精品解析：江苏省南通市海安市海陵中学2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025~2026学年度第一学期期中学业质量测试 九年级数学 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项 1．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡指定的位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、考试证号与你本人的是否相符． 4．答案必须按要求书写在答题卡上，在草稿纸、试卷上答题一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，根据将图形沿一条直线对折，两边重合的图形是轴对称图形，将图形绕一个点旋转与原图形重合的图形是中心对称图形直接逐个判断即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， A选项图形是轴对称图形但不是中心对称图形，不符合题意， B选项图形既是轴对称图形又是中心对称图形符合题意， C选项图形是轴对称图形但不是中心对称图形，不符合题意， D选项图形不是轴对称图形是中心对称图形，不符合题意， 故选：B． 2. 已知是一元二次方程的一个根，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，能使一元二次方程成立的未知数的值叫作一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程根的定义是解答本题的关键． 将已知根代入方程，即可求出参数 k 的值． 【详解】解：∵是方程 的根， ∴， 即， 化简得 ， ∴， ∴． 故选：C． 3. 一只不透明的袋子中，装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，则红球的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根据概率求数量，熟练掌握概率公式是解题的关键． 设红球有个，根据摸到白球的概率公式列方程求解． 【详解】解：设红球有个，则袋中总球数为个， ∴摸到白球的概率为， 根据题意得：， 解得：， 因此，红球的个数为2个． 故选：B． 4. 二次函数y=x2的图象向上平移3个单位，得到新的图象的二次函数表达式是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据“上加下减”的原则进行解答即可； 【详解】由“上加下减”的原则可知，二次函数的图象向上平移3个单位，得到新的图象的二次函数表达式是； 故选：B. 【点睛】本题主要考查二次函数的图象变化，熟练掌握二次函数的图象变化原则是求解本题的关键. 5. 某大桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示，函数关系为，当水面宽度为时，水面与桥拱顶的高度等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，把直接代入解析式即可解答． 【详解】解：根据题意B的横坐标为10， 将代入得：， ， 即水面与桥拱顶的高度等于， 故选：B． 【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，掌握二次函数的对称性是解决问题的关键． 6. 如图，是的外接圆，外角的度数为，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了邻补角的性质，圆内接四边形的性质及圆周角定理． 在优弧上取一点D，连接，，先分析外角与内角的邻补角关系，再构造圆内接四边形，利用对角互补性质推导出与的关系，最后利用圆周角定理即可求得的度数． 【详解】解：如图，在优弧上取一点D，连接，， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 7. 有人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了人，则的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染了x个人，第二轮作为传染源的是（x+1）人，则传染x（x+1）人，依题意列方程求解即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：或（舍去）， 则的值为6． 故选B． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，找出题中的等量关系是解决本题的关键． 8. 如图，，是的切线，，为切点，是的直径，．则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，切线长定理，三角形内角和定理，根据切线及，得到，根据切线长定理得到，结合三角形内角和定理求解即可得到答案； 【详解】解：∵是的切线，， ∴， ∵，是的切线，，为切点， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 9. 已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如表： … 0 1 2 … … … 若点，都在该函数图像上，则和的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的对称性是解题的关键． 由表中对应值可得抛物线的对称轴为直线，点和点到对称轴的距离相等，据此即可解答． 【详解】解：由表格可知：时，；时，， ∴对称轴为． ∵点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， ∴ ． 故选D． 10. 对任意的实数，不等式恒成立，则的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查不等式恒成立问题，利用两数相乘同号得正分类讨论求解是解决问题的关键． 由于不等式，对任意的实数恒成立，由两数相乘同号得正，需分情况讨论两个因子的符号，再结合不等式恒成立问题求解即可得到答案． 【详解】解：由题意可知， ， ， 分两种情况讨论如下： 当，且时， 即，且， 对任意的实数，要使恒成立，则的最大值小于即可， ， ， ，， ； 当，且时， 即，且， 对任意的实数，要使恒成立，则的最小值大于即可， ， ， ，， ； 综上所述，对任意的实数，不等式恒成立时，的取值范围是或， 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，第11~12题每小题3分，第13~16题每小题4分，第16题每空2分，共22分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 点关于原点对称的点坐标为__________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标系内的点关于原点对称，根据关于原点对称的点的坐标特征，横坐标和纵坐标都取相反数． 【详解】解：点关于原点对称，横坐标变为相反数，即，纵坐标变为相反数，即， ∴对称点坐标为． 故答案为：． 12. 抛物线的顶点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的解析式利用二次函数的性质，即可找出抛物线的对称轴及顶点坐标，此题得解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故答案为： 【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的顶点式找出抛物线的对称轴及顶点坐标是解题的关键． 13. 如图，，，可以看做是由绕点顺时针旋转角度得到的，若点在上，则旋转角的大小是_________． 【答案】##50度 【解析】 【分析】由，，得出，由旋转的性质可得，进而求出的度数，即可得出旋转角的大小． 本题考查了旋转的性质，掌握旋转前后的两个三角形是全等三角形及等腰三角形的性质是解决问题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵可以看做是由绕点顺时针旋转角度得到的， ∴， ∴， ∴， ∴旋转角的大小是， 故答案为：． 14. 如图是一个隧道的横截图，它的形状是以点O为圆心的一部分，如果M是中弦的中点，经过圆心O交于点E，若，则⊙O的半径为 ___________________m． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识点，掌握垂径定理成为解题的关键． 由根据垂径定理可得，则，在中，有，然后求解即可解答． 【详解】解：如图：连接, ∵M是中弦的中点， ∴， 又∵， ∴， 设圆的半径是x米，， 在中，有，即：，解得： ， 所以圆的半径长是． 故答案为：． 15. 已知抛物线（b，c是常数）经过点，．当时，b的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，掌握二次函数的对称轴的性质是解题的关键． 首先由A，B两点的纵坐标相等，可以得到二次函数的对称轴的表达式，进而得到m与b的关系，再解不等式即可得到b的取值范围． 【详解】解：∵抛物线经过点，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， 整理得， ∵， ∴， 解得． 故答案为：． 16. 如图，等腰直角三角形中，，将边绕点C旋转至处，连接，取的中点E，连接并延长交的延长线于点M，则____°；若，，则的长为__________． 【答案】 ①. 45 ②. 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质及勾股定理． 连接并延长，作，交的延长线于点F，则，由，得到，由旋转得出，则，，可证明垂直平分，则，，推导出，进而证明，证明出，得，则，求得，由，，求得，，则，利用勾股定理得到，即可求得的值． 【详解】解：如图，连接并延长，作，交的延长线于点F，则， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∵将边绕点C旋转至处， ∴， ∴，， ∵经过的中点E， ∴垂直平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：45，． 三、解答题（本大题共9小题，共98分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）整理后利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， 或， 解得，； 【小问2详解】 解： 整理得， 因式分解得， 或， 解得：，． 18. 在平面直角坐标系中，已知，将绕点按顺时针方向旋转后得到． （1）画出； （2）写出点对应点的坐标__________； （3）若点在以为圆心的圆上，则该圆的半径为__________． 【答案】（1） 由题意可得，如图所示的， （2）； （3）5； 【解析】 【分析】本题考查图形的旋转及勾股定理； （1）根据旋转的性质找到，，连接，，即可得到答案； （2）根据旋转图形所在坐标系直接写出点的坐标即可得到答案； （3）根据勾股定理求解即可得到答案； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得， ， 故答案为：； 【小问3详解】 解：连接如图所示， ， 点，， ， 故答案为：5． 19. 已知：是平行四边形的外接圆．求证：四边形是矩形． 【答案】 证明：在平行四边形中， ， ∵是平行四边形的外接圆． ∴， ， 平行四边形是矩形． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定以及平行四边形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键． 根据平行四边形的性质得到，根据是平行四边形的外接圆得到，则，根据矩形的判定即可得出结论． 【详解】略 20. 每年的4月23日是“世界读书日”，今年4月，某校开展丰富多彩的阅读活动，每位学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：科技类、B：文学类、C：政史类、D：其他类），甲同学从A、B两类书籍中随机选择一种，乙同学从A、B、C、D四类书籍中随机选择一种． （1）乙同学恰好选中B的概率是 ； （2）求甲、乙两位同学选择相同类别书籍的概率．（用树状图或列表法） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，掌握列表法与树状图法是解答本题的关键． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）运用画树状图法可得出所有等可能的结果数以及甲乙两位同学选择相同类别书籍的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：乙同学恰好选中B的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表如下： 有8种等可能的结果，其中甲乙两位同学选择相同类别书籍的结果有2种， 所以甲、乙两位同学选择相同类别书籍的概率为． 21. 已知二次函数，且图象过点． （1）求的值； （2）若二次函数图象交轴于两点，求的长． 【答案】（1）； （2）2． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线与轴的交点问题，掌握相关知识是解题的关键． （1）把点代入求解即可； （2）令时，则，求解即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵二次函数图象过点 ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：由（1）得：， 令时，则， 解得：，， ∴． 22. 如图1，为的直径，为上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为． （1）求证：平分； （2）如图2，延长交直线于点，连接．若，求与、组成的图形的面积． 【答案】（1） 证明：如图1，连接， ∵和过点C的切线互相垂直，垂足为D， ∴， ， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴平分． （2） 【解析】 【分析】本题考查圆的切线性质、角平分线的判定、矩形的判定与性质、勾股定理、等边三角形判定及扇形面积计算，解题中用到转化思想（将圆的性质转化为线段 / 角度关系）、勾股定理法（计算线段长度）、面积割补法（求阴影面积），解题关键是利用切线性质与矩形判定关联线段，结合圆的直径性质与勾股定理计算长度，通过面积割补求图形面积． （1）连接，由切线性质得，结合，证平分． （2）证四边形为矩形，用勾股定理求线段长，判定为等边三角形，通过 “面积减扇形面积” 得图形面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图2，作于点F， ∵，， ∴ ， ∵四边形是矩形， ∴为的直径，, , ∴， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴与、组成的图形的面积是． 23. 2025年5月10日江苏省城市足球联赛（被球迷称为“苏超”的足球联赛）开幕．某经销商销售以“苏超”为主题的T恤衫，平均每天可售出40件．每件盈利30元．为了尽快减少库存、增加盈利，该经销商采取了降价措施，经过一段时间的销售发现，销售单价每降低1元，平均每天可多售出4件．设每件T恤衫降价元． （1）降价后每件T恤衫的利润为__________（元），平均每天可多售出__________件（用含的代数式表示）； （2）若该经销商每天获得的利润为1500元，则每件T恤衫应降价多少元？ （3）每件应降价多少元才能使每天获得的利润最大？ 【答案】（1）， （2）每件T恤衫应降价15元 （3）每件应降价10元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程和二次函数的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程或函数表达式是解题的关键： （1）根据题意，列出代数式即可； （2）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可． （3）设利润为元，根据总利润等于单件利润乘以销量建立二次函数关系式，再由二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，降价后的每件T恤衫的利润为元，平均每天可多售出件； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由题意，得：， 解得：或， ∵为了尽快减少库存、增加盈利， ∴； 答：每件T恤衫应降价15元． 【小问3详解】 解：设利润为元，由题意得，， ∵， ∴当时，使每天获得的利润最大， ∴每件应降价10元． 24. 综合与实践：如图，在平面直角坐标系中，点为平面内任意一点，是轴上一点，连接，作线段的垂直平分线，过点作轴的垂线，记，的交点为．在轴上多次改变点的位置，得到相应的点，把这些点连接起来形成图象． 【操作与发现】 （1）若点的坐标为 ①当为时，点的坐标为__________；图象属于哪种函数图象__________；（填“一次函数”或“二次函数”） ②设点的坐标是，当时，求的取值范围； 【实践与运用】 （2）若点的坐标为，多次改变点的位置，得到相应的点，把这些点连接起来形成图象，的最高点或最低点在图象上运动，请求出图象满足的函数关系式． 【答案】（1）①，二次函数 ② （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，二次函数图象的性质，正切， 对于（1）①，根据正方形的性质可得点P的坐标，再求出点，然后分两种情况：当时，作，的中垂线交x轴于点T，则，再根据求出，进而得出，即可得出点，然后表示出直线的表达式为，最后令，则，可得点P所在图象的函数表达式为；当时，同理可得点P所在图象的函数表达式为；②，令，则，令，则，可得答案； 对于（2），先根据点可得Q的坐标为，进而可得直线的表达式为，再求出直线的表达式为，可得点P的坐标为，然后求出图象的顶点坐标为，最后结合题意可得答案． 【详解】解：（1）①如图所示，此时四边形为正方形， 所以点P的坐标为． 设点M的坐标为，， 故的中点坐标为， 当时，如图所示，作于点S，的中垂线交x轴于点T， 则， ∵， ∴， 故，即， ∴， ∴， 即点， 故由待定系数法可知直线的表达式为， 令，则， 即点P的坐标为， ∴点P所在图象的函数表达式为， 当时，如图所示， 同理可得点P所在图象的函数表达式为． 故答案为：，二次函数； ②∵点P 所在图象的函数表达式为， 当时，令，则，令，则， 故； （2）如图所示，设点， 则的中点Q的坐标为， 由待定系数法可得直线的表达式为， 由（1）中证明可得直线的斜率为， 故设直线的表达式为，再代入点Q的坐标为， 得， 所以直线的表达式为， 令，则， 则点P的坐标为， 所以点P的图象的表达式为， ∴图象的顶点坐标为． ∵的最高点或最低点在图象上运动， ∴图象满足的函数关系式为． 25. 已知，如图1，在正方形中，点在边上，为等腰直角三角形（），，连接，点为线段的中点，连接． （1）线段与的数量关系为__________； （2）将绕点逆时针旋转， ①如图2，，，当点、、三点共线时，求的长； ②如图3，若过中点，当点、、三点共线时，求的值． 【答案】（1） （2）① ② 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定与性质，在正方形中，连接对角线，利用手拉手构造相似三角形，从而找到线段关系是解题关键． （1）连接，通过角找到等腰直角三角形，从而得到线段之间的关系，再利用中点构造全等三角形（或利用中点构造中位线）进行线段转化即可； （2）①同（1），构造相似三角形，找到与的关系，利用勾股定理求出，即可求出； ②连接，利用四点共圆或角度的和差，得到，从而得到，再利用手拉手旋转相似，得到，从而利用对应线段的关系得到与的关系，再求比例即可． 【小问1详解】 解：如图，连接，延长，交于点H， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，F为中点， ∴， ∴，即， ∴， ∵G为中点，F为中点， ∴是中位线， ∴． 【小问2详解】 ①解：如图，连接，延长，与过点C的的垂线交于点，连接， ∵，， ∴， 同（1），可得，，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理，得， ∴； ②解：如图，连接，记其中点为O， ∵四边形是正方形， ∴， 由题意，可知， ∴点A，B，F，C在以为直径的上， ∴，， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期期中学业质量测试 九年级数学 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项 1．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡指定的位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、考试证号与你本人的是否相符． 4．答案必须按要求书写在答题卡上，在草稿纸、试卷上答题一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知是一元二次方程的一个根，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 3 3. 一只不透明的袋子中，装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，则红球的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 二次函数y=x2的图象向上平移3个单位，得到新的图象的二次函数表达式是（ ）． A. B. C. D. 5. 某大桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示，函数关系为，当水面宽度为时，水面与桥拱顶的高度等于（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是的外接圆，外角的度数为，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 有人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了人，则的为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，，是的切线，，为切点，是的直径，．则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如表： … 0 1 2 … … … 若点，都在该函数图像上，则和的大小关系是（ ） A. B. C. D. 10. 对任意的实数，不等式恒成立，则的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 二、填空题（本大题共6小题，第11~12题每小题3分，第13~16题每小题4分，第16题每空2分，共22分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 点关于原点对称的点坐标为__________ 12. 抛物线的顶点坐标是______． 13. 如图，，，可以看做是由绕点顺时针旋转角度得到的，若点在上，则旋转角的大小是_________． 14. 如图是一个隧道的横截图，它的形状是以点O为圆心的一部分，如果M是中弦的中点，经过圆心O交于点E，若，则⊙O的半径为 ___________________m． 15. 已知抛物线（b，c是常数）经过点，．当时，b的取值范围为________． 16. 如图，等腰直角三角形中，，将边绕点C旋转至处，连接，取的中点E，连接并延长交的延长线于点M，则____°；若，，则的长为__________． 三、解答题（本大题共9小题，共98分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 18. 在平面直角坐标系中，已知，将绕点按顺时针方向旋转后得到． （1）画出； （2）写出点对应点的坐标__________； （3）若点在以为圆心的圆上，则该圆的半径为__________． 19. 已知：是平行四边形的外接圆．求证：四边形是矩形． 20. 每年的4月23日是“世界读书日”，今年4月，某校开展丰富多彩的阅读活动，每位学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：科技类、B：文学类、C：政史类、D：其他类），甲同学从A、B两类书籍中随机选择一种，乙同学从A、B、C、D四类书籍中随机选择一种． （1）乙同学恰好选中B的概率是 ； （2）求甲、乙两位同学选择相同类别书籍的概率．（用树状图或列表法） 21. 已知二次函数，且图象过点． （1）求的值； （2）若二次函数图象交轴于两点，求的长． 22. 如图1，为的直径，为上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为． （1）求证：平分； （2）如图2，延长交直线于点，连接．若，求与、组成的图形的面积． 23. 2025年5月10日江苏省城市足球联赛（被球迷称为“苏超”的足球联赛）开幕．某经销商销售以“苏超”为主题的T恤衫，平均每天可售出40件．每件盈利30元．为了尽快减少库存、增加盈利，该经销商采取了降价措施，经过一段时间的销售发现，销售单价每降低1元，平均每天可多售出4件．设每件T恤衫降价元． （1）降价后每件T恤衫的利润为__________（元），平均每天可多售出__________件（用含的代数式表示）； （2）若该经销商每天获得的利润为1500元，则每件T恤衫应降价多少元？ （3）每件应降价多少元才能使每天获得的利润最大？ 24. 综合与实践：如图，在平面直角坐标系中，点为平面内任意一点，是轴上一点，连接，作线段的垂直平分线，过点作轴的垂线，记，的交点为．在轴上多次改变点的位置，得到相应的点，把这些点连接起来形成图象． 【操作与发现】 （1）若点的坐标为 ①当为时，点的坐标为__________；图象属于哪种函数图象__________；（填“一次函数”或“二次函数”） ②设点的坐标是，当时，求的取值范围； 【实践与运用】 （2）若点的坐标为，多次改变点的位置，得到相应的点，把这些点连接起来形成图象，的最高点或最低点在图象上运动，请求出图象满足的函数关系式． 25. 已知，如图1，在正方形中，点在边上，为等腰直角三角形（），，连接，点为线段的中点，连接． （1）线段与的数量关系为__________； （2）将绕点逆时针旋转， ①如图2，，，当点、、三点共线时，求的长； ②如图3，若过中点，当点、、三点共线时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $