线，是上的动点．若，则的最小值为______． （3）如图3，某能源公司在山区有一座风力发电站，需定期对一片扇形检修区（由射线和构成，）进行无人机巡检．无人机从发电站出发，需先到地面基站边缘处进行数据采集，再到河边处取水冷却设备，最后返回站．已知． ①请在备用图中画出一条最短巡检路线（保留作图痕迹，不写画法）； ②根据所画图示计算最短巡检路线长度． 18. （1）问题发现：如图①，和都是等边三角形，点、、在同一条直线上，连接．求的度数； （2）拓展探究：如图②，和都是等腰直角三角形，，点、、在同一条直线上，为中边上的高，连接，试求的度数及判断线段、、之间的数量关系，并说明理由； （）解决问题：如图③，和都是等腰三角形，，点、、在同一条直线上，试求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $