.第二十八章 锐角三角函数　复习课课件 2025--2026学年人教版九年级数学下册

第二十八章　复习课 单击此处编辑母版文本样式 第二十八章　复习课 单击此处编辑母版文本样式 1.熟记30°、45°、60°的三角函数值,能进行含有30°、45°、60°角的三角函数值的计算. 2.会解直角三角形,能借助计算器,由已知锐角求它的函数值,或由已知三角函数值求出相应的锐角. 3.能运用直角三角形的边角关系解决实际问题. 学习目标 单击此处编辑母版文本样式 ◎重点:锐角三角函数值的计算、解直角三角形在实际生活中的应用. ◎难点:把实际问题转化为解直角三角形的数学问题. 单击此处编辑母版文本样式 请你完成下面的知识结构图. 单击此处编辑母版文本样式 三角函数的计算 1.计算:sin 60°-cos 45°+. 解:sin 60°-cos 45°+=×-×+2=2.5 单击此处编辑母版文本样式 变式演练　 计算:2sin245°-6cos 30°+3tan 45°+4sin 60°. 解:原式=2× 2-6×+3×1+4× =2×-3+3+2 =1-3+3+2 =4-. 单击此处编辑母版文本样式 解直角三角形 2.如图,若AB=4,AC=10,∠ABC=60°,求B,C两点间的距离. 单击此处编辑母版文本样式 解:如图,过点A作AD⊥BC于点D, 在Rt△ABD中,∵∠ABC=60°,∴∠BAD=30°. ∵AB=4,∴BD=2,∴AD=2. 在Rt△ADC中,∵AC=10, ∴CD==2,∴BC=2+2. 单击此处编辑母版文本样式 方法归纳交流　求三角形中角的度数或线段的长度时,可以作辅助线构造适当的　 　,然后利用　 　的知识求出角度的大小或线段的长度.  直角三角形 解直角三角形 单击此处编辑母版文本样式 变式演练　 如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,BC=14,AD=12,sin B=. 求:(1)线段DC的长; (2)tan∠ACB的值. 单击此处编辑母版文本样式 解:(1)∵AD是BC边上的高,∴∠ADB=∠ADC=90°. ∵sin B=,AD=12,∴AB=15, ∴BD===9. ∵BC=14,∴DC=BC-BD=14-9=5. (2)由(1)可知,CD=5,AD=12,∴tan∠ACB==. 单击此处编辑母版文本样式 解直角三角形的应用 3.视角问题:如图,线段AB、DC分别表示甲、乙两建筑物的高,AB⊥BC,DC⊥BC,从B点测得D点的仰角α为60°,从A点测得D点的仰角β为30°,已知甲建筑物的高AB=36米,求乙建筑物的高DC. 单击此处编辑母版文本样式 解:(解法不唯一)如图,过点A作AE⊥CD于点E.根据题意,得∠DBC=α=60°,∠DAE=β=30°,设DE=x,则DC=x+36, 在Rt△AED中,tan 30°=,∴AE=x=BC, 在Rt△DCB中,tan 60°=, ∴=,解得x=18,经检验,x=18是原分式方程的解,∴DC=54(米). 单击此处编辑母版文本样式 变式演练　 位于河南省登封市境内的嵩岳寺塔是中国现存最早的砖塔,反映了中外建筑文化交流融合创新的历程,在结构、造型等方面具有很大的价值,对后世砖塔建筑有着巨大影响. 单击此处编辑母版文本样式 清明假期,小红利用所学知识来测量该塔的高度,测角仪和塔底A在同一水平面,如图,她先在C处测得塔顶B的仰角为57°,然后沿直线AC向远离塔的方向前进20米到达D处,在D处测得塔顶B的仰角为40°.求嵩岳寺塔的高度.(结果精确到1 m,参考数据:sin 40°≈0.64,cos 40°≈0.77,tan 40°≈0.84,sin 57°≈0.84,cos 57°≈0.54,tan 57°≈1.54) 单击此处编辑母版文本样式 解:根据题意可知∠BCA=57°,CD=20米,∠BDA=40°, ∵BA⊥AD, 在Rt△ABC中,∵AB=AC·tan∠BCA, ∴AC=,∴AD=AC+CD=(+20)米, 单击此处编辑母版文本样式 在Rt△ABD中,∵AB=AD·tan D, ∴AB= +20 ×tan 40°, 解得AB≈37(米). 答:嵩岳寺塔的高度约为37米. 单击此处编辑母版文本样式 4.坡角问题:如图,斜坡AC的坡度(坡比)为1∶,AC=10米.坡顶有一旗杆BC,旗杆顶端B处与A处有一条彩带将A,B相连,且AB=14米.试求旗杆BC的高度. 单击此处编辑母版文本样式 解:如图,延长BC交AD于点E,则CE⊥AD. 在Rt△AEC中,AC=10, 由坡比为1∶,可知∠CAE=30°, ∴CE=5,AE=AC·cos 30°=5. 在Rt△ABE中,BE==11, ∴BC=BE-CE=6(米). 单击此处编辑母版文本样式 变式演练　 球罐,可大幅度减少钢材的消耗.对于易燃、易爆、有毒、有害等特殊物质,球罐的防护性能更好.小刚爸爸的工厂有三个球罐,小刚阅读了古代数学家刘徽编撰的《重差》后,立马有了主意,他站在球罐最高处(点C),看到地面F处恰好被点E遮挡,而他的眼睛D与点C的距离为1.6米,用测倾器测得∠D为55°,他的 单击此处编辑母版文本样式 同伴小强测得地面上的AF为25.28米.两人画出了如图所示的截面图,求AC的高度.(结果精确到0.1 m,参考数据:sin 55°≈0.82,cos 55°≈0.57,tan 55°≈1.43) 单击此处编辑母版文本样式 解:由题意得CD=1.6米,AF=25.28米, 在Rt△ADF中,∠DAF=90°,∠D=55°, ∴AD=≈≈17.7(米), ∴AC=AD-CD=17.7-1.6=16.1(米). 答:AC的高度约为16.1米. 单击此处编辑母版文本样式 5.方向角问题: 如图,海上有一灯塔P,在它周围3海里处有暗礁.一艘客轮以9海里/时的速度由西向东航行,行至A处测得P在它的北偏东60°的方向上,继续行驶20分钟后,到达B处,又测得灯塔P在它的北偏东45°方向.问客轮不改变方向继续前进有无触礁的危险? 单击此处编辑母版文本样式 解:如图,过点P作PC⊥AB于点C. 根据题意可知AB=9×=3(海里),∠PAB=90°-60°=30°, ∠PBC=90°-45°=45°,∠PCB=90°. 单击此处编辑母版文本样式 在Rt△APC中,tan 30°=,∴AC=≈1.73PC. 在Rt△BPC中,∵∠PBC=45°,∴BC=PC. ∵AB=AC-BC,∴0.73PC=3,∴PC≈4.1>3, ∴客轮不改变方向继续前进无触礁的危险. 单击此处编辑母版文本样式 　方法归纳交流　应用解直角三角形的知识解决实际问题时,要将实际问题中的条件转化为数学问题,找准　 　,利用直角三角形中的　 　求出实际问题的解.    直角三角形 边角关系 单击此处编辑母版文本样式 1 tan 45°+sin 30°等于 ( ) 　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.2 B. C. D. C 分层作业 单击此处编辑母版文本样式 2如图,将三角板的直角顶点放置在直线AB上的点O处,使斜边CD∥AB,则α的正弦值为 ( ) A. B.1 C. D. D 单击此处编辑母版文本样式 3把△ABC三边的长度都扩大为原来的7倍,则锐角A的正切值 ( ) A.不变 B.缩小到原来的 C.扩大为原来的7倍 D.不能确定 A 单击此处编辑母版文本样式 4若tan α=,则锐角α=　 　度.  5在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5,BC=4,则tan A=  　.  6在△ABC中,∠C=90°,AB=20,cos B=,则BC=　 　.  60 5 单击此处编辑母版文本样式 7在△ABC中,∠C=90°,sin A=,则tan B等于( ) A. B. C. D. D 单击此处编辑母版文本样式 8如图,市政府准备修建一座高AB=6 m的过街天桥,已知天桥的坡面AC与地面BC的夹角∠ACB的余弦值为,则坡面AC的长度为( ) A. m B.10 m C. m D. m B 单击此处编辑母版文本样式 9如图,折叠直角三角形纸片的直角,使点C落在斜边AB上的点E处.已知AB=8,∠B=30°,则DE的长是( ) A.6 B.4 C.4 D.2 B 单击此处编辑母版文本样式 10如图,△ABC的顶点是正方形方格的格点,则cos A的值为 ( ) A. B. C. D. D 单击此处编辑母版文本样式 11如图,A、B两座城市相距100 km,现计划在这两座城市间修建一条高速公路(即线段AB),经测量,森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上,已知森林保护区的范围在以P点为圆心,50 km为半径的圆形区域内,请问计划修建的这条高速公路会不会穿越保护区,为什么?(参考数据:≈1.732,≈1.414) 单击此处编辑母版文本样式 解:如图,过点P作PC⊥AB,C是垂足, 则∠APC=30°,∠BPC=45°,AC=PC·tan 30°,BC=PC·tan 45°. ∵AC+BC=AB,∴PC·tan 30°+PC·tan 45°=100, ∴ +1 PC=100,∴PC=50(3-)≈50×(3-1.732)=63.4>50. 答:森林保护区的中心与直线AB的距离大于保护区的半径,所以计划修建的这条高速公路不会穿越保护区. 单击此处编辑母版文本样式 12已知等腰三角形一条腰上的高与腰之比为1∶,那么这个等腰三角形的顶角等于　 　.  45°或135° 单击此处编辑母版文本样式 13(抽象能力)如图,放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为40 cm,灯罩BC长为30 cm,底座厚度为2 cm,灯臂与底座构成的夹角∠BAD=60°.使用时发现,当光线最佳时,灯罩BC与水平线所成的角为30°,此时灯罩顶端C到桌面的高度CE等于多少?(结果精确到0.1 cm,参考数据:≈1.732) 单击此处编辑母版文本样式 解:如图,过点B作BF⊥CD于点F,作BG⊥AD于点G. 在Rt△BCF中,∠CBF=30°, ∴CF=BC·sin 30°=30×=15. 单击此处编辑母版文本样式 在Rt△ABG中,∠BAG=60°, ∴BG=AB·sin 60°=40×=20, ∴CE=CF+FD+DE=15+20+2=17+20≈51.64≈51.6 cm. 答:此时灯罩顶端C到桌面的高度CE约为51.6 cm. 单击此处编辑母版文本样式 END 感谢观看 下节课再会 单击此处编辑母版文本样式 42 $