精品解析：浙江省嘉兴北京师范大学南湖附属学校2025-2026学年上学期12月九年级月考数学试卷

2025学年第一学期九年级数学练习试题卷 （2025.12） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 已知，那么的值是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，是的直径，点、是圆上两点，且，则(　　) A. B. C. D. 3. 在一个不透明的布袋中装有若干个只有颜色不同的小球，如果袋中红球4个，黄球3个，其余的为绿球，从袋子中随机摸出一个球，“摸出黄球”的可能性为，则袋中绿球的个数是（ ） A. 12 B. 5 C. 4 D. 2 4. 若抛物线的顶点在第二象限，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平行四边形中，点在对角线上，，交于点，，交于点，则下列式子一定正确的是（ ）. A. B. C. D. 6. 如图，点是等边三角形的重心，，是边上一点，当时，则的长为（ ） A. 1 B. C. D. 2 7. 若二次函数的图象经过点，则关于x的方程的实数根为（ ） A. B. C. D. 8. 点A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函数y=（x-1）2+n的图象上．若y1＜y2，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在直角坐标系xOy中，A（﹣4，0），B（0，2），连结AB并延长到C，连结CO，若△COB∽△CAO，则点C的坐标为（　　） A. （1，） B. （，） C. （，2） D. （，2） 10. 如图，是的直径，，点在上，，是弧的中点，是直径上的一动点，若，则周长的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 把抛物线y＝x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得的抛物线的表达式是________________ 12. 已知一个扇形的面积为，圆心角的度数为，则它的弧长为_____． 13. 在一个不透明的袋子中装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同．每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.8附近，则袋子中红球约有_____个． 14. 如图，在中，点E在边上，若，的面积等于8，那么的面积等于_______． 15. 操场上有一棵树，数学兴趣小组的同学们想利用树影测量树高，在阳光下他们测得一根长为的直立竹竿的影长是，此时，测得树的影长为，则树高为________． 16. 如图1，含30°和45°角的两块三角板和叠合在一起，边与重合，，点为边的中点，边与相交于点，此时线段的长为______；现将三角板绕点按逆时针方向旋转角度（如图2），设边与相交于点Q，则当从0°到90°的变化过程中，点移动的路径长为______．（结果保留根号） 三、解答题（第17-22题每题6分，第23~24题每题8分，共52分） 17. 已知线段a，b，c，且. (1)求的值； (2)若线段a，b，c满足a＋b＋c＝27，求a，b，c的值． 18. 已知，二次函数（都是常数，且）的部分对应值为： x … －1 0 1 2 … y … 0 n … （1）求n的值和二次函数的解析式． （2）若点在该函数图象上，求m的值． 19. 江西省教育厅发出通告宣布中考体育改革，男生的项目改为：1000米为必测项目；另在跳绳，50米，立定跳远和俯卧撑四项中自愿选择其中两项进行测试．例，1000米，跳绳和50米为一种测试方案． （1）每位考生有______种测试方案； （2）用画树状图或列表的方法求出班上小明和小刚两位男同学正好选中同种方案的概率．（友情提醒：各种方案可以用字母或者数字来代替以简化解答过程） 20. 如图，在中，，，． （1）求证：； （2）若，，的面积为，求的面积． 21. 在平面直角坐标系中，点在抛物线（k为常数）上． （1）当时，求的值； （2）若点也在该抛物线上，且，均为负数，求的取值范围； （3）当时，若该抛物线对应的函数最大值是，求的值． 22. 如图，一组等距的平行线上有一个圆，点O为圆心，为直径，点A，B，C是圆与平行线的交点，只用无刻度的直尺，根据要求作图．(保留作图痕迹) （1）在图1中，过点O作，垂足为点D，并计算． （2）在图2中，作中边上的中线． （3）在图3中，作的角平分线，与圆交于点F． 23. 已知二次函数（a为常数）． （1）当时，求该二次函数图象的顶点坐标． （2）与x轴平行的直线交该二次函数图象于A，B两点，且点B的横坐标为，求的长． （3）若，点，在该二次函数图象上，试说明． 24. 如图，是的直径，弦与点E，已知，，点P为上任意一点，（点P不与A、B重合），连接并延长与交于点Q，连接． （1）求的长； （2）若点P在A，E之间（点P不与点E重合），求证：； （3）若点P在B，E之间（点P不与点E重合），求与满足的关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期九年级数学练习试题卷 （2025.12） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 已知，那么的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，可设，则，代入所求的式子即可求解． 【详解】解：， 设，则， 则原式． 故选：D． 【点睛】本题考查了比例的性质，根据，正确设出未知数是本题的关键． 2. 如图，是的直径，点、是圆上两点，且，则(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，根据邻补角的定义求出的度数，然后根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 3. 在一个不透明的布袋中装有若干个只有颜色不同的小球，如果袋中红球4个，黄球3个，其余的为绿球，从袋子中随机摸出一个球，“摸出黄球”的可能性为，则袋中绿球的个数是（ ） A. 12 B. 5 C. 4 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】首先设袋中白球的个数为x个，然后根据概率公式，可得：= ，解此分式方程即可求得答案． 【详解】设袋中白球的个数为x个， 根据题意得：= ， 解得：x=5. 经检验：x=5是原分式方程的解， ∴袋中白球的个数为5个. 故答案选B. 【点睛】本题考查的知识点是概率公式，解题的关键是熟练的掌握概率公式. 4. 若抛物线的顶点在第二象限，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由解析式，顶点坐标，故求解； 【详解】解：， 由题意，，解得； 故选：D 【点睛】本题考查二次函数顶点式解析式，根据题意构建不等式组是解题的关键． 5. 如图，在平行四边形中，点在对角线上，，交于点，，交于点，则下列式子一定正确的是（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可证四边形为平行四边形，根据相似三角形对应线段成比例及平行四边形对边相等的性质判断即可. 【详解】解：∵在中， ∴易证四边形为平行四边形 ∴易证 ∴，A项错误 ，B项错误 ，C项错误 ，D项正确 故选D． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质、平行四边形的判定与性质，熟练运用两者性质确定线段比例关系是解题的关键. 6. 如图，点是等边三角形的重心，，是边上一点，当时，则的长为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，三角形的重心性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形三线合一的性质和三角形的重心性质是解题的关键． 先由等边三角形的性质和三角形重心定义得，，是等边三角形的中线且，得出，再利用相似三角形的判定和性质即可求解． 【详解】解：∵点是等边三角形的重心，， ∴， ∵，是等边三角形的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 7. 若二次函数的图象经过点，则关于x的方程的实数根为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，解一元二次方程，能求出二次函数解析式中是解此题的关键．先把代入求出，然后解方程即可． 【详解】解：把代入二次函数得：， 解得：， 关于的方程为：， 解得：或， 即关于x的方程的实数根为或． 故选：A． 8. 点A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函数y=（x-1）2+n的图象上．若y1＜y2，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据y1＜y2列出关于m的不等式即可解得答案． 【详解】解：∵点A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函数y=（x-1）2+n的图象上， ∴y1=（m-1-1）2+n=（m-2）2+n， y2=（m-1）2+n， ∵y1＜y2， ∴（m-2）2+n＜（m-1）2+n， ∴（m-2）2-（m-1）2＜0， 即-2m+3＜0， ∴m＞， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据已知列出关于m的不等式． 9. 如图，在直角坐标系xOy中，A（﹣4，0），B（0，2），连结AB并延长到C，连结CO，若△COB∽△CAO，则点C的坐标为（　　） A. （1，） B. （，） C. （，2） D. （，2） 【答案】B 【解析】 【详解】根据相似三角形对应边成比例，由△COB∽△CAO求出CB、AC的关系AC=4CB，从而得到，过点C作CD⊥y轴于点D，然后求出△AOB和△CDB相似，根据相似三角形对应边成比例求出CD=、BD=，再求出OD=，最后写出点C的坐标为（，）． 故选：B． 点睛：本题考查了相似三角形的性质，坐标与图形性质，主要利用了相似三角形对应边成比例，求出是解题的关键，也是本题的难点． 10. 如图，是的直径，，点在上，，是弧的中点，是直径上的一动点，若，则周长的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称确定最短路线问题、圆周角定理等知识点，作辅助线并得到是等边三角形是解题的关键． 如图，作点关于的对称点，连接、、、，根据轴对称确定最短路线问题可得与的交点即为最小时的点，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的倍求出，然后求出，再根据对称性可得，然后求出，从而判断出是等边三角形，根据等边三角形的性质求出，即为的最小值，从而求得周长的最小值． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接、、、， 则与的交点即为的最小时的点，的最小值， ， ， 是弧的中点， ， 由对称性，， ， 是等边三角形， ， 周长的最小值． 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 把抛物线y＝x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得的抛物线的表达式是________________ 【答案】 【解析】 【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线y=x2向左平移3个单位所得的抛物线的表达式是y=（x+3）2； 由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=（x+3）2向下平移2个单位所得的抛物线的表达式是y=（x+3）2-2． 故答案为y=（x+3）2-2． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，关键是掌握平移规律“左加右减，上加下减”． 12. 已知一个扇形的面积为，圆心角的度数为，则它的弧长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是扇形的面积公式、弧长公式． 根据扇形的面积公式求出半径，再代入弧长公式计算弧长． 【详解】解：设扇形的半径为， 由扇形的面积公式， 代入已知数据得， 解得， （取正值）， 由弧长公式 ， 得． 故答案为：． 13. 在一个不透明的袋子中装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同．每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.8附近，则袋子中红球约有_____个． 【答案】12 【解析】 【分析】根据口袋中有3个白球和若干个红球，利用红球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等求出即可． 【详解】解：设袋中红球有x个， 根据题意，得：， 解得：， 经检验：是分式方程的解， 所以袋中红球有12个， 故答案为：12． 【点睛】此题主要考查了利用频率估计随机事件的概率，根据已知得出小球在总数中所占比例得出与试验比例应该相等是解决问题的关键． 14. 如图，在中，点E在边上，若，的面积等于8，那么的面积等于_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，先求出，由平行四边形的性质得到，证明得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵的面积等于8， ∴， 故答案为：． 15. 操场上有一棵树，数学兴趣小组的同学们想利用树影测量树高，在阳光下他们测得一根长为的直立竹竿的影长是，此时，测得树的影长为，则树高为________． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的运用．熟练掌握相似三角形的对应边成比例，是解答此题的关键． 设这棵树的高度是x米，根据同一时刻的物高与影长成比例得出比例式，即可得出结果． 【详解】解：设这棵树的高度是x米， 根据题意得：， 解得：； 即这棵树的高度为11米． 故答案为：11． 16. 如图1，含30°和45°角的两块三角板和叠合在一起，边与重合，，点为边的中点，边与相交于点，此时线段的长为______；现将三角板绕点按逆时针方向旋转角度（如图2），设边与相交于点Q，则当从0°到90°的变化过程中，点移动的路径长为______．（结果保留根号） 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】如图1中，作于M，设．在中，，，根据，可得，推出a=12（-1），推出；如图2①中，当=45°时,的值最大，然后通过解直角三角形求得；当=90°时,的值最小，然后通过解直角三角形求得，最后作差求得即可． 【详解】解：如图1中，作于M，设 在中，，BC=24， ∴BH=2HM 在中，， ∴MH=CM 在中，，HM=a，则BM=a ∵BM+FM=BC ∴a+a=24，解得：a=12（-1） ∴cm； （2）当=45°时,EQ的值最大 如图：由题意得PC=PF=PB=PF==12 ∵在Rt△BPQ1中，BP=12,∠B=30° ∴PQ1==6 ∴EQ1=EP-PQ1=12-6=6； 当=90°时,EQ的值最小 如图：由题意得PC=PF=PB=PF==12 ∵在Rt△BPQ1中，BP=12,∠B=30° ∴PQ2= ∴ ∴ ∴当从0°到90°的变化过程中，点移动的路径长为cm． 故答案为cm，cm． 【点睛】本题考查了旋转变换、解直角三角形、锐角三角函数以及求点运动轨迹等知识，确定点H的运动轨迹是解答本题的关键． 三、解答题（第17-22题每题6分，第23~24题每题8分，共52分） 17. 已知线段a，b，c，且. (1)求的值； (2)若线段a，b，c满足a＋b＋c＝27，求a，b，c的值． 【答案】(1);（2）a＝6，b＝9，c＝12. 【解析】 【详解】分析：（1）根据比例的性质得出，即可得出的值； （2）首先设=k，则a=2k，b=3k，c=4k，利用a+b+c=27求出k的值即可得出答案． 详解：（1）∵， ∴， ∴=， （2）设=k，则a=2k，b=3k，c=4k， ∵a+b+c=27， ∴2k+3k+4k=27， ∴k=3， ∴a=6，b=9，c=12． 点睛：此题主要考查了比例的性质，根据已知得出a=2k，b=3k，c=4k进而得出k的值是解题关键． 18. 已知，二次函数（都是常数，且）的部分对应值为： x … －1 0 1 2 … y … 0 n … （1）求n的值和二次函数的解析式． （2）若点在该函数图象上，求m的值． 【答案】（1）， （2）3或 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的关系式，二次函数图像的性质，求二次函数值或自变量的值，对于（1），根据表格确定对称轴，由抛物线的对称性得出n，再根据待定系数法求出关系式； 对于（2），令，求出一元二次方程的解即可. 【小问1详解】 解：根据图表可知： 二次函数的图象过点，， ∴对称轴为直线， ∵的对称点为， ∴ 设， 将和代入得 解得， ∴这个二次函数的解析式为； 【小问2详解】 点Q能在该函数图象上， 把代入，得． 解得或. ∴m的值是3或． 19. 江西省教育厅发出通告宣布中考体育改革，男生的项目改为：1000米为必测项目；另在跳绳，50米，立定跳远和俯卧撑四项中自愿选择其中两项进行测试．例，1000米，跳绳和50米为一种测试方案． （1）每位考生有______种测试方案； （2）用画树状图或列表的方法求出班上小明和小刚两位男同学正好选中同种方案的概率．（友情提醒：各种方案可以用字母或者数字来代替以简化解答过程） 【答案】（1）6 （2） 【解析】 【分析】（1） 根据题意可以写出每个考生的测试方案，从而可以解答本题； （2）根据题意可以列表，从而可以求得班上小明和小刚两位男同学正好抽中同种方案的概率． 【小问1详解】 解：由题意可得，每位考生的测试方案为：（跳绳，50米），（跳绳，立定跳远），（跳绳，俯卧撑），（50米，立定跳远），（50米，俯卧撑），（立定跳远，俯卧撑）， ∴每位考生有6种测试方案， 故答案为：6； 【小问2详解】 解：设6种测试方案为A，B，C，D，E，F，列表如下： 小刚 小明 A B C D E F A （A，A） （A，B） （A，C） （A，D） （A，E） （A，F） B （B，A） （B，B） （B，C） （B，D） （B，E） （B，F） C （C，A） （C，B） （C，C） （C，D） （C，E） （C，F） D （D，A） （D，B） （D，C） （D，D） （D，E） （D，F） E （E，A） （E，B） （E，C） （E，D） （E，E） （E，F） F （F，A） （F，B） （F，C） （F，D） （F，E） （F，F） 共有36种等可能的结果，其中，班上小明和小刚两位男同学正好抽中同种方案的结果有6种， ∴班上小明和小刚两位男同学正好抽中同种方案的概率． 【点睛】本题考查列举法、列表法和树状图法求事件的概率，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率． 20. 如图，在中，，，． （1）求证：； （2）若，，的面积为，求的面积． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握：有两个角相等的两个三角形相似，相似三角形的面积比等于相似比的平方． （1）根据可得，即可求证； （2）先求出相似比，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（）可得， ∴， ∵， ∴，解得：． 21. 在平面直角坐标系中，点在抛物线（k为常数）上． （1）当时，求的值； （2）若点也在该抛物线上，且，均为负数，求的取值范围； （3）当时，若该抛物线对应的函数最大值是，求的值． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查含参数的二次函数综合问题，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）将代入二次函数表达式求值即可； （2）先求出、的表达式，再结合，均为负数，得出与相关的不等式，最后求解即可 （3）由于函数顶点横坐标未确定，故对的取值分三种情况进行讨论，对每种情况下的进行求解，并检查是否符合讨论的前提，最终得出结果． 【小问1详解】 解：当时，， 当时，， 故的值为． 【小问2详解】 解：当时，， 当时，， ∵，均为负数， ∴， 解得； ∴， 解得； 故的取值范围为． 【小问3详解】 解：函数对称轴为直线， 结合以及对称轴为直线，进行分类讨论： 当，即时， ，函数取得最大值， 即， 解得，不满足，故舍去； 当，即时， ，函数取得最大值， 即， 解得或（不满足，故舍去）； 当，即时， ，函数取得最大值， 即， 解得； 综上，或． 22. 如图，一组等距的平行线上有一个圆，点O为圆心，为直径，点A，B，C是圆与平行线的交点，只用无刻度的直尺，根据要求作图．(保留作图痕迹) （1）在图1中，过点O作，垂足为点D，并计算． （2）在图2中，作中边上的中线． （3）在图3中，作的角平分线，与圆交于点F． 【答案】（1） 如图1中，根据等距平行线可得的中点，线段即为所求， （2） 如图2中，根据等距平行线可得的中点，线段即为所求； （3） 如图3中， 延长交弧于点，射线即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图复杂作图，平行线的性质，三角形的中线，角平分线，垂径定理，圆周角定理，三角形中位线定理等知识，解题的关键是掌握网格特征，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据垂径定理可知点是的中点，与中间的横线交点为，连接可得，再运用垂径定理和三角形中位线定理即可得出答案； （2）与、之间最中间的横线的交点即的中点，连接，线段为中边上的中线； （3）连接并延长交于，连接，则射线为的平分线． 【小问1详解】 ， 点是的中点， 点是的中点， 是的中位线， ， ， 故答案为：． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 23. 已知二次函数（a为常数）． （1）当时，求该二次函数图象的顶点坐标． （2）与x轴平行的直线交该二次函数图象于A，B两点，且点B的横坐标为，求的长． （3）若，点，在该二次函数图象上，试说明． 【答案】（1） （2）6 （3） 解：∵点，在该二次函数图象上， ∴， ， ∴ ， ∴当时，即， 解得：， ∵，且， ∴， 即． 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）把代入二次函数解析式得，然后配成顶点式即可求解； （2）由题意易得该二次函数与x轴的交点坐标为，则有该二次函数的对称轴为直线，然后根据二次函数的对称性可进行求解； （3）由题意易得，，则有，然后根据二次函数的性质可进行求解． 【小问1详解】 解：当时，则二次函数的解析式为， 化为顶点式为， ∴二次函数图象的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：令时，则有，解得：， ∴该二次函数与x轴的交点坐标为， ∴该二次函数的对称轴为直线， 由与x轴平行的直线交该二次函数图象于A，B两点，可知：二次函数图象上的A，B两点关于二次函数的对称轴对称， ∵点B的横坐标为， ∴点B到对称轴的距离为， 根据对称的性质可知：； 【小问3详解】 略 24. 如图，是的直径，弦与点E，已知，，点P为上任意一点，（点P不与A、B重合），连接并延长与交于点Q，连接． （1）求的长； （2）若点P在A，E之间（点P不与点E重合），求证：； （3）若点P在B，E之间（点P不与点E重合），求与满足的关系． 【答案】（1）8 （2） 证明：如图2，连接， 由题意知，垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）如图1，连接，由是的直径，弦，可得，勾股定理得，然后求解即可； （2）连接，由题意知，垂直平分，证明，则，由，可得，进而结论得证； （3）连接，同理（2）可得，，，由圆内接四边形可得，，进而可得． 【小问1详解】 解：如图1，连接， ∵是的直径，弦， ∴， ∵，， ∴， 由勾股定理得， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：； 如图3，连接， 由题意知，垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 由圆内接四边形可得，， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理，垂直平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，同弧所对的圆周角相等，圆内接四边形对角互补等知识．熟练掌握垂径定理，垂直平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，同弧所对的圆周角相等，圆内接四边形对角互补是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $