精品解析：山西省晋中市太谷区2025-2026学年九年级上学期期末数学试题

太谷区2025-2026学年度第一学期期末质量监测试题（卷） 九年级数学 （满分：120分，考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项符合要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，则sinA的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】在直角三角形中，由正弦定义可知sinA=. 考点：三角函数值. 2. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，是解题的关键． 通过计算一元二次方程的判别式的值，判断根的情况即可． 【详解】解：∵ 方程 中，，，， ∴ ， ∴ 方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 3. 超级工程一一北京大兴国际机场：凤凰涅槃，位列“新世界七大奇迹”之首，其曲面屋盖由8000余块玻璃构成，每块玻璃的曲率都经过优化接近于0.618，既满足结构受力要求，又形成富有韵律的视觉效果．这里玻璃曲率的优化中，所蕴含的数学知识是（ ） A. 位似变换 B. 平移变换 C. 旋转变换 D. 黄金分割 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查黄金分割，掌握黄金分割的近似值为0.618是解题的关键． 根据题意中提到的曲率都经过优化接近于0.618，即可知道运用的数学知识为黄金分割． 【详解】解：∵每块玻璃的曲率都经过优化接近于0.618， 而0.618为黄金分割的近似值， 故选：D． 4. 在2025年秋季《国家学生体质健康标准》测试数据上报中，太谷区为从中了解我区初中生体质健康水平，便在全区的测试数据中随机抽测，结果如下表，根据抽测结果，下列对我区初中生体质健康合格的概率的估计，最合理的是（ ） 累计抽测的学生数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 体质健康合格的学生数与的比值 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据频率稳定性，当试验次数较多时，频率趋近于概率。从表格数据看，随着抽测学生数增加，比值在n较大时稳定在附近． 本题考查利用频率估算概率，熟练掌握估计思维特点是解题的关键． 【详解】解：∵ 概率是频率的稳定值，且试验次数越多，频率越接近概率， ∴ 由表格数据，当和时，比值均为， 且前期波动后趋于该值， ∴ 最合理的估计是， 故选：A． 5. 太原市迎泽大街西段路灯“头火棉桃灯”（如图1）于2025年8月底“上岗”．它在保留了传统中华灯造型的基础上，进行了照明技术的创新．所有的光源都采用了技术，不仅节能环保，还能带来更智能的照明体验．如图2是路灯的底座，它的俯视图如图3所示，则该几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义．根据简单组合体三视图的画法画出它的左视图即可． 【详解】解：该几何体的左视图为： 故选：C． 6. 已知四边形中，与相交于点，下列条件：①；②；③；④，从以上条件中任选三个，能判定四边形是菱形的选法有（ ）种． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的判定，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键． 根据菱形的判定方法，逐一选择三个条件进行证明，判断最终有几种选法即可． 【详解】解：选择①②③： ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴不能判断四边形是菱形， ∴选法不正确； 选择①②④： ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形菱形， ∴选法正确； 选择①③④： 同理可证：，得到四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴选法正确； 选择②③④： ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴选法正确； 故选：C． 7. 关于反比例函数的图象和性质，下列说法错误的是（ ） A. 图象经过点 B. 图象关于原点中心对称 C. 图象关于直线轴对称 D. 的值随值的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握性质是解题的关键．根据反比例函数的性质，当时，图象关于原点对称，位于第二、四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大，据此逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、当时，，即图象经过点，原说法正确，不符合题意； B、反比例函数图象关于原点中心对称，原说法正确，不符合题意； C、若满足，则交换得满足，即，与原方程一致，即图象关于直线轴对称，原说法正确，不符合题意； D、因为，所以反比例函数的图象位于第二、四象限，且在每个象限内随的增大而增大，原说法错误，符合题意． 故选：D． 8. 如图，在四边形中，已知，那么补充下列条件后不能判定和相似的是（ ） A. 平分 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 根据相似三角形的判定方法，逐一对选项进行判断即可． 【详解】解：对于A：∵平分，∴，∵，∴，∴不符合题意； 对于B：∵，，∴，∴不符合题意； 对于C：∵，，∴，∴不符合题意； 对于D：∵，，∴不能证明，∴符合题意； 故选：D． 9. 2025年，由于新能源汽车的快速崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年9月份售价为25万元，11月份售价为24.01万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的实际问题，找准等量关系正确列出一元二次方程是解题的关键． 利用某款燃油汽车今年9月份售价为25万元，11月份售价为24.01万元的等量关系，列出方程即可． 【详解】解：根据题意可列：， 故选：C． 10. 如图，有一张矩形纸片，点是上一点，将纸片沿折叠，点分别落在点处，当点在上时，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，熟练运用折叠的性质是解决本题的关键．先求出，设，则，根据勾股定理列方程求出即可． 【详解】解：矩形纸片，由折叠得： ， ， ， 设，则， 在中， ， 解得：， ， 故选：B． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 若是一元二次方程的一个根，则的值为___________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，把代入方程，进行求解即可． 【详解】解：把代入，得，解得； 故答案为：2． 12. 如图是一组悬挂在天花板上的创意吊灯，清洗时每次只能取下一个吊灯，且取下吊灯前必须先取下吊灯，直到3个吊灯都被取下为止，则清洗时第二个被取下的吊灯是的概率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先列举出所有的可能情况：，然后根据概率公式进行计算即可． 本题主要考查了列举法求概率，熟练掌握概率的计算是解题的关键． 【详解】解：由取下顺序可知，共有三种等可能的结果， ∴清洗时第二个取下的吊灯是B的概率是， 故答案为：． 13. 验光师通过检测发现近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例，关于的函数图像如图所示，经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由米调整到米，则近视眼镜的度数减少了______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，用待定系数法求出反比例函数解析式，当时，代入解析式求出的值，进而计算即可，读懂题意，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意设关于的函数图像解析式为， ∴， ∴关于的函数图像解析式为， 当时，， ∴近视眼镜的度数减少了（度）， 故答案为：． 14. 如图是一个几何体的三视图，其俯视图为菱形，根据图中的数据，可得几何体的体积为___________． 【答案】270 【解析】 【分析】本题主要考查了四棱柱，三视图，熟练掌握四棱柱的性质是解题的关键． 根据三视图得出棱柱底面菱形的对角线长分别为，，然后根据菱形的面积公式和棱柱的体积公式计算即可． 【详解】解：由三视图可知，该几何体的形状是直四棱柱，棱柱底面菱形的对角线长分别为，， ∴棱柱的体积． 故答案是：270． 15. 如图，在中，点是边上的一点，且，连接并取的中点，连接，若，且，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质．延长交于点，过点作于点，根据已知得出，进而可得，，证明，得出，进而根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，根据相似三角形的性质求得，，在中，勾股定理求得，进而即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交于点，过点作于点， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵，点是的中点 ∴ 在中， ∴， 在中， ∴，， ∴， ∵ ∴ 解得： ∴ 在中， ∴ 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 按要求完成下列各题： （1）解方程：； （2）计算：． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法解方程即可； （2）根据特殊角的三角函数值计算即可． 本题考查了一元二次方程的解法，特殊角的三角函数值，熟练掌握解方程和三角函数值是解题的关键． 【小问1详解】 解：， 或 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 如图，在平面直角坐标系内三顶点的坐标分别为． （1）以点为位似中心，在点的下方画出，使与位似，且位似比为； （2）写出点的坐标：___________； （3）四边形的面积为___________． 【答案】（1）见详解 （2） （3）20 【解析】 【分析】本题考查了画位似图形，点的坐标，利用网格求面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据位似图形的性质，得出点的位置，再依次连接，即可作答． （2）结合（1）的位似图形，得出点的坐标，即可作答． （3）运用割补法进行列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 解：结合（1）的图，得出点的坐标为； 【小问3详解】 解：依题意，， 即四边形的面积为． 18. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象在第二象限交于点，在第四象限交于点，过点作轴于点，连接． （1）求一次函数与反比例函数的表达式． （2）求的面积． （3）根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】（1）， （2）3 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合、用待定系数法求一次函数的解析式、用待定系数法求反比例函数的解析式、利用函数图象求不等式的解集，解决本题的关键是根据一次函数与反比例函数的图象与性质确定不等式的解集和点的坐标． （1）首先把代入，求出的值，可得反比例函数的解析式，再把代入，求出的值，从而得到点的坐标，再把点、的坐标代入一次函数的解析式，求解即可得到一次函数的解析式； （2）过点作交的延长线于点，求得，再求出，最后根据三角形面积公式求出的面积； （3）根据图象中一次函数与反比例函数的图象得到不等式的解集． 【小问1详解】 解：的图象过点， 反比例函数的表达式为 的图象过点， ， 直线的图象经过点， 解得 一次函数的表达式为 【小问2详解】 解：过点作交延长线于点 轴， 【小问3详解】 解：由图象可知：不等式的解集为：或 19. 《数学之美》是中国邮政于2025年3月14日（国际圆周率日）发行的纪特邮票．该套邮票共4枚，面值分别为80分、1.20元、1.20元、1.50元．邮票图案名称为：圆周率、勾股定理、欧拉公式、莫比乌斯带．数学兴趣小组的同学对该组邮票很感兴趣，便收集了这4张邮票的图案并制成卡片，依次标为A、B、C、D，现将卡片背面朝上洗匀放在桌面上（卡片背面完全相同）． （1）将这四张卡片背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，则抽取的这张卡片图案刚好是“欧拉公式”的概率是___________； （2）小文从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法求小文抽到的两张卡片的图案恰好是“欧拉公式”和“莫比乌斯带”的概率． 【答案】（1） （2）列表见解析， 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，画树状图或列表法求概率，掌握不放回的概率计算要分步考虑是解题的关键． （1）直接利用概率公式求解即可； （2）不放回的两步抽取，需通过列表列出所有12种可能结果，再找出符合“欧拉公式”和“莫比乌斯带”的2种结果，进而可算出概率． 【小问1详解】 解：总共有、、、四种情况，其中抽到卡片“欧拉公式”的概率为； 故答案为：． 【小问2详解】 解：根据题意，列表如下： 第一次 第二次 共有种等可能的结果，小文抽到的两张卡片的图案恰好是“欧拉公式”和“莫比乌斯带”的结果有种， ． 故答案为：． 20. 利用一元二次方程解决实际问题 截至2025年10月30日，《浪浪山小妖怪》的累计票房已超过17亿元，登顶中国影史国产二维动画电影票房冠军．问童子毛绒品牌公司，借助电影《浪浪山小妖怪》的东风，推出《浪浪山小妖怪》系列毛绒公仔、挂偶等并在各大网站、店铺爆卖．现已知某店铺成本价为50元/个的“小猪妖”毛绒挂偶，当它的售价为80元/个时，每周可售出100个．经过市场调查发现，每个“小猪妖”毛绒挂偶的售价每上涨1元，周销售量将减少5个． 问：该店铺本周计划涨价销售该款“小猪妖”毛绒挂偶，并盈利2000元，求该店铺本周该款“小猪妖”毛绒挂偶的售价． 【答案】该店铺本周该款“小猪妖”毛绒挂偶的售价为90元/个 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的实际问题，根据题意列出方程是解题的关键． 首先根据题意列出一元二次方程，求解得到答案，再结合涨价销售选取合适的答案即可． 【详解】解：该店铺本周该款“小猪妖”毛绒挂偶的售价为x元/个， 根据题意得：， ∴，解得：， ∵是涨价销售 ∴（不合题意，舍去） ∴该店铺本周该款“小猪妖”毛绒挂偶的售价为90元/个． 21. 项目化学习 项目主题 测量“史公塔”的高度 项目背景 史公塔，也称北坛塔，位于晋中市介休城西北，坐落在北坛公园内．县级文物保护单位．塔建于清乾隆十三年（1748），系八角七层楼阁式砖塔，塔顶饰以黄、绿两色琉璃瓦，塔刹和覆钵为黄色琉璃，配以绿琉璃垂脊，外观雄浑秀丽，金碧辉煌．有木梯、台阶可登顶远眺．某数学“综合与实践”小组以“测量史公塔的高度”为主题开展项目学习． 测量示意图 说明：点为“史公塔”塔顶，点是两个观测点，为垂直于地面的高台，且三点共线 测量数据 处的仰角 处的仰角 高台的高度 的距离 ．．．．．． ．．．．．． 任务一：请运用你所学的知识，根据上表中的测量数据，帮助“综合与实践”小组求出塔顶A到地面的距离（结果保留整数，参考数据：； 任务二：该“综合与实践”小组要写出一份完整的课题活动报告，除了上表中的项目外，你认为还需要补充哪些项目（写出一个即可）． 【答案】任务一：该塔的高度约为44米 任务二：还需要补充的项目为：测量工具，计算过程，人员分工（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查三角函数的实际应用，构造直角三角形求解线段长度是解题的关键． 任务一：首先构造合适辅助线得到直角三角形，再在中，利用三角函数解得的长，进而即可得到塔高； 任务二：还需要补充的项目为：测量工具，计算过程，人员分工（答案不唯一） 【详解】解：任务一：如图，过点E作于M，交AC于F，过点C作于G，则四边形、四边形都是矩形， 米，米， 设米，由题意得，， 与都是等腰直角三角形， 米， 米， ， 在中，， ， 由题意得，，即，解得：， 则（米）， 答：该塔的高度约为44米； （2）还需要补充的项目为：测量工具，计算过程，人员分工（答案不唯一）． 22. 综合与应用 定义：如图1，在平面直角坐标系中，点是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点分别作轴、轴的垂线，若由点、原点、两个垂足为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点是平面直角坐标系中的“完美点”． 【尝试初探】 （1）点___________“完美点”（填“是”或“不是”）；若点是第一象限内的一个“完美点”，则___________； 【深入探究】 （2）①若“完美点”在双曲线的图象上，求该反比例函数的表达式； ②在①的条件下，若点也在双曲线的图象上,请在图2中描出两点,构造出,画出该反比例函数在第一象限的图象,并求出的面积． 【答案】（1）不是，；（2）①；②24 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，描点法画图象，分割法求面积，熟练掌握定义和性质是解题的关键． （1）根据矩形的特点，可得矩形的周长为横坐标的绝对值与纵坐标的绝对值的和的2倍，矩形的面积等于点的横坐标与纵坐标的积的绝对值，计算判断即可； （2）①根据题意，得，得到，求解析式即可； ②利用描点法画出图象，后分割法计算面积即可． 【详解】（1）解：由点， 故矩形的周长为 ，矩形的面积为，周长不等于面积， 故点 不是“完美点”， 故答案为：不是； 由点， 故矩形周长为 ，矩形的面积为，周长不等于面积， 由点是第一象限内的一个“完美点”， 故， 解得， 故答案为：； （2）①解：“完美点”， ， 解得， 点， 在的图象上， 该反比例函数的表达式为； （2）解：画图如下： 分别过点作轴，轴，垂足分别为点与交于点，则 四边形是矩形 点在的图象上， ， ， 又 答：的面积为24． 23. 综合与探究 【自主探究】 在综合与实践课上，老师以“正方形的旋转”为主题，开展数学活动． 如图1，已知正方形和正方形，当点在对角线上时，在老师提出：猜想线段与的数量关系时，大家一致认为，并且有两个小组给出如下的证明思路： 奋进组：要想证明，可以构造并证明等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的斜边与底角的三角函数，然后通过等量代换，便可证明； 创新组：要想证明，可利用平行线分线段成比例定理，对比例式进行变形，然后利用等腰直角三角形的斜边与底角的三角函数．便可证明； 【操作思考】 （1）请你根据“奋进组”和“创新组”提出的思路对下面问题做出选择（ ） A．“奋进组”的思路正确，“创新组”的思路不正确 B．“创新组”的思路正确，“奋进组”的思路不正确 C．“奋进组”和“创新组”的思路都正确 D．“奋进组”和“创新组”的思路都不正确 【深入探究】 （2）将正方形绕着点顺时针旋转；（）当正方形旋转到图2的位置时，（1）中的结论是否成立，若成立请加以证明；若不成立，请写出正确的数量关系，并加以证明． 【拓展延伸】 （3）如图3，将正方形绕着点顺时针旋转；（）的过程中，当三点共线时，直线与射线相交于点，当，线段的长为___________（直接写出答案） 【答案】（1）C；（2）（1）中的结论成立，理由见解析；（3）或 【解析】 【分析】（1）奋进组：延长交于点，则四边形是矩形，那么，解中，，故奋进组的思路正确；创新组：由，得到，则，故创新组的思路正确； （2）接，证明即可求解； （3）分两种情况讨论，过点作于点，连接，先证明，由勾股定理求出，则，然后证明，可得，那么，据此即可求解． 【详解】解：（1）奋进组： 延长交于点， ∵正方形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴在中，， 故奋进组的思路正确； 创新组： ∵正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 故创新组思路正确， 故选：C； （2）（1）中的结论成立，理由如下： 连接， 由（1）可得，， ∴ ∴， ∴， ∴； （3）当点E在正方形内部时，记正方形交点为， 过点作于点，连接， ∵正方形，三点共线， ∴，， ∴，，， ∴， ∴， 在正方形中，， ∵ ∴， ∴ ∴， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 记交于点K， ∵， ∴，即， ∴， ∴ ∴； 当点E在正方形外部时，记正方形交点为， 过点作交延长线于点，连接， ∵正方形，三点共线， ∴，， ∴，，， ∴， ∴， 在正方形中，， ∵ ∴， ∴ ∴， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 记交于点K， ∵， ∴，即， ∴， ∴ ∴， 综上：线段的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，正方形的性质，解直角三角形，勾股定理等知识点，难度较大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 太谷区2025-2026学年度第一学期期末质量监测试题（卷） 九年级数学 （满分：120分，考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项符合要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，则sinA的值为（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 3. 超级工程一一北京大兴国际机场：凤凰涅槃，位列“新世界七大奇迹”之首，其曲面屋盖由8000余块玻璃构成，每块玻璃的曲率都经过优化接近于0.618，既满足结构受力要求，又形成富有韵律的视觉效果．这里玻璃曲率的优化中，所蕴含的数学知识是（ ） A. 位似变换 B. 平移变换 C. 旋转变换 D. 黄金分割 4. 在2025年秋季《国家学生体质健康标准》测试数据上报中，太谷区为从中了解我区初中生体质健康水平，便在全区的测试数据中随机抽测，结果如下表，根据抽测结果，下列对我区初中生体质健康合格的概率的估计，最合理的是（ ） 累计抽测学生数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 体质健康合格的学生数与的比值 A. B. C. D. 5. 太原市迎泽大街西段路灯“头火棉桃灯”（如图1）于2025年8月底“上岗”．它在保留了传统中华灯造型的基础上，进行了照明技术的创新．所有的光源都采用了技术，不仅节能环保，还能带来更智能的照明体验．如图2是路灯的底座，它的俯视图如图3所示，则该几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 6. 已知四边形中，与相交于点，下列条件：①；②；③；④，从以上条件中任选三个，能判定四边形是菱形的选法有（ ）种． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 关于反比例函数的图象和性质，下列说法错误的是（ ） A. 图象经过点 B. 图象关于原点中心对称 C 图象关于直线轴对称 D. 的值随值的增大而增大 8. 如图，在四边形中，已知，那么补充下列条件后不能判定和相似的是（ ） A. 平分 B. C. D. 9. 2025年，由于新能源汽车的快速崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年9月份售价为25万元，11月份售价为24.01万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，有一张矩形纸片，点是上一点，将纸片沿折叠，点分别落在点处，当点在上时，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 5 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 若是一元二次方程的一个根，则的值为___________． 12. 如图是一组悬挂在天花板上创意吊灯，清洗时每次只能取下一个吊灯，且取下吊灯前必须先取下吊灯，直到3个吊灯都被取下为止，则清洗时第二个被取下的吊灯是的概率是___________． 13. 验光师通过检测发现近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例，关于的函数图像如图所示，经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由米调整到米，则近视眼镜的度数减少了______度． 14. 如图是一个几何体的三视图，其俯视图为菱形，根据图中的数据，可得几何体的体积为___________． 15. 如图，在中，点是边上的一点，且，连接并取的中点，连接，若，且，则的长为___________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 按要求完成下列各题： （1）解方程：； （2）计算：． 17. 如图，在平面直角坐标系内三顶点的坐标分别为． （1）以点为位似中心，在点的下方画出，使与位似，且位似比为； （2）写出点的坐标：___________； （3）四边形的面积为___________． 18. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象在第二象限交于点，在第四象限交于点，过点作轴于点，连接． （1）求一次函数与反比例函数的表达式． （2）求的面积． （3）根据图象直接写出不等式的解集． 19. 《数学之美》是中国邮政于2025年3月14日（国际圆周率日）发行的纪特邮票．该套邮票共4枚，面值分别为80分、1.20元、1.20元、1.50元．邮票图案名称为：圆周率、勾股定理、欧拉公式、莫比乌斯带．数学兴趣小组的同学对该组邮票很感兴趣，便收集了这4张邮票的图案并制成卡片，依次标为A、B、C、D，现将卡片背面朝上洗匀放在桌面上（卡片背面完全相同）． （1）将这四张卡片背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，则抽取的这张卡片图案刚好是“欧拉公式”的概率是___________； （2）小文从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法求小文抽到的两张卡片的图案恰好是“欧拉公式”和“莫比乌斯带”的概率． 20. 利用一元二次方程解决实际问题 截至2025年10月30日，《浪浪山小妖怪》的累计票房已超过17亿元，登顶中国影史国产二维动画电影票房冠军．问童子毛绒品牌公司，借助电影《浪浪山小妖怪》的东风，推出《浪浪山小妖怪》系列毛绒公仔、挂偶等并在各大网站、店铺爆卖．现已知某店铺成本价为50元/个的“小猪妖”毛绒挂偶，当它的售价为80元/个时，每周可售出100个．经过市场调查发现，每个“小猪妖”毛绒挂偶的售价每上涨1元，周销售量将减少5个． 问：该店铺本周计划涨价销售该款“小猪妖”毛绒挂偶，并盈利2000元，求该店铺本周该款“小猪妖”毛绒挂偶售价． 21. 项目化学习 项目主题 测量“史公塔”的高度 项目背景 史公塔，也称北坛塔，位于晋中市介休城西北，坐落在北坛公园内．县级文物保护单位．塔建于清乾隆十三年（1748），系八角七层楼阁式砖塔，塔顶饰以黄、绿两色琉璃瓦，塔刹和覆钵为黄色琉璃，配以绿琉璃垂脊，外观雄浑秀丽，金碧辉煌．有木梯、台阶可登顶远眺．某数学“综合与实践”小组以“测量史公塔的高度”为主题开展项目学习． 测量示意图 说明：点为“史公塔”的塔顶，点是两个观测点，为垂直于地面的高台，且三点共线 测量数据 处的仰角 处的仰角 高台的高度 的距离 ．．．．．． ．．．．．． 任务一：请运用你所学的知识，根据上表中的测量数据，帮助“综合与实践”小组求出塔顶A到地面的距离（结果保留整数，参考数据：； 任务二：该“综合与实践”小组要写出一份完整课题活动报告，除了上表中的项目外，你认为还需要补充哪些项目（写出一个即可）． 22. 综合与应用 定义：如图1，在平面直角坐标系中，点是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点分别作轴、轴的垂线，若由点、原点、两个垂足为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点是平面直角坐标系中的“完美点”． 【尝试初探】 （1）点___________“完美点”（填“是”或“不是”）；若点是第一象限内的一个“完美点”，则___________； 【深入探究】 （2）①若“完美点”在双曲线的图象上，求该反比例函数的表达式； ②在①的条件下，若点也在双曲线的图象上,请在图2中描出两点,构造出,画出该反比例函数在第一象限的图象,并求出的面积． 23. 综合与探究 【自主探究】 在综合与实践课上，老师以“正方形的旋转”为主题，开展数学活动． 如图1，已知正方形和正方形，当点在对角线上时，在老师提出：猜想线段与的数量关系时，大家一致认为，并且有两个小组给出如下的证明思路： 奋进组：要想证明，可以构造并证明等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的斜边与底角的三角函数，然后通过等量代换，便可证明； 创新组：要想证明，可利用平行线分线段成比例定理，对比例式进行变形，然后利用等腰直角三角形的斜边与底角的三角函数．便可证明； 【操作思考】 （1）请你根据“奋进组”和“创新组”提出的思路对下面问题做出选择（ ） A．“奋进组”的思路正确，“创新组”的思路不正确 B．“创新组”的思路正确，“奋进组”的思路不正确 C．“奋进组”和“创新组”的思路都正确 D．“奋进组”和“创新组”的思路都不正确 【深入探究】 （2）将正方形绕着点顺时针旋转；（）当正方形旋转到图2的位置时，（1）中的结论是否成立，若成立请加以证明；若不成立，请写出正确的数量关系，并加以证明． 【拓展延伸】 （3）如图3，将正方形绕着点顺时针旋转；（）的过程中，当三点共线时，直线与射线相交于点，当，线段的长为___________（直接写出答案） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $