精品解析：安徽省宣城市皖东南初中四校联考2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

2025—2026学年度第一学期九年级期末模拟练习 数学 一、选择题（本大题共10小题，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 下列关于的函数中，属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组中的四条线段能组成比例的是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 3. 有下列二次函数：①；②；③．在同一平面直角坐标系中，将它们图象的开口按从大到小的顺序排列，正确的是（） A. ①②③ B. ①③② C. ②③① D. ②①③ 4. 玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符．实验发现，当液面高度与瓶高之比为黄金比时（如图），可以敲击出音符“”的声音．若，且敲击时发出音符“”的声音，则为（ ）． A B. C. D. 5. 关于反比例函数的图像，下列说法正确的是（　　） A 该反比例函数图像经过点 B. y随x的增大而增大 C. 该反比例函数图像经过第一、三象限 D. 该反比例函数图像关于原点对称 6. 将一副三角板按图叠放，则与的面积之比为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点P是的边上一点，连结，以下条件中，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知公式，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 已知，二次函数的对称轴为y轴，将此函数向下平移3个单位，若点M为二次函数图象在（）部分上任意一点，O为坐标原点，连接，则长度的最小值是（ ） A. B. 2 C. D. 10. 如图所示，边长为4的正方形中，对角线，交于点O，E在线段上，连接，作交于点F，连接交于点H，则下列结论：①；②；③；④若，则，正确的是（ ） A. ①②④ B. ①③④ C. ①②③ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11. 已知（），的值是________． 12. 抛物线的对称轴为直线______． 13. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，与相交于点P，则的值是______． 14. 已知二次函数（a常数，且）． （1）若该函数图象经过点，则a的值为__________； （2）已知该二次函数的图象与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，若以点A，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则a的值为__________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算： 16. 已知二次函数图象过、、三点． （1）求二次函数的解析式； （2）当时，直接写出的取值范围． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的； （2）在第四象限画出以点为位似中心的位似图形，与的位似比为． 18. 如图，在正三角形中，是边上任意一点，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于，两点． （1）求，对应的函数解析式； （2）求的面积； （3）根据函数图象直接写出关于的不等式的解集． 20. 现有一台红外线理疗灯（如图-1所示），该设备的主体由底座、立柱、伸缩杆和灯臂组成，、、三点在同一直线上，图-2是该设备的平面示意图．垂直于，与水平线平行，与的夹角为，与的夹角为．经测量：为，为，为，，． （1）填空： ， ； （2）已知点到的距离为时，该设备使用效果最佳．求此时伸缩杆的长度．（参考数据：，，，） 六、（本题满分12分） 21. 某景区研发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元．销售一段时间调研发现，每天的销售数量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价x（元） … 35 40 45 … 每天销售数量y（件） … 90 80 70 … （1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 七、（本题满分12分） 22. 已知和有公共的顶点，，，且．与相交于点，连接，CD． （1）若点，，在一条直线上，如图1，求证：； （2）将绕点逆时针方向旋转一定的角度，的延长线交于点，如图2． ①证明：； ②若，求的值． 八、（本题满分14分） 23. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． （1）求c值，并用含a的式子表示b； （2）过点作x轴垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，求的长； ②已知在点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大．求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期九年级期末模拟练习 数学 一、选择题（本大题共10小题，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 下列关于的函数中，属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，形如的函数是二次函数. 根据二次函数的定义逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵ 二次函数需满足最高次项为次且系数不为 A、，若则不是二次函数，故此选项不一定正确，不符合题意； B、，含有分式，不是整式，故此选项不是二次函数，不符合题意； C、，展开得，，是二次函数，故此选项符合题意； D、，展开得，是一次函数，故此选项不符合题意． 故选：C． 2. 下列各组中的四条线段能组成比例的是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 【答案】D 【解析】 【分析】根据成比例线段的定义逐项分析即可，若a，b，c，d是成比例线段，则a:b=c:d． 【详解】解：A. ∵1:2≠3:4，故A选项不能构成比例线段，不符合题意； B. ∵2:4=1:2≠6:8=3:4，故B选项不能构成比例线段，不符合题意； C. ∵，故C选项不能构成比例线段，不符合题意； D. ∵2:3=4:6，故D选项能构成比例线段，符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查成比例线段，根据有关性质把四条线段分别计算比值并进行比较可以得到解答． 3. 有下列二次函数：①；②；③．在同一平面直角坐标系中，将它们图象的开口按从大到小的顺序排列，正确的是（） A. ①②③ B. ①③② C. ②③① D. ②①③ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质；二次函数图象的开口大小由系数的绝对值决定，越小开口越大，越大开口越小．比较三个函数的值即可得出开口大小顺序． 【详解】解：二次函数图象的开口大小由系数的绝对值决定，越小开口越大，越大开口越小， 对于①，； 对于②，； 对于③，． 从小到大为：②③①， 故开口从大到小为：②③①，即②③①． 故选：C． 4. 玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符．实验发现，当液面高度与瓶高之比为黄金比时（如图），可以敲击出音符“”的声音．若，且敲击时发出音符“”的声音，则为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握该知识点是解题的关键． 根据黄金分割的定义列式计算即可． 【详解】解：由题意可知，是的黄金分割点， ∴．   故选：C ． 5. 关于反比例函数的图像，下列说法正确的是（　　） A. 该反比例函数图像经过点 B. y随x增大而增大 C. 该反比例函数图像经过第一、三象限 D. 该反比例函数图像关于原点对称 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质，是解题的关键．根据反比例函数的性质，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴该反比例函数图像不经过点，不符合题意； B、∵， ∴此函数图像的两个分支分别位于第二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，原说法错误，不符合题意； C、∵， ∴此函数图像的两个分支分别位于第二、四象限，原说法错误，不符合题意； D、∵此函数是反比例函数， ∴该反比例函数图像关于原点对称，正确，符合题意． 故选：D． 6. 将一副三角板按图叠放，则与的面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，含30度角直角三角形的性质，勾股定理等知识，其中相似三角形的判定与性质是解题的关键；由题意得，则； 设，由含30度角直角三角形的性质及勾股定理得，从而求得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 设； ∵，， ∴在中，，由勾股定理得， ∴， ∴与的面积之比为． 故选B． 7. 如图，点P是的边上一点，连结，以下条件中，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查添加条件使三角形相似，根据相似三角形的判定方法逐一进行判断即可． 【详解】解：在和中， ， ∴当时，；故选项 A 不符合题意； 当时，；故选项 B 不符合题意； 当时，；故选项 C 不符合题意； 当时，无法得到；故选项 D 符合题意； 故选：D． 8. 已知公式，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，把转化为，再代入公式计算即可求解，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选：． 9. 已知，二次函数的对称轴为y轴，将此函数向下平移3个单位，若点M为二次函数图象在（）部分上任意一点，O为坐标原点，连接，则长度的最小值是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得出抛物线的解析式为，然后确定平移后的解析式，设点，确定，令，根据新函数的增减性得出当时，取得最小值，即可求解． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为y轴， ∴，即， ∴抛物线的解析式为， 将此函数向下平移3个单位后的解析式为：， 设点， ∴， ∵令， ∵， 当时，随的增大而减小， ∵， ∴当时，取得最小值， 最小值为：， ∴的最小值为， 故选：C． 【点睛】题目主要考查二次函数的基本性质及平移，坐标中两点之间的距离，理解题意，得出相应的新的函数的性质是解题关键． 10. 如图所示，边长为4的正方形中，对角线，交于点O，E在线段上，连接，作交于点F，连接交于点H，则下列结论：①；②；③；④若，则，正确的是（ ） A. ①②④ B. ①③④ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】由“”可证，可得，，由四边形的内角和定理可证，可得； 通过证明，可得； 通过证明，可得，通过证明，可得，可得结论； 通过证明，可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 四边形是正方形， ，， 又， ， ，， ， ， ， 又， ， ， ，故正确； ，， ， ， 又， ， ， ，故正确； ．．，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，故正确； ，， ，， ， ， 又， ， ， ， ，故正确， 故选：D． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11. 已知（），的值是________． 【答案】##0.8 【解析】 【分析】本题考查比例性质，直接由比例性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴，则， 故答案为：． 12. 抛物线的对称轴为直线______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象，直接利用对称轴的公式求解即可． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线， 故答案为：． 13. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，与相交于点P，则的值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理与网格问题，勾股定理的逆定理，求一个角的正切值，平行线的性质，熟练掌握三角函数的定义，是解题的关键．取格点E，连接、，根据平行线的性质得出，证明为直角三角形，根据三角函数定义求出． 【详解】解：取格点E，连接、，如图所示： 根据图形可知：， ∴， ∵，，， 又∵， ∴为直角三角形， ∴． 故答案为：2． 14. 已知二次函数（a是常数，且）． （1）若该函数图象经过点，则a的值为__________； （2）已知该二次函数的图象与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，若以点A，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则a的值为__________． 【答案】 ①. ②. 或． 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、等腰三角形的定义、勾股定理等知识． （1）二次函数的图象经过点，得到，即可得到； （2）求出点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，得到，，，分三种情况进行讨论即可进行解答． 【详解】解：（1）∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得， 故答案为： （2）当时，， ∵， ∴， 解得， ∴点A的坐标为，点B的坐标为， 当时，， ∴点C的坐标为， ∴，，， 则， 当时，，即，解得（不合题意，舍去），； 当时，，即，解得（不合题意，舍去），； 综上可知，a的值为或． 故答案为：或． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算： 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算、整数指数幂、特殊角的三角函数，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据相关运算法则计算即可． 【详解】解： ． 16. 已知二次函数图象过、、三点． （1）求二次函数的解析式； （2）当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法、二次函数的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据待定系数法解题即可； （2）根据抛物线开口方向确定最小值，再结合自变量的范围求解即可． 【小问1详解】 解：设二次函数解析式为， 根据题意得 解得 ∴二次函数解析式为； 【小问2详解】 解：将解析式化为顶点式：，顶点为， 当 时，； 当 时，； 当 时，； ∴． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称； （2）在第四象限画出以点为位似中心的位似图形，与的位似比为． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了轴对称、位似，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据轴对称图形的定义解题即可； （2）根据位似图形的定义解题即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 【小问2详解】 解：如图，即为所求． 18. 如图，在正三角形中，是边上任意一点，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据两个角对应相等的两个三角形相似证明即可； （2）根据，，得出，证明，得出，即，求出，即可得出答案． 【小问1详解】 证明：是等边三角形， ， 又， ， ， ； 【小问2详解】 解：是等边三角形，，， ，， 由（1）知， ， 即， ， ． 【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，两个角对应相等的两个三角形相似． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于，两点． （1）求，对应的函数解析式； （2）求的面积； （3）根据函数图象直接写出关于的不等式的解集． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数综合，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据待定系数法解题即可； （2）设直线与轴交于点，根据解题即可； （3）根据图象即可解题． 【小问1详解】 解：由条件可得， 解得：， 则双曲线的解析式为， 点在双曲线上， ， 解得：，即； 由条件可知， 解得：，， ； 综上，，； 【小问2详解】 解：设直线与轴交于点，连接、，如图： 令，则， 解得，即， ∵， ， ， ∴ 【小问3详解】 解：由图象可知，当时或时，一次函数图象在反比例函数图象下方， 则关于的不等式的解集为或． 20. 现有一台红外线理疗灯（如图-1所示），该设备的主体由底座、立柱、伸缩杆和灯臂组成，、、三点在同一直线上，图-2是该设备的平面示意图．垂直于，与水平线平行，与的夹角为，与的夹角为．经测量：为，为，为，，． （1）填空： ， ； （2）已知点到的距离为时，该设备使用效果最佳．求此时伸缩杆的长度．（参考数据：，，，） 【答案】（1）64；53； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． （1）过点C作，根据平行线的判定和性质求角度即可； （2）过点D作，过点E作，利用矩形的判定得出四边形为矩形，四边形为矩形，再结合图形，利用三角函数求解即可． 【小问1详解】 解：过点C作， ∵垂直于， ∴， ∴， ∵与水平线平行， ∴， ∴， ∴， 故答案为：64；53； 小问2详解】 解：过点D作，过点E作，如图所示： ∴四边形为矩形， 同理得：四边形为矩形， ∴， ∵为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 六、（本题满分12分） 21. 某景区研发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元．销售一段时间调研发现，每天的销售数量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价x（元） … 35 40 45 … 每天销售数量y（件） … 90 80 70 … （1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润是1248元 【解析】 【分析】本题考查一次函数，二次函数的实际应用．理解题意，掌握利用待定系数法求函数解析式和正确的找出等量关系，列出等式是解题关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）设每天所获利润为w元，根据题意可列出关于w与x关系式，再利用二次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：设与的函数关系式为， 根据表格可得：， 解得：， ∴与的函数关系式为； 【小问2详解】 解：设每天所获利润为元， 根据题意有：， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润是1248元． 七、（本题满分12分） 22. 已知和有公共的顶点，，，且．与相交于点，连接，CD． （1）若点，，在一条直线上，如图1，求证：； （2）将绕点逆时针方向旋转一定的角度，的延长线交于点，如图2． ①证明：； ②若，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；② 【解析】 【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质以及三角形内角和定理即可求解． （2）①根据等腰三角形性质，证明，即可求证；②证明，得到，根据锐角三角函数即可求解． 本题主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，熟练掌握等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解题关键． 【小问1详解】 证明：， ，即， 又，， ， ， 在和中，，， ，即； 小问2详解】 ①证明：和都是等腰三角形， ，， ， ， 又， ， ，即， 又， ； ②解：如图，连接AF， 由（1）得， ． 由①，得， ，， 又， ， ， ，即， 又是等腰直角三角形， ， ． 八、（本题满分14分） 23. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． （1）求c的值，并用含a的式子表示b； （2）过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，求的长； ②已知在点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大．求a的取值范围． 【答案】（1），． （2）①的长为9；②． 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图像与性质、二次函数与一次函数综合应用等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． （1）将和点代入解析式即可求解； （2）①当，抛物线表达式为，直线表达式为，继而求出，，则，即可求解； ②先求出，，得到， 令，即，解得或，推导出，分类讨论：第一种情况：分，第二种情况：，逐个分析求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线，经过点和点， ∴， ∴ ∴； 【小问2详解】 ①如图， 当时，，抛物线表达式为，直线表达式为， ∵点作x轴的垂线，， ∴当时，，即， ，即， ∴； ②当点P从点O运动到点的过程中， ∵轴，， ∴， 将，代入，得 ，即， 将代入，可得，即， ∴， 令，即，解得或， ∵在点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大， ∴， 第一种情况：当时，有，即点在轴右侧，即点从原点向右运动，如图 有点N在点M的上方，， ∴ ， ，抛物线开口向下，对称轴为， ∴当时，随t的增大而增大， ∵从点O运动到点的过程中，的长始终随的长的增大而增大， ∴，即， ∵， ∴． 第二种情况：当时，，即点在轴左侧，即点P(t，0)从原点向左运动，如图 有点M在点N的上方，且， ∴ ， ，抛物线开口向下，对称轴为， ∴当时，的值随t的增大而增大， ∵ ∴ ∴当时，随t的增大而增大，此时随t的增大而减小， 即当时，随t的增大而增大，而从点O向左运动到点的过程中，的长会先随的长的增大而减小，不符合题意，舍去． 综上所述，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $