精品解析：内蒙古包头市第九中学外国语学校2024-2025学年上学期10月月考九年级数学试题

包九中外国语学校初三年级数学学科 （2024年10月） 一、选择题（每小题3分，10小题，共30分） 1. 下列线段不成比例的是（　　） A. B. C. D. 2. 一次抽奖活动中，印发奖券1000张，其中一等奖20张，二等奖80张，三等奖200 张，那么任一位抽奖者（仅买一张奖券）中一等奖或二等奖的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，若，则的值为（ ） A. 3 B. C. D. 4. 已知，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 3 5. 一元二次方程的根的情况为（ ） A. 无实数根 B. 有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 6. 抛掷一枚质地均匀的硬币，如果每掷一次出现正面与反面的可能性相同，那么连掷三次硬币，出现三次正面朝上的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，那么的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 8. 已知关于x的方程的两个实数根互为相反数，则a的值为（ ） A. 5或 B. 0 C. 5 D. 9. 某校七年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为每两班之间赛两场，共需安排42场比赛．设七年级共有x个班，则下列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在渝中区的劳动技能课程中，小张同学将一张长，宽的矩形纸板，剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形后，剩余部分恰好制作成底面积为的有盖的长方体工艺盒，则剪去的正方形的边长为（ ） A. 1.5 B. 2 C. 2.5 D. 3 二、填空题（每小题3分，8小题，共24分） 11. 已知、、三条线段满足，若，则的值为______ ． 12. 在一个不透明的口袋中装有红球和白球共12个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀后，从中随机摸出1个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸球100次，发现有25次摸到红球，则口袋中红球约有______个． 13. 如图，为测量平地上一块不规则区域（图中的阴影部分）的面积，画一个边长为的正方形，使不规则区域落在正方形内，现向正方形内随机投掷小石子（假设小石子落在正方形内每一点都是等可能的），发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数附近，由此可估计不规则区域的面积是____________________． 14. 定义新运算：对于任意实数a，b，都有，其中等号右边是通常的减法及乘法运算．如，嘉嘉写了一个满足以上运算的等式：，其中x的值为______． 15. 用图中两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏，分别转动两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，则配成紫色的概率是______． 16. 代数式的最小值为______． 17. 如图，矩形的边，点E、F分别在边上，且四边形为正方形．若矩形与矩形相似，则的长为______． 18. 若，是方程的两个实数根，则代数式的值为______． 三、解答题（5题，共46分） 19. 解下列方程： （1） （2） （3） （4） 20. 如图，已知直线l1、l2、l3分别截直线l4于点A、B、C，截直线l5于点D、E、F，且 （1）如果AB＝3，BC＝6，DE＝4，求EF的长； （2）如果DE：EF＝2：3，AC＝25，求AB的长． 21. 在一个不透明的盒子中装有个形状大小完全一样的小球，上面分别有标号，，，用树状图或列表的方法解决下列问题： 将球搅匀，从盒中一次取出两个球，求其两标号互为相反数的概率． 将球搅匀，摸出一个球将其标号记为，放回后搅匀后再摸出一个球，将其标号记为．求直线不经过第三象限的概率． 22. 某商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，标价为3000元． （1）若商场连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以2430元售出，求每次降价的百分率． （2）市场调研表明：当每台售价为2900 元时，平均每天能售出8台，当每台售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，若商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，则每台冰箱的定价应为多少元？ 23. 如图，已知中，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为t秒． （1）出发2秒后，求的长； （2）当点Q在边上运动时，出发几秒钟，？ （3）当点Q在边上运动时，求能使成为等腰三角形的运动时间． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 包九中外国语学校初三年级数学学科 （2024年10月） 一、选择题（每小题3分，10小题，共30分） 1. 下列线段不成比例的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据线段成比例的定义，比例的性质即可求解． 【详解】解：、，不成比例，符合题意； 、，成比例，不符合题意； 、，成比例，不符合题意； 、，成比例，不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查线段成比例的计算，掌握线段成比例，比例的性质是解题的关键． 2. 一次抽奖活动中，印发奖券1000张，其中一等奖20张，二等奖80张，三等奖200 张，那么任一位抽奖者（仅买一张奖券）中一等奖或二等奖的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】抽奖券总共有1000种可能，中一等奖或二等奖的有种可能，利用概率公式进行求解． 【详解】解：因为一次抽奖活动中，印发奖券1000张，其中一等奖20张，二等奖80张， 所以任一位抽奖者（仅买一张奖券）中一等奖或二等奖的概率是：． 故选：D． 【点睛】此题考查了概率，如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率． 3. 如图，在中，，若，则的值为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用平行线分线段成比例定理求解． 本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 【详解】解：, ． , ， 故选：C． 4. 已知，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，由已知比例式通过交叉相乘得到，整理得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 整理得：， ∴， 故选：D． 5. 一元二次方程的根的情况为（ ） A. 无实数根 B. 有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的情况，利用判别式判断根的情况是解题的关键． 通过计算一元二次方程的判别式，判断根的情况即可． 【详解】解：∵一元二次方程为， ∴，，， ∴， 当时，，此时方程有两个相等的实数根； 当时，，此时方程有两个不相等的实数根； ∴方程有实数根， 故选：B． 6. 抛掷一枚质地均匀的硬币，如果每掷一次出现正面与反面的可能性相同，那么连掷三次硬币，出现三次正面朝上的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了概率的计算，熟练掌握画树状图法求概率是解题的关键． 根据题意画出树状图，得出所有等可能的结果数以及符合题意的情况数，再利用概率的公式计算即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有8种等可能的结果，出现三次正面朝上的情况有1种， ∴出现三次正面朝上的概率． 故选：A． 7. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，那么的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据关于x的一元二次方程kx2-3x+1=0有两个实数根，知△=（-3）2-4×k×1≥0且k≠0，解之可得． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程kx2-3x+1=0有两个实数根， ∴△=（-3）2-4×k×1≥0且k≠0， 解得k≤且k≠0， 故选：C． 【点睛】本题主要考查根的判别式与一元二次方程的定义，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立． 8. 已知关于x的方程的两个实数根互为相反数，则a的值为（ ） A. 5或 B. 0 C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，设关于x的方程的两个实数根为，则由根与系数的关系得到，，再由相反数的定义得到，，据此可得或，再由可得，则． 【详解】解：设关于x的方程的两个实数根为， ∴， ∵关于x的方程的两个实数根互为相反数， ∴，， ∴或， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 9. 某校七年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为每两班之间赛两场，共需安排42场比赛．设七年级共有x个班，则下列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，利用比赛的总场数七年级班级数七年级班级数，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：依题意得：． 故选：A． 10. 如图，在渝中区的劳动技能课程中，小张同学将一张长，宽的矩形纸板，剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形后，剩余部分恰好制作成底面积为的有盖的长方体工艺盒，则剪去的正方形的边长为（ ） A. 1.5 B. 2 C. 2.5 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意是解题的关键． 设剪去的正方形的边长为，根据题意列出方程，求出的值即可得出答案． 【详解】解：设剪去的正方形的边长为， 由题意得，， 整理得：， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴剪去的正方形的边长为． 故选：B． 二、填空题（每小题3分，8小题，共24分） 11. 已知、、三条线段满足，若，则的值为______ ． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，由比例的性质可得，，，然后代入即可求解． 【详解】解：， ，，， ， ． 故答案为：． 12. 在一个不透明的口袋中装有红球和白球共12个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀后，从中随机摸出1个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸球100次，发现有25次摸到红球，则口袋中红球约有______个． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查利用频率估计概率，利用频率估计随机摸出1个球是红球的概率为，根据概率公式即可求出答案．解答本题的关键是明确题意，计算出相应的红球个数． 【详解】解：设红球有个， 则， 解得， ∴红球的个数约为个． 故答案为：． 13. 如图，为测量平地上一块不规则区域（图中的阴影部分）的面积，画一个边长为的正方形，使不规则区域落在正方形内，现向正方形内随机投掷小石子（假设小石子落在正方形内每一点都是等可能的），发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数附近，由此可估计不规则区域的面积是____________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中事件发生的频率可以估计概率． 首先确定小石子落在不规则区域的概率，然后利用概率公式求得其面积即可． 【详解】解：∵经过大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数附近， ∴小石子落在不规则区域的概率为， ∵正方形的边长为， ∴面积为， 设不规则部分的面积为s， 则， 解得：， 故答案为． 14. 定义新运算：对于任意实数a，b，都有，其中等号右边是通常的减法及乘法运算．如，嘉嘉写了一个满足以上运算的等式：，其中x的值为______． 【答案】-1或-5##-5或-1 【解析】 【分析】利用新定义的规定列式计算即可得出结论． 【详解】解： 解得： 或 故答案为： 或 【点睛】本题考查了实数的运算，一元二次方程的解法，本题是新定义型，理解并熟练应用新定义的规定是解题的关键． 15. 用图中两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏，分别转动两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，则配成紫色的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】先把第一个图形分为四等分，然后列表解决． 【详解】如图： 列表： 红 蓝1 蓝2 蓝3 红 红红 红蓝 红蓝 红蓝 黄 黄红 黄蓝 黄蓝 黄蓝 蓝 红蓝 蓝蓝 蓝蓝 蓝蓝 共有12种情况，配成紫色的红蓝有4种，概率为 【点睛】本题考查等可能事件概率的求法，关键是把第一个图中的蓝色分为三块，使其也成为等概率的情况． 16. 代数式的最小值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了配方法的应用，通过配方将表达式转化为完全平方式与常数的和的形式，再利用非负性即可求出最小值． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴当时，的最小值为1， 即代数式的最小值为1． 故答案为：1． 17. 如图，矩形的边，点E、F分别在边上，且四边形为正方形．若矩形与矩形相似，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，正方形的性质，相似图形的性质，先由正方形和矩形的性质得到，再根据相似图形的性质得到，即，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∵矩形与矩形相似， ∴，即， 解得或（舍去）， 经检验，是原方程的解， ∴， 故答案为：． 18. 若，是方程的两个实数根，则代数式的值为______． 【答案】2026 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．利用是方程的一个实数根，可得，再利用根与系数的关系即可求出答案． 【详解】解：是方程的一个实数根， ， ， ，是方程的两个实数根， ， ． 故答案为：2026． 三、解答题（5题，共46分） 19. 解下列方程： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先移项，再运用因式分解法进行解方程，即可作答． （2）运用公式法进行解方程，即可作答． （3）先整理原方程为，再运用因式分解法进行解方程，即可作答． （4）运用直接开平方法进行解方程，即可作答． 【小问1详解】 解：∵， ∴ ∴， 整理得， 解得，； 【小问2详解】 解：∵， ∴ ∴， 解得，； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得，； 【小问4详解】 解：∵， ∴， 解得，． 20. 如图，已知直线l1、l2、l3分别截直线l4于点A、B、C，截直线l5于点D、E、F，且 （1）如果AB＝3，BC＝6，DE＝4，求EF的长； （2）如果DE：EF＝2：3，AC＝25，求AB的长． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）由，可得再代入数据即可得到结论； （2）由，可得可得 结合，从而可得答案. 【详解】解（1）， AB＝3，BC＝6，DE＝4， 经检验：符合题意； （2）， 而DE：EF＝2：3， 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例，掌握“两条直线被一组平行线所截的对应线段成比例”是解题的关键. 21. 在一个不透明的盒子中装有个形状大小完全一样的小球，上面分别有标号，，，用树状图或列表的方法解决下列问题： 将球搅匀，从盒中一次取出两个球，求其两标号互为相反数的概率． 将球搅匀，摸出一个球将其标号记为，放回后搅匀后再摸出一个球，将其标号记为．求直线不经过第三象限的概率． 【答案】(1)；（2）． 【解析】 【分析】（1）列表得到所有可能的结果即可求出两标号互为相反数的概率； （2）列表得到所有可能的结果，要注意是不放回事件，即可求出一次函数y=kx+b的图象不经过第三象限的概率． 【详解】解：（1）列表得： 一共有6种情况，两次取出小球上的数字两标号互为相反数的情况有2种，所以两标号互为相反数的概率==； （2）列表如下： ∴P（不经过第三象限）=． 【点睛】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比． 22. 某商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，标价为3000元． （1）若商场连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以2430元售出，求每次降价的百分率． （2）市场调研表明：当每台售价为2900 元时，平均每天能售出8台，当每台售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，若商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，则每台冰箱的定价应为多少元？ 【答案】（1）每次降价的百分率是 （2）每台冰箱的定价应为2750 元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，列出方程． （1）设每次降价的百分率为x，根据降价后的价格降价前的价格（降价的百分率），则第一次降价后的价格是元，第二次后的价格是元，据此即可列方程求解； （2）假设下调a个50元，销售利润一台冰箱的利润销售冰箱数量，一台冰箱的利润售价进价，降低售价的同时，销售量就会提高，“一减一加”，根据每台的盈利销售的件数元，即可列方程求解． 【小问1详解】 解：设每次降价的百分率为x， 依题意得 ， 解得 （不合题意，舍去）． 答：每次降价的百分率是． 【小问2详解】 解：假设下调a个50元， 依题意得， 解得 ，则（元） 则每台冰箱的定价应为元， 答：每台冰箱的定价应为2750 元． 23. 如图，已知中，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为t秒． （1）出发2秒后，求的长； （2）当点Q在边上运动时，出发几秒钟，？ （3）当点Q在边上运动时，求能使成为等腰三角形的运动时间． 【答案】（1） （2） （3）6.6秒或6秒或5.5秒 【解析】 【分析】本题考查三角形中的动点问题，涉及勾股定理，平行线分线段成比例，等腰三角形的判定和性质： （1）求出的长，进而求出的长，再利用勾股定理进行求解即可； （2）根据平行线分线段成比例，得到，进而求出的值即可； （3）分、和三种情况，进行讨论求解． 【小问1详解】 解：当时，则，， ∵， ∴， 在中，由勾股定理可得， 即的长为． 【小问2详解】 解：由题意可知，， ∵， ∴， 当时， ∴，即，解得， 则时，． 【小问3详解】 解：在中，由勾股定理可求得， 当点Q在上时，， ∴， ∵为等腰三角形， ∴有、和三种情况， ①当时，如图，过B作于D， 则， 在中，， ∴， 在中，由勾股定理可得， 即，解得或（舍去）； ②当时，则，解得； ③当时，则， ∴， ∴， ∴， ∴，即，解得． 综上可知，当运动时间为6.6秒或6秒或5.5秒时，为等腰三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $