精品解析：宁夏回族自治区银川市兴庆区银川北塔中学2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

银川北塔中学2025-2026学年第一学期期末教学质量检测 九年级数学试卷 （总分120分 时间120分钟） 一、选择题（本题共8小题，每题3分，共24分） 1. 下列几何体中，同一个几何体从正面看和从上面看形状图不同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据从正面和从上面看得到图形对各选项逐一进行判断即可． 【详解】A、从正面看和从上面看得到的图形都为长方形，不符合题意； B、、从正面看和从上面看得到的图形都为正方形，不符合题意； C、从正面看得到图形为三角形，从上面看是有圆心的圆，符合题意； D、、从正面看和从上面看得到的图形都为圆形，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查从不同方向看几何体，能够正确识图是解题的关键． 2. 下列函数中，属于二次函数是( ) A. y＝3x﹣1 B. y＝ C. y＝﹣x2 D. y＝ 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的定义，二次函数最高次必须为二次，表示形式为y=ax²+bx+c（a≠0)的多项式函数，即可判定. 【详解】A选项中，最高次是一次，不是二次函数； B选项中，不符合二次函数的表达形式，不是二次函数； C选项中，经化简，最高次不是二次，不是二次函数； D选项中，符合二次函数的定义，是二次函数； 故答案为D. 【点睛】此题主要考查对二次函数的理解,熟练掌握,即可解题. 3. 如表中列出了二次函数的一些对应值，则一元二次方程的一个负解的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，通过观察表格中函数值的变化，确定时的取值范围，再结合负解得出答案即可，熟练掌握用图象法求一元二次方程的近似根的方法是解题的关键． 【详解】解：∵当时，；当时，， ∴在与之间，存在使， ∵是方程的负解， ∴， 故选：． 4. 如图，在中，是劣弧的中点，P是优弧任意一点，连接则的度数是（　　） A. 或 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，得，结合C是劣弧的中点，即可作答． 【详解】解：如图： 在中，， ∴ ∵C是劣弧的中点， ∴ 故选：D． 5. 某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元．若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是（　　） A. （3+x）（4﹣0.5x）＝15 B. （x+3）（4+0.5x）＝15 C. （x+4）（3﹣0.5x）＝15 D. （x+1）（4﹣0.5x）＝15 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知假设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有(x+3)株，得出平均单株盈利为(4-0.5x)元，由题意得(x+3)(4-0.5x)=15即可． 【详解】解：设每盆应该多植x株，由题意得 (x+3)(4-0.5x)=15， 故选：A． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，根据每盆花苗株数×平均单株盈利=总盈利得出方程是解题关键． 6. 函数和（m是常数，且）在同一个平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查图象的性质，熟知一次函数和二次函数的图象性质是解答的关键； 根据的图象判断，m 的正负，再判断的图象的开口方向即可； 【详解】解： 选项A：由函数的图象可知，则函数的图象应该开口向下，与图像不一致，不符合题意； 选项B：由函数的图象可知，则函数的图象应该开口向下，与图像一致，；符合题意； 选项C： 由函数的图象可知，则函数的图象应该开口向下，与图像不一致，不符合题意； 选项D：由函数的图象可知，则函数的图象应该开口向上，与图像不一致，不符合题意； 故选B． 7. 如图，过矩形对角线的中点作，交边于点，交边于点，分别连接，若，，则的长为（　　） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形的性质得出，然后利用“角角边”证明△和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形得到四边形是菱形，再求出，然后判断出是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得，根据矩形的对边相等可得，然后求出，从而得解． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， 又， 四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，解题的关键在于判断出是等边三角形． 8. 如图，中，，cm，cm，点从点出发，以的速度沿向点运动，同时点从点出发，以的速度沿向点运动，直到它们都到达点为止．若的面积为，点的运动时间为，则与的函数图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，相似三角形的判定与性质，勾股定理．需要根据点的不同位置分情况讨论的面积与时间的函数关系．先求出不同时间段内的长度，再通过相似三角形等知识求出相应的高，进而得到面积表达式，最后根据函数表达式判断函数图象。分两种情况讨论：当时，点在上，过作交于点，当时，点在上，两种情况求出函数解析式即可求解； 【详解】解：①当时，点上， ∴，， 过作交于点， ∵中，，，， ∴， ∵，， 又∵ ∴， ∴，即 ∴， ， 此时 是关于的二次函数，且二次项系数，图象开口向上； ②当时，点在上，如图， ， 此时是关于的二次函数，二次项系数，图象开口向下，对称轴为 综上所述，正确的图象是C． 故选：C． 二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分） 9. 在锐角中，若，则的度数是______． 【答案】##30度 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握特殊角的三角函数值． 利用特殊角的三角函数值进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 又是锐角， ∴， 故答案为：． 10. 点，均在二次函数的图象上，则，的大小关系是______． 【答案】 ## 【解析】 【分析】通过计算两点纵坐标或利用二次函数的对称性可得结果． 本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性，利用对称性求解是解题关键． 【详解】解：对于二次函数 ， 当 时，； 当 时，； 故答案为： ． 11. 一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的9个红球，3个白球，若干个绿球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到绿球的概率稳定在0.2，则袋中有绿球______个． 【答案】3. 【解析】 【详解】解：设绿球的个数为x，根据题意，得：=0.2，解得：x=3，经检验x=3是原分式方程的解，即袋中有绿球3个，故答案为3． 12. 若二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是___________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据题意可得关于x的一元二次方程有实数根，据此利用判别式和一元二次方程的定义进行求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴有交点， ∴关于x的一元二次方程有实数根， ∴， ∴且， 故答案为：且． 【点睛】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，熟知二次函数与x轴有交点即对应的一元二次方程有实数根是解题的关键． 13. 如图，点是反比例函数的图象与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为，则反比例函数的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象的对称性的知识点，根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得，阴影部分的面积等于圆的面积的，即可求得圆的半径，再根据A在反比例函数的图象上，以及在圆上，即可求得k的值． 【详解】解：连接， 设圆的半径是r， 根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得：阴影部分的面积等于圆的面积的， ∴， 解得：， ∵点是反比例函数的图象与⊙O的一个交点，， ∴且， ∴， ∴， 则反比例函数的解析式是：． 故答案为． 14. 如图，在边长为1的小正方形构成的网格中，的半径为1，圆心O在格点上，则等于______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，特殊角的正切值，先根据网格判断是等腰直角三角形，得出，根据同弧所对的圆周角相等可得，即可得出． 【详解】解：由图可知，，， ，则， ， ， 故答案为：1 15. 一种燕尾夹如图1所示，图2是在闭合状态时的示意图，图3是在打开状态时的示意图（此时），相关数据如图（单位：）．从图2闭合状态到图3打开状态，点B，D之间的距离减少了______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查相似的判定及性质，能够熟练判定相似并利用性质进行计算是解题的关键．连接，根据，求出闭合状态时点B与点D之间的距离，即可得到结论． 【详解】解：连接，如图； 由题意得，，， ， 即， 解得， 在打开状态时，， 点B与点D之间的距离为2， 所以点B与点D之间的距离减少了， 故答案为． 16. 二次函数图象的一部分如图所示，给出下列命题：①；②；③；④（m为任意实数）；⑤．其中正确的命题有______． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，根据抛物线的开口方向、对称轴、与x轴的交点情况以及二次函数的性质判断即可． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线的对称轴是直线， ∴， ∵抛物线交于y轴的负半轴， ∴， ∴，①说法正确； ∵ ∴，②说法不正确； ∵抛物线与x轴交于， ∴，即，③说法正确； ∵抛物线的对称轴是直线，且开口向上， ∴函数最小值为， ∴， ∴，④说法正确； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，⑤说法不正确； 故答案为①③④． 三、解答题（共72分） 17. （1）解方程： （2）计算： 【答案】 （1） 或 ；（2） 【解析】 【分析】（1）用配方法解一元二次方程； （2）先计算乘方和绝对值，再计算加减法即可． 本题考查了一元二次方程以及实数的运算，掌握运算法则是解题关键． 【详解】（1）解： 或 或． （2）原式． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，解一元二次方程，解题的关键是掌握运算法则． 先对分式进行化简，再解一元二次方程确定的值，然后代数求值即可． 【详解】解： 由得， ∴或， 解得或， 当时，，分式无意义， ∴， ∴原式． 19. 已知：图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，点A、点B在小正方形的顶点上． （1）在图1中求的长． （2）在图1中画出平行四边形（点C、D在小正方形的顶点上），使平行四边形的面积为16； （3）在图2中画出（点E在小正方形的顶点上），使是等腰三角形且，直接写出线段的长． 【答案】（1）5 （2）见详解； （3） 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，求网格中两点间的距离，作指定面积的平行四边形，作指定的等腰三角形， （1）观察图形利用勾股定理求解即可； （2）确定底和高的乘积为16，描点连线即可； （3）由得，可取格点，使得为等腰直角三角形，并结合勾股定理即可获得答案． 【小问1详解】 解：观察图形可得， 【小问2详解】 解：如图，四边形即为所求； 【小问3详解】 解：如图即为所求， ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形，且， ∴，即有，符合题意． 20. 为纪念抗日战争胜利80周年及世界反法西斯胜利80周年，我校举行了“青年大学习，强国有我”知识竞赛活动．李老师赛后随机抽取了部分学生的成绩（单位：分，均为整数），按成绩划分为A、B、C、D四个等级，并制作了如下统计图表（部分信息未给出）： 等级 成绩x/分 人数 A 15 B C 18 D 7 （1）表中______，C等级对应的圆心角度数为______； （2）若全校共有600名学生参加了此次竞赛，成绩A等级的为优秀，则估计该校成绩为A等级的学生共有多少人？ （3）若A等级15名学生中有3人满分，设这3名学生分别为，，，从其中随机抽取2人参加市级决赛，请用列表或树状图的方法求出恰好抽到，的概率． 【答案】（1）； （2）人； （3）见解析 【解析】 【分析】（1）先根据等级的人数和人数占比求出此次抽取的学生人数，即可求出的值；用乘以等级的人数占比即可求出等级对应的圆心角度数；（2）用乘样本中等级的人数占比即可得到答案；（3）先画树状图得到所有等可能性的结果数，然后找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 此次抽取的学生人数为：（人）， ， 等级对应的圆心角度数为：， 故答案为：；； 【小问2详解】 （人） 答：估计该校成绩为等级的学生共有人； 【小问3详解】 从，，，名学生中随机抽取人参加市级决赛，作树状图如下： 由树状图可知一共有种等可能性的结果数，其中抽到，的结果数有种， 恰好抽到，的概率为． 【点睛】本题主要考查了列表法与树状图法，用样本估计总体，频数（率）分布表，扇形统计图，概率公式，正确读懂统计图、统计表是解题的关键． 21. 如图，四边形是平行四边形，，相交于点O，点E是的中点，连接，过点E作于点F，过点O作于点G． （1）求证：四边形是矩形． （2）若四边形是菱形，，且，求的面积． 【答案】（1）见详解； （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的性质、三角形中位线定理、三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． （1）先证是的中位线，得，由，，得，，即可解答； （2）过点E作于H，证是等腰三角形，得，由勾股定理求出、即可解答； 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点E是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵，， ∴，， ∴四边形是矩形， 【小问2详解】 解：过点E作于H， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵点E是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∵， ∴即， ∴，， ∴， ∴． 22. 如图，已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，与反比例函数的图象分别交于点C、D，点C坐标为，点D坐标为． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）求的面积； （3）直接写出当时，自变量x的取值范围． 【答案】（1）； （2）3 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数的交点，利用函数图象解不等式．熟练掌握待定系数法是关键． （1）将点坐标代入，即可求出反比例函数解析式；根据点D坐标为．求出，再利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）先求出，，再利用即可求解； （3）时，自变量的取值范围即为一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围，根据图象即可解答． 小问1详解】 解：∵反比例函数的图象过点， ∴，解得， 即反比例函数解析式为：； ∵点D坐标为． ∴， ∴点D坐标为． ∵一次函数的图象过点，， ∴， 解得：， ∴一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：∵一次函数解析式为与x轴、y轴分别交于点A、B， ∴当时，则， ∴， ∴， ∵，， 则的面积， 【小问3详解】 解：根据图象可得，当时，自变量的取值范围为或． 23. 如图，是的外接圆，是的直径．半径，垂足为点E，连接． （1）求证：平分； （2）若，，求的半径． （3）在（2）的条件下，设与交与点F，求． 【答案】（1）见详解； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，角平分线，直径所对的圆周角为直角，勾股定理等知识．熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由垂径定理可得，则，进而结论得证； （2）如图，设，则，由勾股定理得即，求解即可； （3）连接，得，由勾股定理得，代入求值即可． 【小问1详解】 证明：∵半径， ∴， ∴， ∴平分 【小问2详解】 解：∵半径， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， 【小问3详解】 由（1）得， 连接，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 24. 如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为9米）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃边为米，面积为平方米． （1）写出与的函数关系式 ，并写出的取值范围 ； （2）如果要围成面积为的花圃，求的长度； （3）如果要使围成的花圃面积最大，求最大面积是多少平方米． 【答案】（1）， （2）6米 （3）的长为5米，围成的花圃面积最大，最大面积是45平方米 【解析】 【分析】本题主要考查了列函数关系式，求自变量的取值范围，一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，正确列出与的函数关系式是解题的关键． （1）根据长方形周长公式进行求解即可； （2）根据（1）所求建立方程求解即可； （3）根据（1）所求，利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，米， ∴， ∵墙的最大可用长度为9米， ∴， ∴； 故答案为：，； 【小问2详解】 由题意得：， 即：， 解得：，（舍去）， ∴的长度为6米； 【小问3详解】 ∵， ∵，， ∴当时，随着的增大而减小， ∴当时有最大值，最大值为45， ∴最大面积是45平方米． 25. 【发现问题】 小明和小强做弹球游戏，如图，小明向斜坡抛一个乒乓球，乒乓球弹起的运行路线是一条抛物线，乒乓球落地后又弹起，第二次弹起的运行路线和第一次运行路线的抛物线形状相同，小强在地面立一块高度为的木板，当乒乓球在第二次下落时能落在木板上，则小强获胜． 【提出问题】 小强将木板放在距斜坡底端多远，才能确保获胜？ 【分析问题】 小强以斜坡底端为坐标原点，地面水平线为轴，取单位长度为，建立如图所示的平面直角坐标系，乒乓球的大小忽略不计，经测量发现，抛球点的坐标为，第一次弹起的运行路线最高点坐标为，第二次弹起的最大高度为，小强通过这些数据，经过计算，确定了木板立的位置，从而确保自己获胜． 【解决问题】 （1）求乒乓球第一次弹起运行路线的抛物线的解析式； （2）求乒乓球第一次落地点B距斜坡低端O的距离； （3）小强将木板立在距斜坡底端多远的范围内，才能确保自己获胜？ 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数，二次函数的图形及性质，二次函数与坐标轴的交点，二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求二次函数以及二次函数的图形及性质是解题的关键． （1）根据待定系数法求解即可得解； （2）令得，解方程即可得解； （3）用待定系数法求出乒乓球第二次弹起运行路线的抛物线解析式，再令和，解方程求出的取值范围． 【小问1详解】 解：乒乓球第一次弹起运行路线的抛物线顶点为，过点， 设． 代入，， 解得， ， 【小问2详解】 解：令，则 解得，（舍） ，乒乓球第一次落地点距斜坡底端的距离为． 【小问3详解】 解：∵乒乓球第二次弹起运行路线的抛物线与第一次形状相同，且最大高度为1.21m， ∴设乒乓球第二次弹起运行路线的抛物线为 ， ∵点B在第一次的抛物线上也在第二次的抛物线上， ∴当时，代入得，， 解得：（舍去）， ， 把代入解析式得：， 解得（舍）， ∴乒乓球第二次弹起运行路线的抛物线为； 当时，则， 解得：（舍）； 当时，则， 解得（舍）． ∴当时，小强确保获胜． 26. 如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点，且，． （1）求抛物线的解析式； （2）若连接、．动点D从点A出发，在线段上以每秒1个单位长度向点B做匀速运动；同时，动点E从点B出发，在线段上以每秒个单位长度向点C做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为t秒．在D、E运动的过程中，当t为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？ （3）点M是抛物线上位于x轴上方的一点，点N在x轴上，是否存在以点M为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）时，四边形的面积最小，最小值为 （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）根据交点式列出函数解析式，即可求解； （2）根据题意可得是等腰直角三角形，过点E作轴，垂足为，根据列出函数关系式，进而根据二次函数的性质，即可求解； （3）过点作轴的平行线，交轴于点，过点作，设，证明，可得，进而列出方程，解方程即可求解； 【小问1详解】 解：∵，，则，， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴是等腰直角三角形，由点的运动可知： ，过点作轴，垂足为， ∴， 又∵，则， ∴ ， ∵当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动， ∴，， ∴， 当时，四边形的面积最小，即为； 【小问3详解】 解：存在，或， 当点在的右侧时，如图所示， 过点作轴的平行线，交轴于点，过点作， ∵是以为直角为直角顶点的等腰直角三角形， ∴，， ∴， 又 ∴， ∴， 设， ∴， 解得：或（舍去） ∴； 当点在的右侧时，同理可得， 解得：或（舍去） ∴， 综上所述，或． 【点睛】本题考查二次函数的综合运用，解题的关键是求出解析式，分类讨论点根据面积加减及线段关系列式求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 银川北塔中学2025-2026学年第一学期期末教学质量检测 九年级数学试卷 （总分120分 时间120分钟） 一、选择题（本题共8小题，每题3分，共24分） 1. 下列几何体中，同一个几何体从正面看和从上面看形状图不同的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，属于二次函数是( ) A. y＝3x﹣1 B. y＝ C. y＝﹣x2 D. y＝ 3. 如表中列出了二次函数的一些对应值，则一元二次方程的一个负解的范围是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，是劣弧中点，P是优弧任意一点，连接则的度数是（　　） A. 或 B. C. D. 5. 某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元．若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是（　　） A. （3+x）（4﹣0.5x）＝15 B. （x+3）（4+0.5x）＝15 C. （x+4）（3﹣0.5x）＝15 D. （x+1）（4﹣0.5x）＝15 6. 函数和（m是常数，且）在同一个平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，过矩形的对角线的中点作，交边于点，交边于点，分别连接，若，，则的长为（　　） A. 2 B. 3 C. D. 8. 如图，中，，cm，cm，点从点出发，以的速度沿向点运动，同时点从点出发，以的速度沿向点运动，直到它们都到达点为止．若的面积为，点的运动时间为，则与的函数图象是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分） 9. 在锐角中，若，则的度数是______． 10. 点，均在二次函数的图象上，则，的大小关系是______． 11. 一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的9个红球，3个白球，若干个绿球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到绿球的概率稳定在0.2，则袋中有绿球______个． 12. 若二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是___________． 13. 如图，点是反比例函数的图象与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为，则反比例函数的解析式为______． 14. 如图，在边长为1的小正方形构成的网格中，的半径为1，圆心O在格点上，则等于______． 15. 一种燕尾夹如图1所示，图2是在闭合状态时的示意图，图3是在打开状态时的示意图（此时），相关数据如图（单位：）．从图2闭合状态到图3打开状态，点B，D之间的距离减少了______． 16. 二次函数图象一部分如图所示，给出下列命题：①；②；③；④（m为任意实数）；⑤．其中正确的命题有______． 三、解答题（共72分） 17. （1）解方程： （2）计算： 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 已知：图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，点A、点B在小正方形的顶点上． （1）在图1中求的长． （2）在图1中画出平行四边形（点C、D在小正方形顶点上），使平行四边形的面积为16； （3）在图2中画出（点E在小正方形的顶点上），使是等腰三角形且，直接写出线段的长． 20. 为纪念抗日战争胜利80周年及世界反法西斯胜利80周年，我校举行了“青年大学习，强国有我”知识竞赛活动．李老师赛后随机抽取了部分学生的成绩（单位：分，均为整数），按成绩划分为A、B、C、D四个等级，并制作了如下统计图表（部分信息未给出）： 等级 成绩x/分 人数 A 15 B C 18 D 7 （1）表中______，C等级对应的圆心角度数为______； （2）若全校共有600名学生参加了此次竞赛，成绩A等级的为优秀，则估计该校成绩为A等级的学生共有多少人？ （3）若A等级15名学生中有3人满分，设这3名学生分别为，，，从其中随机抽取2人参加市级决赛，请用列表或树状图的方法求出恰好抽到，的概率． 21. 如图，四边形是平行四边形，，相交于点O，点E是的中点，连接，过点E作于点F，过点O作于点G． （1）求证：四边形是矩形． （2）若四边形是菱形，，且，求的面积． 22. 如图，已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，与反比例函数的图象分别交于点C、D，点C坐标为，点D坐标为． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）求的面积； （3）直接写出当时，自变量x的取值范围． 23. 如图，是的外接圆，是的直径．半径，垂足为点E，连接． （1）求证：平分； （2）若，，求的半径． （3）在（2）的条件下，设与交与点F，求． 24. 如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为9米）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃边为米，面积为平方米． （1）写出与的函数关系式 ，并写出的取值范围 ； （2）如果要围成面积为的花圃，求的长度； （3）如果要使围成的花圃面积最大，求最大面积是多少平方米． 25. 【发现问题】 小明和小强做弹球游戏，如图，小明向斜坡抛一个乒乓球，乒乓球弹起的运行路线是一条抛物线，乒乓球落地后又弹起，第二次弹起的运行路线和第一次运行路线的抛物线形状相同，小强在地面立一块高度为的木板，当乒乓球在第二次下落时能落在木板上，则小强获胜． 【提出问题】 小强将木板放在距斜坡底端多远，才能确保获胜？ 【分析问题】 小强以斜坡底端为坐标原点，地面水平线为轴，取单位长度为，建立如图所示的平面直角坐标系，乒乓球的大小忽略不计，经测量发现，抛球点的坐标为，第一次弹起的运行路线最高点坐标为，第二次弹起的最大高度为，小强通过这些数据，经过计算，确定了木板立的位置，从而确保自己获胜． 【解决问题】 （1）求乒乓球第一次弹起运行路线的抛物线的解析式； （2）求乒乓球第一次落地点B距斜坡低端O的距离； （3）小强将木板立在距斜坡底端多远的范围内，才能确保自己获胜？ 26. 如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点，且，． （1）求抛物线解析式； （2）若连接、．动点D从点A出发，在线段上以每秒1个单位长度向点B做匀速运动；同时，动点E从点B出发，在线段上以每秒个单位长度向点C做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为t秒．在D、E运动的过程中，当t为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？ （3）点M是抛物线上位于x轴上方的一点，点N在x轴上，是否存在以点M为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $