第04讲基本不等式 讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第04讲基本不等式 【题型1】基本不等式应用1积定和最小 例题1．已知函数，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C． D． 例题2．已知，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【针对训练】 1．函数的最小值是（    ） A．7 B． C．9 D． 【题型2】基本不等式的应用2和定积最大 例题1．若，则下列不等式对一切满足条件的恒成立的是（    ） A． B． C． D． 例题2．若正实数满足，则（    ） A．的最大值为 B．的最大值为1 C．的最小值为4 D．的最小值为9 【针对训练】 1．已知正数满足，则（    ） A． B． C． D． 2．设正实数满足，则下列说法正确的是（   ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 3．已知，且，则下列结论正确的是（   ） A．的最大值为 B． C．的最小值为 D． 4．已知正实数满足，则（   ） A．的最大值为4 B．的最大值为8 C．的最小值为 D．的最小值为8 【题型3】基本不等式的应用3配凑乘积模型 例题1．若，则的最小值是（   ） A．2 B． C．3 D．4 例题2．已知，则函数的最小值为（    ） A． B．0 C．1 D． 【针对训练】 1.已知，则的最小值为 . 2．已知，求的最小值； 【题型4】条件等式求最值 例题1．已知，且，则的最小值为（    ） A．3 B． C． D．2 例题2．已知，，，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【针对训练】 1．已知，若，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 2．已知正数，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．已知正实数a，b满足，则的可能取值为（    ） A．2 B． C． D．4 4.已知实数，满足，则的最大值为 ． 5．已知，，，则的最小值为 ． 6．已知且满足，则的最小值为 ． 【题型5】“1”的妙用 例题1．已知为正实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 例题2．已知，且，则的最小值为（    ） A． B．4 C．3 D．2 【针对训练】 1．若，则的最小值为（    ） A．9 B． C．2 D． 2．已知，则的最小值是（    ） A．1 B． C．2 D．3 3．已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 4．正实数a，b满足，则的取值可能为（   ） A．0 B． C．4 D． 5.已知，，且，则的最小值是 ． 6.若正数a，b满足：，则的最小值为 ． 【题型6】不等式恒成立问题 例题1．已知，若恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 例题2．已知，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．64 B．25 C．13 D．12 【针对训练】 1．已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．若，且恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3.已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是 . 4．已知，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 5．已知，且，若恒成立，则实数t的取值范围是 ． 6．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为 . 7．已知且恒成立，实数的最大值是 ． 【题型7】分式求最值 例题1．设正实数、、满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 例题2．若，则的最小值是 . 【针对训练】 1．若正数，满足，则的最大值为 . 2．已知，则函数的最小值是 ． 4．当时，函数的最小值为 ． 4．求函数的最小值，并求此时的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲基本不等式 【题型1】基本不等式之积定和最小 例题1．已知函数，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C． D． 【详解】由题意，， 在中， ， 当且仅当，即时等号成立， ∴的最小值为， 例题2．已知，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【详解】由，则，仅当时等号成立， 所以函数最小值为4. 【针对训练】 1．函数的最小值是（    ） A．7 B． C．9 D． 【详解】解：函数中 所以，当且仅当时，即时取等号. 所以函数的最小值为. 【题型2】基本不等式的应用2和定积最大 例题1．若，则下列不等式对一切满足条件的恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【详解】对于A，因为， 所以，当且仅当时取等号，故A正确； 对于B，因为， 所以，当且仅当时取等号，故B正确； 对于C，因为，所以，当且仅当时取等号，故C错误； 对于D，因为， 所以，当且仅当，即时取等号，故D正确. 例题2．若正实数满足，则（    ） A．的最大值为 B．的最大值为1 C．的最小值为4 D．的最小值为9 【详解】对于A，， 当且仅当时取等号，故A正确； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，， 当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，， 当且仅当时取等号，故D正确； 【针对训练】 1．已知正数满足，则（    ） A． B． C． D． 【详解】对于A： ，故，即，当且仅当取等号，故A正确； 对于B：因为， ，当且仅当取等号，故B正确； 对于C：若，令，故C错误； 对于D：，故，当且仅当取等号，故D正确. 2．设正实数满足，则下列说法正确的是（   ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【详解】对于A，因为正实数满足，则， 所以， 当且仅当时，取等号，所以A正确， 对于B，因为， 当且仅当时，取等号，得到，所以B错误， 对于C，因为，当且仅当时，取等号，得到，所以C正确， 对于D，因为， 当且仅当时，取等号，所以D正确， 3．已知，且，则下列结论正确的是（   ） A．的最大值为 B． C．的最小值为 D． 【详解】对于A, ，则，故，当且仅当时取等号，故A正确， 对于B，，当且仅当时取等号，故B正确， 对于C, ，当且仅当，即时取等号，故C错误， 对于D, ，由于不可能成立，故等号取不到，故，D正确， 4．已知正实数满足，则（   ） A．的最大值为4 B．的最大值为8 C．的最小值为 D．的最小值为8 【详解】对于A，，得，当且仅当，时取等号，故A正确； 对于，当且仅当时取等号，故B错误； 对于C，， 当且仅当，时取等号，故C正确； 对于D，，当且仅当，时取等号，故D正确． 【题型3】基本不等式的应用3配凑乘积模型 例题1．若，则的最小值是（   ） A．2 B． C．3 D．4 【详解】因为，所以，当且仅当，即时，等号成立． 例题2．已知，则函数的最小值为（    ） A． B．0 C．1 D． 【详解】因为，当且仅当时，取等号， 所以函数的最小值为0， 【针对训练】 1.已知，则的最小值为 . 【详解】由题意可知， 当且仅当，即时取得等号. 2．已知，求的最小值； 【详解】因为，所以. 所以. 当且仅当，即，时，等号成立. 所以当时，取得最小值，最小值为. 【题型4】条件等式求最值 例题1．已知，且，则的最小值为（    ） A．3 B． C． D．2 【详解】因为， 则， 当且仅当时，取等号， 所以的最小值为3， 例题2．已知，，，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【详解】由可得， 所以. 当且仅当，即，时等号成立. 【针对训练】 1．已知，若，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【详解】，， 所以 ， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 2．已知正数，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【详解】由，得， 所以 ， 当且仅当，即，时取得等号． 3．已知正实数a，b满足，则的可能取值为（    ） A．2 B． C． D．4 【详解】由题意可得， 令，由于，则，， 由于对勾函数在单调递减，在单调递增，所以， ，故，所以． 故选：BD． 4.已知实数，满足，则的最大值为 ． 【详解】，， 因为，所以意到，当且仅当时取等号. ，化为， ，当且仅当时取等号，的最大值为2． 5．已知，，，则的最小值为 ． 【详解】由题知，，由基本不等式，得，当且仅当时，等号成立. 所以，当且仅当时，等号成立． 令，，则，整理得，解得（舍去）或， 即，当且仅当时等号成立，所以的最小值为4. 6．已知且满足，则的最小值为 ． 【详解】因为，所以，因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：． 【题型5】“1”的妙用 例题1．已知为正实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【详解】由为正实数，且， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 例题2．已知，且，则的最小值为（    ） A． B．4 C．3 D．2 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 【针对训练】 1．若，则的最小值为（    ） A．9 B． C．2 D． 【详解】因为，所以， 又，所以，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 2．已知，则的最小值是（    ） A．1 B． C．2 D．3 【详解】由，得，由，得， 因此， 当且仅当，即时取等号，联立解得时取等号， 所以的最小值是1. 3．已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【详解】已知，得， 代入得： 由于，， 得： 当且仅当，即：，时等号成立. 故的最小值为. 4．正实数a，b满足，则的取值可能为（   ） A．0 B． C．4 D． 【详解】由于正实数a，b满足， 所以， 由基本不等式可得，当且仅当，即时等号成立， 故，且能取等号， 故选：CD. 5.已知，，且，则的最小值是 ． 【详解】由可得： ； 当且仅当，即当时，等号成立. 即的最小值为. 故答案为：. 6.若正数a，b满足：，则的最小值为 ． 【详解】因为正数a，b满足：，即， 所以， 当，且，得时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 【题型6】不等式恒成立问题 例题1．已知，若恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【详解】因为，所以恒成立等价于恒成立， 又，当且仅当时取等号， 故. 例题2．已知，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．64 B．25 C．13 D．12 【详解】，，则， 不等式 恒成立，即恒成立， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即实数m的最大值为. 【针对训练】 1．已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，，且，则， 则， 所以 ， 当且仅当时， 即当，时，所以的最小值为， 因为恒成立，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 2．若，且恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【详解】不等式恒成立，即， ， 等号成立的条件是，即，与条件联立，解得， 所以的最小值是8，即，解得． 3.已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是 . 【详解】因为，，且，则， 所以 ， 当且仅当时，即当，时，所以的最小值为， 因为恒成立，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 4．已知，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【详解】由，不等式恒成立，可得对恒成立， 令，当且仅当，即时取等号. 所以，所以. 故答案为：. 5．已知，且，若恒成立，则实数t的取值范围是 ． 【详解】恒成立，即， ，当且仅当时取等号， 所以， 即， 解得：， 所以实数t的取值范围是， 故答案为： 6．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为 . 【详解】因为，，且， 所以，所以， 当且仅当，即，时取等号， 又恒成立，所以，即实数的取值范围为. 故答案为： 7．已知且恒成立，实数的最大值是 ． 【详解】由题意，， 所以转化为， 可得，即， 因为，当且仅当时等号成立， 所以实数的最大值是. 故答案为： 【题型7】分式求最值 例题1．设正实数、、满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为正实数、、满足，则， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最大值为. 例题2．若，则的最小值是 . 【详解】因为 ， 所以 ， 当且仅当 ，即 时取等号， 故答案为： 【针对训练】 1．若正数，满足，则的最大值为 . 【详解】，，，所以，即，， 根据二次函数的性质可知时，上式取得最大值2. 故答案为：2. 2．已知，则函数的最小值是 ． 【详解】因为， 当且仅当，即时，等号成立. 所以函数的最小值是 故答案为:. 4．当时，函数的最小值为 ． 【详解】因为，则，则， 当且仅当时，等号成立， 所以，当时，函数的最小值为. 故答案为：. 4．求函数的最小值，并求此时的值． 【详解】因为 由基本不等式得：，所以， 当且仅当，即时，等号成立． 所以函数的最小值为，此时. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $