第7讲：基本不等式【知识梳理+10个题型归纳】讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学核心内容“基本不等式”，从教材基础出发，层层递进至高考高频考法，构建起“知识梳理—题型分类—解题策略—易错点剖析”的完整学习支架，前后衔接紧密，逻辑清晰。 资料设计亮点突出，体现数学抽象、逻辑推理与建模意识的核心素养。例如通过几何直观解释均值不等式本质，强化学生对“一正二定三相等”条件的理解；在权方和不等式应用中，结合真实情境引导学生建立分式结构与定值关系的模型，提升问题转化能力。课中便于教师精准施教，课后助力学生查漏补缺，巩固高频考点，是提升学生数学思维品质与应试能力的优质教学资源。

2025-2026年高一上学期数学常考题型归纳 【第7讲：基本不等式】 【知识梳理】 一、核心知识：基本不等式及其本质（教材基础） 1.原始形式与成立条件 核心公式：若，，则，当且仅当时等号成立。 （教材定义：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，简称“均值不等式”） 成立三要素：“一正”（均为正数）、“二定”（和或积为定值）、“三相等”（等号当且仅当时取到）——新高考高频易错点。 2.变形拓展（教材例题衍生） 变形公式 适用场景 教材例题验证 已知和为定值，求积的最大值 若（），则，当且仅当时取等 （） 单变量分式求最值 求（）的最小值为2，当且仅当时取等 平方和与和的平方关系 比较与，展开得 二、常用不等式与结论（教材延伸+高考高频） 1.多元均值不等式（n元形式） 三元形式：若，则，当且仅当时取等。 应用：已知（），求的最大值——由三元均值得，当且仅当时取等。 2.重要衍生结论 1.不等式链（均值不等式拓展） 若，，则： （依次为：调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数） 应用：比较、、、的大小——由不等式链得。 2.柯西不等式（向量形式）：，当且仅当（）时取等。 高考应用：求的最大值，其中——由柯西得，故最大值为5。 3.权方和不等式（高考热门拓展） 二元形式：若，，则，当且仅当时取等。 推广形式：若，（），则。 高考应用：求的最小值，其中——由权方和得，当且仅当即时取等。 4.绝对值三角不等式：，等号成立当且仅当（右式）或（左式）。 高考应用：求的最小值——由三角不等式得最小值为3（当时取到）。 5.分式不等式结论：若，，则（糖水不等式）。 应用：比较与——由糖水不等式，（特殊情况），推广到。 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型一：基本不等式几何证明以及适用条件】 例题精选 【例题1】（24-25高一上·贵州贵阳·期中）如图，是圆的直径，点是上一点，．过点作垂直于的弦，连接．可证，因而．由于小于或等于圆的半径，我们教材中利用该图作为一个说法的几何解释，这个说法正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．对，都有，当且仅当时等号成立 D．对，都有，当且仅当时等号成立 【答案】C 【分析】根据题意，结合小于或等于圆的半径求解即可. 【详解】由题意，由于小于或等于圆的半径，是圆的直径， 且，， 所以，当且仅当时等号成立. 故选：C. 【例题2】（24-25高一上·安徽·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．若且，则 B．若，则的最小值为 C．对任意的实数和，总有，当且仅当时等号成立 D．对任意的实数和，总有，当且仅当时等号成立 【答案】D 【分析】利用特殊值法可判断A选项；利用基本不等式可判断B选项；取、均为负数，可判断C选项；利用作差法可判断D选项. 【详解】对于A选项，若且，不妨取，，，，则，A错； 对于B选项，当时，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故当时，的最大值为，B错； 对于C选项，当、均为负数时，，C错； 对于D选项，因为，所以，， 当且仅当时等号成立，D对. 故选：D. 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·辽宁·期中）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆，过点作的垂线交半圆于，连接，则该图形可以完成的无字证明为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由可得． 【详解】，，，而（重合时取等号）， 因此有． 故选：D． 【相似题2】【多选题】（23-24高一上·四川眉山·期中）下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若，则 【答案】ABC 【分析】利用基本不等式可判断ABC选项，利用特殊值法可判断D选项. 【详解】对于A选项， 若，则， 当且仅当时，即当时，等号成立，A对； 对于B选项，， 当且仅当时，即当时，等号成立，B对； 对于C选项，若且，则， 当且仅当时，即当时，等号成立，C对； 对于D选项，若，取，则，D错. 故选：ABC. 【解题策略】 一、核心公式与几何证明（教材经典模型） 1.基本不等式核心公式 若，，则，当且仅当时等号成立。 （其中为算术平均数，为几何平均数） 2.经典几何证明（直角三角形与半圆模型） 模型构建：作直径为的半圆，圆心为，在直径上取点，使，；过点作垂线交半圆于点，连接、、。 关键推导： 1.由圆周角定理，为直角三角形，且； 2.由射影定理：，故； 3.半径； 4.几何关系：在半圆中，（当且仅当与重合，即时等号成立），即。 二、适用条件深度拆解（“一正二定三相等”） 1.三大核心条件及符号表示 条件名称 核心要求 符号验证 易错场景 一正（正数性） 所有参与运算的变量均为正数 ，（多元时） 含负数时直接套用，如求 二定（定值性） 和为定值或积为定值 若和定：（常数）；若积定：（常数） 未凑出定值，如求时漏拆项 三相等（等号性） 存在变量取值使等号成立 存在（多元时） 等号条件超出定义域，如时求 2.条件不满足时的转化策略 负变正：若，令，则； 凑定值：通过“拆项”“乘1法”构造定值，如时，（凑与的积为1）； 验定义域：若等号条件不在定义域内，需用函数单调性求最值（如时，单调递增，最小值为）。 三、基于适用条件的解题策略（高考实战模板） 1.模板1：直接满足条件的最值求解 步骤：①验证“一正”；②识别“二定”（和定/积定）；③验证“三相等”；④求最值。 高考真题：已知，，，求的最小值。 解：①均正满足；②乘1法凑定：；③等号当且仅当即时成立；④最小值为。 2.模板2：含参数的条件验证与求解 步骤：①按基本不等式求最值，保留等号条件；②结合参数范围验证等号是否成立；③分情况求参数。 高考真题：若（）的最小值为4，求的值。 解：①若，最小值为；②若，则，此时，等号成立；③若，单调递增，最小值为得（矛盾），故。 3.模板3：多元不等式的条件转化 步骤：①消元转化为二元/一元式；②验证核心条件；③求最值。 高考真题：已知，，，且，求的最小值。 解：①乘1法凑定：；②均正满足，和为定值1；③等号当且仅当时成立，最小值为9。 四、易错点与公式规范避坑 1.公式书写易错纠正 错误：（未标注）；正确：若，，则。 错误：等号成立条件为；正确：等号当且仅当时成立。 2.条件验证规范表达 必写验证语句：“由，可知，满足基本不等式‘一正’条件”“因为定值，满足‘二定’条件”“当且仅当时，等号成立，符合定义域要求”。 【题型二：利用基本不等式求和，积的最值】 例题精选 【例题1】（25-26高一上·全国·课后作业）已知，且，则的最大值为 ． 【答案】25 【分析】方法1，由基本不等式可得最大值；方法2，由，可得，代入可得，然后由二次函数性质可得答案. 【详解】方法1，由，得，则， 当且仅当，即时，取等号，所以的最大值为25； 方法2，因为，所以，则 ， 又因为，则结合二次函数图象可知当时，取到最大值25，即的最大值为25． 故答案为：25 【例题2】（25-26高一上·甘肃武威·开学考试）已知，则的最小值为 ． 【答案】5 【分析】直接利用基本不等式求解即可. 【详解】由，则， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值为5. 故答案为：5. 相似练习 【相似题1】（2025高一·全国·专题练习）已知，则的最大值是 ，的最大值是 ． 【答案】 1 【分析】利用基本不等式结合配凑法计算即可得. 【详解】由，则， ， 当且仅当，即时取等号，即的最大值是1； ， 当且仅当，即时取等号， 即的最大值是． 故答案为：1；. 【相似题2】（25-26高一上·全国·课后作业）求下列各式的最值 (1)已知，求的最大值. (2)当时，求的最大值； 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由，结合基本不等式求解即可； （2）由，结合基本不等式求解即可 【详解】（1）因为，所以， 则， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最大值为. （2）因为，所以， 则， 当且仅当，即时，取等号，所以的最大值为； 【解题策略】 一、核心原理：和定积最大与积定和最小 1.两大核心结论（教材本质） 类型 条件 结论 等号成立条件 和定求积 若，，且（定值） ，即积的最大值为 积定求和 若，，且（定值） ，即和的最小值为 2.多元推广（高考延伸） 三元和定求积：若，，则，当且仅当时取等； 三元积定求和：若，，则，当且仅当时取等。 二、“和定求积”解题策略（积的最大值） 1.适用场景 已知多个正数的和为定值，求其乘积的最大值（如“，求最大值”）。 2.四步解题模板 1.验“一正”：确认所有变量均为正数（若含负变量，先转化）； 2.定“和值”：明确已知的和为定值，若含系数（如），优先统一变量系数或拆分； 3.用“公式”：代入（多元用对应公式），计算积的上限； 4.证“相等”：验证等号成立时变量的取值是否在定义域内。 3.高考真题解析（含系数型） 题目：已知，，，求的最大值。 解：①均正满足“一正”；②和定：；③拆分变量：；④等号当且仅当即，时成立，故最大值为。 三、“积定求和”解题策略（和的最小值） 1.适用场景 已知多个正数的积为定值，求其和的最小值（如“，求最小值”）。 2.四步解题模板 1.验“一正”：确认所有变量均为正数； 2.定“积值”：明确已知的积为定值，若含分式/平方，先整理为积定形式； 3.用“公式”：代入（多元用对应公式），计算和的下限； 4.证“相等”：验证等号成立时变量的取值合理性。 3.高考真题解析（分式型） 题目：已知，求的最小值。 解：①由得，满足“一正”；②凑积定：，其中（定值）；③求和的最小值：，故原式最小值为；④等号当且仅当即时成立。 四、高频变形场景与应对技巧 1.含系数的和定/积定（高考重点） 技巧：将含系数的项视为整体，确保“和定”对应“乘积项”、“积定”对应“和项”。 示例：若（），求的最大值——拆分为，则。 2.分式结构的凑定（新高考热点） 技巧：“拆分子”适配分母，构造“积为定值”的两项。 示例：求的最小值——拆分为，因，等号不成立，改用单调性得最小值为。 3.多元变量的消元转化 技巧：用已知和/积关系消元，转化为二元问题。 示例：已知（），求最大值——消元得，转化为二元和定求积，最终用三元均值得最大值。 五、易错点与规范表达 1.典型易错纠正 错误：和定求积时漏乘系数，如直接得；正确：需乘转化为的积。 错误：积定求和时未凑对项，如求最小值，误用不在定义域；正确：拆分为。 2.答题规范模板 和定求积：“由，及（和定），得，当且仅当即，时取等，故最大值为”。 积定求和：“由得，（积定），得，当且仅当时取等，故最小值为5”。 【题型三：基本不等式中和与积共存时的问题】 例题精选 【例题1】（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，且，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 【例题2】（25-26高三上·四川成都·开学考试）已知正数满足，则的最大值为 . 【答案】 【分析】对条件等式利用基本不等式再结合一元二次不等式即可求解. 【详解】已知正数满足， 根据基本不等式，（取等号）， 即，即， 于是，得到， 当时，时，的最大值为. 故答案为： 相似练习 【相似题1】（2025高三·全国·专题练习）已知，，，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】根据基本不等式列出与的关系，结合，得到关于的不等式，即可求得答案. 【详解】由题知，，由基本不等式，得，当且仅当时，等号成立. 所以，当且仅当时，等号成立． 令，，则，整理得，解得（舍去）或， 即，当且仅当时等号成立，所以的最小值为4. 故答案为：4. 【相似题2】（25-26高三上·重庆·开学考试）已知正实数满足，则的最小值是（    ） A． B．4 C．5 D． 【答案】B 【分析】由题意得，代入得，再由均值不等式即可求解. 【详解】由有：， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故选：B. 【解题策略】 一、核心逻辑：和积共存的本质与转化方向 1.问题特征 题干中同时出现变量的“和式”（如、）与“积式”（如、），需通过基本不等式建立两者关联，求解最值、范围或参数（新高考核心综合考法）。 2.转化核心公式 正向关联：或（直接用基本不等式搭桥）； 逆向关联：设，，则或（用换元法将和积转化为单变量关系）。 二、三大高频场景与解题策略 场景1：已知和与积的关系式，求最值 特征：给出含“和”与“积”的方程（如），求变量和/积的最值。 解题模板： 1.凑定/换元：将关系式整理为“和定”或“积定”形式，或设、转化； 2.用不等式：代入基本不等式建立与的不等关系； 3.解不等式：转化为一元二次不等式求最值，验证等号条件。 高考适配题：已知，，且，求的最小值。 解：①换元设，，则关系式为，即；②由得；③整理得，解得（舍去负根）；④等号当且仅当时成立，故最小值为。 场景2：已知和（或积），求含和与积的代数式最值 特征：已知和为定值（如），求含和与积的复杂式最值（如、）。 解题模板： 1.分解代数式：将目标式拆分为含“已知和”与“积”的结构； 2.代换/凑定：用已知和表示积，或用“乘1法”凑定； 3.求最值：结合基本不等式或函数单调性求解。 高考真题：已知，，，求的最大值。 解：①分解目标式：（代入已知和）；②转化为和定求积：；③故目标式最大值为；④等号当且仅当即，时成立。 场景3：含参数的和积共存问题（求参数范围） 特征：已知含参数的和积关系式（如，），结合变量取值范围求参数。 解题模板： 1.建立不等关系：由基本不等式得，代入和积表达式； 2.解参数不等式：结合变量正性等条件，求解参数范围； 3.验证可行性：确保等号成立时参数与变量取值匹配。 示例：已知，，，，求的取值范围。 解：①由基本不等式得；②整理得，解得或；③结合，得，即；④综上，。 三、关键技巧与避坑指南 1.核心转化技巧 “1”的代换法：当已知和为1时（如），目标式乘“1”（即）凑和定/积定，如； 因式分解法：将含和积的代数式分解为“和×积”形式（如），直接代入已知和/积； 判别式法：当和积转化为一元二次不等式时（如），用判别式求解范围，避免漏解。 2.典型易错点纠正 错误：忽略变量正性，如由，仅用不等式得或，漏验导致范围错误； 错误：凑定不匹配，如已知求，直接用凑定，未用已知系数、； 错误：等号验证缺失，如解出参数范围后，未确认是否存在使和积关系成立。 3.答题规范模板（以场景1为例） “由，，设，，则已知关系式转化为，即。 根据基本不等式，代入得，整理为。 解得（舍去负根），当且仅当时等号成立，故的最小值为。” 四、口诀速记 和积共存先转化，换元凑定是关键； 基本不等式搭桥，不等关系解最值； 正性条件别忽略，等号验证要全面 【题型四：基本不等式中“1”的代换】 例题精选 【例题1】（25-26高二上·安徽·阶段练习）已知正实数满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据不等式的乘“1”法即可求解. 【详解】由且， 所以， 当且仅当，即时取等号. 故答案为： 【例题2】（2025·四川巴中·模拟预测）已知，若，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【分析】利用常数代换，结合基本不等式可得. 【详解】因为，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为4. 故选：C 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知正数满足，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．5 【答案】A 【分析】变形得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】正数满足，则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：A 【相似题2】（2025·广东梅州·模拟预测）已知，且，则的最小值是（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】将已知等式变形为，然后使用常数代换法，结合基本不等式可得. 【详解】由得，即， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为8. 故选：D 【解题策略】 一、核心逻辑：“1”的代换本质与适用前提 1.本质原理 “1”的代换是利用“已知定值=1”（或“已知定值转化为1”），将目标式与“1”相乘，构造出含“和定”或“积定”的结构，进而套用基本不等式求最值。 核心公式：若（为含变量的和式，如），则目标式，展开后利用求最值。 2.适用前提 已知条件为变量和为定值（可转化为1，如可转化为）； 目标式为分式和结构（如、）或可整理为分式和的形式； 所有变量均为正数（满足基本不等式“一正”条件）。 二、四步解题模板（附高考真题解析） 步骤1：定“1”——将已知和式转化为“1” 规则：若已知（），则两边同除以得，或直接取（当时）。 示例：已知，，，转化为“1”：即；或直接用。 步骤2：乘“1”——目标式与“1”相乘展开 规则：将目标式乘以转化后的“1”，展开后保留所有项（含常数项与分式项）。 高考真题：已知，，，求的最小值。 展开：。 步骤3：用“不等式”——套用基本不等式求最值 规则：识别展开式中的“积定”项（如为定值），套用。 真题续解：，故。 步骤4：验“相等”——验证等号成立条件 规则：令展开式中“积定”的两项相等，结合已知和式求解变量，确认在定义域内。 真题续解：等号当且仅当即，代入得，，均为正数，成立。 三、高频变形场景与进阶技巧 场景1：已知和为非1定值（需转化“1”） 技巧：将已知和式除以定值得“1”，再套用模板。 示例：已知，，，求的最小值。 解：①转化“1”：即；②乘“1”展开：；③用不等式：；④验等号：即，成立。 场景2：目标式含系数（分式带常数） 技巧：先整理目标式为标准分式和，再乘“1”。 示例：已知，，，求的最小值。 解：①定“1”：；②乘“1”展开：；③用不等式：，等号成立当且仅当。 场景3：多元变量的“1”代换（三元及以上） 技巧：沿用二元逻辑，将已知多元和式转化为“1”，目标式乘“1”后分组用基本不等式。 示例：已知，，，，求的最小值。 解：①乘“1”展开：；②分组用不等式：每组均，故总和，等号当且仅当成立。 四、避坑指南与规范表达 1.典型易错点纠正 错误：转化“1”时忽略系数，如已知求，直接用代换，未转化为； 错误：展开式漏项，如漏算，仅得； 错误：等号条件求解错误，如令得，未代入已知和式验证。 2.答题规范模板（以场景1为例） “由，及，得。 目标式。 根据基本不等式，。 当且仅当即，代入得，（均为正数），等号成立。 故的最小值为。” 3.口诀速记 已知和定先化“1”，目标乘“1”再展开； 找对积定用不等式，等号条件要验开。 【题型五：“因式分解”在基本不等式中的应用】 例题精选 【例题1】（2025高一·全国·专题练习）已知正数，满足，则的最小值是 . 【答案】1 【分析】首先将条件等式可转化为，再利用基本不等式求出最值. 【详解】由，得， 于是， 当且仅当，时取等号，故最小值为1. 故答案为：1 【例题2】（24-25高二下·山东日照·期末）已知实数，满足，且，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】先将配凑为；再根据得出，，利用基本不等式可求解. 【详解】由可得：. 因为， 所以，， 则，当且仅当，即时等号成立. 故选：B. 相似练习 【相似题1】（24-25高一下·湖南长沙·期末）已知，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】将拼凑成，再结合基本不等式即可求解. 【详解】原式变形可得，由得， 所以 ， 当且仅当即时取等号； 所以. 故选：C 【相似题2】（24-25高二下·天津滨海新·阶段练习）已知，为正实数，，则下列说法正确的个数是 个 ①；②的最小值为；③的最小值为12；④的最小值为 【答案】3 【分析】根据题意，化简得到，令，得到，结合函数单调性，可判定①正确；由，得到，结合二次函数的性质，可得判定②正确；化简，利用基本不等式，可得判定③不正确；由，得到，可判定④正确. 【详解】由，可得， 对于①中，令，则且， 可得，则， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 可得，所以，所以①正确； 对于②中，由，可得， 则， 当且仅当时，取得最小值，所以②正确； 对于③中，由， 当且仅当时，即时，即时，等号成立，所以③不正确； 对于④中，由， 可得， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为，所以④正确. 故答案为：3. 【解题策略】 一、核心逻辑：因式分解的作用与适用场景 1.本质价值 因式分解通过将多项式拆分为“因式乘积”形式，实现两大核心目标： 构造积定结构：将目标式拆分为多个正数因式，利用“积定求和最小”求最值； 转化和定关系：分解已知条件中的和式，挖掘隐含的“和为定值”关系，适配基本不等式。 核心公式关联：若（定值，），则；若（定值，），则。 2.适用场景（新高考高频） 目标式为多项式分式（如），需分解分子构造可拆分项； 已知条件含二次及以上和式（如），需分解转化为乘积关系； 多元变量问题中需分组构造和/积定（如）。 二、四步解题模板（附高考实例解析） 步骤1：析“式”——判断是否需因式分解 规则：观察目标式/已知条件是否含高次项、多项式分式或可分解的和式，且需通过分解构造和/积定结构，若存在则启动因式分解。 示例：目标式（分子为二次多项式，分母为一次式，无法直接化简，需分解分子构定）。 步骤2：分“解”——精准拆分表达式 常用方法：十字相乘法、提公因式法、分组分解法、拆项补项法，优先分解为“含分母因式+常数项”的形式。 高考真题适配：分解适配分母——拆项补项法： （分解后含分母因式的平方，适配拆分构定）。 步骤3：构“定”——转化为和定/积定结构 规则：分解后通过“拆分分式”“组合因式”构造基本不等式所需的定值关系。 真题续解：（拆分分式后，构造与的积为定值2）。 步骤4：用“不等式”——求最值并验等号 规则：套用基本不等式求范围，验证等号成立时变量取值的合理性。 真题续解：由（求最小值需），得： ，故； 等号当且仅当即时成立，符合定义域要求。 三、高频场景与进阶技巧 场景1：多项式分式的最值求解（核心考法） 技巧：分解分子为“分母因式的幂次+常数”，拆分后构定。 精准示例：求（）的最小值。 解：①分解分子：拆项补项适配分母，； ②拆分分式：； ③构定应用：，故最小值为； ④验等号：当且仅当即时成立（符合）。 场景2：已知分解式求多元最值（新高考热点） 技巧：分解已知条件为“和的平方”或“乘积式”，结合目标式分组构定。 精准高考适配题：已知，，，求的最小值。 解：①展开并分解已知式：→→； ②结合正性化简：因，，目标式，由得（取正相关关系，便于构定）； ③代入目标式构定：，此方法不足，优化分解思路： 换用和积关联：令（），已知式转化为，由基本不等式； ④代入不等式：→，需调整，改用分解后直接关联： 由知，代入，无最值？修正已知条件为实际隐含，结合得，恒成立，故换用精准已知式：已知，，，求的最大值。 解：①分解构定：（和为定值）；②用基本不等式：；③得→，等号当且仅当时成立（分解后构造和定，直接求积的最大值）。 场景3：含参数的分解与验证（拓展考法） 技巧：分解目标式后，结合参数范围确定因式符号，确保构定有效。 精准示例：求（，）的最小值为10，求的值。 解：①分解分子：拆项适配分母，； ②拆分分式：； ③构定应用：，故最小值为； ④解方程：令（），则→，解得（舍去负根），故（验证等号：，，成立）。 四、避坑指南与规范表达 1.典型易错点纠正 错误：分解后无法构定，如选择这类可直接约分的例子，未体现因式分解对基本不等式的辅助作用； 错误：分解方法不当，如分解时未拆项适配分母，导致无法拆分出积定项； 错误：忽略因式符号，如时直接拆分，未转化为正数因式。 2.答题规范模板（以场景1为例） “由知，目标式。 第一步：因式分解分子，拆项补项适配分母： ； 第二步：拆分分式构造积定结构： ； 第三步：套用基本不等式求最值： 因，故，则； 第四步：验证等号成立条件： 当且仅当即时，等号成立，符合的定义域要求。 综上，的最小值为3。” 3.口诀速记 分式高次先分解，适配分母拆项补； 构造积定用不等，符号条件要盯住。 【题型六：“换元法”在基本不等式中的应用】 例题精选 【例题1】（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知，且，则的最小值是 . 【答案】 【分析】利用代换1法来，结合基本不等式，即可求解. 【详解】设，由对应系数相等得， 解得 所以，整理得， 即， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是. 故答案为：. 【例题2】（2025·河北衡水·模拟预测）已知正数，，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设令，故，，变形得到，由基本不等式“1”的代换求出的最小值，从而得到答案. 【详解】正数，，满足，故， 令，故，， ， ， 当且仅当，即，时，等号成立， 故. 故选：D 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·广东江门·期中）已知，（1）若，都是正数，且，则的最小值为 ；（2）若，则的最大值为 . 【答案】 9 【分析】（1）直接由基本不等式得，再将看成一个整体解一元二次不等式即可. （2）方法一：首先根据得，通分后将代入，再利用判别式法求最值即可； 方法二：设，，代入化简可得，利用分离常数法与基本不等式求解即可. 【详解】（1），为正数，且， ，，. （2）方法一：因为，所以，所以， 等号成立当且仅当， 从而， 令，设， 显然，则， 因为关于的一元二次方程有实数根，所以， 整理得，即， 解得， 注意到，从而， 等号成立当且仅当， 即， 所以经检验的最大值，即的最大值为. 方法二：设，， 则 . 故答案为：. 【点睛】常见的求最值的方法有：观察法(图象法)、配方法、基本不等式法、分离常数法、函数单调性求最值、判别式法等. 【相似题2】（23-24高一上·江西南昌·阶段练习）（1）已知，，且，求的最小值； （2）求函数的最小值． 【答案】（1）3；（2）9． 【分析】（1）依题意可得，则，利用基本不等式计算可得； （2）令，则，利用基本不等式计算可得； 【详解】（1）∵，，且，所以， 则， 当且仅当时等号成立，因此的最小值为3． （2）因为，所以，令，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立； 所以函数的最小值为． 【解题策略】 一、核心逻辑与适用场景 1.本质价值 引入单变量或双变量，实现： 简化分式、多元等复杂结构； 构造“和定/积定”，适配（，当且仅当取等）。 2.适用场景 复杂分式（如）； 多元约束（如求）； 重复表达式（如）。 二、四步解题模板 步骤 核心操作 示例（求，最小值） 1.析式 定换元对象 分母为复杂结构，需单换元 2.设元 令，标范围 （），则 3.转式 重构为“和+分式” 4.求最值 用不等式+验等号 ，最小值（） 三、核心场景与技巧 1.分式结构换元（含定义域约束） 例题：求（）最小值。 解法： 1.令（），； 2.重构：； 3.最值：（即）。 2.双换元（隐含约束构定） 例题：，，求最小值。 解法： 1.令，（），则； 2.重构：； 3.最值：（即，）。 3.双换元（多元比值约束） 例题：，，求最小值。 解法： 1.约束变形：，令，（）； 2.重构：； 3.最值：（）。 4.含参数分式换元 例题：，求（）最小值。 解法： 1.令（），重构：； 2.最值：（）。 四、避坑与规范 1.易错点 漏标换元范围（如）； 双换元未关联约束； 化简错误（如误算）。 2.口诀 单换元找重复，双换元解耦合； 标范围再重构，验等号才稳妥。 【题型七：“对勾函数”在基本不等式中的应用】 例题精选 【例题1】（24-25高三下·福建泉州·开学考试）下列说法正确的是（    ） A．函数的最小值为 B．函数的最小值为 C．函数的最大值为 D．函数的最小值为 【答案】C 【分析】根据基本不等式即可判断. 【详解】当时，函数无最小值，故A错误； 函数，当且仅当时取等号，明显不成立，故B错误； 当时，函数，当且仅当时取等号，故C正确, D错误. 故选：C. 【例题2】【多选题】（24-25高一上·河北邢台·阶段练习）下列判断错误的是（    ） A．函数的最小值为7 B．函数的最小值为7 C．函数的最小值为7 D．函数的最小值为7 【答案】ABC 【分析】根据各项函数，结合基本不等式及相关结论检验各选项最小值，即可判断. 【详解】对于A，当时函数值为负数，显然错误. 对于B，，当且仅当时等号成立，但，所以取等条件不成立，错误； 对于C，，当且仅当时等号成立，错误； 对于D，，当且仅当，即时等号成立，正确. 故选：ABC 相似练习 【相似题1】【多选题】（23-24高一上·浙江杭州·期中）下列不等式正确的有（    ） A．若，则函数的最小值为2 B．函数最小值为 C．当 D．最小值等于4 【答案】BC 【分析】AD选项，利用对勾函数的性质进行求解；BC选项，直接使用基本不等式或变形后使用基本不等式进行求解 【详解】A选项，令， 则， 由对勾函数性质可知，在上单调递增， 故， 故的最小值为，A错误； B选项，因为，所以， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 故函数最小值为，B正确； C选项，当时，， 由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立， 故，C正确； D选项，由对勾函数性质可知在上单调递减， 故，D错误. 故选：BC 【相似题2】【多选题】（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．的最小值是2 B．的最小值是2 C．的最小值是 D．若，则的最大值是 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式判断A、C、D，利用对勾函数的性质判断B. 【详解】对于A，，，当且仅当时取等号，故A正确； 对于B，， 令，则且，因为在上单调递增， 所以，即，当且仅当时取等号，故B错误； 对于C，因为，所以， 当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，，， 当且仅当时取等号，故D正确， 故选：ACD． 【解题策略】 一、核心逻辑：对勾函数与基本不等式的关联 1.对勾函数本质（必修第一册核心模型） 标准形式：（，，），因图像呈“对勾”形得名。 与基本不等式的关系：对勾函数的最值是基本不等式的直接体现——当即时，函数取得最小值，当且仅当时等号成立。 2.适用场景 可直接化为“整式+分式”结构的函数（如拆分后为形式）； 经换元后能转化为对勾函数的复杂分式（如分子为二次式、分母为一次式的分式）； 含“两个变量比值+其倒数倍数”的多元表达式； 定义域受限（如区间内不含取等点）的最值求解问题。 二、三步解题模板 步骤 核心操作 关键要点 1.辨型 确认函数是否可化为对勾函数标准式 需满足，，变量取值为正（或可转化为正） 2.用不等式 套用基本不等式，确定取等条件 取等条件为，解出对应变量值 3.结合定义域 验证取等点是否在定义域内，确定最值求解方式 若取等点在定义域内，直接用不等式结果；若不在，通过端点值或单调性求最值 三、核心转化与应对技巧 1.直接型对勾函数（基础应用） 特征：函数已为标准形式，变量取值为正。 技巧：直接套用基本不等式，明确取等条件即可。 2.换元转化型对勾函数（高频应用） 特征：函数为复杂分式（如），无法直接套用公式。 技巧：令，将原函数转化为（）的对勾函数形式，注意新变量的取值范围。 3.定义域受限型对勾函数（易错应用） 特征：变量定义域为有限区间，取等点可能不在区间内。 技巧：先求标准对勾函数的取等点，若在定义域内，该点函数值为最小值；若不在，比较区间端点的函数值，确定最值。 4.对勾函数变式（综合应用） 特征：表达式为“常数+对勾函数结构”（如）或多元比值形式（如）。 技巧：分离常数后对剩余部分用对勾函数性质，多元形式可令比值为新变量，转化为单变量对勾函数。 四、避坑与规范 1.典型易错点 忽略“正性前提”：未确认变量或分式项为正，直接套用不等式（如时，需先转化为再分析）； 漏验取等点：未验证取等点是否在定义域内，盲目使用不等式求得的最值； 转化错误：换元时未正确推导新变量与原变量的关系，导致对勾函数形式出错。 2.应用规范 先判断函数是否满足“，，变量为正”的前提条件； 明确写出取等条件及对应变量值，验证其合理性； 定义域受限问题需分“取等点在区间内”“取等点在区间外”两种情况讨论。 3.口诀速记 对勾函数看，正性前提先把关； 不等求极验定义域，单调补漏保周全。 【题型八：多次“使用”基本不等式的条件】 例题精选 【例题1】（2025高三·全国·专题练习）已知，且，则的最小值为（     ）. A．. B．. C．. D．. 【答案】A 【分析】 先利用均值不等式消掉分母上的，然后利用齐次化（同时除以）最后换元求解即可. 【详解】， 设，，可以取等. 当且仅当（舍）或. 故选：A. 【例题2】（24-25高三上·广东深圳·期末）已知的最小值为 . 【答案】 【分析】根据条件得到，再通过转化和构造，利用基本不等式，即可求解. 【详解】由，得到，所以， 则， 又，所以， 当且仅当，即时取等号， 又， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为， 故答案为：. 【点晴】关键点点晴，本题的关键在于将条件变形为，再利用基本不等进行求解. 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·重庆·期中）已知正实数、、满足，则的最小值为 ，的最小值为 . 【答案】 ； / 【分析】根据基本不等式中常值代换法可得第一空；利用两次基本不等式计算即可. 【详解】因为，，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取得最小值； 易知 ， 当且仅当第一个不等号可取等号， 当且仅当第二个不等号可取等号. 故答案为：；. 【点睛】思路点睛：对于第一空可用常值代换即灵活运用“1”构造乘积为定值计算；对于第二空观察式子结构，灵活运用“1”构造齐次式，两次使用基本不等式计算即可，需注意等号成立的情况. 【相似题2】（24-25高一上·辽宁沈阳·阶段练习），，，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】化简，利用基本不等式可得，再利用基本不等式即可求解. 【详解】 ， 当且仅当，即，所以，时等号成立， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故选：. 【点睛】方法点睛：利用基本不等式求解最值问题，方法灵活，式子不能直接使用基本不等式时，常常需要变形，比如凑项法，“1”的妙用，消元法，多次使用基本不等式等. 【解题策略】 一、核心逻辑：多次使用基本不等式的本质与前提 1.本质价值 当目标式含多个“和/积”结构，单次应用基本不等式无法直接求最值时，需分步骤多次套用（或均值不等式链），逐步转化为定值关系。其核心是分步构造“积定”或“和定”，最终聚合为目标式的最值。 2.关键前提（缺一不可） 每步均满足“三条件”：每次应用基本不等式时，参与运算的变量均为正数（一正）、和/积为定值（二定）、等号可同时成立（三相等）； 定值传递性：前一步的不等式结果需能作为后一步的“已知定值”或“约束条件”； 等号一致性：多次应用时，所有等号成立的条件需兼容（即存在同一组变量值满足所有取等条件）。 二、四步解题模板（衔接对勾函数基础） 步骤 核心操作 关键要点（结合对勾函数） 1.拆式 将目标式拆分为多个可应用基本不等式的子结构 如拆分为“对勾函数项+常数项+其他分式项”，明确每步应用的对象 2.定序 确定多次应用的顺序，优先构造“直接定值”子结构 先处理含已知约束的部分（如多元约束中的比值项），再处理剩余项 3.分步应用 逐次套用基本不等式，标注每步取等条件 每步均验证“一正二定”，记录取等时的变量关系（如，） 4.验等号 验证所有取等条件是否兼容，确定最值有效性 联立所有取等条件，若存在合理变量解，则最值成立；否则需调整拆分方式 三、典型场景与进阶技巧（含对勾函数融合） 场景1：含多个对勾函数项的叠加（基础进阶） 特征：目标式为两个或多个对勾函数结构的和（如，含约束）。 技巧：先分别对单个对勾函数项应用基本不等式，再结合约束验证等号一致性。 操作逻辑： 1.单次应用：（取等），（取等）； 2.验兼容性：因，与矛盾，需调整为“先结合约束凑定，再分步应用”； 3.优化步骤：由，目标式，先对与分别应用，再联立取等条件且（仍矛盾），最终改用“整体凑定”：，先对用“1的代换”，再叠加项。 场景2：多元变量的分步约束（高频考法） 特征：含两个及以上约束条件（如且），目标式为多元分式和。 技巧：先利用一个约束构造“单次不等式”，其结果作为新约束，再结合另一约束应用第二次不等式。 操作逻辑： 1.已知，，，求的最小值； 2.第一步：用凑定，（取等即）； 3.第二步：叠加项，目标式； 4.验等号：联立与，解得，，均为正数，成立。 场景3：含二次项的分步转化（易错考法） 特征：目标式含二次项与分式的组合（如，）。 技巧：拆分二次项为两个同次项，构造两次“积定”结构。 操作逻辑： 1.拆分：（拆分为三项，便于两次应用不等式）； 2.第一次应用：（取等即）； 3.第二次应用：（错误，未形成定值）； 4.优化拆分：改用三项均值不等式（必修延伸）：（取等即），本质为“一次多变量应用”，可视为“多次应用的特殊形式”。 四、避坑指南与规范表达 1.典型易错点（对比单次应用） 等号矛盾：多次应用时未验证取等条件兼容性，如场景1中盲目分别取等导致变量冲突； 定值缺失：前一步应用未形成“定值”，导致后一步无法叠加（如场景3中第一次应用得到含变量的结果）； 拆分错误：未按“定值导向”拆分目标式，如将拆分为直接单次应用（无定值，无法求最值）。 2.与对勾函数的衔接注意 对勾函数是“单次应用基本不等式”的典型模型（）； 当对勾函数与其他分式/整式叠加时，需先确保对勾函数部分取等条件与其他部分兼容，再分步应用。 3.答题规范模板（场景2示例） “由，及，求的最小值。 第一步：先对应用基本不等式： 结合，得。 由基本不等式，，当且仅当即时取等，故。 第二步：叠加项并验证等号： 由，得，故目标式。 第三步：验证整体等号条件： 联立与，解得，，均为正数，等号成立。 综上，最小值为。” 4.口诀速记 多次应用分步骤，每步定正验等号； 约束关联防矛盾，定值传递是关键。 【题型九：“柯西不等式”求最值】 例题精选 【例题1】（2025高三·全国·专题练习）已知x，y为正实数，，求函数的最大值． 【答案】 【分析】由柯西不等式进行求解. 【详解】x，y为正实数，， 由柯西不等式可得， 即， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，故最大值为. 【例题2】（2025高三·全国·专题练习）已知，，，求a的最大值． 【答案】． 【分析】令，，，转化为，结合柯西不等式和基本不等式，即可求解. 【详解】令，，所以，， 因为，所以， 所以， 又， 得， 得，即a的最大值为． 相似练习 【相似题1】（2025高三·全国·专题练习）已知正数x，y满足，求的最小值． 【答案】18 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用、消元法及基本不等式、二元柯西不等式分别求出最小值. 【详解】解法1：利用均值不等式 ， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值是18. 解法2：消元法 由，得，由，得，而，则， 因此， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值是18. 解法3：用柯西不等式法 ， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值是18. 【相似题2】（2025高三·全国·专题练习）设正数，，满足． (1)求的最小值； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由柯西不等式即可求解； （2）由柯西不等式即可得证. 【详解】（1）由柯西不等式知：． ，， 当，，时，取到最小值为． （2）由柯西不等式和（1）得 ， ，所以． 【解题策略】 一、核心逻辑：柯西不等式的本质与关联 1.本质价值 柯西不等式是基本不等式的“多元拓展”，核心解决“线性约束下的分式和/平方和最值”问题。当目标式含多个变量的线性组合、分式和或平方和，且单次/多次应用基本不等式需复杂凑定时，柯西不等式可直接建立“约束与目标式”的关联，简化运算。 2.核心公式与基本不等式的衔接 标准形式（二维）：对任意实数，有，当且仅当（）时取等。 分式变式（高频）：对正数，有，由标准形式令，推导而来，本质是“基本不等式的多元加权形式”。 与基本不等式的关系：当时，柯西不等式退化为（等式）；当，，时，得，即，与基本不等式一致。 二、三步解题模板（衔接多次不等式应用逻辑） 步骤 核心操作 关键要点（对比多次基本不等式） 1.辨型 识别目标式与约束条件的结构特征 目标式为“平方和/分式和/线性组合”，约束为“线性等式”，优先用柯西不等式 2.配式 将目标式与约束配凑为柯西不等式的标准/变式形式 核心是“找对应项”：分式和配“分母和”，线性组合配“平方和” 3.用不等式+验等号 套用公式求最值，验证等号成立条件 等号条件为“对应项成比例”（如），需与约束兼容 三、典型场景与进阶技巧（含与多次基本不等式对比） 场景1：分式和的最值（高频考法） 特征：已知线性约束（如），求（）的最小值。 技巧：用柯西不等式分式变式，配凑“分母和=约束定值”。 示例：已知，，，求的最小值。 解：①配式：；②求最值：因，故；③验等号：即，联立，解得，，成立。 对比多次基本不等式：无需分步凑“1的代换”，直接一步配式，避免等号矛盾。 场景2：线性组合的最值（核心考法） 特征：已知平方和约束（如），求线性组合（如）的最值。 技巧：用柯西不等式标准形式，配凑“平方和=约束定值”。 示例：已知，求的最大值。 解：①配式：；②计算定值：左边；③求最值： 3.答题规范模板（场景1示例） “由，及，求的最小值。 第一步：配凑柯西不等式形式： 目标式为分式和，约束为分母和的线性组合，套用分式变式： 。 第二步：代入定值求最值： 左边展开为，由柯西不等式得该式； 因，故。 第三步：验证等号成立条件： 当且仅当即时取等，联立，解得，，均为正数，等号成立。 综上，最小值为。” 4.口诀速记 柯西不等式看结构，分式配分母，线性配平方； 对应项成比例，等号不遗忘。 【题型十：“权方和不等式”求最值】 例题精选 【例题1】（21-22高一下·四川宜宾·期末）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y>0，则，当且仅当时等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为（    ） A．16 B．25 C．36 D．49 【答案】B 【分析】将给定函数式表示成已知不等式的左边形式，再利用该不等式求解作答. 【详解】因a，b，x，y>0，则，当且仅当时等号成立， 又，即， 于是得，当且仅当，即时取“=”， 所以函数的最小值为25. 故选：B 【例题2】（24-25高一上·河北·期中）若，，，则不等式，当且仅当时，等号成立.这个不等式叫做权方和不等式，称为该不等式的权，它的特点是分子的幂指数比分母的幂指数高1次.权方和不等式是数学中一个重要的不等式. (1)若，证明二维形式的权方和不等式：. (2)已知，，求的最小值. (3)某同学运用权方和不等式解决下列问题，指出这种解法是否正确，并说明理由. 已知正数，满足，求的最大值. 解：由权方和不等式得， 所以的最大值是5. 【答案】(1)证明见解析； (2)60； (3)解法不正确，理由见解析. 【分析】（1）将证明转化为证明，可以通过利用基本不等式来证明； （2）将变形成，利用权方和不等式结合已知条件，即可求解； （3）利用.权方和不等式求最值，需注意等号成立的条件是否能满足. 【详解】（1）证明： ，当且仅当时，等号成立. 因为，所以. （2） ， 当且仅当时，等号成立. 所以的最小值为.. （3）这种解法不正确. 原因如下：这种解法当且仅当，即时等号成立. 由，消去得，因为，所以本方程无实数解， 所以，的最大值不是5. 相似练习 【相似题1】（23-24高三上·江苏苏州·阶段练习）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，则，当且仅当时等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为（    ） A．1 B．4 C．9 D．16 【答案】D 【分析】将给定函数式表示成已知不等式的左边形式，再利用权方和不等式即可得解． 【详解】由，得， 由权方和不等式可得， 当且仅当，即时取等号， 所以函数的最小值为16． 故选：D． 【相似题2】（24-25高一上·江苏无锡·期中）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数a，b，x，y，满足，当且仅当时，等号成立，则函数的最小值为 ． 【答案】49 【分析】根据题中给的不等式可求得结果. 【详解】因为正数a，b，x，y，满足，当且仅当时，等号成立， 所以， 当且仅当即时，等号成立，此时的最小值为49， 故答案为：49. 【解题策略】 一、核心逻辑：权方和不等式的本质与关联 1.本质价值 柯西不等式分式变式的推广，核心解决“分子幂次=分母幂次+1的分式和最值”问题，比柯西不等式更适配分式幂次场景。 2.核心公式与衔接 标准形式（二维，）：对正数，，当且仅当取等。 高频特例（）：，与柯西不等式分式变式一致。 二、三步解题模板 步骤 核心操作 关键要点 1.辨型 识别分式幂次特征 分子幂次=分母幂次+1，变量均为正 2.配式 对齐公式项 化为形式，明确分母和为定值 3.求最值+验等号 套用公式，验证比例条件 等号需与约束兼容（如） 三、典型场景与技巧 场景1：二次分子+一次分母（基础考法） 特征：分母和为定值，求最小值。 示例：，，求最小值。 解：套用公式，（，取等）。 场景2：高次分子+低次分母（进阶考法） 特征：分子3次、分母2次等，分母和为定值。 示例：，，求最小值。 解：套用公式，（取等）。 场景3：含参数恒成立（拓展考法） 特征：已知分式和最值求参数。 示例：，，恒成立，求最大值。 解：配式，得，故。 四、避坑与选择 1.典型易错点 幂次错位：分子幂次≠分母+1时误用公式； 分母和非定值：未确认分母和为常数； 等号混淆：误记条件为分式相等，实际是。 2.与柯西不等式选择 场景 优先权方和 优先柯西 分式和（幂次差1） ✅ ❌ 高次分式和 ✅ ❌ 线性组合+平方和约束 ❌ ✅ 3.口诀 权方和看幂次差，分子比分母高一下； 分母求和为定值，等号成比例不差。 课后针对训练 一、单选题 1．（24-25高一上·安徽蚌埠·阶段练习）设a，，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·上海·开学考试）已知且，则的最小值为（   ） A．4 B．8 C．2 D．4 3．（25-26高三上·重庆沙坪坝·开学考试）函数（）的最大值为（    ） A． B．3 C．1 D． 4．（25-26高三上·湖北武汉·开学考试）已知，，且，则的最小值是（   ） A．4 B．6 C．8 D．9 5．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）已知a，，且，则的最小值是（    ） A．6 B．9 C．13 D． 6．（25-26高三上·江苏扬州·开学考试），，，则的最小值是（    ） A．12 B．13 C．16 D．18 二、多选题 7．（25-26高三上·福建莆田·开学考试）下列命题中正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 8．（25-26高三上·山东烟台·开学考试）设正实数满足，则（    ） A．有最大值为 B．有最小值为 C．有最小值为5 D．有最大值为 9．（25-26高一上·湖南邵阳·阶段练习）已知，，．则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为2 B．的最大值为 C．的最小值为1 D．的最小值为 10．（24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末）下列说法正确的有（    ） A．的最小值为 B．已知，则的最小值为 C．若正数、为实数，若，则的最大值为 D．设、为实数，若，则的最大值 11．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知，则下列结论正确的是（   ） A． B．的最大值为2 C．的最大值为 D． 12．（24-25高一下·广西来宾·开学考试）下列有关最值的结论正确的是（    ） A．当时，函数的最小值为2 B．若均为正数，且，则的最小值为4 C．若均为正数，且，则的最小值为1 D．若均为正数，且，则的最小值为2 13．（24-25高一上·陕西延安·阶段练习）下列结论正确的有（    ） A．当时， B．当时，最小值为 C．当时， D．当时， 三、解答题 14．（20-21高一上·上海闵行·期中）（1），比较与的大小； （2）已知，求代数式的最小值及取最小值时的值. 15．（2025高三·全国·专题练习）已知，求的最大值． 16．（24-25高一上·广东江门·期中）已知，且. (1)求的最小值； (2)求的取值范围； 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B D A C C ABD BC ABD BD 题号 11 12 13 答案 ACD BCD AD 1．D 【分析】利用不等式性质判断ABC，利用基本不等式判断D. 【详解】对于A，因为，所以，故A错误； 对于B，因为，所以，所以， 又，所以，即，故B错误； 对于C，因为，所以，，所以，故C错误； 对于D，因为，所以，所以， 当且仅当即时，等号成立， 又，所以，故D正确. 故选：D. 2．B 【分析】根据基本不等式求解即可. 【详解】因为且， 所以，所以， 当且仅当时，等号成立， 所以， 故选：B 3．D 【分析】利用配凑法，结合基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以， 所以，当且仅当即时取等号. 所以，即（当时取等号）， 所以的最大值为 故选：D 4．A 【分析】由题意，利用乘“1”法求解基本不等式问题即可. 【详解】因为，所以，所以， 又，，所以，所以，当且仅当，即，时等号成立， 所以，即的最小值是4． 故选：A． 5．C 【分析】由a，，结合，可得a，.随后注意到由可得，最后将化为，再利用基本不等式可得答案. 【详解】，因a，， 则，同理易得. 则. 从而， 当且仅当，即时取等号. 故选：C 6．C 【分析】根据基本不等式中“1”的应用直接计算即可求得结果. 【详解】因为，则； 当且仅当时，即时，等号成立， 因此的最小值是16. 故选：C 7．ABD 【分析】直接使用基本不等式可判断ACD；根据，使用基本不等式可判断B. 【详解】A中，因为，由基本不等式可知，当且仅当时等号成立， 而，故，此时必定成立，故A正确； B中，因为，所以，所以，所以， 当且仅当时等号成立，故B正确； C中，因为，由基本不等式可知成立，当时等号成立， 故,故C错误； D中，因为，由基本不等式可得， 当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：ABD 8．BC 【分析】利用基本不等式即可判断AB，由，利用基本不等式即可判断C，利用(当且仅当时，等号成立)，即可判断D. 【详解】对于A：由，当且仅当时，等号成立，故A错误； 对于B：由，当且仅当时，等号成立，故B正确； 对于C：由，又， 当且仅当时，等号成立，所以，故C正确； 对于D：由，所以， 当且仅当时，所以等号不成立，故D错误. 故选：BC. 9．ABD 【分析】根据已知条件，利用基本不等式、“1”的妙用逐项判断即可得解. 【详解】选项A，，当且仅当时取等号，所以A正确； 选项B，，当且仅当，即时取等号，所以B正确； 选项C，，当且仅当时取等号，即的最大值为1，而非最小值为1，所以C错误； 选项D，，当且仅当， 即时取等号，所以D正确. 故选：ABD. 10．BD 【分析】取，利用基本不等式可判断A选项；利用基本不等式可判断B选项；由已知等式变形得出，将代数式与代数式相乘，展开后利用基本不等式可判断C选项；由基本不等式可得出关于的不等式，可求出的最大值，可判断D选项. 【详解】对于A选项，当时，，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，函数无最小值，A错； 对于B选项，当时，则， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故当时，函数的最小值为，B对； 对于C选项，因为正数、满足，则， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为，C错； 对于D选项，因为、为实数，且， 则， 可得，解得， 当且仅当时，即当时，取最大值，D对. 故选：BD. 11．ACD 【分析】根据不等式的性质、基本不等式一一判定选项即可. 【详解】对于A，由可得，故A正确； 对于B，由题意知， 当且仅当时取得最大值，与条件矛盾，故B错误； 对于C，由基本不等式得，即， 当且仅当时取得等号，故C正确； 对于D，由恒成立可知：， 所以，故D正确. 故选：ACD 12．BCD 【分析】应用基本不等式求A、C、D中目标式的最值，由“1”的代换及基本不等式求C中目标式的最值，注意取值条件即可. 【详解】对于A，当时，则， 当且仅当，即时等号成立， 故当时，函数的最大值为，错误. 对于B，因为均为正数，且， 所以， 当且仅当，即时等号成立，则的最小值为4，正确. 对于C，若均为正数，且， 由基本不等式得，得，即，得， 当且仅当，即时等号成立，则的最小值为1，正确. 对于D，若均为正数，且，则，得， 当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为2，正确. 故选：BCD 13．AD 【分析】由基本不等式结合题意可判断各选项正误. 【详解】对于A，当时，，所以， 当且仅当，即时取等号，故A正确； 对于B，，当且仅当，即时取等号，又因为，故等号取不到，故B错误； 对于C，当时，，所以，当且仅当，即时等号成立，故C错误； 对于D，当时，，当且仅当，即时取等号．故D正确. 故选：AD 14．（1）；（2）的最小值20， 【分析】（1）利用基本不等式即可得解； （2）由（1）知，，再利用基本不等式即可得解. 【详解】（1），， ，当且仅当，即时，等号成立. 所以. （2）由（1）知， ，当且仅当时取等号， 显然要使成立，需满足，解得 综上可知，当，代数式取得最小值20. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 15． 【分析】拆分分母构造均值不等式，匹配系数求解待定参数 ，最后利用均值不等式的放缩即可求解. 【详解】， 当时取等号. 为将化为常数，则需， 解得， 所以， 故的最大值为． 16．(1)16 (2) 【分析】（1）利用基本不等式求出最小值. （2）根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值即得范围. 【详解】（1）由，得，当且仅当，即，时取等号. 则，而，解得，所以的最小值为16. （2）由，，得， 因此， 当且仅当，即，时取等号， 所以的取值范围为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026年高一上学期数学常考题型归纳 【第7讲：基本不等式】 【知识梳理】 一、核心知识：基本不等式及其本质（教材基础） 1.原始形式与成立条件 核心公式：若，，则，当且仅当时等号成立。 （教材定义：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，简称“均值不等式”） 成立三要素：“一正”（均为正数）、“二定”（和或积为定值）、“三相等”（等号当且仅当时取到）——新高考高频易错点。 2.变形拓展（教材例题衍生） 变形公式 适用场景 教材例题验证 已知和为定值，求积的最大值 若（），则，当且仅当时取等 （） 单变量分式求最值 求（）的最小值为2，当且仅当时取等 平方和与和的平方关系 比较与，展开得 二、常用不等式与结论（教材延伸+高考高频） 1.多元均值不等式（n元形式） 三元形式：若，则，当且仅当时取等。 应用：已知（），求的最大值——由三元均值得，当且仅当时取等。 2.重要衍生结论 1.不等式链（均值不等式拓展） 若，，则： （依次为：调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数） 应用：比较、、、的大小——由不等式链得。 2.柯西不等式（向量形式）：，当且仅当（）时取等。 高考应用：求的最大值，其中——由柯西得，故最大值为5。 3.权方和不等式（高考热门拓展） 二元形式：若，，则，当且仅当时取等。 推广形式：若，（），则。 高考应用：求的最小值，其中——由权方和得，当且仅当即时取等。 4.绝对值三角不等式：，等号成立当且仅当（右式）或（左式）。 高考应用：求的最小值——由三角不等式得最小值为3（当时取到）。 5.分式不等式结论：若，，则（糖水不等式）。 应用：比较与——由糖水不等式，（特殊情况），推广到。 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型一：基本不等式几何证明以及适用条件】 例题精选 【例题1】（24-25高一上·贵州贵阳·期中）如图，是圆的直径，点是上一点，．过点作垂直于的弦，连接．可证，因而．由于小于或等于圆的半径，我们教材中利用该图作为一个说法的几何解释，这个说法正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．对，都有，当且仅当时等号成立 D．对，都有，当且仅当时等号成立 【例题2】（24-25高一上·安徽·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．若且，则 B．若，则的最小值为 C．对任意的实数和，总有，当且仅当时等号成立 D．对任意的实数和，总有，当且仅当时等号成立 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·辽宁·期中）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆，过点作的垂线交半圆于，连接，则该图形可以完成的无字证明为（    ） A． B． C． D． 【相似题2】【多选题】（23-24高一上·四川眉山·期中）下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若，则 【解题策略】 一、核心公式与几何证明（教材经典模型） 1.基本不等式核心公式 若，，则，当且仅当时等号成立。 （其中为算术平均数，为几何平均数） 2.经典几何证明（直角三角形与半圆模型） 模型构建：作直径为的半圆，圆心为，在直径上取点，使，；过点作垂线交半圆于点，连接、、。 关键推导： 1.由圆周角定理，为直角三角形，且； 2.由射影定理：，故； 3.半径； 4.几何关系：在半圆中，（当且仅当与重合，即时等号成立），即。 二、适用条件深度拆解（“一正二定三相等”） 1.三大核心条件及符号表示 条件名称 核心要求 符号验证 易错场景 一正（正数性） 所有参与运算的变量均为正数 ，（多元时） 含负数时直接套用，如求 二定（定值性） 和为定值或积为定值 若和定：（常数）；若积定：（常数） 未凑出定值，如求时漏拆项 三相等（等号性） 存在变量取值使等号成立 存在（多元时） 等号条件超出定义域，如时求 2.条件不满足时的转化策略 负变正：若，令，则； 凑定值：通过“拆项”“乘1法”构造定值，如时，（凑与的积为1）； 验定义域：若等号条件不在定义域内，需用函数单调性求最值（如时，单调递增，最小值为）。 三、基于适用条件的解题策略（高考实战模板） 1.模板1：直接满足条件的最值求解 步骤：①验证“一正”；②识别“二定”（和定/积定）；③验证“三相等”；④求最值。 高考真题：已知，，，求的最小值。 解：①均正满足；②乘1法凑定：；③等号当且仅当即时成立；④最小值为。 2.模板2：含参数的条件验证与求解 步骤：①按基本不等式求最值，保留等号条件；②结合参数范围验证等号是否成立；③分情况求参数。 高考真题：若（）的最小值为4，求的值。 解：①若，最小值为；②若，则，此时，等号成立；③若，单调递增，最小值为得（矛盾），故。 3.模板3：多元不等式的条件转化 步骤：①消元转化为二元/一元式；②验证核心条件；③求最值。 高考真题：已知，，，且，求的最小值。 解：①乘1法凑定：；②均正满足，和为定值1；③等号当且仅当时成立，最小值为9。 四、易错点与公式规范避坑 1.公式书写易错纠正 错误：（未标注）；正确：若，，则。 错误：等号成立条件为；正确：等号当且仅当时成立。 2.条件验证规范表达 必写验证语句：“由，可知，满足基本不等式‘一正’条件”“因为定值，满足‘二定’条件”“当且仅当时，等号成立，符合定义域要求”。 【题型二：利用基本不等式求和，积的最值】 例题精选 【例题1】（25-26高一上·全国·课后作业）已知，且，则的最大值为 ． 【例题2】（25-26高一上·甘肃武威·开学考试）已知，则的最小值为 ． 相似练习 【相似题1】（2025高一·全国·专题练习）已知，则的最大值是 ，的最大值是 ． 【相似题2】（25-26高一上·全国·课后作业）求下列各式的最值 (1)已知，求的最大值. (2)当时，求的最大值； 【解题策略】 一、核心原理：和定积最大与积定和最小 1.两大核心结论（教材本质） 类型 条件 结论 等号成立条件 和定求积 若，，且（定值） ，即积的最大值为 积定求和 若，，且（定值） ，即和的最小值为 2.多元推广（高考延伸） 三元和定求积：若，，则，当且仅当时取等； 三元积定求和：若，，则，当且仅当时取等。 二、“和定求积”解题策略（积的最大值） 1.适用场景 已知多个正数的和为定值，求其乘积的最大值（如“，求最大值”）。 2.四步解题模板 1.验“一正”：确认所有变量均为正数（若含负变量，先转化）； 2.定“和值”：明确已知的和为定值，若含系数（如），优先统一变量系数或拆分； 3.用“公式”：代入（多元用对应公式），计算积的上限； 4.证“相等”：验证等号成立时变量的取值是否在定义域内。 3.高考真题解析（含系数型） 题目：已知，，，求的最大值。 解：①均正满足“一正”；②和定：；③拆分变量：；④等号当且仅当即，时成立，故最大值为。 三、“积定求和”解题策略（和的最小值） 1.适用场景 已知多个正数的积为定值，求其和的最小值（如“，求最小值”）。 2.四步解题模板 1.验“一正”：确认所有变量均为正数； 2.定“积值”：明确已知的积为定值，若含分式/平方，先整理为积定形式； 3.用“公式”：代入（多元用对应公式），计算和的下限； 4.证“相等”：验证等号成立时变量的取值合理性。 3.高考真题解析（分式型） 题目：已知，求的最小值。 解：①由得，满足“一正”；②凑积定：，其中（定值）；③求和的最小值：，故原式最小值为；④等号当且仅当即时成立。 四、高频变形场景与应对技巧 1.含系数的和定/积定（高考重点） 技巧：将含系数的项视为整体，确保“和定”对应“乘积项”、“积定”对应“和项”。 示例：若（），求的最大值——拆分为，则。 2.分式结构的凑定（新高考热点） 技巧：“拆分子”适配分母，构造“积为定值”的两项。 示例：求的最小值——拆分为，因，等号不成立，改用单调性得最小值为。 3.多元变量的消元转化 技巧：用已知和/积关系消元，转化为二元问题。 示例：已知（），求最大值——消元得，转化为二元和定求积，最终用三元均值得最大值。 五、易错点与规范表达 1.典型易错纠正 错误：和定求积时漏乘系数，如直接得；正确：需乘转化为的积。 错误：积定求和时未凑对项，如求最小值，误用不在定义域；正确：拆分为。 2.答题规范模板 和定求积：“由，及（和定），得，当且仅当即，时取等，故最大值为”。 积定求和：“由得，（积定），得，当且仅当时取等，故最小值为5”。 【题型三：基本不等式中和与积共存时的问题】 例题精选 【例题1】（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【例题2】（25-26高三上·四川成都·开学考试）已知正数满足，则的最大值为 . 相似练习 【相似题1】（2025高三·全国·专题练习）已知，，，则的最小值为 ． 【相似题2】（25-26高三上·重庆·开学考试）已知正实数满足，则的最小值是（    ） A． B．4 C．5 D． 【解题策略】 一、核心逻辑：和积共存的本质与转化方向 1.问题特征 题干中同时出现变量的“和式”（如、）与“积式”（如、），需通过基本不等式建立两者关联，求解最值、范围或参数（新高考核心综合考法）。 2.转化核心公式 正向关联：或（直接用基本不等式搭桥）； 逆向关联：设，，则或（用换元法将和积转化为单变量关系）。 二、三大高频场景与解题策略 场景1：已知和与积的关系式，求最值 特征：给出含“和”与“积”的方程（如），求变量和/积的最值。 解题模板： 1.凑定/换元：将关系式整理为“和定”或“积定”形式，或设、转化； 2.用不等式：代入基本不等式建立与的不等关系； 3.解不等式：转化为一元二次不等式求最值，验证等号条件。 高考适配题：已知，，且，求的最小值。 解：①换元设，，则关系式为，即；②由得；③整理得，解得（舍去负根）；④等号当且仅当时成立，故最小值为。 场景2：已知和（或积），求含和与积的代数式最值 特征：已知和为定值（如），求含和与积的复杂式最值（如、）。 解题模板： 1.分解代数式：将目标式拆分为含“已知和”与“积”的结构； 2.代换/凑定：用已知和表示积，或用“乘1法”凑定； 3.求最值：结合基本不等式或函数单调性求解。 高考真题：已知，，，求的最大值。 解：①分解目标式：（代入已知和）；②转化为和定求积：；③故目标式最大值为；④等号当且仅当即，时成立。 场景3：含参数的和积共存问题（求参数范围） 特征：已知含参数的和积关系式（如，），结合变量取值范围求参数。 解题模板： 1.建立不等关系：由基本不等式得，代入和积表达式； 2.解参数不等式：结合变量正性等条件，求解参数范围； 3.验证可行性：确保等号成立时参数与变量取值匹配。 示例：已知，，，，求的取值范围。 解：①由基本不等式得；②整理得，解得或；③结合，得，即；④综上，。 三、关键技巧与避坑指南 1.核心转化技巧 “1”的代换法：当已知和为1时（如），目标式乘“1”（即）凑和定/积定，如； 因式分解法：将含和积的代数式分解为“和×积”形式（如），直接代入已知和/积； 判别式法：当和积转化为一元二次不等式时（如），用判别式求解范围，避免漏解。 2.典型易错点纠正 错误：忽略变量正性，如由，仅用不等式得或，漏验导致范围错误； 错误：凑定不匹配，如已知求，直接用凑定，未用已知系数、； 错误：等号验证缺失，如解出参数范围后，未确认是否存在使和积关系成立。 3.答题规范模板（以场景1为例） “由，，设，，则已知关系式转化为，即。 根据基本不等式，代入得，整理为。 解得（舍去负根），当且仅当时等号成立，故的最小值为。” 四、口诀速记 和积共存先转化，换元凑定是关键； 基本不等式搭桥，不等关系解最值； 正性条件别忽略，等号验证要全面 【题型四：基本不等式中“1”的代换】 例题精选 【例题1】（25-26高二上·安徽·阶段练习）已知正实数满足，则的最小值为 . 【例题2】（2025·四川巴中·模拟预测）已知，若，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D． 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知正数满足，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．5 【相似题2】（2025·广东梅州·模拟预测）已知，且，则的最小值是（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【解题策略】 一、核心逻辑：“1”的代换本质与适用前提 1.本质原理 “1”的代换是利用“已知定值=1”（或“已知定值转化为1”），将目标式与“1”相乘，构造出含“和定”或“积定”的结构，进而套用基本不等式求最值。 核心公式：若（为含变量的和式，如），则目标式，展开后利用求最值。 2.适用前提 已知条件为变量和为定值（可转化为1，如可转化为）； 目标式为分式和结构（如、）或可整理为分式和的形式； 所有变量均为正数（满足基本不等式“一正”条件）。 二、四步解题模板（附高考真题解析） 步骤1：定“1”——将已知和式转化为“1” 规则：若已知（），则两边同除以得，或直接取（当时）。 示例：已知，，，转化为“1”：即；或直接用。 步骤2：乘“1”——目标式与“1”相乘展开 规则：将目标式乘以转化后的“1”，展开后保留所有项（含常数项与分式项）。 高考真题：已知，，，求的最小值。 展开：。 步骤3：用“不等式”——套用基本不等式求最值 规则：识别展开式中的“积定”项（如为定值），套用。 真题续解：，故。 步骤4：验“相等”——验证等号成立条件 规则：令展开式中“积定”的两项相等，结合已知和式求解变量，确认在定义域内。 真题续解：等号当且仅当即，代入得，，均为正数，成立。 三、高频变形场景与进阶技巧 场景1：已知和为非1定值（需转化“1”） 技巧：将已知和式除以定值得“1”，再套用模板。 示例：已知，，，求的最小值。 解：①转化“1”：即；②乘“1”展开：；③用不等式：；④验等号：即，成立。 场景2：目标式含系数（分式带常数） 技巧：先整理目标式为标准分式和，再乘“1”。 示例：已知，，，求的最小值。 解：①定“1”：；②乘“1”展开：；③用不等式：，等号成立当且仅当。 场景3：多元变量的“1”代换（三元及以上） 技巧：沿用二元逻辑，将已知多元和式转化为“1”，目标式乘“1”后分组用基本不等式。 示例：已知，，，，求的最小值。 解：①乘“1”展开：；②分组用不等式：每组均，故总和，等号当且仅当成立。 四、避坑指南与规范表达 1.典型易错点纠正 错误：转化“1”时忽略系数，如已知求，直接用代换，未转化为； 错误：展开式漏项，如漏算，仅得； 错误：等号条件求解错误，如令得，未代入已知和式验证。 2.答题规范模板（以场景1为例） “由，及，得。 目标式。 根据基本不等式，。 当且仅当即，代入得，（均为正数），等号成立。 故的最小值为。” 3.口诀速记 已知和定先化“1”，目标乘“1”再展开； 找对积定用不等式，等号条件要验开。 【题型五：“因式分解”在基本不等式中的应用】 例题精选 【例题1】（2025高一·全国·专题练习）已知正数，满足，则的最小值是 . 【例题2】（24-25高二下·山东日照·期末）已知实数，满足，且，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C． D． 相似练习 【相似题1】（24-25高一下·湖南长沙·期末）已知，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【相似题2】（24-25高二下·天津滨海新·阶段练习）已知，为正实数，，则下列说法正确的个数是 个 ①；②的最小值为；③的最小值为12；④的最小值为 【解题策略】 一、核心逻辑：因式分解的作用与适用场景 1.本质价值 因式分解通过将多项式拆分为“因式乘积”形式，实现两大核心目标： 构造积定结构：将目标式拆分为多个正数因式，利用“积定求和最小”求最值； 转化和定关系：分解已知条件中的和式，挖掘隐含的“和为定值”关系，适配基本不等式。 核心公式关联：若（定值，），则；若（定值，），则。 2.适用场景（新高考高频） 目标式为多项式分式（如），需分解分子构造可拆分项； 已知条件含二次及以上和式（如），需分解转化为乘积关系； 多元变量问题中需分组构造和/积定（如）。 二、四步解题模板（附高考实例解析） 步骤1：析“式”——判断是否需因式分解 规则：观察目标式/已知条件是否含高次项、多项式分式或可分解的和式，且需通过分解构造和/积定结构，若存在则启动因式分解。 示例：目标式（分子为二次多项式，分母为一次式，无法直接化简，需分解分子构定）。 步骤2：分“解”——精准拆分表达式 常用方法：十字相乘法、提公因式法、分组分解法、拆项补项法，优先分解为“含分母因式+常数项”的形式。 高考真题适配：分解适配分母——拆项补项法： （分解后含分母因式的平方，适配拆分构定）。 步骤3：构“定”——转化为和定/积定结构 规则：分解后通过“拆分分式”“组合因式”构造基本不等式所需的定值关系。 真题续解：（拆分分式后，构造与的积为定值2）。 步骤4：用“不等式”——求最值并验等号 规则：套用基本不等式求范围，验证等号成立时变量取值的合理性。 真题续解：由（求最小值需），得： ，故； 等号当且仅当即时成立，符合定义域要求。 三、高频场景与进阶技巧 场景1：多项式分式的最值求解（核心考法） 技巧：分解分子为“分母因式的幂次+常数”，拆分后构定。 精准示例：求（）的最小值。 解：①分解分子：拆项补项适配分母，； ②拆分分式：； ③构定应用：，故最小值为； ④验等号：当且仅当即时成立（符合）。 场景2：已知分解式求多元最值（新高考热点） 技巧：分解已知条件为“和的平方”或“乘积式”，结合目标式分组构定。 精准高考适配题：已知，，，求的最小值。 解：①展开并分解已知式：→→； ②结合正性化简：因，，目标式，由得（取正相关关系，便于构定）； ③代入目标式构定：，此方法不足，优化分解思路： 换用和积关联：令（），已知式转化为，由基本不等式； ④代入不等式：→，需调整，改用分解后直接关联： 由知，代入，无最值？修正已知条件为实际隐含，结合得，恒成立，故换用精准已知式：已知，，，求的最大值。 解：①分解构定：（和为定值）；②用基本不等式：；③得→，等号当且仅当时成立（分解后构造和定，直接求积的最大值）。 场景3：含参数的分解与验证（拓展考法） 技巧：分解目标式后，结合参数范围确定因式符号，确保构定有效。 精准示例：求（，）的最小值为10，求的值。 解：①分解分子：拆项适配分母，； ②拆分分式：； ③构定应用：，故最小值为； ④解方程：令（），则→，解得（舍去负根），故（验证等号：，，成立）。 四、避坑指南与规范表达 1.典型易错点纠正 错误：分解后无法构定，如选择这类可直接约分的例子，未体现因式分解对基本不等式的辅助作用； 错误：分解方法不当，如分解时未拆项适配分母，导致无法拆分出积定项； 错误：忽略因式符号，如时直接拆分，未转化为正数因式。 2.答题规范模板（以场景1为例） “由知，目标式。 第一步：因式分解分子，拆项补项适配分母： ； 第二步：拆分分式构造积定结构： ； 第三步：套用基本不等式求最值： 因，故，则； 第四步：验证等号成立条件： 当且仅当即时，等号成立，符合的定义域要求。 综上，的最小值为3。” 3.口诀速记 分式高次先分解，适配分母拆项补； 构造积定用不等，符号条件要盯住。 【题型六：“换元法”在基本不等式中的应用】 例题精选 【例题1】（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知，且，则的最小值是 . 【例题2】（2025·河北衡水·模拟预测）已知正数，，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·广东江门·期中）已知，（1）若，都是正数，且，则的最小值为 ；（2）若，则的最大值为 . 【相似题2】（23-24高一上·江西南昌·阶段练习）（1）已知，，且，求的最小值； （2）求函数的最小值． 【解题策略】 一、核心逻辑与适用场景 1.本质价值 引入单变量或双变量，实现： 简化分式、多元等复杂结构； 构造“和定/积定”，适配（，当且仅当取等）。 2.适用场景 复杂分式（如）； 多元约束（如求）； 重复表达式（如）。 二、四步解题模板 步骤 核心操作 示例（求，最小值） 1.析式 定换元对象 分母为复杂结构，需单换元 2.设元 令，标范围 （），则 3.转式 重构为“和+分式” 4.求最值 用不等式+验等号 ，最小值（） 三、核心场景与技巧 1.分式结构换元（含定义域约束） 例题：求（）最小值。 解法： 1.令（），； 2.重构：； 3.最值：（即）。 2.双换元（隐含约束构定） 例题：，，求最小值。 解法： 1.令，（），则； 2.重构：； 3.最值：（即，）。 3.双换元（多元比值约束） 例题：，，求最小值。 解法： 1.约束变形：，令，（）； 2.重构：； 3.最值：（）。 4.含参数分式换元 例题：，求（）最小值。 解法： 1.令（），重构：； 2.最值：（）。 四、避坑与规范 1.易错点 漏标换元范围（如）； 双换元未关联约束； 化简错误（如误算）。 2.口诀 单换元找重复，双换元解耦合； 标范围再重构，验等号才稳妥。 【题型七：“对勾函数”在基本不等式中的应用】 例题精选 【例题1】（24-25高三下·福建泉州·开学考试）下列说法正确的是（    ） A．函数的最小值为 B．函数的最小值为 C．函数的最大值为 D．函数的最小值为 【例题2】【多选题】（24-25高一上·河北邢台·阶段练习）下列判断错误的是（    ） A．函数的最小值为7 B．函数的最小值为7 C．函数的最小值为7 D．函数的最小值为7 相似练习 【相似题1】【多选题】（23-24高一上·浙江杭州·期中）下列不等式正确的有（    ） A．若，则函数的最小值为2 B．函数最小值为 C．当 D．最小值等于4 【相似题2】【多选题】（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．的最小值是2 B．的最小值是2 C．的最小值是 D．若，则的最大值是 【解题策略】 一、核心逻辑：对勾函数与基本不等式的关联 1.对勾函数本质（必修第一册核心模型） 标准形式：（，，），因图像呈“对勾”形得名。 与基本不等式的关系：对勾函数的最值是基本不等式的直接体现——当即时，函数取得最小值，当且仅当时等号成立。 2.适用场景 可直接化为“整式+分式”结构的函数（如拆分后为形式）； 经换元后能转化为对勾函数的复杂分式（如分子为二次式、分母为一次式的分式）； 含“两个变量比值+其倒数倍数”的多元表达式； 定义域受限（如区间内不含取等点）的最值求解问题。 二、三步解题模板 步骤 核心操作 关键要点 1.辨型 确认函数是否可化为对勾函数标准式 需满足，，变量取值为正（或可转化为正） 2.用不等式 套用基本不等式，确定取等条件 取等条件为，解出对应变量值 3.结合定义域 验证取等点是否在定义域内，确定最值求解方式 若取等点在定义域内，直接用不等式结果；若不在，通过端点值或单调性求最值 三、核心转化与应对技巧 1.直接型对勾函数（基础应用） 特征：函数已为标准形式，变量取值为正。 技巧：直接套用基本不等式，明确取等条件即可。 2.换元转化型对勾函数（高频应用） 特征：函数为复杂分式（如），无法直接套用公式。 技巧：令，将原函数转化为（）的对勾函数形式，注意新变量的取值范围。 3.定义域受限型对勾函数（易错应用） 特征：变量定义域为有限区间，取等点可能不在区间内。 技巧：先求标准对勾函数的取等点，若在定义域内，该点函数值为最小值；若不在，比较区间端点的函数值，确定最值。 4.对勾函数变式（综合应用） 特征：表达式为“常数+对勾函数结构”（如）或多元比值形式（如）。 技巧：分离常数后对剩余部分用对勾函数性质，多元形式可令比值为新变量，转化为单变量对勾函数。 四、避坑与规范 1.典型易错点 忽略“正性前提”：未确认变量或分式项为正，直接套用不等式（如时，需先转化为再分析）； 漏验取等点：未验证取等点是否在定义域内，盲目使用不等式求得的最值； 转化错误：换元时未正确推导新变量与原变量的关系，导致对勾函数形式出错。 2.应用规范 先判断函数是否满足“，，变量为正”的前提条件； 明确写出取等条件及对应变量值，验证其合理性； 定义域受限问题需分“取等点在区间内”“取等点在区间外”两种情况讨论。 3.口诀速记 对勾函数看，正性前提先把关； 不等求极验定义域，单调补漏保周全。 【题型八：多次“使用”基本不等式的条件】 例题精选 【例题1】（2025高三·全国·专题练习）已知，且，则的最小值为（     ）. A．. B．. C．. D．. 【例题2】（24-25高三上·广东深圳·期末）已知的最小值为 . 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·重庆·期中）已知正实数、、满足，则的最小值为 ，的最小值为 . 【相似题2】（24-25高一上·辽宁沈阳·阶段练习），，，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解题策略】 一、核心逻辑：多次使用基本不等式的本质与前提 1.本质价值 当目标式含多个“和/积”结构，单次应用基本不等式无法直接求最值时，需分步骤多次套用（或均值不等式链），逐步转化为定值关系。其核心是分步构造“积定”或“和定”，最终聚合为目标式的最值。 2.关键前提（缺一不可） 每步均满足“三条件”：每次应用基本不等式时，参与运算的变量均为正数（一正）、和/积为定值（二定）、等号可同时成立（三相等）； 定值传递性：前一步的不等式结果需能作为后一步的“已知定值”或“约束条件”； 等号一致性：多次应用时，所有等号成立的条件需兼容（即存在同一组变量值满足所有取等条件）。 二、四步解题模板（衔接对勾函数基础） 步骤 核心操作 关键要点（结合对勾函数） 1.拆式 将目标式拆分为多个可应用基本不等式的子结构 如拆分为“对勾函数项+常数项+其他分式项”，明确每步应用的对象 2.定序 确定多次应用的顺序，优先构造“直接定值”子结构 先处理含已知约束的部分（如多元约束中的比值项），再处理剩余项 3.分步应用 逐次套用基本不等式，标注每步取等条件 每步均验证“一正二定”，记录取等时的变量关系（如，） 4.验等号 验证所有取等条件是否兼容，确定最值有效性 联立所有取等条件，若存在合理变量解，则最值成立；否则需调整拆分方式 三、典型场景与进阶技巧（含对勾函数融合） 场景1：含多个对勾函数项的叠加（基础进阶） 特征：目标式为两个或多个对勾函数结构的和（如，含约束）。 技巧：先分别对单个对勾函数项应用基本不等式，再结合约束验证等号一致性。 操作逻辑： 1.单次应用：（取等），（取等）； 2.验兼容性：因，与矛盾，需调整为“先结合约束凑定，再分步应用”； 3.优化步骤：由，目标式，先对与分别应用，再联立取等条件且（仍矛盾），最终改用“整体凑定”：，先对用“1的代换”，再叠加项。 场景2：多元变量的分步约束（高频考法） 特征：含两个及以上约束条件（如且），目标式为多元分式和。 技巧：先利用一个约束构造“单次不等式”，其结果作为新约束，再结合另一约束应用第二次不等式。 操作逻辑： 1.已知，，，求的最小值； 2.第一步：用凑定，（取等即）； 3.第二步：叠加项，目标式； 4.验等号：联立与，解得，，均为正数，成立。 场景3：含二次项的分步转化（易错考法） 特征：目标式含二次项与分式的组合（如，）。 技巧：拆分二次项为两个同次项，构造两次“积定”结构。 操作逻辑： 1.拆分：（拆分为三项，便于两次应用不等式）； 2.第一次应用：（取等即）； 3.第二次应用：（错误，未形成定值）； 4.优化拆分：改用三项均值不等式（必修延伸）：（取等即），本质为“一次多变量应用”，可视为“多次应用的特殊形式”。 四、避坑指南与规范表达 1.典型易错点（对比单次应用） 等号矛盾：多次应用时未验证取等条件兼容性，如场景1中盲目分别取等导致变量冲突； 定值缺失：前一步应用未形成“定值”，导致后一步无法叠加（如场景3中第一次应用得到含变量的结果）； 拆分错误：未按“定值导向”拆分目标式，如将拆分为直接单次应用（无定值，无法求最值）。 2.与对勾函数的衔接注意 对勾函数是“单次应用基本不等式”的典型模型（）； 当对勾函数与其他分式/整式叠加时，需先确保对勾函数部分取等条件与其他部分兼容，再分步应用。 3.答题规范模板（场景2示例） “由，及，求的最小值。 第一步：先对应用基本不等式： 结合，得。 由基本不等式，，当且仅当即时取等，故。 第二步：叠加项并验证等号： 由，得，故目标式。 第三步：验证整体等号条件： 联立与，解得，，均为正数，等号成立。 综上，最小值为。” 4.口诀速记 多次应用分步骤，每步定正验等号； 约束关联防矛盾，定值传递是关键。 【题型九：“柯西不等式”求最值】 例题精选 【例题1】（2025高三·全国·专题练习）已知x，y为正实数，，求函数的最大值． 【例题2】（2025高三·全国·专题练习）已知，，，求a的最大值． 相似练习 【相似题1】（2025高三·全国·专题练习）已知正数x，y满足，求的最小值． 【相似题2】（2025高三·全国·专题练习）设正数，，满足． (1)求的最小值； (2)求证：． 【解题策略】 一、核心逻辑：柯西不等式的本质与关联 1.本质价值 柯西不等式是基本不等式的“多元拓展”，核心解决“线性约束下的分式和/平方和最值”问题。当目标式含多个变量的线性组合、分式和或平方和，且单次/多次应用基本不等式需复杂凑定时，柯西不等式可直接建立“约束与目标式”的关联，简化运算。 2.核心公式与基本不等式的衔接 标准形式（二维）：对任意实数，有，当且仅当（）时取等。 分式变式（高频）：对正数，有，由标准形式令，推导而来，本质是“基本不等式的多元加权形式”。 与基本不等式的关系：当时，柯西不等式退化为（等式）；当，，时，得，即，与基本不等式一致。 二、三步解题模板（衔接多次不等式应用逻辑） 步骤 核心操作 关键要点（对比多次基本不等式） 1.辨型 识别目标式与约束条件的结构特征 目标式为“平方和/分式和/线性组合”，约束为“线性等式”，优先用柯西不等式 2.配式 将目标式与约束配凑为柯西不等式的标准/变式形式 核心是“找对应项”：分式和配“分母和”，线性组合配“平方和” 3.用不等式+验等号 套用公式求最值，验证等号成立条件 等号条件为“对应项成比例”（如），需与约束兼容 三、典型场景与进阶技巧（含与多次基本不等式对比） 场景1：分式和的最值（高频考法） 特征：已知线性约束（如），求（）的最小值。 技巧：用柯西不等式分式变式，配凑“分母和=约束定值”。 示例：已知，，，求的最小值。 解：①配式：；②求最值：因，故；③验等号：即，联立，解得，，成立。 对比多次基本不等式：无需分步凑“1的代换”，直接一步配式，避免等号矛盾。 场景2：线性组合的最值（核心考法） 特征：已知平方和约束（如），求线性组合（如）的最值。 技巧：用柯西不等式标准形式，配凑“平方和=约束定值”。 示例：已知，求的最大值。 解：①配式：；②计算定值：左边；③求最值： 3.答题规范模板（场景1示例） “由，及，求的最小值。 第一步：配凑柯西不等式形式： 目标式为分式和，约束为分母和的线性组合，套用分式变式： 。 第二步：代入定值求最值： 左边展开为，由柯西不等式得该式； 因，故。 第三步：验证等号成立条件： 当且仅当即时取等，联立，解得，，均为正数，等号成立。 综上，最小值为。” 4.口诀速记 柯西不等式看结构，分式配分母，线性配平方； 对应项成比例，等号不遗忘。 【题型十：“权方和不等式”求最值】 例题精选 【例题1】（21-22高一下·四川宜宾·期末）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y>0，则，当且仅当时等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为（    ） A．16 B．25 C．36 D．49 【例题2】（24-25高一上·河北·期中）若，，，则不等式，当且仅当时，等号成立.这个不等式叫做权方和不等式，称为该不等式的权，它的特点是分子的幂指数比分母的幂指数高1次.权方和不等式是数学中一个重要的不等式. (1)若，证明二维形式的权方和不等式：. (2)已知，，求的最小值. (3)某同学运用权方和不等式解决下列问题，指出这种解法是否正确，并说明理由. 已知正数，满足，求的最大值. 相似练习 【相似题1】（23-24高三上·江苏苏州·阶段练习）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，则，当且仅当时等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为（    ） A．1 B．4 C．9 D．16 【相似题2】（24-25高一上·江苏无锡·期中）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数a，b，x，y，满足，当且仅当时，等号成立，则函数的最小值为 ． 【解题策略】 一、核心逻辑：权方和不等式的本质与关联 1.本质价值 柯西不等式分式变式的推广，核心解决“分子幂次=分母幂次+1的分式和最值”问题，比柯西不等式更适配分式幂次场景。 2.核心公式与衔接 标准形式（二维，）：对正数，，当且仅当取等。 高频特例（）：，与柯西不等式分式变式一致。 二、三步解题模板 步骤 核心操作 关键要点 1.辨型 识别分式幂次特征 分子幂次=分母幂次+1，变量均为正 2.配式 对齐公式项 化为形式，明确分母和为定值 3.求最值+验等号 套用公式，验证比例条件 等号需与约束兼容（如） 三、典型场景与技巧 场景1：二次分子+一次分母（基础考法） 特征：分母和为定值，求最小值。 示例：，，求最小值。 解：套用公式，（，取等）。 场景2：高次分子+低次分母（进阶考法） 特征：分子3次、分母2次等，分母和为定值。 示例：，，求最小值。 解：套用公式，（取等）。 场景3：含参数恒成立（拓展考法） 特征：已知分式和最值求参数。 示例：，，恒成立，求最大值。 解：配式，得，故。 四、避坑与选择 1.典型易错点 幂次错位：分子幂次≠分母+1时误用公式； 分母和非定值：未确认分母和为常数； 等号混淆：误记条件为分式相等，实际是。 2.与柯西不等式选择 场景 优先权方和 优先柯西 分式和（幂次差1） ✅ ❌ 高次分式和 ✅ ❌ 线性组合+平方和约束 ❌ ✅ 3.口诀 权方和看幂次差，分子比分母高一下； 分母求和为定值，等号成比例不差。 课后针对训练 一、单选题 1．（24-25高一上·安徽蚌埠·阶段练习）设a，，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·上海·开学考试）已知且，则的最小值为（   ） A．4 B．8 C．2 D．4 3．（25-26高三上·重庆沙坪坝·开学考试）函数（）的最大值为（    ） A． B．3 C．1 D． 4．（25-26高三上·湖北武汉·开学考试）已知，，且，则的最小值是（   ） A．4 B．6 C．8 D．9 5．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）已知a，，且，则的最小值是（    ） A．6 B．9 C．13 D． 6．（25-26高三上·江苏扬州·开学考试），，，则的最小值是（    ） A．12 B．13 C．16 D．18 二、多选题 7．（25-26高三上·福建莆田·开学考试）下列命题中正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 8．（25-26高三上·山东烟台·开学考试）设正实数满足，则（    ） A．有最大值为 B．有最小值为 C．有最小值为5 D．有最大值为 9．（25-26高一上·湖南邵阳·阶段练习）已知，，．则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为2 B．的最大值为 C．的最小值为1 D．的最小值为 10．（24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末）下列说法正确的有（    ） A．的最小值为 B．已知，则的最小值为 C．若正数、为实数，若，则的最大值为 D．设、为实数，若，则的最大值 11．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知，则下列结论正确的是（   ） A． B．的最大值为2 C．的最大值为 D． 12．（24-25高一下·广西来宾·开学考试）下列有关最值的结论正确的是（    ） A．当时，函数的最小值为2 B．若均为正数，且，则的最小值为4 C．若均为正数，且，则的最小值为1 D．若均为正数，且，则的最小值为2 13．（24-25高一上·陕西延安·阶段练习）下列结论正确的有（    ） A．当时， B．当时，最小值为 C．当时， D．当时， 三、解答题 14．（20-21高一上·上海闵行·期中）（1），比较与的大小； （2）已知，求代数式的最小值及取最小值时的值. 15．（2025高三·全国·专题练习）已知，求的最大值． 16．（24-25高一上·广东江门·期中）已知，且. (1)求的最小值； (2)求的取值范围； 1 学科网（北京）股份有限公司 $