三角函数与恒等变换单元检测-2026届高三数学二轮复习

三角函数与恒等变换单元检测卷 考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”． 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效． 3.考试结束后由监考老师将答题卡收回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知，，求（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二倍角的正切公式 【分析】利用正切的二倍角公式可得，结合角的范围，即可求得答案. 【详解】由题意得，即得，解得， 又，所以. 故选：A. 2. 下列四个函数，以为最小正周期且在区间上单调递增的函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、求余弦（型）函数的最小正周期、求正切（型）函数的周期、求sinx型三角函数的单调性 【分析】根据三角函数的性质逐一判断即可. 【详解】对于A，因为的周期为， 当时，， 此时不单调递增，故A错误； 对于B，因为的周期为，且函数在区间上单调递增，故B正确； 对于C，因为的周期为，不满足题意，故C错误； 对于D，作出的部分图象，如图所示： 由此可得函数的周期为，在区间上单调递减，故D错误. 故选：B. 3. 若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】正、余弦齐次式的计算 【分析】利用弦化切可求出的值，再将所求代数式化为，代入即可得出所求代数式的值. 【详解】因为，所以， 可得. 故选：A. 4. 将函数的图象平移得到的图象，且直线为曲线在y轴右侧的首条对称轴，则上述的平移方式可以是（   ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】C 【知识点】利用正弦函数的对称性求参数、求图象变化前（后）的解析式 【分析】根据题意结合函数对称性可得，解得，进而图象变换逐项分析判断即可. 【详解】若，则， 因为直线为曲线在y轴右侧的首条对称轴， 则，解得，得，， A：将函数的图象向左平移个单位，得，不合题意，故A错误； B：将函数的图象向右平移个单位，得，不合题意，故B错误； C：将函数的图象向左平移个单位，得，符合题意，故C正确； D：将函数的图象向右平移个单位，得，不合题意，故D错误； 故选：C. 5. 已知，且，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、给值求值型问题 【分析】先逆用两角和的正弦公式可得的值，再根据同角三角函数的基本关系可得的值，最后利用倍角公式即可得解. 【详解】因为 ， 又， 所以， 所以． 故选：B. 6. 为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针针尖位置为.若初始位置为，当秒针从（注此时）开始走时，点的纵坐标与时间的函数关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、三角函数在生活中的应用 【分析】根据振幅，初相，周期，即可求解函数的解析式. 【详解】设函数的初相为，初始位置可知，，， 则，排除BC， 函数的最小正周期为60秒，且秒针为顺时针，所以，，所以， 且振幅为1，所以满足条件的解析式为. 故选：D 7. 已知，则（    ） A． B． C．6 D．7 【答案】D 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、用和、差角的余弦公式化简、求值、用和、差角的正弦公式化简、求值、给值求值型问题 【分析】根据二倍角余弦公式结合和差角余弦公式化简，可得，结合条件求得，再利用和差角的正弦公式求得，进而求得答案. 【详解】因为 ， 所以，又，所以， 又， 解得，所以. 故选：D. 8. 已知函数（）在上单调递增，且在上有且仅有1个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用正弦型函数的单调性求参数 【分析】由题意，利用正弦函数的零点和单调性求出的取值范围 【详解】当，， 函数（）在上单调递增， 所以，所以 当，， 且， 在上有且仅有1个零点， 所以或， 所以或， 综上的取值范围为， 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 以下说法正确的有（   ） A．化成弧度为 B．与的终边相同的角的集合是 C．将表的分针拨慢20分钟，则分针转过的角的弧度是 D．已知扇形的周长为，圆心角为，则该扇形的面积为 【答案】ABD 【知识点】找出终边相同的角、角度化为弧度、扇形弧长公式与面积公式的应用 【分析】根据角的性质和弧度制逐一判断各个选项即可得到结论． 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，所以与的终边相同的角的集合是，故B正确； 对于C，将表的分针拨慢20分钟，则分针逆时针旋转，故分针转过的角的弧度是，故C不正确； 对于D，设扇形的弧长，半径为，由于扇形的周长为，圆心角为， 则，解得，则该扇形的面积为，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦、已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦、已知两角的正、余弦，求和、差角的正切、二倍角的余弦公式 【分析】根据，根据二倍角公式及的范围求，，对于A，由，结合商的关系求即可判断，对于B，利用二倍角公式求，根据平方关系求，再由结合两角和正弦公式求即可判断，对于C，由，结合余弦函数的有界性即可判断，对于D，先求，再由结合两角和正切公式求即可判断. 【详解】因为，所以，， 又，所以，，故，， 对于A选项，因为，，所以，故A正确； 对于B选项，因为，，所以， 因为，所以，又， 所以，， 所以，B错误， 对于C选项，因为，，故，C错误， 对于D选项，因为，，所以， 又，所以，故D正确， 故选：AD. 11. 已知，则下列命题中正确的是 （    ） A．当时，在上的值域为 B．当时，的图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到 C．当时，的值域为 D．若存在正偶数，使得对任意恒成立，则 【答案】BCD 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、求图象变化前（后）的解析式、辅助角公式 【分析】当时，利用辅助角公式合并，可判断AB；对于C：利用立方和公式与完全平方式化简求值域即可；对于D：令，先把当作变量，利用，求出，问题转化成对任意恒成立，利用恒成立问题的解法可得答案. 【详解】当时，， 因为，所以， 所以， 所以，故A错误； 向左平移个单位长度得到， 化简得， ， ，故B正确； 当时， ， 又，得的值域为，故C正确； 令，得， 因为，，且， 所以， 存在正偶数，使得成立，当时，， 所以只需对任意恒成立， 即对任意恒成立， 由于， 所以， 解得：，故D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则的值为 ． 【答案】 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、求含sinx(型)函数的值域和最值、sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【分析】先根据与的关系列式求得或，然后再利用辅助角公式和正弦函数值域得，即可求解. 【详解】因为， 且， 所以，解得或， 又，所以. 故答案为： 13. 若，则的值为 ． 【答案】3或不存在 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】设，则，将已知条件转化为，再利用两角和与差的正弦公式展开化简即可求解. 【详解】令，于是有， 所以， 化简上式得， 当时，两边同除以可得， 所以的值为3； 当时，则，，， 此时无意义，所以不存在. 故答案为：3或不存在 14. 已知是函数的两个零点，且，若将函数的图象向左平移个单位后得到的图象关于轴对称，且函数在恰有2个极值点，则实数取值范围为 . 【答案】 【知识点】求图象变化前（后）的解析式、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、利用正弦函数的对称性求参数、由正弦（型）函数的奇偶性求参数 【分析】根据函数零点的最小距离可得，再利用平移规则和函数奇偶性可求得，根据函数在内恰有2个极值点可限定出，即可解得实数的取值范围. 【详解】由，即， 可得或， 根据正弦函数图象性质可知，解得， 则； 将函数的图象向左平移个单位可得， 又为偶函数， 则，又，可得，因此； 当时，可知， 若函数在内恰有个极值点，可知， 解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用正弦函数图象性质根据两零点的最小距离求得，再由平移后的函数为偶函数求得，得出函数的解析式后问题便迎刃而解. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知是第二象限角，且. (1)求的值； (2)先化简，再求值：. 【答案】(1) (2) 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、已知弦（切）求切（弦）、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】（1）由同角三角函数关系和商数关系计算可得； （2）由诱导公式化简，再代入计算即可. 【详解】（1）因为是第二象限角，所以， 因为， 所以. （2）化简， 由（1）知， 所以，原式. 16. 已知，且. (1)求的值； (2)求角； (3)求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、用和、差角的余弦公式化简、求值、用和、差角的正弦公式化简、求值、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）根据已知条件求出的值，再根据两角差的余弦公式求出； （2）根据已知条件求出的值，再根据两角和的公式求出，进一步求出； （3）根据二倍角公式求出和的值，再根据两角和的正弦公式求出. 【详解】（1）因为，，则， 所以. （2）由(1)可得，，，则， 因为，所以，解得， 又因为，所以. （3）因为，，， 所以， ，， 所以. 17. 已知函数的部分图象如图所示.    (1)求函数的解析式； (2)求在上的单调递增区间； (3)将函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，所得图象经过点，求的最小值. 【答案】(1) (2)和. (3). 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、求图象变化前（后）的解析式、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）根据最值以及周期即可求解， （2）利用整体法得到不等式组，解出后，再合理赋值求解即可， （3）利用函数图像的平移变换，即可结合图像经过求解. 【详解】（1）由题意知函数的最大值为2，最小值为－2，故，     函数的最小正周期，又，所以，     由，所以，，解得，，又，得，     所以. （2）令，，解得，， 因为，所以令，得，又，所以； 令，得， 又，所以， 所以函数在上的单调递增区间为和. （3）将函数图象上所有的点向右平移个单位长度得到，     又图象经过点，所以，，     解得，，所以，即的最小值是. 18. 已知函数（）有最大值为2，且相邻的两条对称轴的距离为 (1)求函数的解析式，并求其对称轴方程； (2)将向右平移个单位，再将横坐标伸长为原来的倍，再将纵坐标扩大为原来的25倍，再将其向上平移60个单位，得到，则可以用函数模型来模拟某摩天轮的座舱距离地面高度H随时间t（单位：分钟）变化的情况．已知该摩天轮有24个座舱，游客在座舱转到离地面最近的位置进仓，若甲、乙已经坐在a，b两个座舱里，且a，b中间隔了3个座舱，如图所示，在运行一周的过程中，求两人距离地面高度差h关于时间t的函数解析式，并求最大值． 【答案】(1)，， (2)，50 【知识点】三角恒等变换的化简问题、三角函数在生活中的应用、求图象变化前（后）的解析式、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】（1）由二倍角公式与两角和与差的正弦公式化简得，再结合最值及周期即可得解析式； （2）由正弦型函数的平移变换与伸缩变换得变换后的解析式为，则，再求最值即可. 【详解】（1），所以， 因为相邻两条对称轴的距离为，所以半周期为， 故， 令， （2）向右平移得到，将横坐标伸长为原来的倍，得到， 将纵坐标扩大为原来的25倍，得到，再将其向上平移60个单位，得到 游客甲与游客乙中间隔了3个座舱，则相隔了， 令，则， 则，，，，故， 当或或20时， 19. 已知函数（）的最小正周期为. (1)求的单调递减区间； (2)若，对于任意，总存在，使得成立，求a的取值范围； (3)把曲线向左平移个单位，再把曲线上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变得到曲线.设函数（），将在区间上的极值点按从小到大的顺序排列成数列.若，求实数k的值. 【答案】(1)； (2); (3). 【知识点】求sinx型三角函数的单调性、求图象变化前（后）的解析式、求含sinx(型)函数的值域和最值、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】（1）利用三角函数的周期性计算参数，结合单调性计算即可； （2）将问题化为，结合三角函数的图象与性质及换元法、分类讨论计算即可； （3）利用三角函数图象变换先确定，求得得出，结合正切函数的图象与性质，消元得出，构造函数研究其对称性得出，计算即可得出参数值. 【详解】（1）由题意，所以， 令， 解得， 即的单调递减区间为； （2）由题意可知， 由，则，所以，即， 而， 令，即， 由题，则， 若，则，显然成立； 若，则，显然成立； 若，则，所以，； 综上所述要满足题意需，即a的取值范围为：. （3）由题意易知，所以， 显然时，则令， 即，不妨令， 则，即， 设，最小正周期为， 显然，， 所以为偶函数，且关于中心对称， 而，所以， 又，所以， 即两式相加有. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 三角函数与恒等变换单元检测卷 考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”． 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效． 3.考试结束后由监考老师将答题卡收回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知，，求（   ） A． B． C． D． 2. 下列四个函数，以为最小正周期且在区间上单调递增的函数是（   ） A． B． C． D． 3. 若，则（    ） A． B． C． D． 4. 将函数的图象平移得到的图象，且直线为曲线在y轴右侧的首条对称轴，则上述的平移方式可以是（   ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 5. 已知，且，则（　　） A． B． C． D． 6. 为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针针尖位置为.若初始位置为，当秒针从（注此时）开始走时，点的纵坐标与时间的函数关系为（    ） A． B． C． D． 7. 已知，则（    ） A． B． C．6 D．7 8. 已知函数（）在上单调递增，且在上有且仅有1个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 以下说法正确的有（   ） A．化成弧度为 B．与的终边相同的角的集合是 C．将表的分针拨慢20分钟，则分针转过的角的弧度是 D．已知扇形的周长为，圆心角为，则该扇形的面积为 10. 已知，则（    ） A． B． C． D． 11. 已知，则下列命题中正确的是 （    ） A．当时，在上的值域为 B．当时，的图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到 C．当时，的值域为 D．若存在正偶数，使得对任意恒成立，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则的值为 ． 13. 若，则的值为 ． 14. 已知是函数的两个零点，且，若将函数的图象向左平移个单位后得到的图象关于轴对称，且函数在恰有2个极值点，则实数取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知是第二象限角，且. (1)求的值； (2)先化简，再求值：. 16. 已知，且. (1)求的值； (2)求角； (3)求的值. 17. 已知函数的部分图象如图所示.    (1)求函数的解析式； (2)求在上的单调递增区间； (3)将函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，所得图象经过点，求的最小值. 18. 已知函数（）有最大值为2，且相邻的两条对称轴的距离为 (1)求函数的解析式，并求其对称轴方程； (2)将向右平移个单位，再将横坐标伸长为原来的倍，再将纵坐标扩大为原来的25倍，再将其向上平移60个单位，得到，则可以用函数模型来模拟某摩天轮的座舱距离地面高度H随时间t（单位：分钟）变化的情况．已知该摩天轮有24个座舱，游客在座舱转到离地面最近的位置进仓，若甲、乙已经坐在a，b两个座舱里，且a，b中间隔了3个座舱，如图所示，在运行一周的过程中，求两人距离地面高度差h关于时间t的函数解析式，并求最大值． 19. 已知函数（）的最小正周期为. (1)求的单调递减区间； (2)若，对于任意，总存在，使得成立，求a的取值范围； (3)把曲线向左平移个单位，再把曲线上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变得到曲线.设函数（），将在区间上的极值点按从小到大的顺序排列成数列.若，求实数k的值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $