精品解析：辽宁省沈阳市于洪区2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

辽宁省沈阳市于洪区2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列实数中，无理数（ ） A. B. C. D. 2. 根据下列表述，能确定一个具体位置的是（ ） A. 某影城1号厅3排 B. 负一层停车场 C. 北纬，东经 D. 南偏西方向 3. 如图，圆柱的底面直径为，高为，一只蚂蚁在点C处，沿圆柱的侧面爬到点B处，现将圆柱侧面沿剪开，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最短路线，正确的是（ ） A B. C. D. 4. 下列计算正确是（ ） A. B. C. D. 5. 已知甲、乙两人10次标枪的平均成绩相同，落点如图所示，对于方差，的描述正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 6. 下列命题中，真命题是（ ） A. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B. 相等的角是对顶角 C. 等角的补角相等 D. 平行于同一条直线的两条直线垂直 7. 有一组被墨水污染的数据：4，17，7，15，★，★，18，15，10，4，4，11，这组数据的箱线图如图所示，下列说法不正确的是（　　） A. 这组数据的下四分位数是4 B. 这组数据的中位数是10 C. 这组数据的上四分位数是15 D. 被墨水污染的数据一个数是3，另一个数可能是13 8. 在同一直角坐标系中，直线与直线可能是（ ） A. B. C. D. 9. 《孙子算经》中有一道题，原文是：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺．问木长多少尺？小伟同学准备用二元一次方程组解决这个问题，他已列出一个方程是，则符合题意的另一个方程是（ ） A. B. C. D. 10. 随着科技发展，无人配送车逐渐普及．某小区的配送车“小橙”和“小绿”从配送站出发，给距离配送站的居民送包裹．小橙比小绿先出发，小绿的行驶速度为，若小橙、小绿行驶的路程（单位：）与小橙行驶的时间为（单位：）之间的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 小橙的行驶时间为 B. 小橙的速度为 C. 小橙比小绿先出发 D. 小橙比小绿晚到达居民位置 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 的平方根是__________． 12. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点，点为该凸透镜的焦点．若，，则的度数为__________． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，连接，以点A为圆心，的长为半径画弧，交x轴于点C（点C在点A的右侧），则点C的坐标为_______． 14. 为了鼓励市民节约用电，某市采用分档计费的方式计算电费．计费规则为：当月用电量中未超出第一档标准的部分按第一档单价计费，超出第一档但未超出第二档标准的部分按第二档单价计费，以此类推．下表是户月用电量及分档计费标准： 计费档 户月用电量 单价元 第一档 第二档 第三档 某户上一个月的用电量为，则该户上一个月的电费为__________元． 15. 如图，长方形纸片，将这张长方形纸片翻折，点落到边点处，点落到点处，折痕交边于点E，F，若，则的长为__________． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算：； （2）解方程组：． 17. 在如图正方形网格中，每个小正方形的边长为，格点三角形（顶点是网格线的交点）三个顶点的坐标分别为，． （1）请在如图网格平面内画出平面直角坐标系； （2）请在如图网格平面内画出关于轴对称的图形，并写出顶点的坐标； （3）若点，且轴，则的长为__________． 18. 高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物体，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）． （1）求物体从的高空落到地面的时间； （2）小红说物体从的高空落到地面的时间是（1）中所求时间的2倍，她的说法正确吗？请说明理由； （3）已知从高空坠落的物体所带能量（单位：）物体质量高度．某质量为的小球经过落在地上，这个小球在下落过程中所带能量有多大？你能得到什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要的能量） 19. 某电影院为了创收，分两次购进了哪吒和敖丙手办进行售卖，第一次购入哪吒手办25个，敖丙手办10个共花费650元，第二次以相同进价购入哪吒手办40个，敖丙手办20个共花费1100元． （1）求每个哪吒和每个敖丙手办进价各多少元？ （2）该电影院为了解这两款手办的销售情况，对每天的销售进行记录，周一出售了6个哪吒手办，5个敖丙手办，销售收入记录为305元，经核实记录正确；周二以相同的售价出售了哪吒手办12个，敖丙手办10个，销售收入记录为600元，你认为周二的销售记录正确吗？如果正确，请说明理由，若不正确，请你计算出正确的销售收入． 20. 某校“校园文化节”演讲比赛分初赛和决赛两个阶段： （1）初赛评分分析 初赛由12名教师评委和50名学生评委为选手打分（百分制），以下是某选手的评分信息： a．教师评委打分： b．学生评委打分的频数分布直方图（数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组），各组频数依次为： 4，7，12，15，8，4． c．评委打分的统计量如下表： 平均数 中位数 众数 教师评委 p q 学生评委 r 92 根据以上信息，回答下列问题： ①求和的值； ②的值位于学生评委打分分组的第__________组； ③若去掉教师评委打分的最高分和最低分，其余10名教师评委打分的平均数为，则__________（填“”“ ”或“”）； （2）决赛排序规则 决赛由5名专业评委打分（百分制），按“平均数高者靠前，平均数相同则方差小者靠前”排序．甲、乙、丙三位选手的打分如下： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 92 91 93 92 92 乙 90 92 93 93 93 丙 89 94 89 94 k 若丙在三位选手中排序居中，则排序最靠前的是__________，表中（为整数）的值为__________． 21. 定义：一次函数与为常数，且互为“异号函数”．如：与互为“异号函数” （1）已知点在的“异号函数”的图象上，求的值， （2）请直接写出一次函数的“异号函数”，并求当时该“异号函数”的最大函数值； （3）一次函数的图象如图所示，若一次函数在范围内的部分记为函数，一次函数的“异号函数”在范围内的部分记为函数，和组成新函数，当时，，则__________，__________． 22. 在中，为边的中点，为所在平面内一点，连接并延长至点，使，连接和． （1）如图1，当点在内部时． ①求证：； ②若，则与位置关系为__________． （2）如图2，当点在外部时，的延长线交于点，且，． ①若，用等式表示线段与的数量关系，并证明； ②在①的条件下，若和的面积和为5.5，请求出的面积． 23. 如图1，在中，为上一定点． （1）求点到边的距离； （2）动点从点出发，在边上沿方向运动，到点时停止运动，连接．设点走过的路程为的面积为，其中点从点运动到点时，经探究发现关于的函数表达式为，图象为线段，如图2所示． ①求的长； ②请直接写出点的坐标； ③点从点运动到点时，请直接写出关于的函数表达式，要求注明自变量的取值范围，并在图2中画出该函数的图象； ④点为轴上一点，过点作直线平行于轴交面积的函数图象于点，若时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省沈阳市于洪区2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列实数中，无理数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了无理数．解题的关键是掌握无理数的定义． 根据无理数的概念，无限不循环小数是无理数，而有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，由此即可判断． 【详解】解：A.因为9不是完全立方数，故是无理数，故A选项符合题意； B.是有限小数，是有理数，故B选项不符合题意； C.是分数，是有理数，故C选项不符合题意； D.，是整数，是有理数，故D选项不符合题意； 故选：A． 2. 根据下列表述，能确定一个具体位置的是（ ） A. 某影城1号厅3排 B. 负一层停车场 C. 北纬，东经 D. 南偏西方向 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了有序数对确定位置．理解确定位置需要两个数据是解题关键． 根据坐标定义，确定位置需要两个数据，逐项分析即可求解． 【详解】解：A仅指定排数未指定座位，B仅指定楼层未指定车位，D仅指定方向未指定距离，均不能确定唯一位置；C提供经纬度坐标，能唯一确定地球上一个点； 故选项C给出的北纬和东经，能唯一确定位置 ； 故选：C． 3. 如图，圆柱的底面直径为，高为，一只蚂蚁在点C处，沿圆柱的侧面爬到点B处，现将圆柱侧面沿剪开，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最短路线，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆柱的侧面展开和最短路径问题，掌握求解的方法是关键； 根据圆柱的侧面展开图是长方形结合两点之间线段最短解答即可． 【详解】解：现将圆柱侧面沿剪开，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最短路线应该是： ， 故选：B． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查算术平方根的性质和二次根式的运算和性质，掌握算术平方根的性质和二次根式的运算和性质是解本题的关键． 根据二次根式的加减运算及算术平方根可直接进行排除选项． 【详解】解：选项A：，故该选项错误； 选项B：，故该选项错误； 选项C：，故该选项错误； 选项D：，故该选项正确； 故选：D． 5. 已知甲、乙两人10次标枪平均成绩相同，落点如图所示，对于方差，的描述正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了方差与数据集中性的关系．方差越小，数据越集中，据此可得答案． 【详解】解：由图可知，乙的成绩比甲的成绩更加的集中， ∴， 故选：B． 6. 下列命题中，真命题是（ ） A. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B. 相等的角是对顶角 C. 等角的补角相等 D. 平行于同一条直线的两条直线垂直 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是真命题的概念，对顶角的定义，平行线的性质，补角的性质，平行线的判定，熟记基础概念与平行线的判定方法与性质是解本题的关键． 通过判断每个命题的真假，基于平行线、对顶角、补角等初中数学性质，逐项判断即可． 【详解】解：选项A：只有当两条直线平行时，同位角才相等，否则不一定，是假命题，故A选项不符合题意； 选项B：相等的角不一定是对顶角，例如两个直角相等但可能不是对顶角，是假命题，故B选项不符合题意； 选项C：如果两个角相等，则它们的补角也相等，是真命题，故C选项符合题意； 选项D：平行于同一条直线的两条直线互相平行，而不是垂直，是假命题，故D选项不符合题意； 故选：C． 7. 有一组被墨水污染的数据：4，17，7，15，★，★，18，15，10，4，4，11，这组数据的箱线图如图所示，下列说法不正确的是（　　） A. 这组数据的下四分位数是4 B. 这组数据的中位数是10 C. 这组数据的上四分位数是15 D. 被墨水污染的数据一个数是3，另一个数可能是13 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中位数，以及数字变化，属于中档题．根据题意逐一分析即可． 【详解】解：箱线图的箱体的左端竖线的对应值为4，所以这组数据的下四分位数是4，说法正确，故该选项不符合题意； 箱线图的箱体中部的竖线在10与11之间，所以这组数据的中位数大于10，说法错误，故该选项符合题意； 箱线图的箱体的右端竖线的对应值为15，所以这组数据的上四分位数是15，说法正确，故该选项不符合题意； 箱线图最左侧的竖直线段表示该组数据的最小值是3，最右侧的竖直线段表示该组数据的最大值，是18， ∴被墨水污染的数据中一个数是3，一个数可能是13，说法正确，故该选项不符合题意． 故选：B． 8. 在同一直角坐标系中，直线与直线可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象性质，解题的关键是根据的正负分类讨论两条直线的象限分布． 分和两种情况，分别分析直线和的象限分布，再与选项逐一比对，得出正确答案． 【详解】解：当时，直线经过第一、三象限； 当时，直线经过第二、四象限． 直线的斜率为，因此直线一定从左到右上升（经过第一、三象限）；截距为： 当时，直线与轴的交点在正半轴（经过第一、二、三象限）； 当时，直线与轴的交点在负半轴（经过第一、三、四象限）． 情况1： 直线经过第一、三象限；直线经过第一、二、三象限． 选项A中，的截距为负（与矛盾），排除； 选项C中，经过第一、三象限，经过第一、二、三象限，符合条件． 情况2： 直线经过第二、四象限；直线经过第一、三、四象限． 选项B中，的斜率为负（与斜率矛盾），排除； 选项D中，的斜率为负（与斜率矛盾），排除． 故选C 9. 《孙子算经》中有一道题，原文是：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺．问木长多少尺？小伟同学准备用二元一次方程组解决这个问题，他已列出一个方程是，则符合题意的另一个方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意，绳子对折后量长木，长木剩余尺，表明对折绳子长度比木长短尺，从而得到另一个方程找出等量关系，列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设木长为尺，绳子长为尺， ∵屈绳量之，不足一尺， ∴对折绳子长度比木长短尺， 即， 故选：． 10. 随着科技发展，无人配送车逐渐普及．某小区的配送车“小橙”和“小绿”从配送站出发，给距离配送站的居民送包裹．小橙比小绿先出发，小绿的行驶速度为，若小橙、小绿行驶的路程（单位：）与小橙行驶的时间为（单位：）之间的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 小橙的行驶时间为 B. 小橙的速度为 C. 小橙比小绿先出发 D. 小橙比小绿晚到达居民位置 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象，正确地从图象上获取信息是关键． 根据一次函数的性质，结合函数图象对选项依次进行判断即可． 【详解】解：从图象上可知，小橙比小绿先出发，故C正确； 总路程为，小绿的行驶速度为， ∴小绿的行驶时间为， ∴， 由图象可知，当时，， ∴小橙的行驶速度为，故B错误； 小橙行驶时间为，故A错误； 小橙比小绿晚到达，故D错误． 故选：C． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 的平方根是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，掌握平方根的概念是解本题的关键． 根据平方根的定义，求的平方根，即求哪个数的平方等于，由于平方根有正负两个值，因此结果为． 【详解】解：， 的平方根是． 故答案为：． 12. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点，点为该凸透镜的焦点．若，，则的度数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角的性质，关键是由平行线的性质求出的度数． 由三角形外角的性质，可得，再由平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图， ∵，， ， ， ， ． 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，连接，以点A为圆心，的长为半径画弧，交x轴于点C（点C在点A的右侧），则点C的坐标为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，坐标与图形，先利用勾股定理求出的长，进而得到的长，即可求出点C的坐标． 【详解】解：点A的坐标为，点B的坐标为， ， 由题意知，， 点C的横坐标为， 点C的坐标为； 故答案为：． 14. 为了鼓励市民节约用电，某市采用分档计费方式计算电费．计费规则为：当月用电量中未超出第一档标准的部分按第一档单价计费，超出第一档但未超出第二档标准的部分按第二档单价计费，以此类推．下表是户月用电量及分档计费标准： 计费档 户月用电量 单价元 第一档 第二档 第三档 某户上一个月的用电量为，则该户上一个月的电费为__________元． 【答案】165 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的实际应用，理解题意是解本题的关键． 由于用电量为，处于第二档范围，因此电费需分段计算：第一档部分按单价元计算，第二档部分按单价元计算． 详解】解：第一档电费：（元）， 第二档电费：（元）， 总电费：（元）． 故答案为：165． 15. 如图，长方形纸片，将这张长方形纸片翻折，点落到边点处，点落到点处，折痕交边于点E，F，若，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质以及平行线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 过点E作于点P，则，由折叠的性质以及平行线的性质可得，从而得到，在中，利用勾股定理可得的长，然后在中，求出的长，即可求解． 【详解】解：如图，过点E作于点P，则， 根据题意得：，， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴， ∴， 中，， ∴， 解得：， ∴， 在中，， ∴． 故答案为： 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算：； （2）解方程组：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的加减运算以及二元一次方程组的解法，解题的关键是熟练运用二次根式的加减运算以及二元一次方程组的解法． （1）先根据二次根式的性质化简，再合并，即可求解； （2）利用代入消元法解答，即可求解． 【详解】解：（1）原式 （2） 由①，得； 将代入②得 解得： 将代入，得， 方程组的解为 17. 在如图正方形网格中，每个小正方形的边长为，格点三角形（顶点是网格线的交点）三个顶点的坐标分别为，． （1）请在如图网格平面内画出平面直角坐标系； （2）请在如图网格平面内画出关于轴对称的图形，并写出顶点的坐标； （3）若点，且轴，则的长为__________． 【答案】（1）图见解析 （2）图见解析，顶点的坐标是 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系、作图-轴对称变换、坐标与图形． (1)借助点、的坐标建立平面直角坐标系； (2)根据轴对称的性质，在坐标系中画出关于轴对称的图形，再根据坐标系写出点的坐标； (3)根据轴，可得、两点的纵坐标相等，从而可得方程，解方程求出的值，即可求出点的坐标，根据、两点的坐标求出的长度． 【小问1详解】 解：建立平面直角坐标系，如下图所示： 【小问2详解】 解：如下图所示，分别作出点、、关于轴的对称点、、， 连接点、、，得到， 即为所求， 顶点的坐标是； 【小问3详解】 解：由平面直角坐标系可知，点的坐标是， 轴， ， 解得：， ， 点的坐标是， ， 故答案为：． 18. 高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物体，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）． （1）求物体从的高空落到地面的时间； （2）小红说物体从的高空落到地面的时间是（1）中所求时间的2倍，她的说法正确吗？请说明理由； （3）已知从高空坠落的物体所带能量（单位：）物体质量高度．某质量为的小球经过落在地上，这个小球在下落过程中所带能量有多大？你能得到什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要的能量） 【答案】（1）4秒 （2）不正确；理由见解析 （3）；启示：严禁高空抛物，一个小球都能砸伤人 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的应用，理解公式，正确运算代入求值是解决本题的关键． （1）把代入公式即可； （2）把代入公式求出时间，与（1）中时间相比较即可得到结论； （3）求出，代入题干计算公式即可求出． 【小问1详解】 解：由题意知：当时，； 故物体从的高空落到地面的时间为4秒． 【小问2详解】 解：不正确．   理由：当时，． ， 她的说法不正确． 【小问3详解】 解：，， ， ， 所带能量， 这个小球在下落过程中所带能量有． 启示：严禁高空抛物，一个小球都能砸伤人． 19. 某电影院为了创收，分两次购进了哪吒和敖丙手办进行售卖，第一次购入哪吒手办25个，敖丙手办10个共花费650元，第二次以相同的进价购入哪吒手办40个，敖丙手办20个共花费1100元． （1）求每个哪吒和每个敖丙手办进价各多少元？ （2）该电影院为了解这两款手办的销售情况，对每天的销售进行记录，周一出售了6个哪吒手办，5个敖丙手办，销售收入记录为305元，经核实记录正确；周二以相同的售价出售了哪吒手办12个，敖丙手办10个，销售收入记录为600元，你认为周二的销售记录正确吗？如果正确，请说明理由，若不正确，请你计算出正确的销售收入． 【答案】（1）每个哪吒手办进价20元，每个敖丙手办进价15元 （2）周二的销售记录不正确，正确的销售收入为610元 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及代数式求值，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）设每个哪吒手办进价为元，每个敖丙手办进价为元，根据第一次购入哪吒手办25个，敖丙手办10个共花费650元，第二次以相同的进价购入哪吒手办40个，敖丙手办20个共花费1100元；列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设每个哪吒手办的售价为元，每个敖丙手办的售价为元，根据题意得：，即可解决问题． 【小问1详解】 解：设每个哪吒手办进价为元，每个敖丙手办进价为元， 根据题意得：， 解得：， 答：每个哪吒手办进价为20元，每个敖丙手办进价为15元． 【小问2详解】 解：设每个哪吒手办的售价为元，每个敖丙手办的售价为元， 根据题意得：， （元）， 周二的销售收入记录不正确，正确的销售收入为610元． 答：周二的销售收入记录不正确，正确的销售收入为610元． 20. 某校“校园文化节”演讲比赛分初赛和决赛两个阶段： （1）初赛评分分析 初赛由12名教师评委和50名学生评委为选手打分（百分制），以下是某选手的评分信息： a．教师评委打分： b．学生评委打分的频数分布直方图（数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组），各组频数依次为： 4，7，12，15，8，4． c．评委打分的统计量如下表： 平均数 中位数 众数 教师评委 p q 学生评委 r 92 根据以上信息，回答下列问题： ①求和的值； ②的值位于学生评委打分分组的第__________组； ③若去掉教师评委打分的最高分和最低分，其余10名教师评委打分的平均数为，则__________（填“”“ ”或“”）； （2）决赛排序规则 决赛由5名专业评委打分（百分制），按“平均数高者靠前，平均数相同则方差小者靠前”排序．甲、乙、丙三位选手的打分如下： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 92 91 93 92 92 乙 90 92 93 93 93 丙 89 94 89 94 k 若丙在三位选手中排序居中，则排序最靠前的是__________，表中（为整数）的值为__________． 【答案】（1）①，92；②4；③ （2）乙，95 【解析】 【分析】本题考查条形统计图，平均数、众数、中位数、方差等知识，理解平均数、方差的意义和计算方法是正确解答的前提． （1）①根据众数、中位数的定义解答即可；②根据中位数的定义解答即可；③根据算术平均数的定义解答即可； （2）根据题意得出，进而分别求得方差与平均数，分类讨论，求解即可． 【小问1详解】 解：①根据题意得：把教师评委打分从小到大排列后位于正中间的两个数分别为91，92；且92出现的次数最多， ∴；； ②根据题意得：第1组，第2组，第3组的频数之和为， 第1组，第2组，第3组，第4组的频数之和， ∴中位数的值位于学生评委打分分组的第4组； 故答案为：4 ③； 故答案为：； 【小问2详解】 解：， ， ， 丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中， 依题意，当， ∴ 解得：， 当时，， 此时， ∵，则甲在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，不合题意， 当时，， 此时， ∵，则丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，这三位选手中排序最靠前的是乙 故答案为：乙，95． 21. 定义：一次函数与为常数，且互为“异号函数”．如：与互为“异号函数” （1）已知点在的“异号函数”的图象上，求的值， （2）请直接写出一次函数的“异号函数”，并求当时该“异号函数”的最大函数值； （3）一次函数的图象如图所示，若一次函数在范围内的部分记为函数，一次函数的“异号函数”在范围内的部分记为函数，和组成新函数，当时，，则__________，__________． 【答案】（1）2 （2）， （3）， 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质： （1）把点 代入的“异号函数”，即可求解； （2）根据题意可得一次函数的“异号函数”为，再根据一次函数的增减性解答即可； （3）根据题意画出新函数的图象，再结合一次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：的“异号函数”为， ∵点在的“异号函数”的图象上， ∴，解得：； 【小问2详解】 解：一次函数的“异号函数”为， ∵， ∴函数的函数值y随x的增大而减小， ∴当时该“异号函数”的最大函数值为； 【小问3详解】 解：一次函数“异号函数”为， 新函数的图象，如图： 对于一次函数，当时，y随x的增大而增大， 当时，，当时，， 对于一次函数，当时，y随x的增大而减小， 当时，，当时，， ∴当时，， ∵当时，， ∴． 故答案为：；2 22. 在中，为边的中点，为所在平面内一点，连接并延长至点，使，连接和． （1）如图1，当点在内部时． ①求证：； ②若，则与的位置关系为__________． （2）如图2，当点在外部时，的延长线交于点，且，． ①若，用等式表示线段与的数量关系，并证明； ②在①的条件下，若和的面积和为5.5，请求出的面积． 【答案】（1）①见详解；② （2）①；②1.5 【解析】 【分析】（1）①利用证明即可． ②由全等三角形的性质得出，进而可得出，再结合即可得出． （2）①先证明，得出，进而可得出，利用勾股定理的逆定理得出，由平行线的性质得出，再得出是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出． ②设，由全等三角形的性质得出，由和的面积和为5.5为等量关系列出关于x的方程并求解得出，最后根据全等三角形的性质以及面积的和差关系即可得出答案． 【小问1详解】 解：①证明∶．D是的中点， ∴， ∵， ∴． ②， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：①结论∶， 理由∶∵D是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． ②设， ∵， ∴， ∵和的面积和为5.5， ∴， 解得：， ∴， ∴的面积， ∵， ∴的面积的面积， 的面积的面积． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握这些知识是解题的关键． 23. 如图1，在中，为上一定点． （1）求点到边的距离； （2）动点从点出发，在边上沿方向运动，到点时停止运动，连接．设点走过的路程为的面积为，其中点从点运动到点时，经探究发现关于的函数表达式为，图象为线段，如图2所示． ①求的长； ②请直接写出点的坐标； ③点从点运动到点时，请直接写出关于的函数表达式，要求注明自变量的取值范围，并在图2中画出该函数的图象； ④点为轴上一点，过点作直线平行于轴交面积的函数图象于点，若时，请直接写出的值． 【答案】（1） （2）① ② ③，图见详解 ④或 【解析】 【分析】（1）根据三角形面积公式求解; （2）①根据三角形的面积公式，得到的长度，即可求出解； ②分析得出运动到时，得到的横坐标，代入函数即可求得坐标； ③根据运动情况，得出点的坐标，即可用待定系数法求得函数表达式； ④分类讨论，当点在和时，代入函数即可求解． 本题考查了一次函数的图像和性质，三角形的面积，理解函数图像是解题关键． 【小问1详解】 解：根据题意得图，过点作 在中， 故点到边的距离是． 【小问2详解】 解：①由题意可知，关于的函数表达式为， 当时，此时恰好在点的位置， , , ． 故答案为：． ② 所以当时，运动到点， ∴点的坐标为 故答案为：． ③当点从点运动到点时, 时，, 则点的坐标为， 设的表达式为， 将点,点的坐标代入， 得 ，， 则的表达式为 故答案为：． ④由题可知，如图， 点为，当时， 直线与交于点, , 把代入的表达式， ． 点为，当时， 直线与交于点, , 把代入的表达式， ． 故答案为：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $