第七章 幂的运算（举一反三单元自测·培优卷）数学新教材苏科版七年级下册

第七章 幂的运算·培优卷 【新教材苏科版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26九年级上·云南文山·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂的乘法与除法、积的乘方、合并同类项，掌握相关知识点是解题的关键． 根据同底数幂的乘法与除法、积的乘方、合并同类项的运算法则，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、，故此选项运算错误，不符合题意； B、，故此选项运算错误，不符合题意； C、，故此选项运算错误，不符合题意； D、，故此选项运算正确，符合题意； 故选：D． 2．（25-26八年级上·山西临汾·期中）已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则，熟练掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加的法则是解题的关键．利用同底数幂的乘法法则将转化成，再代入已知值计算即可． 【详解】解： ，， ． 故选：D． 3．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）若，则的值为（    ） A．3 B．6 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了幂的乘方的应用，掌握公式的逆运算是解题的关键． 利用指数运算的性质，将 转化为 后代入已知条件计算即可． 【详解】∵ = ， = 3， ∴ = = 9． 故选：D． 4．（25-26八年级上·四川乐山·期中）计算的结果是（   ） A． B．－3 C．3 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查积的乘方的逆用，熟练掌握积的乘方是解题的关键；利用指数运算性质，将原式拆分为同指数幂的乘积，简化后计算即可． 【详解】解： ； 故选D． 5．（25-26八年级上·福建福州·期中）已知，，则的值是（   ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】D 【分析】本题考查同底数幂的除法，根据同底数幂的除法，将表示为，然后代入已知值求解． 【详解】解：∵ ，且，， ∴ ， ∴ ． 故选：D． 6．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算积的乘方和幂的乘方，再计算同底数幂的除法即可． 【详解】解：． 故选A． 【点睛】本题考查幂的混合运算．掌握运算法则是解题关键． 7．（25-26八年级上·四川资阳·期中）若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法和幂的乘方运算，熟练的逆用同底数幂的乘法运算公式和幂的乘方运算公式进行变形，是解题的关键； 将已知方程化简得到 ，再将所求表达式 化为以为底的幂形式，利用指数运算性质代入求值． 【详解】解：∵， ∴， 两边除以得：， ∴． 故选：C． 8．设，，，下列m，n，p三者之间的三个关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆用，幂的乘方的逆用，完全平方公式的应用．根据同底数幂的乘法的逆用，幂的乘方的逆用可得，，，，再进一步分析即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴，故A符合题意； ∵，，， ∴，， ∴， ∴，故B不符合题意； ∵，，， ∴，， ∴，， ∴，， 故C不符合题意，D不符合题意. 故选：A． 9．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）已知，则正整数m的值为（   ） A．84 B．86 C．94 D．96 【答案】D 【分析】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方等的逆运算，合并同类项．将等式右边的两个幂次项提取公因数，转化为平方数的乘积形式，进而开平方得到m的值，即可解答． 【详解】解：∵ ， ∴． 故选D． 10．（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球个、个、个，先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后再从丙袋中取出个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则的值等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同底数幂乘法，理解题意并列得正确的算式是解题的关键．根据题意易得，，将其整理后易得，，将代入中解得的值，继而求得的值，将其代入中计算即可． 【详解】解：由题意得，， 整理得：，， 则，， 那么， 因此， 整理得：， 则， 那么， 则， ， 故选：． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级上·全国·期末） ． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的混合运算，掌握其运算法则是关键． 根据指数运算规则，分别计算各部分的符号和指数，再相乘． 【详解】解： ， 故答案为：． 12．（25-26七年级上·上海·月考）如果，且，，那么 ． 【答案】2 【分析】本题考查同底数幂的除法和幂的乘方运算，熟练掌握幂运算的法则是关键． 利用幂的乘方法则化简 ，再根据同底数幂的除法法则得到指数，由指数相等得到关于k的方程，求解即可． 【详解】解：， ∴ ， 解得 ． 故答案为：2． 13．（24-25七年级下·陕西宝鸡·期中）如果，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查幂的运算，负整数指数幂，利用幂的乘方和同底数底数幂的除法法则，得到，整体代入法结合负整数指数幂的法则，进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 14．已知，则的值是 ． 【答案】4 【分析】利用幂的运算将转化为：，再将整体代入计算即可． 【详解】解：， ∵， ∴原式=． 故答案为：． 【点睛】此题考查了幂的运算，掌握幂的混合运算法则是解题的关键． 15．（25-26七年级上·河南郑州·期中）已知，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查积的乘方和同底数幂的乘法运算，根据，，得到，进而得到，推出，得到，即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 16．（25-26七年级上·上海浦东新·月考）如果，那么称为的“拉格数”，记为由定义可知：．如，则，给出下列关于“拉格数”的结论：①，②，③，④，⑤，其中正确的结论有 ． 【答案】②③④ 【分析】本题考查同底数幂的乘除法的实际应用，掌握同底数幂的乘除法法则是解题的关键． 结合定义，利用同底数幂的乘除法的逆运算进行计算即可． 【详解】解：由题意，∵， ∴， 故①错误； ∵， ∴， 故②正确； ∵，， ∴， 故③正确； 设，，则，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故④正确； ∴， ∵， ∴， ∴， 故⑤错误； 那么正确的有②③④． 故答案为：②③④． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级上·福建龙岩·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查幂的运算（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方），解题的关键是熟练掌握幂的运算法则：同底数幂相乘，底数不变、指数相加；幂的乘方，底数不变、指数相乘；积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． （1）根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方法则分别化简各项，再合并同类项； （2）同理，先利用积的乘方、同底数幂的乘法法则化简各项，再合并同类项． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．（6分）（25-26八年级上·甘肃平凉·期中）已知计算： (1)； (2)． 【答案】(1)12 (2)216 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方，解题的关键是熟练掌握计算公式． （1）根据逆用同底数幂的乘法得到，再代入即可求解； （2）根据逆用幂的乘方得到，再代入即可求解． 【详解】（1）解： （2）解：． 19．（8分）（25-26八年级上·河北沧州·月考）已知，，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、除法及乘方的运算法则． （1）根据同底数幂乘法法则，将变形，代入已知条件求值即可； （2）根据同底数幂的乘方和除法法则，将变形，代入已知条件求值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵，， ∴． 20．（8分）（25-26八年级上·湖北·期中）求值： (1)已知，求的值； (2)已知是正整数，且，求的值． 【答案】(1)x的值为1 (2)184 【分析】本题考查了代数式求值、积的乘方的逆运算和幂的乘方的逆运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据积的乘方的逆运算和幂的乘方的逆运算，将原式化为，进而即可求出的值； （2）根据幂的乘方的逆运算化简，然后把代入计算即可． 【详解】（1）解： ， ， 即， ， 解得； （2）解： ， ， 原式 ． 21．（10分）（25-26八年级上·河南驻马店·期中）已知，，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查幂的运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键： （1）逆用幂的乘方，进行计算即可； （2）逆用幂的乘方和同底数幂的乘法和除法法则进行计算即可； 【详解】（1）解：， ； （2）解：，，， ． 22．（10分）（24-25七年级下·北京房山·期中）定义：如果，那么c为a，b的“甜幂指数”，记为．例如，那么2为的“甜幂指数”，记为．根据定义回答以下问题： (1)若，则m＝______；若，则n＝______； (2)已知，，，x，y，z为正整数，且，求m的值； (3)已知当x，y为正整数，且时，成立，且满足，若，，m，n为正整数，且，时，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了幂的乘方、同底数幂幂的乘法和除法等知识，熟练掌握幂的运算法则是关键． （1）根据新定义可得到答案； （2）根据新定义得到，进一步得到，即可得到答案； （3）根据题意得到则，即可得到,整理即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意可得，若，∵， 则； 若，∵，则； （2）由题意可得，， ∵， ∴ ∴ （3）∵，，m，n为正整数， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴, ∴ ∴ 23．（12分）阅读材料：的末尾数字是3，的末尾数字是9，的末尾数字是7，的末尾数字是1，的末尾数字是3，......，观察规律，，∵的末尾数字是1，∴的末尾数字是1，∴的末尾数字是3，同理可知，的末尾数字是9，的末尾数字是7．解答下列问题： (1)的末尾数字是 ，的末尾数字是 ； (2)求的末尾数字； (3)求证：能被5整除． 【答案】(1)3，6； (2)4； (3)证明见解析． 【分析】（1）根据阅读材料中的结论可知的末尾数字；根据阅读材料中提供的方法，可得的末尾数字是4，的末尾数字是6，于是得解； （2）先将化成，再利用的末尾数字是6，从而得出结论； （3）分别证明的末尾数字为6和的末尾数字9，则命题即可得证． 【详解】（1）解： ， 的末尾数字为3； 的末尾数字是4，的末尾数字是6，的末尾数字是4，… 的末尾数字是4，的末尾数字是6， 的末尾数字是6； 故答案为：3，6； （2）解：， ∵的末尾数字是6， ∴的末尾数字是4； （3）证明：∵的末尾数字是2，的末尾数字是4，的末尾数字是8，的末尾数字是6，的末尾数字是2，… 的末尾数字是2，的末尾数字是4，的末尾数字是8，的末尾数字是6， 的末尾数字为6； 同理可得： 的末尾数字7，的末尾数字9，的末尾数字3，的末尾数字1； 的末尾数字9， ∴的末尾数字是5， ∴能被5整除． 【点睛】此题是一道阅读理解题，主要考查了幂的运算、数的整除，熟练掌握同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方法则是解答此题的关键． 24．（12分）阅读材料： 定义：如果，那么称a为n的劳格数，记为， 例如：，那么称2是100的劳格数，记为． 填空：根据劳格数的定义，在算式中，______相当于定义中的n，所以______； 直接写出______； 探究：某数学研究小组探究劳格数有哪些运算性质，以下是他们的探究过程 若a、b、m、n均为正数，且，， 根据劳格数的定义：，______， ∵ ∴，这个算式中，______相当于定义中的a，______相当于定义中的n， ∴______，即， 请你把数学研究小组探究过程补全 拓展：根据上面的推理，你认为：______． 【答案】1000，3；﹣8；b，a＋b，，a＋b；－． 【分析】根据新定义法则进行运算即可． 【详解】解：∵如果，那么称a为n的劳格数，记为， ∴，那么称3是1000的劳格数，记为． ∴在算式中，1000相当于定义中的n，所以3；﹣8； ∵， ∴， ∵，， ∴＝pq， ∴这个算式中，pq相当于定义中的a， 相当于定义中的n， ∴＝＋， 即， 设，， ∴，， ∵， ∴ ＝a－b＝－， 即 －． 故答案为：1000，3；﹣8；b，a＋b，，a＋b；－． 【点睛】此题考查了新定义问题，用到了幂的相关运算，解题的关键是理解新定义及其运算法则． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 幂的运算·培优卷 【新教材苏科版】 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26九年级上·云南文山·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·山西临汾·期中）已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）若，则的值为（    ） A．3 B．6 C．8 D．9 4．（25-26八年级上·四川乐山·期中）计算的结果是（   ） A． B．－3 C．3 D． 5．（25-26八年级上·福建福州·期中）已知，，则的值是（   ） A．10 B．8 C．6 D．4 6．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·四川资阳·期中）若，则的值为（     ） A． B． C． D． 8．设，，，下列m，n，p三者之间的三个关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）已知，则正整数m的值为（   ） A．84 B．86 C．94 D．96 10．（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球个、个、个，先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后再从丙袋中取出个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则的值等于（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级上·全国·期末） ． 12．（25-26七年级上·上海·月考）如果，且，，那么 ． 13．（24-25七年级下·陕西宝鸡·期中）如果，那么的值是 ． 14．已知，则的值是 ． 15．（25-26七年级上·河南郑州·期中）已知，，则的值为 ． 16．（25-26七年级上·上海浦东新·月考）如果，那么称为的“拉格数”，记为由定义可知：．如，则，给出下列关于“拉格数”的结论：①，②，③，④，⑤，其中正确的结论有 ． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级上·福建龙岩·期中）计算： (1)； (2)． 18．（6分）（25-26八年级上·甘肃平凉·期中）已知计算： (1)； (2)． 19．（8分）（25-26八年级上·河北沧州·月考）已知，，． (1)求的值； (2)求的值． 20．（8分）（25-26八年级上·湖北·期中）求值： (1)已知，求的值； (2)已知是正整数，且，求的值． 21．（10分）（25-26八年级上·河南驻马店·期中）已知，，． (1)求的值； (2)求的值． 22．（10分）（24-25七年级下·北京房山·期中）定义：如果，那么c为a，b的“甜幂指数”，记为．例如，那么2为的“甜幂指数”，记为．根据定义回答以下问题： (1)若，则m＝______；若，则n＝______； (2)已知，，，x，y，z为正整数，且，求m的值； (3)已知当x，y为正整数，且时，成立，且满足，若，，m，n为正整数，且，时，求的值． 23．（12分）阅读材料：的末尾数字是3，的末尾数字是9，的末尾数字是7，的末尾数字是1，的末尾数字是3，......，观察规律，，∵的末尾数字是1，∴的末尾数字是1，∴的末尾数字是3，同理可知，的末尾数字是9，的末尾数字是7．解答下列问题： (1)的末尾数字是 ，的末尾数字是 ； (2)求的末尾数字； (3)求证：能被5整除． 24．（12分）阅读材料： 定义：如果，那么称a为n的劳格数，记为， 例如：，那么称2是100的劳格数，记为． 填空：根据劳格数的定义，在算式中，______相当于定义中的n，所以______； 直接写出______； 探究：某数学研究小组探究劳格数有哪些运算性质，以下是他们的探究过程 若a、b、m、n均为正数，且，， 根据劳格数的定义：，______， ∵ ∴，这个算式中，______相当于定义中的a，______相当于定义中的n， ∴______，即， 请你把数学研究小组探究过程补全 拓展：根据上面的推理，你认为：______． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $